6.3.1 二项式定理(强基课梯度进阶式教学)
课时目标
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理
二项式 定理 (a+b)n= (n∈N*)
二项展开式 右边的多项式
二项式系数 各项的系数
二项展开 式的通项 Tk+1=
微点助解
(1)二项展开式共有n+1项,各项中a,b的指数和都是n.
(2)a按降幂排列,指数由n逐项减1直到0;b按升幂排列,指数由0逐项加1直到n.
(3)对于任意的a,b,该等式都成立.
2.二项式系数和项的系数的区别
(1)二项展开式中的二项式系数是指,,…,这些组合数,与a,b无关.
(2)展开式中项的系数则是展开式中关于某一个(或两个)字母的系数,与a,b有关,项的系数未必是正数.
3.二项式定理的三种常见变形
①(a-b)n=anb0+(-1)1an-1b1+an-2b2+…+(-1)ran-rbr+…+(-1)na0bn.
②(1+x)n=+x+x2+…+xr+…+xn.
③(1-x)n=+(-1)1x+x2+…+(-1)rxr+…+(-1)nxn.
[基点训练]
1.若(2x-3)n+3的展开式中共有15项,则自然数n的值为 ( )
A.11 B.12
C.13 D.14
2.展开式中的常数项为 ( )
A.80 B.-80
C.40 D.-40
3.(1+2x)5的展开式的第三项的系数为 ,第三项的二项式系数为 .
题型(一) 二项式定理的正用、逆用
[例1] (1)求的展开式.
(2)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).
听课记录:
[思维建模]
运用二项式定理的解题策略
(1)正用:求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式的特点:前一个字母是降幂,后一个字母是升幂.形如(a-b)n的展开式中会出现正负交替的情况.对较繁杂的式子,需先化简再用二项式定理展开.
(2)逆用:逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
[注意] 逆用二项式定理时如果各项的系数是正负相间的,则结果是(a-b)n的形式.
[针对训练]
1.若(1+)4=a+b(a,b均为有理数),则a+b= ( )
A.33 B.29
C.23 D.19
2.已知0
(1)写出[p+(1-p)]n的展开式;
(2)化简:p3+p2(1-p)+p(1-p)2+(1-p)3.
题型(二) 二项式系数和项的系数
[例2] (1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数;
(2)求的展开式中x3的系数.
听课记录:
[思维建模]
正确区分二项式系数与项的系数
二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二项式的指数及项数有关,与二项式无关,后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.
[针对训练]
3.(2024·北京高考)在(x-)4的展开式中,x3的系数为 ( )
A.6 B.-6
C.12 D.-12
4.已知的展开式中,第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3.
(1)求n的值;
(2)求展开式中含项的系数.
题型(三) 二项展开式的特定项
[例3] 已知展开式中第三项的系数比第二项的系数大162,求:
(1)n的值;
(2)展开式中含x3的项.
听课记录:
[变式拓展]
1.在本例条件下,求二项展开式中的常数项.
2.在本例条件下,求二项展开式中的所有有理项.
[思维建模] 求二项展开式中特定项的步骤
[针对训练]
5.若的展开式的常数项为60,则实数a的值为 ( )
A.4 B.2
C.8 D.6
6.在的展开式中,系数为有理数的项是 ( )
A.第3项 B.第4项
C.第5项 D.第6项
6.3.1 二项式定理
课前环节
1.an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn (k=0,1,2,…,n) an-kbk
[基点训练]
1.选A 因为(2x-3)n+3的展开式中共n+4项,所以n+4=15,即n=11.
2.C
3.40 10
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解:(1)=(3)4+(3)3+(3)2+(3)+
=81x2+108x+54++.
(2)因为[(x-1)+1]5=(x-1)5+(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+1=(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)+1,所以(x-1)5+5(x-1)4+…+5(x-1)=x5-1.
[针对训练]
1.选B ∵(1+)4=×()0+×()1+×()2+×()3+×()4=17+12=a+b,∴a=17,b=12,∴a+b=29,故选B.
