【章节考点培优】3.1等量关系和方程-2025-2026学年七年级上册数学湘教版（2024）（含答案解析）

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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优湘教版（2024）
第3章 一次方程（组） 3.1 等量关系和方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程是一元一次方程的是（　　）
A．x2﹣5x＝8 B．x+3y＝9 C．x﹣2＝0 D．+3＝x
2．下列方程中，解为x=2的方程是（　　）
A．x﹣3=﹣1 B． C． D．
3．下列方程中，是一元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知是关于x的方程的解，则a的值是（　　）
A． B．0 C．2 D．3
5．若x=1是方程（1）2﹣(m-x)=2x的解，则关于y的方程（2）m（y﹣3）﹣2=m（2y﹣5）的解是（　　）
A．-10 B．0 C． D．4
6．某工人若每小时生产38个零件，在规定时间内还有15个不能完成，若每小时生产42个零件，则可以超额完成5个，问：规定时间是多少？设规定时间为x小时，则可列方程为（　　）
A．38x﹣15=42x+5 B．38x+15=42x﹣5
C．42x+38x=15+5 D．42x﹣38x=15﹣5
7．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（　　）
A． B．
C． 或 D．无法确定
8．学校在一次研学活动中，有n位师生乘坐m辆客车，若每辆客车乘50人，则还有12人不能上车；若每辆客车乘55人，则最后一辆车空了13个座位．下列四个等式：
① ；② ；③ ；④ ．
其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
9．某养殖户的养殖成本逐年增长，第一年的养殖成本为16万元，第3年的养殖成本为25万元．设养殖成本平均每年增长的百分率为x，则下面所列方程中正确的（　　）
A． B．
C． D．
10．某车间生产圆形铁片和长方形铁片，两个圆形铁片和一个长方形铁片可以制作成一个油桶．已知该车间有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片．为使生产的铁片恰好配套，设安排x人生产圆形铁片，可列方程（　　）
A．80x=2×120(42-x) B．120x=2×80(42-x)
C．2×80x=2×120(42- x) D．2×120x= 80(42 - x)
二、填空题
11．已知为方程的解，则　 　．
12．x=﹣4是方程ax2﹣6x﹣1=﹣9的一个解，则a= 　 　
13．方程 墨水中有一个数字被墨水盖住了，查后面的答案，知道这个方程的解是 x= 1 ，那么盖住的数字是　 　
14．已知x、y的 的解，满足 ，则m的取值范围是　 　．
15．如图所示是一个运算程序，若输出的结果是-2，则输入的值为　 　．
16．如图，以菱形ABCD的对角线AC为边，在AC的左侧作正方形ACEF、连结FD并延长交EC于点H，若正方形ACEF的面积是菱形ABCD面积的1.4倍，CH=6，则EF=　 　.
三、计算题
17．已知x=1是方程 的解，那么关于x的方程a(x-5）-2=a（2x-3）的解是多少？
四、解答题
18．为测量一个不规则铁块的体积，一个学习小组做了以下实验：
①用天平称出这个铁块的质量是0.4kg；
②从内部量出圆柱形容器的底面半径是5cm；
③从内部量出圆柱形容器的高是10cm；
④在容器里注入一定量的水，量出水面高度为6cm；
⑤将铁块完全浸没水中（水没溢出）．量出水面高度为8cm．
请根据以上信息求出这个铁块的体积．
19．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”.
（1）判断一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于x，y的二元一次方程y＝mx+6与y＝x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值.
