函数的周期性重点考点 专题练 2026年高考数学一轮复习备考

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函数的周期性重点考点 专题练
2026年高考数学一轮复习备考
一、单选题
1．已知函数是定义在上奇函数，且满足，当时，，则当时，的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．0
2．已知函数，的定义域均为，为偶函数且，，则 （ ）
A．21 B．22 C． D．
3．已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
4．已知函数满足，，则（ ）
A．3 B． C．5 D．
5．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知在上是周期为4的奇函数，当时，，则等于（　　）
A． B．2 C． D．
7．已知函数满足：，，则下列说法正确的有（ ）
A．是周期函数
B．
C．
D．图象的一个对称中心为
8．已知定义在上的函数满足：，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的周期为4 C．关于对称 D．在单调递减
9．已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，满足，且，则（ ）
A． B．是偶函数
C．关于点对称 D．
二、多选题
10．定义在上的函数满足，，则（ ）
A． B．
C． D．2为的一个周期
11．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数
C． D．
12．已知函数的定义域为，且，曲线的图象关于直线对称．若时，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是 .
14．已知定义域为的函数满足，且，则 .
15．函数对任意恒有成立，且，则 ．
16．已知的定义域为，将的图象绕原点旋转180°后所得图象与原图象关于轴对称，且，则 .
17．设是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是
四、解答题
18．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒成立，且当时，.
（1）求证：是以2为周期的函数（不需要证明2是的最小正周期）；
（2）对于整数，当时，求函数的解析式.
19．已知函数的定义域为，且的图像是一条连续不断的曲线，设，若对于任意的，均有，则称是等和积函数．
(1)若是等和积函数；
（i）证明：；
（ii）证明：；
(2)若是等和积函数，证明：函数在上至少有1350个零点．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A B A A A C D ACD
题号 11 12
答案 BC ABD
1．D
【分析】根据条件可得，得到函数的周期，然后得到当时的表达式，最后判断即可.
【详解】由，
因此可以得到：，所以函数的周期为4，
当时，，
故当时，
当时，，所以，
显然当或时，函数的最大值为0.
故选：D
2．C
【分析】根据题意证明，结合对称性分析运算即可.
【详解】∵为偶函数且，则，
故关于点对称，
又∵，则，
则是以周期为4 的周期函数，故关于点对称，
∴，
则，
又∵，
则，
故.
故选：C.
3．A
【分析】令，由已知可得函数与的图象在区间上关于直线对称，利用对称性即可求解.
【详解】解：因为函数满足，所以函数的图象关于直线对称，
又函数为偶函数，所以，
所以函数是周期为2的函数，
又的图象也关于直线对称，
作出函数与在区间上的图象，如图所示：
由图可知，函数与的图象在区间上有8个交点，且关于直线对称，
所以方程在区间上所有解的和为，
故选：A.
4．B
【分析】构造函数，通过其周期性，确定的周期性，即可求解.
【详解】
可得：，
即，
令，
则，
可得，
所以是以4为周期的函数，
所以也是以4为周期的函数，
所以，
令可得：，
结合，可得，
所以.
故选：B
5．A
【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解.
【详解】由题知对一切成立，
于是.
故选：A
6．A
【分析】利用函数的周期性得，再利用奇函数的性质及条件，即可求出结果.
【详解】因为是为周期的周期函数
所以，
因为在上是奇函数，则，
又因为当时，，则
故选：A.
7．A
【分析】先证明得到A正确；再给出作为反例说明B，C，D错误.
【详解】对于A，由于，故.
从而，这就得到，所以，即.
所以是周期函数，故A正确；
对于B，C，D，取，则满足条件，但，，同时由于，，从而关于的对称点并不在函数图象上，故B，C，D错误；
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对条件进行适当的代数变形.
8．C
【分析】由余弦函数的和、差角公式结合题目条件，可设，先求出，再对选项进行逐一验证即可得出答案.
【详解】由，
可得，可设
由，即，则可取，即进行验证.
选项A： ，故选项A不正确.
选项B：由，则其最小正周期为,故选项B不正确.
选项D：由于为周期函数，则在不可能为单调函数. 故选项D不正确.
选项C：,又，故此时为其一条对称轴.
此时选项C正确,
故选：C
9．D
【分析】借助赋值法令，即可得A；结合赋值法与函数奇偶性的定义计算可得B；结合复合函数导数公式与对称性可得C；借助赋值法，可逐项计算出到，即可得解.
