6.2.2 排列数
第1课时 排列数(强基课梯度进阶式教学)
课时目标
1.理解排列数的意义,能用计数原理推导排列数公式.
2.能应用排列数公式解决简单具体问题的排列数.
1.排列数与排列数公式
排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
符号表示
排列数 公式 乘积式 =
阶乘式 =
备注 n,m∈N*,m≤n
2.全排列
(1)把n个不同的元素 的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.
(2)正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用 表示.于是,n个元素的全排列数公式可以写成=n!.规定:0!= .
微点助解
(1)乘积是m个连续正整数的乘积;
(2)第一个数最大,是A的下标n;
(3)第m个数最小,是n-m+1.
3.排列数的计算与化简技巧
(1)n!=n(n-1)!;
(2)=n;
(3)n·n!=(n+1)!-n!;
(4)=-.
[基点训练]
1.-的值是 ( )
A.480 B.520
C.600 D.1 320
2.若=,则m= ( )
A.6 B.5
C.4 D.3
3.对于满足n≥4的任意正整数n,4×5×…×n= ( )
A. B.
C. D.
4.已知甲、乙、丙、丁四人获得城市荣誉称号,某记者对这四人进行采访,则不同的采访顺序有 ( )
A.4种 B.12种
C.18种 D.24种
题型(一) 排列数的计算
[例1] (1)计算:;
(2)解方程:=140.
听课记录:
[思维建模]
(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行.
(2)=n(n-1)…(n-m+1)是m个连续自然数之积,其中n是最大的数,n-m+1是最小的数,要会根据排列数公式的特征逆用.
[针对训练]
1.若=12,则n= ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
2.计算:= .
题型(二) 排列数公式的应用
[例2] (1)化简+++…+(n≥2且n∈N*);
(2)解不等式:<6.
听课记录:
[思维建模]
排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题.具体应用时要注意阶乘的性质,提取公因式,可以简化计算.
[针对训练]
3.不等式3≤2+6的解集为 ( )
A.{3,4,5} B.{3,4,5,6}
C.{x|3≤x≤5} D.{x|3≤x≤6}
4.求证:(1)-=n2;
(2)-=(k≤n).
题型(三) 排列数的简单应用
[例3] 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任意挂1面、2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号
听课记录:
[思维建模]
对于简单的排列问题可直接代入排列数公式,也可以用树状图法.若情况较多,可以分类后进行计算.
[针对训练]
5.已知有4名司机,4名售票员要分配到4辆汽车上,使每辆汽车上有1名司机和1名售票员,则可能的分配方法有 ( )
A.种 B.种
C.种 D.2种
6.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有 种.(用数字作答)
第1课时 排列数
课前环节
1.不同排列 n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 2.(1)全部取出 (2)n! 1
[基点训练]
1.选C =12×11×10=1 320,=10×9×8=720,故-=1 320-720=600.
2.选D 由=,得m(m-1)=m(m-1)·(m-2),m≥3,解得m=3.
3.选D 易得4×5×…×n=.
4.选D 由题意可得不同的采访顺序有=24种.
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解:(1)
=
=
==.
(2)因为所以x≥3,x∈N*.
由=140得
(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)·(x-2).
化简得4x2-35x+69=0,
解得x1=3,x2=(舍去).
所以原方程的解为x=3.
[针对训练]
1.选C 由排列数公式可得=n(n-1)=12,解得n=4或n=-3.由于n≥2且n∈N*,故n=4.
2.解析:=
==-=-.
答案:-
[题型(二)]
[例2] 解:(1)∵=-,
∴+++…+=+++…+=1-.
(2)原不等式可转化为<6×,化简得x2-19x+84<0,解得7[针对训练]
3.选A 易知x≥3,x∈N.因为=x(x-1)·(x-2),=(x+1)x,=x(x-1),所以原不等式可化为3x(x-1)(x-2)≤2x(x+1)+6x(x-1),所以3≤x≤5,所以原不等式的解集为{3,4,5}.
4.证明:(1)左边=-=n(n+1)·-n=(n2+n-n)=n2=右边,
∴结论成立,即-=n2.
(2)当k≤n时,
左边=-=-=
==右边,
∴结论成立,即-=(k≤n).
[题型(三)]
[例3] 解:分3类:第1类,用1面旗表示的信号有种;第2类,用2面旗表示的信号有种;第3类,用3面旗表示的信号有种,由分类加法计数原理知,所求的信号种数是++=3+3×2+3×2×1=15,即一共可以表示15种不同的信号.
