第二章：一元二次函数?方程和不等式 章末检测试题 2025--2026学年上学期高中数学 必修第一册（人教A版2019）

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第二章：一元二次函数 方程和不等式 章末检测试题
2025--2026学年上学期高中数学 必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．已知，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．对于实数a，b，c下列说法中错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
3．若，设，则（ ）
A． B． C． D．
4．若，，且，的最小值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
5．如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数的图象都在x轴的上方，求实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．若存在正实数，使得等式和不等式都成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选题）若，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若且，则 D．
10．已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
11．设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为3 B．的最大值为1
C．的最小值为2 D．的最小值为2
三、填空题
12．已知，，则的大小关系是 ．
13．已知，且，则的最小值为 ．
14．设x，y是正实数，且，则的最大值是 .
15．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的范围是 .
四、解答题
16．（1）已知，且，证明：．
（2）证明：．
17．已知.
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，求的最小值.
18．已知关于x的不等式的解集为或（）.
(1)求a，b的值；
(2)当，，且满足时，有恒成立，求k的取值范围.
19．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元．
(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；
(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元．
①求出与之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？
20．高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积”
(1)若，，求和；
(2)试证明：“”是“”的充要条件；
(3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A D B B B C BCD ABD
题号 11
答案 ABD
1．A
【分析】根据不等式的性质判断A；举反例即可判断B，C，D.
【详解】由，且，可得，A正确；
取，满足条件，但，B错误；
取，满足条件，但，，C，D错误；
故选：A
2．B
【分析】由不等式的性质，逐个分析选项的结论.
【详解】当时，有，由得，A选项说法正确；
当时，，则有，故B选项说法错误；
当，有，则，即，C选项说法正确；
当，时，有，由则，D选项说法正确；
故选：B.
3．A
【分析】做差整理得两个完全平方式，可判断答案.
【详解】
故选：A
4．D
【分析】由，可得，后由基本不等式可得答案.
【详解】，，
于是，
当且仅当，即时取等号.
故选：D
5．B
【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出，再结合可得出结果.
【详解】由已知，利用基本不等式得出，
因为，则，，
所以，，
∴.
故选：B
6．B
【分析】分类讨论函数的平方项系数是否为零，根据常数函数、一次函数、二次函数的图象性质即可求出k的取值范围.
【详解】因为的图象都在轴上方，
①当时，或，
当时，函数为一次函数，不满足条件；
当时，函数满足条件；
故；
②当时，函数为二次函数，
则，解得；
综上，，即实数k的取值范围为.
故选：B.
7．B
【分析】先根据基本不等式求得，再由存在性问题可得，运算求解即可.
【详解】∵为正实数，则，
当且仅当，即时等号成立，
若存在正实数，使得不等式成立，则，解得或，
故实数的取值范围为.
故选：B.
【点睛】结论点睛：
，使得，等价于；
，使得，等价于.
8．C
【分析】由题意可知为真命题，问题转化为只需，然后利用基本不等式求出最小值，进而可以求解．
【详解】若命题是假命题，则为真命题，
即在上恒成立，只需，
又，
当且仅当，即时取得最小值为5，
所以，
故选：C．
9．BCD
【分析】根据不等式性质，对每个选项进行逐一判断即可.
【详解】对A：当时，结论不成立，故A错误；
对B：等价于，又，故成立，故B正确；
对C：因为且，所以等价于，即，成立，故C正确；
对D：等价于，成立，故D正确.
故选：BCD.
10．ABD
【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系可得，即可结合选项逐一求解.
【详解】由于不等式的解集为，
所以和是的两个实数根，
所以，故，
，故AB正确，
对于C,不等式为，故，故C错误，
对于D, 不等式可变形为，
解得，故D正确，
故选：ABD
11．ABD
【分析】根据基本不等式判断．
【详解】因为正实数m、n，
所以，
当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；
由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；
因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误；
，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确.
故选：ABD
12．
【分析】利用差比较法确定两者的大小关系.
【详解】由于，
所以.
故答案为：
13．
【分析】直接利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，且，
所以，当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：.
14．
【分析】令，进行换元可得，，结合基本不等式运算求解.
【详解】令，则，
可得，即，
且，
∵，
当且仅当，即时，等号成立，
可得，
∴，
即的最大值是.
故答案为：.
15．
【分析】易知满足题意，当时，不等式恒成立等价于二次函数图像恒在x轴上方.
【详解】当时，显然成立；
当时，要使问题成立，
则二次函数图像恒在x轴上方，有.
综上，.
故答案为：.
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】(1)利用不等式的性质证明即可；
(2)等价于证明++，对不等式两边同时平方后只需证明，再平方即可证明.
【详解】证明：（1）由，且，
所以，且
所以，所以，
即；所以，即．
（2）要证，
只需证，
即证；
即证，
即证；即证，显然成立；
所以．
17．(1)16
(2)
【分析】（1）由，得到，进而解不等式即可求解；
（2）由，可得，再用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【详解】（1）当时，，
即，
即，
所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为16.
（2）当时，，即，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）方法一：根据不等式的解集为或，由1和b是方程的两个实数根且，利用韦达定理求解；方法二：根据不等式的解集为或，由1和b是方程的两个实数根且，将1代入求解.
（2）易得，再利用“1”的代换，利用基本不等式求解.
【详解】（1）解：方法一：因为不等式的解集为或，
所以1和b是方程的两个实数根且，
所以，解得
方法二：因为不等式的解集为或，
所以1和b是方程的两个实数根且，
由1是的根，有，
将代入，
得或，
∴；
（2）由（1）知，于是有，
故，
当且仅当时，等号成立，
依题意有，即，
得，
所以k的取值范围为.
19．(1)甲种灯笼26元，乙种灯笼35元
(2)①；②乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大
【分析】（1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元，根据用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；
（2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；
②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．
【详解】（1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元，
所以
两边同乘得：，
解得：，
经检验：为该分式方程的解，且符合题意．
所以甲种灯笼元，乙种灯笼元；
（2）①由题意，
故与的函数解析式为
②由①知，函数开口向下
函数在对称轴处有最大值．
因为销售部门规定其销售单价不高于每对元
所以，
所以乙种灯笼的销售单价为元时，一天获得利润最大．
20．(1)答案见详解
(2)证明见详解
(3)答案见详解
【分析】（1）根据的定义直接运算求解；
（2）根据的定义结合充分必要条件分析证明；
（3）设，则，，结合基本不等式求的取值范围，并结合根式分析求解.
【详解】（1）由题意可得：，
.
（2）若，设，
由定义可知：且，
所以“”是“”的必要条件；
若，对任意，均有，
即对任意，均有，
由任意性可知，则，
所以“”是“”的充分条件；
综上所述：“”是“”的充要条件.
（3）设，
则，，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以实数的取值范围.
若取到最大值，则，即，
可得，即，
所以.
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