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第22章 二次函数
22.1.4.3
待定系数法求解二次函数解析式
授课:
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知识回顾
(1) 二次函数顶点式和一般式是什么
(2) 确定一次函数解析式至少需要几个点?如何求解析式?
顶点式: y=a(x-h)2+k(a≠0);
一般式: y=ax2+bx+c(a≠0).
确定一次函数解析式至少需要两个不与坐标轴平行的点.
使用待定系数法(设、代、求、写).
(3) 由几个点的坐标可以确定二次函数?
这几个点应满足什么条件?
问题探索
例1.一个二次函数的顶点坐标为(-1,2),且经过点(1,-6),求二次函数解析式.
应该怎样设二次函数的解析式呢?
解: 设y=a(x-h)2+k(a≠0),
∵顶点坐标为(-1,2),
∴h=-1,k=2,
将(1,2)代入y=a(x+1)2+2得
4a+2=-6,
解得a=-2,
∴二次函数是y=-2(x+1)2+2.
设
代
求
写
有顶点, 设顶点式.
小试锋芒
练习1.已知一个抛物线关于x=6对称, 且经过点(4,5), 若抛物线有最小值3, 求抛物线解析式.
答案: .
若给出两个点中, 没有顶点, 能求出二次函数的解析式吗
问题探索
例2.一个二次函数的图象经过点(-1,10),(1,4),求二次函数解析式.
应该怎样设二次函数的解析式呢?
解: 设y=ax2+bx+c(a≠0),
将(-1,10),(1,4)代入得
a-b+c=10,
a+b+c=4.
有三个未知数, 却只有两个方程.
问题探索
例2.一个二次函数的图象经过点(-1,10),(1,4), (2,7),求二次函数解析式.
解: 设y=ax2+bx+c(a≠0),
将(-1,10),(1,4)代入得
a-b+c=10,
a+b+c=4,
4a+2b+c=7.
∴二次函数是y=2x2-3x+5.
解得
a=2,
b=-3,
c=5.
待定系数法求解二次函数解析式的步骤是什么?
设函数解析式
列出方程(组)
求解并写出解析式
代入已知条件
小试锋芒
练习2.求出满足下列条件的二次函数的解析式.
(1)当自变量x=0时, 函数值y=-1,当x=-2或0.5时, y=0;
(2) 二次函数的图象经过(0,0),(-1,-1),(-1,2).
答案: (1) .
问题(2)中能求出二次函数解析式吗 为什么
原因: (-1,-1)与(-1,2)横坐标相同, 两点连线与y轴平行.
由不在同一直线上的三点(任意两点的连线不与y轴平行)的坐标, 列出关于a,b,c的三元一次方程组就可以求出a,b,c的值, 进而确定二次函数.
进一步探索
求二次函数y=x2+3x-4与x轴的交点坐标.
解: 令y=0得x2+3x-4=0,
因式分解得(x-1)(x+4)=0,
解得x1=1,x2=-4,
∴交点坐标为(1,0),(-4,0).
进一步探索
探索: 填表.
一般式 因式分解 与x轴的交点坐标
y=x2+3x-4
y=-x2+x+6
y=2x2-2x-4
y=-3x2-9x-6
y=(x-1)(x+4)
(1,0),(-4,0)
y=-(x+2)(x-3)
y=2(x+1)(x-2)
y=-3(x+2)(x+1)
(-2,0),(3,0)
(-1,0),(2,0)
(-2,0),(-1,0)
若一个二次函数与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0),你能表示出这个二次函数吗
进一步思考
若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点(x1,0), (x2,0).
那么二次函数可表示为y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0).
如何验证呢?
解: 由题意得ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2.
由韦达定理可得x1+x2=-, x1·x2=,
∴a(x2-x+)=a[x2-(x1+x2)x+x1·x2],
因式分解得y=a(x-x1)(x-x2).
典例精析
例3. 一个二次函数,当自变量x=0时, 函数值y=-1,当x=-2或0.5时, y=0, 求这个二次函数的解析式.
解: 设y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),
∵当x=-2或0.5时, y=0,
∴x1=-2,x2=0.5,
将自变量x=0, 函数值y=-1代入得
a(0+2)(0-0.5)=-1,
解得a=1
∴二次函数是y=x2+x-1.
结果要写成一般式或顶点式.
小试锋芒
练习3. 一个二次函数的图象过点(0,0), (2,-1),(1,0),求二次函数的解析式.
答案: .
典例精析
例4.如图, 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0),B,与y轴交于点C(0,3), 且对称轴为x=2,求二次函数解析式.
x
y
O
x=2
C
A
B
法①: 设y=a(x-h)2+k(a≠0),
∵对称轴为x=2,
∴h=2,
将点A,C代入得
a(1-2)2+k=0, a(0-2)2+k=3,
解得a=1,k=-1,
∴二次函数是y=(x-2)2-1.
典例精析
例4.如图, 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0),B,与y轴交于点C(0,3), 且对称轴为x=2,求二次函数解析式.
x
y
O
x=2
C
A
B
法②: 设y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),
∵对称轴为x=2,点A,B是抛物线上的对称点,
∴B(3,0),
∴x1=1,x2=3,
将点C代入得a(0-1)(0-3)=3,
解得a=1,
∴二次函数是y=x2-4x+3.
典例精析
例4.如图, 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0),B,与y轴交于点C(0,3), 且对称轴为x=2,求二次函数解析式.
x
y
O
x=2
C
A
B
法③: 设y=ax2+bx+c(a≠0),
将点A,C代入得
a+b+c=0, c=3,
∵对称轴为x=2,
∴-=2,
解得a=1,b=-4,c=3,
∴二次函数是y=x2-4x+3.
小试锋芒
练习4.已知二次函数y与自变量x的部分对应值如下表:
则二次函数的解析式为_____________.
x ... -3 -2 0 1 3 4 8 ...
y ... 7 0 -8 -9 -5 0 40 ...
y=x2-2x-8
大展身手
练习5. 已知抛物线的顶点坐标为(1,16), 且抛物线与x轴的两交点间的距离为8, 求其解析式.
答案: 顶点式y=-(x-1)2+16; 一般式y=-x2+2x+15.
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