2.解:(1)由0(2)二项式定理逆向使用,将展开式进行合并,原式=[p+(1-p)]3=(p+1-p)3=13=1.
[题型(二)]
[例2] 解:(1)由已知得展开式通项为Tk+1=(2)6-k·=26-k·(-1)k·,∴T6=26-5·(-1)5·=-12.∴第6项的二项式系数为=6,第6项的系数为-12.
(2)设展开式中的第(k+1)项为含x3的项,则Tk+1=x9-k·=(-1)k··,
令9-2k=3,得k=3,即展开式中第4项含x3,其系数为(-1)3·=-84.
[针对训练]
3.选A (x-)4的展开式的通项Tr+1=x4-r(-)r=(-1)r(r=0,1,2,3,4).由4-=3,得r=2,所以(x-)4的展开式中x3的系数为(-1)2=6.
4.解:(1)因为二项式的展开式中第2项、第3项的二项式系数分别为,,所以=,即=,解得n=7.
(2)因为展开式的通项为Tk+1=(3)7-k·=37-k,当=-1时,k=3,所以展开式中含项的系数为34=2 835.
[题型(三)]
[例3] 解:(1)因为T3=()n-2·=4,
T2=()n-1=-2,
依题意得4+2=162,所以n2=81.
因为n∈N*,所以n=9.
(2)设第r+1项含x3,则Tr+1=()9-r·=(-2)r,
所以=3,解得r=1,所以第二项为含x3的项,T2=-2x3=-18x3.
[变式拓展]
1.解:因为Tr+1=(-2)r,若Tr+1为常数项,则9-3r=0,所以r=3,因此常数项为第4项,即(-2)3=-672.
2.解:因为Tr+1=(-2)r,若Tr+1为有理项,当且仅当为整数.因为0≤r≤9,r∈N,所以r=1,3,5,7,9,即展开式中的有理项共5项,它们分别是T2=-18x3,T4=-672,T6=-,T8=-,T10=-.
[针对训练]
5.选A x-6的展开式的通项为Tr+1=x6-r-r=(-1)r·x6-3r.令6-3r=0,解得r=2,则常数项为(-1)2a=60,解得a=4.
6.选C 在的展开式中,根据通项Tk+1=(x2)7-k可知,k=4时系数为有理数,即第5项的系数为有理数.
3 / 3(共54张PPT)
6.3.1
二项式定理
(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·
自主落实主干基础
1.二项式定理
二项式定理 (a+b)n=(n∈N*)
二项展开式 右边的多项式
二项式系数 各项的系数________________________
二项展开 式的通项 Tk+1=__________
an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn
(k=0，1，2，…，n)
an-kbk
微点助解
(1)二项展开式共有n+1项，各项中a，b的指数和都是n.
(2)a按降幂排列，指数由n逐项减1直到0；b按升幂排列，指数由0逐项加1直到n.
(3)对于任意的a，b，该等式都成立.
2.二项式系数和项的系数的区别
(1)二项展开式中的二项式系数是指，…，这些组合数，与a，b无关.
(2)展开式中项的系数则是展开式中关于某一个(或两个)字母的系数，与a，b有关，项的系数未必是正数.
3.二项式定理的三种常见变形
①(a-b)n=anb0+(-1)1an-1b1+an-2b2+…+(-1)ran-rbr+…+(-1)na0bn.
②(1+x)n=+x+x2+…+xr+…+xn.
③(1-x)n=+(-1)1x+x2+…+(-1)rxr+…+(-1)nxn.
基点训练
1.若(2x-3)n+3的展开式中共有15项，则自然数n的值为( )
A.11 B.12
C.13 D.14
解析：因为(2x-3)n+3的展开式中共n+4项，所以n+4=15，即n=11.
√
2.展开式中的常数项为( )
A.80 B.-80
C.40 D.-40
√
3.(1+2x)5的展开式的第三项的系数为_____，第三项的二项式系数为_____.
40
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课堂环节/题点研究·
迁移应用融会贯通
题型(一) 二项式定理的正用、逆用
[例1] (1)求的展开式.
