【章节考点培优】3.2等式的基本性质-2025-2026学年七年级上册数学湘教版（2024）（含答案解析）

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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优湘教版（2024）
第3章 一次方程（组） 3.2 等量的基本性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．根据等式的性质，下列变形错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．运用等式性质进行的变形，不正确的是（　　）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么或
D．如果，那么
3．下列变形中正确的是（　　）
A．若x＋3＝5－3x，x＋3x＝5＋3 B．若m＝n，则am＝an
C．若a＝b，则a＋c＝b－c D．若x＝y，则
4．已知点P(3+m，2n)与点Q(2m+9，2n+1)，且 轴，则m、n的值(　　)
A．m=-6，n为任何数 B．m=6，n为任何数
C．m=-2，n为任何数 D．m=2，n为任何数
5．下列结论不正确的是（　　）
A．若a+c=b+c，则a=b B．若ac=bc，则a=b
C．若，则a=b D．若ax=b（a≠0），则x=
6． 下列运用等式的基本性质变形错误的是（　　）
A．若a＝b，则a-5＝b-5 B．若a＝b，则 ac＝bc
C．若ac＝bc，则a＝b D．若，则a＝b
7．下列命题中，真命题是（　　）
A．若2x=-1，则x=-2
B．任何一个角都比它的补角小
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角
8．已知等式ax=ay，下列变形不正确的是（　　）
A．x=y B．ax+1=ay+1 C．2ax=2ay D．3﹣ax=3﹣ay
9．若 ，则下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．在下图中填入数，使得任意 3 个连续方框中的数之和为 2023．则最左边方框中填入的数是应该是 （　　）．
999 888
A．118 B．136 C．888 D．999 E．2023
二、填空题
11．已知方程 ，则 　 　.
12．单项式与的差仍是单项式，则　 　.
13．若多项式 可以因式分解成 ，那么a=　 　．
14．如图，△EFG≌△NMH，△EFG的周长为15cm，HN＝5cm，EF＝3cm，FH＝1cm，则HG＝　 　．
15．若等式3a-5=2a+6的两边同时减去一个多项式，可以得到等式a=11，则这个多项式为　 　.
16．已知关于x的方程a（x-3）+b（3x+1）=5（x+1）有无穷多个解，则a+b=　 　．
三、计算题
17．解方程：
（1）
（2）
四、解答题
18．根据等式和不等式的性质，可以得到：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小．
（1）试比较代数式5﹣4m+2与4﹣4m﹣7的值之间的大小关系；
（2）已知A＝5﹣4（m﹣），B＝7（﹣m）+3，请你运用前面介绍的方法比较代数式A与B的大小．
（3）比较3a+2b与2a+3b的大小．
19．下面是小武同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：．
解： 第①步；
第②步；
第③步；
第④步；
第⑤步．
（1）【任务一】填空：
①以上解方程的步骤中，第　 　步是进行去分母，去分母的依据是　 　；
②第　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是　 　．
（2）【任务二】请帮小武改正错误，写出正确的解题过程．
20．定义：若关于x的一元一次方程 mx=n的解为x=n+2m，则称该方程为“和合”方程。例如：一元一次方程2x=-8的解为x=-8+2×2=-4，则方程2x=-8为“和合”方程。
（1）若关于x的一元一次方程3x=a是“和合”方程，求a的值。
（2）若关于x的一元一次方程6x= ab+b是“和合”方程，求 ab+b的值。
21．用等式的基本性质将方程3x﹣9=0转化为x=a的形式．
22．百脑汇商场中路路通商店有甲、乙两种手机内存卡，买2个甲内存卡和1个乙内存卡用了90元，买3个甲内存卡和2个乙内存卡用了160元．
（1）求甲、乙两种内存卡每个各多少元？
（2）如果小亮准备购买甲．乙两种手机内存卡共10个，总费用不超过350元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
（3）某天，路路通售货员不小心把当天上午卖的甲、乙种手机内存卡的销售量统计单丢失了，但老板记得每件甲内存卡每个赚10元，乙内存卡每个赚15元，一上午售出的内存卡共赚了100元，请你帮助老板算算有几种销售方案？并直接写出销售方案．
23．已知不等式的最大整数解是方程的解，求的值．
参考答案及试题解析
1．B
2．C
3．B
【解答】解：A、若x+3=5-3x，则x+3x=5-3，故此选项错误；
B、若m=n，则am=an，故此选项正确；
C、若a=b，则a+c=b+c，故此选项错误；
D、若x=y，则，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据等式的性质（等式两边同时加减一个数结果不变，等式两边同时乘或除（除数不为0）一个数结果不变）即可逐项判断.