20．已知关于x的方程2x=8与x+2=﹣k的解相同，求代数式 的值．
21．
（1）当　 　 ，关于的方程是一元一次方程；
（2）解一元二次方程．
22．我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“美美与共方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“美美与共方程”．
（1）在一元一次方程①；②；③中，不等式组的“美美与共方程”是　 　；（填序号）
（2）若关于x的方程 是不等式组的“美美与共方程”，求k的取值范围；
（3）若关于x的方程 是关于x的不等式组的“美美与共方程”，且此时该不等式组有7个整数解，若，求M的取值范围．
23．我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“包含方程”．例如：方程的解为，而不等式组 的解集为，不难发现在的范围内，所以方程 是不等式组 的“包含方程”．请根据约定，解答下列问题．
（1）在一元一次方程；；中，不等式组 的“包含方程”是 （填序号）；
（2）若关于 x 的方程 是不等式组 的“包含方程”，求k 的取值范围；
（3）若关于x 的方程 是关于 x 的不等式组 的“包含方程”，且此时该不等式组恰好有7个整数解，试求 m 的取值范围．
参考答案及试题解析
1．C
【解答】解：A．该方程中未知数的最高次数是2，是一元二次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B．该方程含有两个未知数，是二元一次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C．该方程是一元一次方程，故本选项符合题意；
D．该方程是分式方程，不是整式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】 一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。 根据一元一次方程的定义判断即可。
2．A
【解答】A、将x=2代入x﹣3=﹣1，左边=2﹣3=﹣1=右边，故x=2是选项A的解；
B、将x=2代入 ，左边 ，右边=0，左边 右边，故x=2不是选项B的解；
C、将x=2代入 ，左边=1+3=4，右边=7，左边 右边，故x=2不是选项C的解；
D、将x=2代入 ，左边=6-1=5，右边=2，左边 右边，故x=2不是选项D的解；
故答案为：A．
【分析】将x=2代入各方程中，如果等号左右两边相等即为该方程的解．
3．C
4．C
5．B
【解答】解：先把x=1代入方程（1）得：
2﹣ （m﹣1）=2×1，
解得：m=1，
把m=1代入方程（2）得：1×（y﹣3）﹣2=1×（2y﹣5），
解得：y=0．
故选B．
【分析】先把x=1代入方程（1），求出m的值，再把m的值代入方程（2）求解．
6．B
【解答】解：设规定时间为x小时，则
38x+15=42x﹣5．
故选B．
【分析】设规定时间为x小时，根据“每小时生产38个零件，在规定时间内还差15个不能完成；若每小时生产42个，则可超额完成5个”表示出零件个数得出方程即可．
7．C
【解答】由题意得： ，
，
，
，
即 或 ，
故答案为：C．
【分析】根据题意，将运算程序转化为方程，令方程的值为-9，求出x的值即可。
8．B
【解答】解：按师生人数不变列方程得：50m+12=55m-13，
按乘坐客车的辆数不变列方程得： ，
所以，等式①③正确.
故答案为B.
【分析】首先根据已知条件可表示出师生的总人数为50m+12，55m-13，然后根据总人数不变可列方程，还可先表示出客车的辆数，根据客车辆数可列出方程.
9．C
【解答】解：设养殖成本平均每年增长的百分率为x，则第二年的成本为万元，第三年的成本为万元，
由题意得，
故答案为：C.
【分析】设养殖成本平均每年增长的百分率为x，则第二年的成本为16(1+x)万元，第三年的成本为16(1+x)2万元，然后结合第3年的养殖成本为25万元就可列出方程.
10．B
【解答】解：∵安排x人生产圆形铁片 ，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据题意，找等量关系“ 两个圆形铁片和一个长方形铁片可以制作成一个油桶，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片．为使生产的铁片恰好配套 ”，即可求出列出方程，求出答案.
11．
12．-2
【解答】解：把x=﹣4代入方程ax2﹣6x﹣1=﹣9得：
16a+24﹣1=﹣9，
解得：a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】把x=﹣4代入已知方程，通过解方程来求a的值．
13．1
【解答】设被墨水盖住的数字为y，
∵ x= 1 ，
∴-=1，
∴2×（-2-y）+12=6，
∴y=1.
故答案为：1.
【分析】设被墨水盖住的数字为y，将 x= 1 代入方程计算即可得出y的值，即盖住的数字.
14．m＞
【解答】方程2x 2y＝1 3m变形得：x y＝ ，
代入不等式得： ＜0，
解得：m＞ ，
故答案为：m＞ ．
【分析】由方程变形表示出x y，代入不等式计算即可求出m的范围．
15．±6
【解答】解：因为输出的结果为-2＜0，
所以x≥0，
所以-2x+10=-2，
解得x=6，符合题意；
当6为输出结果时，为又分两类讨论，
当输入的数x＜0时，，
所以x=-6，符合题意，
当输入的x≥0时，-2x+10=6，
解得x=2，不合题意．
故答案为：±6
【分析】根据输出的结果是-2，求出x的值，再根据题意分两种情况计算即可。
16．14
【解答】解：如图，连接BD，过D作MN⊥AF，
设正方形的边长为a，
∵S ACEF=1.4S◇ABCD，
∴a2=1.4×a×BD，
解得：BD=a，
∵BD垂直平分AC，
∴BD∥EC，
∴D为AH的中点，
设FN=MH=x， AN=MC=y，
∴AF=x+y=a， HC=y-x=6，
解得：y=，
∵OD=MC，即a=，
解得：a=14.