解：=(3)4+(3)3+(3)2+
(3)+
=81x2+108x+54++.
(2)化简：(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).
解：因为[(x-1)+1]5=(x-1)5+(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+1=(x-1)5
+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)+1，所以(x-1)5+5(x-1)4+…+5(x-1)=x5-1.
[思维建模] 运用二项式定理的解题策略
(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a-b)n的展开式中会出现正负交替的情况.对较繁杂的式子，需先化简再用二项式定理展开.
(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
[注意] 逆用二项式定理时如果各项的系数是正负相间的，则结果是(a-b)n的形式.
针对训练
1.若(1+)4=a+b(a，b均为有理数)，则a+b=( )
A.33 B.29
C.23 D.19
解析：∵(1+)4=×()0+×()1+×()2+×()3+×
()4=17+12=a+b，∴a=17，b=12，∴a+b=29，故选B.
√
2.已知0(1)写出[p+(1-p)]n的展开式；
解：由0+…+p(1-p)n-1+(1-p)n.
(2)化简：p3+p2(1-p)+p(1-p)2+(1-p)3.
解：二项式定理逆向使用，将展开式进行合并，
原式=[p+(1-p)]3=(p+1-p)3=13=1.
题型(二) 二项式系数和项的系数
[例2] (1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
解：由已知得展开式通项为Tk+1=(2)6-k·=26-k·(-1)k·，
∴T6=26-5·(-1)5·=-12.
∴第6项的二项式系数为=6，
第6项的系数为-12.
(2)求的展开式中x3的系数.
解：设展开式中的第(k+1)项为含x3的项，
则Tk+1=x9-k·=(-1)k··，
令9-2k=3，得k=3，
即展开式中第4项含x3，
其系数为(-1)3·=-84.
[思维建模]
正确区分二项式系数与项的系数
二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.
针对训练
3.(2024·北京高考)在(x-)4的展开式中，x3的系数为( )
A.6 B.-6
C.12 D.-12
解析：(x-)4的展开式的通项Tr+1=x4-r(-)r=(-1)r(r=0，1，2，3，4).由4-=3，得r=2，所以(x-)4的展开式中x3的系数为(-1)2=6.
√
4.已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3.
(1)求n的值；
解：因为二项式的展开式中第2项、第3项的二项式系数分别为，
所以=，即=，解得n=7.
(2)求展开式中含项的系数.
解：因为展开式的通项为Tk+1=(3)7-k·=37-k，当=-1时，k=3，
所以展开式中含项的系数为34=2 835.
题型(三) 二项展开式的特定项
[例3] 已知展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求：
(1)n的值；
解：因为T3=()n-2=4，
T2=()n-1=-2，
依题意得4+2=162，所以n2=81.
因为n∈N*，所以n=9.
(2)展开式中含x3的项.
解：设第r+1项含x3，则Tr+1=()9-r=(-2)r，
所以=3，解得r=1，所以第二项为含x3的项，T2=-2x3=-18x3.
变式拓展
1.在本例条件下，求二项展开式中的常数项.
解：因为Tr+1=(-2)r，若Tr+1为常数项，则9-3r=0，所以r=3，因此常数项为第4项，即(-2)3=-672.
2.在本例条件下，求二项展开式中的所有有理项.
解：因为Tr+1=(-2)r，若Tr+1为有理项，当且仅当为整数.因为0≤r≤9，r∈N，所以r=1，3，5，7，9，即展开式中的有理项共5项，它们分别是T2=-18x3，T4=-672，T6=-，T8=-，T10=-.
[思维建模]
求二项展开式中特定项的步骤
针对训练
5.若的展开式的常数项为60，则实数a的值为( )
A.4 B.2 C.8 D.6
解析：的展开式的通项为Tr+1=x6-r=(-1)rx6-3r.令6-3r=0，解得r=2，则常数项为(-1)2a=60，解得a=4.
√
6.在的展开式中，系数为有理数的项是( )
A.第3项 B.第4项
C.第5项 D.第6项
解析：在的展开式中，根据通项Tk+1=(x2)7-k可知，k=4时系数为有理数，即第5项的系数为有理数.