【详解】对A：令，有，故，故A错误；
对B：令，有，又不恒为零，
故，即，又，故是奇函数，故B错误；
对C：令，
；
令，
当时，有，
；
当，有，
，
当，结合，有，
，
，
综上，，，
关于直线对称，
所以关于直线对称，故C错误；
对D：由，故，
令，有，
即，则，即，
，即，，即，
令，有，
即，则，
，，
故，故D正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：D选项中，关键点在于令可得，结合，可得为偶数时，.
10．ACD
【分析】根据给定条件求得函数的周期，再逐项分析判断.
【详解】对于D，由，得，则2为的一个周期，D正确；
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确.
故选：ACD
11．BC
【分析】根据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，可得，故C正确；利用赋值法可求得，故D错误.
【详解】对于A，由题意，，且，
又，即①，
用替换中的，得②，
由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误；
对于B，由，可得，即，
所以，
所以是以8为周期的周期函数，故B正确；
对于C，由①可得，则，
所以，故C正确；
对于D，因为，为偶函数，所以，
令，则有，
令，则有，
令，则有，
，
令，则有，
所以
，故D错误.
故选：BC.
12．ABD
【分析】由题可知函数关于点对称，又函数关于直线对称可得函数也关于对称，即，进而可得呈周期递增，再根据已知部分解析式得到的图像，根据图像求切线可确定AB选项，然后根据周期变化可求函数值判断CD选项.
【详解】，即关于点对称，，又曲线的图象关于直线对称，所以也关于点对称，即结合可得，即，所以函数呈周期性变化，
又曲线的图象关于直线对称，时，，则时，，又，
时，则，，
又关于直线对称，时，，
根据题意可作出函数图像如下：
根据图像可知函数在两条斜率为1的直线之间，设下面一条直线方程为：与相切，，切点为，
此时切线方程为：，又因为，所以
，故A正确；
通过对称可得，故B正确；
由，所以，故C错误；
，，故D正确；
故选：ABD.
13．.
【分析】分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.
【详解】当时，即
又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.

当时，函数与的图象有个交点；
当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.
综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.
【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.
14．
【分析】由迭代法可得函数的周期性，利用赋值法，可得答案.
【详解】由，令代替，可得，
则，可得，
由，令，则，
所以.
故答案为：.
15．
【分析】根据所给关系式，求出函数周期，利用周期及性质可得解.
【详解】因为，
所以，
即函数的周期为，
所以.
故答案为：
16．
【分析】由题意可得函数为偶函数，利用赋值法可得，可求得，进而可得，可得符号相反，，可求.
【详解】因为将的图象绕原点旋转后所得图象与原图象关于轴对称，
所以函数为偶函数，即，
由，令，可得，
所以，令，可得，
又，可得，所以，
所以，所以，
所以是周期为4的周期函数，
所以，
所以，
因为，，所以，，
因为函数的周期为4，所以符号相反，且，
所以，所以.
故答案为：.
17．8
【详解】由于，则需考虑的情况，
在此范围内，且时，设，且互质，
若，则由，可设，且互质，
因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，
因此不可能与每个周期内对应的部分相等，
只需考虑与每个周期的部分的交点，
画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，
且处，则在附近仅有一个交点，
因此方程的解的个数为8．
点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
18．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）通过证明成立得解；（2）先求解时，，再通过周期为2得可求解当时函数的解析式
【详解】解：（1）因为，
所以：是以2为周期的函数；
（2）∵当时，，函数是定义在上的偶函数
∴当时，，
∴时，，
∵是以2为周期的函数，即，
设，则，
，
即.
19．(1)（i）证明见详解；（ii）证明见详解；
(2)证明见详解.
【分析】（1）（i）由是等和积函数，得，即可判断；
（ii）由（i）代换可得，两式相减，化简可证；
（2）利用，求出的周期为3，然后利用不等式的性质求出在上至少有一个解，结合函数的周期即可求解.
【详解】（1）（i）因为是等和积函数，所以，
即，所以；
（ii）由（i）得①，
则有②，
②①可得：，
因为，所以，即；
（2）因为是等和积函数，所以①，
则有②，
②①可得：，
变形可得：，
则有或者，
当时，，
此时，所以，
故，
所以成立，即是周期为3的周期函数，
又，
等号两边同除可得：
，
所以，，
变形可得：，
，
则，，
又因为函数在上连续，故即在上至少有一个解，且周期为3，故在一个周期内至少有2个解，
又函数在上共有675个周期，
所以函数在上至少有1350个零点．
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