4．A
【解答】解：∵ 轴，
∴点P的横坐标与Q的横坐标相等，纵坐标为任意数
∴3+m=2m+9，m=-6
∴m=-6，n为任何数
故答案为：A．
【分析】因为这两点所在的直线平行于y轴，所以点P横坐标与Q的横坐标相等.
5．B
【解答】解：A、a+c=b+c，两边同时减去c，则a=b，故选项正确；
B、当c=0时，a=b不一定成立，故选项错误；
C、，两边同时乘以c，则a=b，故选项正确；
D、若ax=b（a≠0），两边同时除以a得x= ，故选项正确．
故选B．
【分析】根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；
②等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立．即可解决．
6．C
【解答】解：选项A：根据等式的性质1可知，等式的两边都减去5，等式仍然成立，∴选项A正确；
选项B：根据等式的性质2可知，等式的两边都乘以c，等式仍然成立，∴选项B正确；
选项C：根据等式的性质2可知，等式的两边都除以一个不为0的数，等式仍然成立。但本选项中，c不确定，有等于0的可能∴选项C错误；
选项D：根据等式的性质2可知，等式的两边都乘以一个数或一个整式，等式仍然成立，∴选项A正确；
∴答案选：C.
【分析】根据等式的性质1、等式的性质2判断.
7．C
【解答】解：A. 2x=-1，两边同除以2，得x=-，A错误，属于假命题；
B.90°的补角是90°，即90°与它的补角相等，B错误，属于假命题；
C.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，C正确，属于真命题；
D.一个锐角与一个钝角的和不一定等于一个平角，D错误，属于假命题.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质，补角的概念、平行线的判定、角的概念逐一判断即可.
8．A
【解答】解：A、∵ax=ay，∴当a≠0时，x=y，故此选项错误，符合题意；
B、∵ax=ay，∴ax+1=ay+1，故此选项正确，不合题意；
C、∵ax=ay，∴2ax=2ay，故此选项正确，不合题意；
D、∵ax=ay，∴3﹣ax=3﹣ay，故此选项正确，不合题意；
故选：A．
【分析】直接利用等式的基本性质分别判断得出答案．
9．B
【解答】解：∵ ，
∴ ，即 ，A选项错误，不符合题意；
，B选项正确，符合题意；
由 可得 ，与已知不符，C选项错误，不符合题意；
由 可得 ，即 ，与已知不符，D选项错误，不符合题意.
故答案为B.
【分析】根据等式的性质结合已知条件可得8x-6y=4，据此判断A、B；对选项C中的等式移项、合并同类项，观察得到的结果与已知是否相符；对D中的等式两边同时除以2，然后判断与已知条件是否相符.
10．B
【解答】解：如图所示
a b 999 c d e f 888 g
a+b+999=2023，而b+999+c=2023，∴a=c；
999+c+d=999+a+d=2023，∴b=d；
c+d+e=2023，∴e=999；
d+e+f=b+999+f=2023，∴a=f；
e+f+888=999+a+888=2023，∴a=136。
故答案为：B.
【分析】本题先将各空缺位置用未知数表示，然后从左往右进行等式分析，得出空缺部分相等的几个位置，最后列式999+a+888=2023即可求出最左边方框中填入的数的值。
11．2
【解答】解： ，
，
解得： ，
故答案是：2.
【分析】利用移项、系数化为1进行解方程即可.
12．-1
【解答】∵单项式与的差仍是单项式，
∴单项式与是同类项，
∴，
解得：，
∴；
故答案是-1.
【分析】由题意可知两个单项式是同类项，由同类项的定义“同类项是指所含字母相同且相同的字母的指数也相同的项”可得关于x、y的方程，解方程可求解.
13．1
【解答】解： ，
即 ，
，
解得： ．
故答案为：1．
【分析】把 展开后合并，根据对应系数相等即可得出关于a的方程，求出即可．
14．6cm
【解答】∵△EFG≌△NMH，
∴MN＝EF＝3cm，FG＝MH，△HMN的周长＝△EFG的周长＝15cm，
∴FG﹣HG＝MH﹣HG，
即FH＝GM＝1cm，
∵△EFG的周长为15cm，
∴HM＝15﹣5﹣3＝7（cm），
∴HG＝7﹣1＝6（cm），
故答案为：6cm．
【分析】首先根据全等三角形对应边相等可得MN=EF=3cm，FG=MH，△HMN的周长=△EFG的周长=15cm，再根据等式的性质可得FG-HG=MH-HG，即GM=FH，进而可得答案．
15．2a-5
【解答】解：∵ 两边同时减去一个多项式
∴多项式= 3a-5 -a=2a-5
故答案为：2a-5.