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课时跟踪检测
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A级——综合提能
1.(x-1)12的展开式的第8项的系数是( )
A.- B.
C.- D.
解析：由题意得Tk+1=x12-k(-1)k(k=0，1，2，…，12)，令k=7，得T8=x5(-1)7=-x5，所以(x-1)12的展开式的第8项的系数是-.故选C.
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2.在的二项展开式中，x的系数为( )
A.10 B.-10
C.40 D.-40
解析：Tr+1=(2x2)5-r=(-1)r·25-rx10-3r，令10-3r=1，得r=3.所以x的系数为(-1)325-3=-40.
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3.在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有( )
A.3项 B.4项
C.5项 D.6项
解析：Tk+1=··=·，则k=0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数是整数的项共有5项.
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4.在的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
解析：Tk+1=(3x2)n-k=3n-k·x2n-5k，令2n-5k=0，∴n=k.∴正整数n的最小值为5.
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5.[多选]二项式(x+)n(n∈N*)的展开式中至少有2项的系数为有理数，则n的可能取值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
解析：的展开式的通项为Tk+1=·(x)n-k()k=
()n-kxn-k.结合选项，若n=6或8，则当k=0和6时，项的系数均为有理数，满足题意；若n=7，则只有当k=3时，项的系数为有理数，不满足题意；若n=9，则当k=3和9时，项的系数均为有理数，满足题意.故选ACD.
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6.+2+22+…+2n=_____.
解析：原式=20+21+22+…+2n=(1+2)n=3n.
3n
7.(2024·天津高考)在的展开式中，常数项为_____.
解析：展开式的通项Tk+1==·36-2k·x6k-18.令6k-18=0，则k=3，所以常数项为T4=·30·x0=20.
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8.已知(a-bx)5(a，b均为常数)的展开式中第4项的系数与含x4项的系数分别为-80与80，则a+b=____.
解析：由题意，知第4项的系数为a2(-b)3，含x4项的系数为a(-b)4，所以
即解得所以a+b=3.
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9.设(x-)n的展开式中第二项与第四项的系数之比为1∶2，求含x2的项.
解：(x-)n的展开式中第二项与第四项分别为T2=·xn-1·(-)=-nxn-1，T4=·xn-3·(-)3=-2xn-3.
根据题意得到=，
整理得n2-3n-4=0，
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解得n=4或n=-1(舍去).
设(x-)4的展开式中含x2的项为第(r+1)项，
则Tr+1=·x4-r·(-)r(r=0，1，2，3，4)，
根据题意有4-r=2，解得r=2，
所以(x-)4的展开式中含x2的项为T3=·x2·(-)2=12x2.
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10.在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.
(1)求展开式的第四项；
解：展开式的通项为Tr+1=，r=0，1，2，…，n，由已知成等差数列，∴2×=1+，
∴n=8，Tr+1=.
令r=3，T4==-7.
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(2)求展开式的常数项.
解：展开式的通项为Tr+1=，r=0，1，2，…，n，由已知成等差数列，∴2×=1+，
∴n=8，Tr+1=.
令8-2r=0，得r=4，∴T5=.
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B级——应用创新
11.已知(其中a>0)的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有( )
A.6项 B.5项
C.4项 D.3项
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解析：展开式的第7项为T7=(x2)n-6·=(-a)6x2n-14，由题意，得2n-14=0，(-a)6=7(a>0)，所以n=7，a=1，则展开式的通项为Tk+1=(-1)kx14-2k=(-1)k，k=0，1，2，…，7，令
∈Z，则k=0，3，6，所以展开式中的有理项共有3项.
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12.在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )
A. B.
C. D.
√
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解析：在二项式展开式中，二项式系数的和为2n=64=26，所以n=6.则即，通项为Tr+1=··，r=0，1，2，…，6，故展开式共有7项，当r=0，4时，展开式为有理项，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，即把其他的5个无理项先任意排，再把这两个有理项插入其中的6个空中，方法共有种，故有理项都互不相邻的概率为P==.