[针对训练]
5.选C 司机、售票员各有种分配方法,由分步乘法计数原理知,共有种不同的分配方法.
6.解析:文娱委员有3种选法,则安排学习委员、体育委员有=12(种)方法,由分步乘法计数原理知,共有3×12=36(种)选法.
答案:36
1 / 3(共53张PPT)
6.2.2
排列数
排列数
(强基课——梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1.理解排列数的意义，能用计数原理推导排列数公式.
2.能应用排列数公式解决简单具体问题的排列数.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·
自主落实主干基础
1.排列数与排列数公式
排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有___________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
符号表示
排列数公式 乘积式 =______________________
阶乘式
=_____________
备注 n，m∈N*，m≤n
不同排列
n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
2.全排列
(1)把n个不同的元素____________的一个排列，叫做n个元素的一个全排列.
(2)正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用____表示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成=n!.规定：0!=____.
全部取出
n!
1
微点助解
(1)乘积是m个连续正整数的乘积；
(2)第一个数最大，是A的下标n；
(3)第m个数最小，是n-m+1.
3.排列数的计算与化简技巧
(1)n!=n(n-1)!；(2)=n；(3)n·n!=(n+1)!-n!；(4)=-.
基点训练
1.-的值是( )
A.480 B.520
C.600 D.1 320
解析：=12×11×10=1 320，=10×9×8=720，故-=1 320-720=600.
√
2.若=，则m=( )
A.6 B.5
C.4 D.3
解析：由=，得m(m-1)=m(m-1)·(m-2)，m≥3，解得m=3.
√
3.对于满足n≥4的任意正整数n，4×5×…×n= ( )
A. B.
C. D.
解析：易得4×5×…×n=.
√
4.已知甲、乙、丙、丁四人获得城市荣誉称号，某记者对这四人进行采访，则不同的采访顺序有 ( )
A.4种 B.12种
C.18种 D.24种
解析：由题意可得不同的采访顺序有=24种.
√
课堂环节/题点研究·
迁移应用融会贯通
题型(一) 排列数的计算
[例1] (1)计算：；
解：
=
===.
(2)解方程：=140.
解：因为
所以x≥3，x∈N*.
由=140得
(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2).
化简得4x2-35x+69=0，
解得x1=3，x2=(舍去).
所以原方程的解为x=3.
[思维建模]
(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行.
(2)=n(n-1)…(n-m+1)是m个连续自然数之积，其中n是最大的数，n-m+1是最小的数，要会根据排列数公式的特征逆用.
针对训练
1.若=12，则n=( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析：由排列数公式可得=n(n-1)=12，解得n=4或n=-3.由于n≥2且n∈N*，故n=4.
√
2.计算：=_______.
解析：===-=-.
-
题型(二) 排列数公式的应用
[例2] (1)化简+++…+(n≥2且n∈N*)；
解：∵=-，
∴+++…+=+++…+=1-.
(2)解不等式：<6.
解：原不等式可转化为<6×，化简得x2-19x+84<0，解得7[思维建模]
排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题.具体应用时要注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算.
针对训练
3.不等式3≤2+6的解集为( )
A.{3，4，5} B.{3，4，5，6}
C.{x|3≤x≤5} D.{x|3≤x≤6}
解析：易知x≥3，x∈N.因为=x(x-1)·(x-2)，=(x+1)x，=x(x-1)，所以原不等式可化为3x(x-1)(x-2)≤2x(x+1)+6x(x-1)，所以3≤x≤5，所以原不等式的解集为{3，4，5}.
√
4.求证：(1)-=n2；
证明：左边=-=n(n+1)-n=(n2+n-n)=n2=右边，
∴结论成立，即-=n2.
(2)-=(k≤n).
证明：当k≤n时，左边=-=-
===右边，
∴结论成立，即-=(k≤n).
题型(三) 排列数的简单应用
[例3] 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号
解：分3类：第1类，用1面旗表示的信号有种；第2类，用2面旗表示的信号有种；第3类，用3面旗表示的信号有种，由分类加法计数原理知，所求的信号种数是++=3+3×2+3×2×1=15，即一共可以表示15种不同的信号.
[思维建模]
对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法.若情况较多，可以分类后进行计算.
针对训练
5.已知有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则可能的分配方法有 ( )
A.种 B.种
C.种 D.2种
解析：司机、售票员各有种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有种不同的分配方法.
√
6.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有
_____种.(用数字作答)
解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有=12(种)方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12=36(种)选法.
36
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
14
15
2
A级——综合提能
1.×3!=( )
A.30 B.60
C.90 D.120
解析：×3!=×3!=5!=5×4×3×2×1=120.