故答案为：14.
【分析】连接BD，过D作MN⊥AF，设正方形的边长为a， 根据正方形和菱形的面积关系把BD用含a的代数式表示，设FN=MH=x， AN=MC=Y， 把AF和HC用含x、y的代数式表示，求出y的表达式，最后根据OD和OC相等列等式即可求出a值.
17．解：∵x=1是方程的解，
∴2-×（a-1）=2×1，
解得：a=1；
将a=1代入方程a(x-5）-2=a（2x-3）得：
x-5-2=2x-3，
解得：x=-4.
【分析】先将x=1代入方程得出a的值，再将a的值代入方程a(x-5）-2=a（2x-3），解之即可.
18．解：选②④⑤ 3.14×52×（8-6）=157（cm3）
【解答】解：铁块的体积是xcm3，则放入铁块后容器里铁块和水的总体积是cm3，
解得：
∴这个铁块的体积为：
【分析】设：铁块的体积是xcm3，则放入铁块后容器里铁块和水的总体积是cm3，于是列方程得，解方程求出x的值即可．
19．（1）解：一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程不是“相似方程”，理由如下：
解一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x，
解得：，
解分式方程，
解得：，
检验：当时，（2x+1）（2x﹣1）＝0，
∴原分式方程无解，
∴一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程不是“相似方程”；
（2）解：由题意，两个方程由相同的整数解，
∴mx+6＝x+4m，
∴（m﹣1）x＝4m﹣6，
①当m﹣1＝0时，方程无解，
②当m﹣1≠0，即m≠1时，，即，
∵x，y均为整数，
∴m﹣1＝1，2，﹣1，﹣2，
又∵m取正整数，
∴m＝2或3.
【分析】（1）根据题意解一元一次方程和分式方程结合“相似方程”的定义即可求解；
（2）先根据题意得到（m﹣1）x＝4m﹣6，进而分类讨论：①当m﹣1＝0时，方程无解，②当m﹣1≠0，即m≠1时，，即，从而结合题意即可求解。
20．解：2x=8得，x=4，
将x=4代入x+2=﹣k中得，k=-6，
∴ =
【分析】根据方程解相同求出x和k的值，代入代数式中即可求值.
21．（1）
（2）解：，
，
，
，
，
所以，．
【解答】解：解：∵是一元一次方程；
∴m-1=0
解得：m=1
故答案为：1．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义，二次项系数为0，即可求解；
（2）根据配方法解一元二次方程，即可求解．
22．（1）①③
（2）解：得，
解得，
由题：，
解得：；
（3）解：得，
解得，
由题意得：①且②，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴，
解得，
∴，
解得：．
【解答】解：（1）①，
解得：x=1；
② ，
∴2x+5=3x-3，
解得：x=8；
③ ，
∴-3（x-3）=3x+4，
∴-3x+9=3x+4，
∴-6x=-5，
解得：；
不等式组，
解得：，
∴不等式组的“美美与共方程”是①③，
故答案为：①③.
【分析】（1）根据题意先求出方程①②③的解，再求出，最后判断求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后求解即可。
23．（1）②③
（2）解：解方程得，解不等式组得，
由题意可知：，
解得；
（3）解：方程，解得：，
不等式组，解得：，
关于的方程是关于的不等式组的“包含方程”，
，解得，
不等式组恰好有7个整数解，
，解得，
综上所述，的取值范围为．
【解答】解：（1）解方程①得，；解方程②得，；解方程③得，；
解不等式组得，．
由此可知不等式组的“包含方程”是②③，
故填：②③；
【分析】（1）先求出方程的解，不等式组的解集，再作出判断；
（2）先求出方程的解为，再求出不等式组的解集，根据“包含方程”的定义列出关于的方程组求解；
（3）先求出方程的解为，再求出不等式组的解集，根据“包含方程”的定义列出关于的方程组，可求得的一个取值范围；再根据不等式组有7个整数解求得的另一个取值范围，再求取值范围的公共部分即可得到最终的取值范围．
（1）解：解方程①得，；解方程②得，；解方程③得，；
解不等式组得，．
由此可知不等式组的“包含方程”是②③，
故填：②③；
（2）解：解方程得，解不等式组得，
由题意可知：，
解得；
（3）解方程得，
解不等式组得，
关于的方程是关于的不等式组的“包含方程”，
，解得，
不等式组恰好有7个整数解，
，解得，
综上，的取值范围为．
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