【分析】根据等式左边由3a-5 变化为a可得多项式=3a-5 -a，化简可得结果.
16．1
【解答】解：移项，得：a（x 3）＋b（3x＋1） 5（x＋1）＝0，
去括号，得：ax 3a＋3bx＋b 5x 5＝0，
整理关于x的方程，得：（a＋3b 5）x （3a b＋5）＝0，
∵方程有无穷多解，
∴ ，
解得： ．则a＋b＝1．
故答案为：1．
【分析】根据题意移项、去括号、将原方程整理成关于x的方程，最后根据题干所给条件列出方程组得出结果即可．
17．（1）解：
（2）解：
【分析】（1）解一元一次方程，先移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可；
（2）解一元一次方程，先去分母，再去括号，移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可；
18．（1）
（2）
（3）当a＞b时，3a+2b＞2a+3b；当a=b时，3a+2b=2a+3b；当a＜b时，3a+2b＜2a+3b．
19．（1）①；等式的性质；③；移项没变符号
（2）解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得，
原方程的解为．
【解答】（1）解：第① 步去分母，根据等式的性质；第③ 步移项时，+2移项要变号。
【分析】（1）本题考查解分数系数的一元一次方程，依据等式的性质去分母，移项，合并同类项，系数化1，移项要变号；（2）按照解方程步骤，认真计算即可。
20．（1）解：∵3x=a，
∴方程两边同时除以3将未知数项的系数化为1，得x=；
∵关于x的一元一次方程3x=a是“和合”方程，
，
，
解得a=-9；
（2）解：∵关于x的一元一次方程6x= ab+b是“和合”方程，
∴x= ab+b+2×6，
∴6( ab+b+2×6)= ab+b，
∴6( ab+b)+6×2×6= ab+b，
∴5( ab+b)=-72，
解得 ab+b=-14.4.
【分析】（1）首先求出关于未知数x的方程3x=a的解，再根据“和合”方程的定义列出关于字母a的方程，进而根据解一元一次方程的步骤“移项、合并同类项、系数化为1”求解即可；
（2）根据“和合”方程的定义求出关于x的一元一次方程6x= ab+b的解为x= ab+b+2×6，进而根据方程解的定义“使方程的左边等于右边的未知数的值就是方程的解”把x= ab+b+2×6代入6x= ab+b，然后把ab+b看成一个整体，利用解一元一次方程的步骤“移项、合并同类项、系数化为1”求解即可.
21．解：移项得3x=9，
系数化成1得x=3．
【分析】把所解的方程移项，系数化成1即可．
22．（1）解：设甲内存卡每个x元，乙内存卡每个y元，则
，
解得 ．
答：甲内存卡每个20元，乙内存卡每个50元
（2）解：设小亮准备购买A甲内存卡a个，则购买乙内存卡（10﹣a）个，则
，
解得5≤a≤6 ，
根据题意，a的值应为整数，所以a=5或a=6．
方案一：当a=5时，购买费用为20×5+50×（10﹣5）=350元；
方案二：当a=6时，购买费用为20×6+50×（10﹣6）=320元；
∵350＞320
∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低．
答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件，其中方案二费用最低
（3）解：设老板一上午卖了c个甲内存卡，d个乙内存卡，则10c+15d=100．整理，得2c+3d=20．
∵c、d都是正整数，
∴当c=10时，d=0；
当c=7时，d=2；
当c=4时，d=4；当c=1时，d=6．综上所述，共有4种销售方案：方案一：卖了甲内存卡10个，乙内存卡0个；方案二：卖了甲内存卡7个，乙内存卡2个；方案三：卖了甲内存卡4个，乙内存卡4个；方案四：卖了甲内存卡1个，乙内存卡6个．
【分析】(1)根据甲、乙内存卡之间的关系列二元一次方程组，然后解二元一次方程组即可求解。
(2)根据题意列一元一次不等式组，然后解一元一次不等式组求出a的取值范围，最后分类求解。
(3)根据题意列出一元一次方程2c+3d=20，再根据c、d都是正整数分类求解。
23．解：由，可得，
不等式的最大整数解是，
不等式的最大整数解是方程的解，
，
解得，
即的值是
【分析】 先求出不等式的解集，再求出不等式的最大整数解，将这个解代入方程，求出a的值.
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