√
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2
3
4
2.已知=132，则n=( )
A.11 B.12
C.13 D.14
解析：因为=132，所以n(n-1)=132，整理得n2-n-132=0，解得n=12或n=-11(不合题意，舍去).
√
1
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13
14
15
3
4
2
3.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数的个数为 ( )
A.120 B.86
C.72 D.60
解析：依题意，组成的无重复数字的三位数的个数为=60.
√
1
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3
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2
4.[多选]下列各式，等于n!的是 ( )
A.m! B.
C. D.n
解析：m!=≠n!，故A错误.==(n+1)!≠n!，故B错误.==n!，故C正确.n=n·(n-1)!=n!，故D正确.
√
√
1
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3
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2
5.某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲、乙必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为 ( )
A.36 B.72 C.144 D.240
解析：分步完成：甲不担任四辩，共有3种选择，又因为乙也不担任四辩，共有2种选择，从剩下4名同学任选2人，且任意排序，共有=12种，所以一共有3×2×12=72种.
√
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5
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2
6.如果=15×14×13×12×11×10，那么n=____，m=____.
解析：15×14×13×12×11×10=，故n=15，m=6.
15
6
7.-6+5=______.
解析：由-6+5=-+==5×4×3×2×1=120.
1
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8.有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘1名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有
_____种不同的招聘方案.(用数字作答)
解析：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题.所以不同的招聘方案共有=5×4×3=60(种).
60
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2
9.求证：(1)+4=；
证明：+4=+===.
(2)+m=.
证明：+m=+===.
1
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3
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2
10.已知一条铁路有8个车站，假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客，记从A车站上车到B车站下车为1种车票(A≠B).
(1)该铁路的客运车票有多少种
解：铁路的客运车票有=8×7=56(种).
1
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3
4
2
(2)为满足客运需要，在该铁路上新增了n个车站，客运车票增加了54种，求n的值.
解：在新增了n个车站后，共有(n+8)个车站，因为客运车票增加了54种，则-56=54，
所以=(n+8)(n+7)=110，解得n=3.
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2
B级——应用创新
11.[多选]下列等式正确的是( )
A.(n+1)= B.=(n-2)!
C.= D.=
√
√
√
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2
解析：对于A，(n+1)=(n+1)·===，故A正确；对于B，==(n-2)!，故B正确；对于C，=m!，=，显然≠，故C错误；对于D，=·
==，故D正确.
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3
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2
12.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从2，3，4，5，6，9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 ( )
A.120个 B.80个
C.40个 D.20个
√
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2
解析：由题意知，可按十位数字的取值进行分类：第一类，十位数字取9，有个；第二类，十位数字取6，有个；第三类，十位数字取5，有个；第四类，十位数字取4，有个.所以“伞数”的个数为+++=40.
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13.(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 ( )
A. B.
C. D.
√
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2
解析：法一 画出树状图：
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3
4
2
甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为=，故选B.
法二 甲、乙、丙、丁四人排成一列共有=24(种)排法.丙不在排头，甲或乙在排尾，则丙在中间两个位置中选一个，有2种选法，甲或乙两人中选一个在排尾也有2种选法，余下2人全排列，有=2(种)排法，故共有2×2×2=8(种)排法，所以所求概率为=.
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3
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2
14.由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数.
(1)若x=9，则其中能被3整除的共有_____个；
解析：因为当各数位上的数字之和能被3整除时，该数就能被3整除，
所以这种三位数只能由2，4，9或1，2，9排列组成，
所以共有2×=12(个).
12
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3
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2
(2)若所有这些三位数的各位数字之和是252，则x=____.
解析：显然x≠0，因为1，2，4，x在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现·次，
所以这样的数字之和是(1+2+4+x)··，
即(1+2+4+x)··=252，
所以7+x=14，解得x=7.
7
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5
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14
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3
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2
15.一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m>1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站 现在有多少个车站
解：由题意可知，原有车票的种数是种，
现有车票的种数是种，
所以-=62，
则(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62，
1
5
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9
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11
12
13
14
15
3
4
2
所以m(2n+m-1)=62=2×31，
因为m<2n+m-1，且n≥2，m，n∈N*，
所以解得m=2，n=15，
故原有15个车站，现有17个车站.课时跟踪检测(四) 排列数
A级——综合提能
1.×3!= ( )
A.30 B.60
C.90 D.120
2.已知=132,则n= ( )
A.11 B.12
C.13 D.14
3.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的三位数的个数为 ( )
A.120 B.86
C.72 D.60
4.[多选]下列各式,等于n!的是 ( )
A.m! B.