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13.[多选]已知二项式(x>0且x≠1，n∈N*，n≥2)的展开式中第n-1项为15，则下列结论正确的是( )
A.n=6 B.m=2
C.+=10 D.=4
√
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解析：由二项式定理得Tn-1=(xm)2=·x2m-n+2=15，
所以 故A、B正确.因为+=
==15，所以C错误.因为==15，==30，所以=2，故D错误.
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14.“算两次”是一种重要的数学方法，也称作富比尼(G.Fubini)原理.“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”(波利亚著《数学的发现》第一卷)，即将一个量“算两次”.由等式(1+x)2n=(1+x)n(x+1)n，n∈N*，n≥2，利用“算两次”原理可得()2
+()2+()2+…+()2+()2=_______.(结果用组合数表示)
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解析：因为(1+x)n(x+1)n=(+x+x2+…+xn)(xn+xn-1+xn-2
+…+)，因此()2+()2+()2+…+()2+()2是展开式中xn项的系数，而(1+x)2n的展开式中xn项的系数为，所以()2+()2+()2
+…+()2+()2=.
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15.已知f(x)=(1+x)m，g(x)=(1+2x)n(m，n∈N*).
(1)若m=3，n=4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项；
解：当m=3，n=4时，f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4.(1+x)3的展开式的通项为xr，(1+2x)4的展开式的通项为(2x)k，f(x)g(x)的展开式中含x2的项为1×(2x)2+x×(2x)+x2×1=51x2.
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(2)令h(x)=f(x)+g(x)，若h(x)的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值
解：h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n.因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12，所以+2=12，即m+2n=12，所以m=12-2n.x2的系数为+4=+4=(12-2n)(11-2n)+2n(n-1)=4n2-25n+66=4
+，n∈N*，所以当n=3，m=6时，含x2的项的系数取得最小值.课时跟踪检测(八) 二项式定理
A级——综合提能
1.(x-1)12的展开式的第8项的系数是 ( )
A.- B.
C.- D.
2.在的二项展开式中,x的系数为 ( )
A.10 B.-10
C.40 D.-40
3.在的展开式中,x的幂指数是整数的项共有 ( )
A.3项 B.4项
C.5项 D.6项
4.在的展开式中含有常数项,则正整数n的最小值为 ( )
A.4 B.5
C.6 D.7
5.[多选]二项式(x+)n(n∈N*)的展开式中至少有2项的系数为有理数,则n的可能取值为 ( )
A.6 B.7
C.8 D.9
6.+2+22+…+2n= .
7.(2024·天津高考)在的展开式中,常数项为 .
8.已知(a-bx)5(a,b均为常数)的展开式中第4项的系数与含x4项的系数分别为-80与80,则a+b= .
9.设(x-)n的展开式中第二项与第四项的系数之比为1∶2,求含x2的项.
10.在二项式的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.
(1)求展开式的第四项;
(2)求展开式的常数项.
B级——应用创新
11.已知(其中a>0)的展开式中的第7项为7,则展开式中的有理项共有 ( )
A.6项 B.5项
C.4项 D.3项
12.在二项式的展开式中,二项式系数的和为64,把展开式中所有的项重新排成一列,有理项都互不相邻的概率为 ( )
A. B.
C. D.
13.[多选]已知二项式(x>0且x≠1,n∈N*,n≥2)的展开式中第n-1项为15,则下列结论正确的是 ( )
A.n=6
B.m=2
C.+=10
D.=4
14.“算两次”是一种重要的数学方法,也称作富比尼(G.Fubini)原理.“为了得到一个方程,我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”(波利亚著《数学的发现》第一卷),即将一个量“算两次”.由等式(1+x)2n=(1+x)n(x+1)n,n∈N*,n≥2,利用“算两次”原理可得()2+()2+()2+…+()2+()2= .(结果用组合数表示)
15.已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,n∈N*).
(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展开式中含x2的项;
(2)令h(x)=f(x)+g(x),若h(x)的展开式中含x的项的系数为12,那么当m,n为何值时,含x2的项的系数取得最小值
课时跟踪检测(八)
1.选C 由题意得Tk+1=x12-k(-1)k(k=0,1,2,…,12),令k=7,得T8=x5(-1)7=-x5,所以(x-1)12的展开式的第8项的系数是-.故选C.
2.选D Tr+1=(2x2)5-r=(-1)r·25-rx10-3r,令10-3r=1,得r=3.所以x的系数为(-1)325-3=-40.
3.选C Tk+1=··=·,则k=0,6,12,18,24时,x的幂指数为整数,所以x的幂指数是整数的项共有5项.
4.选B Tk+1=(3x2)n-k=3n-k·x2n-5k,令2n-5k=0,∴n=k.∴正整数n的最小值为5.
5.选ACD 的展开式的通项为Tk+1=·(x)n-k()k=·()n-kxn-k.结合选项,若n=6或8,则当k=0和6时,项的系数均为有理数,满足题意;若n=7,则只有当k=3时,项的系数为有理数,不满足题意;若n=9,则当k=3和9时,项的系数均为有理数,满足题意.故选ACD.
6.解析:原式=20+21+22+…+2n=(1+2)n=3n.
答案:3n
7.解析:展开式的通项Tk+1=6-k·k=·36-2k·x6k-18.令6k-18=0,则k=3,所以常数项为T4=·30·x0=20.
答案:20
8.解析:由题意,知第4项的系数为a2·(-b)3,含x4项的系数为a(-b)4,所以
即解得所以a+b=3.
答案:3
9.解:(x-)n的展开式中第二项与第四项分别为T2=·xn-1·(-)=-nxn-1,T4=·xn-3·(-)3=-2xn-3.根据题意得到=,整理得n2-3n-4=0,解得n=4或n=-1(舍去).设(x-)4的展开式中含x2的项为第(r+1)项,则Tr+1=·x4-r·(-)r(r=0,1,2,3,4),根据题意有4-r=2,解得r=2,所以(x-)4的展开式中含x2的项为T3=·x2·(-)2=12x2.
10.解:展开式的通项为Tr+1=,r=0,1,2,…,n,由已知,,成等差数列,∴2×=1+,∴n=8,Tr+1=.
(1)令r=3,T4==-7.
(2)令8-2r=0,得r=4,∴T5=.
11.选D 展开式的第7项为T7=(x2)n-6=(-a)6x2n-14,由题意,得2n-14=0,(-a)6=7(a>0),所以n=7,a=1,则展开式的通项为Tk+1=(-1)kx14-2k=(-1)k,k=0,1,2,…,7,令∈Z,则k=0,3,6,所以展开式中的有理项共有3项.
12.选A 在二项式展开式中,二项式系数的和为2n=64=26,所以n=6.则即,通项为Tr+1=··,r=0,1,2,…,6,故展开式共有7项,当r=0,4时,展开式为有理项,把展开式中所有的项重新排成一列,有理项都互不相邻,即把其他的5个无理项先任意排,再把这两个有理项插入其中的6个空中,方法共有种,故有理项都互不相邻的概率为P==.
13.选AB 由二项式定理得Tn-1=(xm)2=·x2m-n+2=15,
所以 故A、B正确.因为+===15,所以C错误.因为==15,==30,所以=2,故D错误.
14.解析:因为(1+x)n(x+1)n=(+x+x2+…+xn)(xn+xn-1+xn-2+…+),因此()2+()2+()2+…+()2+()2是展开式中xn项的系数,而(1+x)2n的展开式中xn项的系数为,所以()2+()2+()2+…+()2+()2=.
答案:
15.解:(1)当m=3,n=4时,f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4.(1+x)3的展开式的通项为xr,(1+2x)4的展开式的通项为(2x)k,f(x)g(x)的展开式中含x2的项为1×(2x)2+x×(2x)+x2×1=51x2.
(2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n.因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12,
所以+2=12,即m+2n=12,
所以m=12-2n.x2的系数为+4=+4=(12-2n)(11-2n)+2n(n-1)=4n2-25n+66=4+,n∈N*,所以当n=3,m=6时,含x2的项的系数取得最小值.
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