C. D.n
5.某校组队参加辩论赛,从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩,若其中学生甲、乙必须参加且不担任四辩,则不同的安排方法种数为 ( )
A.36 B.72
C.144 D.240
6.如果=15×14×13×12×11×10,那么n= ,m= .
7.-6+5= .
8.有3名大学毕业生,到5家招聘员工的公司应聘,若每家公司至多招聘1名新员工,且3名大学毕业生全部被聘用,若不允许兼职,则共有 种不同的招聘方案.(用数字作答)
9.求证:(1)+4=;
(2)+m=.
10.已知一条铁路有8个车站,假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客,记从A车站上车到B车站下车为1种车票(A≠B).
(1)该铁路的客运车票有多少种
(2)为满足客运需要,在该铁路上新增了n个车站,客运车票增加了54种,求n的值.
B级——应用创新
11.[多选]下列等式正确的是 ( )
A.(n+1)= B.=(n-2)!
C.= D.=
12.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 ( )
A.120个 B.80个
C.40个 D.20个
13.(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是 ( )
A. B.
C. D.
14.由四个不同的数字1,2,4,x组成无重复数字的三位数.
(1)若x=9,则其中能被3整除的共有 个;
(2)若所有这些三位数的各位数字之和是252,则x= .
15.一条铁路有n个车站,为适应客运需要,新增了m个车站,且知m>1,客运车票增加了62种,问原有多少个车站 现在有多少个车站
课时跟踪检测(四)
1.选D ×3!=×3!=5!=5×4×3×2×1=120.
2.选B 因为=132,所以n(n-1)=132,整理得n2-n-132=0,解得n=12或n=-11(不合题意,舍去).
3.选D 依题意,组成的无重复数字的三位数的个数为=60.
4.选CD m!=≠n!,故A错误.==(n+1)!≠n!,故B错误.==n!,故C正确.n=n·(n-1)!=n!,故D正确.
5.选B 分步完成:甲不担任四辩,共有3种选择,又因为乙也不担任四辩,共有2种选择,从剩下4名同学任选2人,且任意排序,共有=12种,所以一共有3×2×12=72种.
6.解析:15×14×13×12×11×10=,故n=15,m=6.
答案:15 6
7.解析:由-6+5=-+==5×4×3×2×1=120.
答案:120
8.解析:将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置,从中任选3个位置给3名大学毕业生,即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题.所以不同的招聘方案共有=5×4×3=60(种).
答案:60
9.证明:(1)+4=+===.
(2)+m=+===.
10.解:(1)铁路的客运车票有=8×7=56(种).
(2)在新增了n个车站后,共有(n+8)个车站,因为客运车票增加了54种,则-56=54,
所以=(n+8)(n+7)=110,解得n=3.
11.选ABD 对于A,(n+1)=(n+1)·===,故A正确;对于B,==(n-2)!,故B正确;对于C,=m!,=,显然≠,故C错误;对于D,=·==,故D正确.
12.选C 由题意知,可按十位数字的取值进行分类:第一类,十位数字取9,有个;第二类,十位数字取6,有个;第三类,十位数字取5,有个;第四类,十位数字取4,有个.所以“伞数”的个数为+++=40.
13.选B 法一 画出树状图:
甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法,其中丙不在排头,且甲或乙在排尾的排法共有8种,所以所求概率为=,故选B.
法二 甲、乙、丙、丁四人排成一列共有=24(种)排法.丙不在排头,甲或乙在排尾,则丙在中间两个位置中选一个,有2种选法,甲或乙两人中选一个在排尾也有2种选法,余下2人全排列,有=2(种)排法,故共有2×2×2=8(种)排法,所以所求概率为=.
14.解析:(1)因为当各数位上的数字之和能被3整除时,该数就能被3整除,
所以这种三位数只能由2,4,9或1,2,9排列组成,
所以共有2×=12(个).
(2)显然x≠0,因为1,2,4,x在各个数位上出现的次数都相同,且各自出现·次,
所以这样的数字之和是(1+2+4+x)··,
即(1+2+4+x)··=252,
所以7+x=14,解得x=7.
答案:(1)12 (2)7
15.解:由题意可知,原有车票的种数是种,
现有车票的种数是种,
所以-=62,
则(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62,
所以m(2n+m-1)=62=2×31,
因为m<2n+m-1,且n≥2,m,n∈N*,
所以
解得m=2,n=15,
故原有15个车站,现有17个车站.
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