7.1.2 全概率公式(强基课梯度进阶式教学)
课时目标
1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式.
2.理解全概率公式,并会利用全概率公式计算概率.
3.了解贝叶斯公式,并会简单应用.
1.全概率公式
(1)定义:一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,有 .
(2)全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式:
P(B)=P(A1B)+P(A2B)+…+P(AnB)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An).
2.贝叶斯公式*
设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,P(B)>0,有P(Ai|B)==,i=1,2,…,n.
微点助解
条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系
条件概率P(B|A)=乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)
全概率公式
P(B)=P(Ai)P(B|Ai)
贝叶斯公式
P(Ai|B)= ，i=1，2，…，n
[基点训练]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)全概率公式为概率论中的重要公式,它将对一个复杂事件A的概率求解问题,转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. ( )
(2)所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能,在这多种可能中,均有所研究的事件发生,这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式. ( )
(3)全概率公式用于求复杂事件的概率,是求最后结果的概率. ( )
(4)全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为Ai=Ω. ( )
(5)若P(A)>0,P()>0,则P(B)=P(A)·P(B|A)+P()P(B|). ( )
2.已知某手机专卖店只售卖甲、乙两种品牌的智能手机,其占有率和优质率的信息如表所示.
品牌 甲 乙
占有率 60% 40%
优质率 95% 90%
从该专卖店中随机购买一部智能手机,则买到的是优质品的概率是 ( )
A.93% B.94%
C.95% D.96%
3.一电器商店出售两家工厂生产的平板电脑,甲厂的平板电脑占70%,乙厂的平板电脑占30%.甲厂平板电脑的合格率为95%,乙厂平板电脑的合格率为80%,则该商店所售平板电脑的合格率为 .
题型(一) 全概率公式
[例1] 长假期间,某人从甲地到乙地驾车出行.已知共有3条路可选,第一条路堵车的概率为,第二条路堵车的概率为,第三条路堵车的概率为.求从甲地到乙地堵车的概率.
听课记录:
[思维建模]
两个事件的全概率问题求解策略
(1)拆分:将样本空间拆分成互斥的两部分,如A1,A2(或A与).
(2)计算:利用乘法公式计算每一部分的概率.
(3)求和:所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).
[针对训练]
1.已知A,B为两个随机事件,0
A. B.
C. D.
2.某批麦种中,一等麦种占80%,二等麦种占20%,等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6,0.2,则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为 ( )
A.0.48 B.0.52
C.0.56 D.0.65
题型(二) 全概率公式的实际应用
[例2] 为了考查学生对高中数学知识的掌握程度,准备了甲、乙两个不透明纸箱.其中,甲箱中有2道概念叙述题,2道计算题;乙箱中有2道概念叙述题,3道计算题(所有题目均不相同).现有A,B两个同学来抽题回答,每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答.每个同学先抽取1道题作答,答完题目后不放回,再抽取一道题作答(不在题目上作答).两道题答题结束后,再将这两道题目放回原纸箱.
(1)如果A同学从甲箱中抽取两道题,求第二题抽到的是概念叙述题的概率;
(2)如果A同学从甲箱中抽取两道题,解答完后,误把题目放到了乙箱中.B同学接着抽取题目回答,若他从乙箱中抽取两道题目,求第一个题目抽取概念叙述题的概率.
听课记录:
[思维建模]
当直接求事件A发生的概率不易求出时,可以采用化整为零的方式,即把事件A分解,然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率.
[针对训练]
3.设甲袋中有4个白球和4个红球,乙袋中有1个白球和2个红球(每个球除颜色以外均相同).
(1)从甲袋中取4个球,求这4个球中恰好有3个红球的概率;
(2)先从乙袋中取2个球放入甲袋,再从甲袋中取2个球,求从甲袋中取出的是2个红球的概率.
题型(三) 贝叶斯公式*
[例3] 玻璃杯整箱出售,共3箱,每箱20只.假设各箱含有0,1,2只残次品的概率对应为0.8,0.1和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客随机查看4只玻璃杯,若无残次品,则买下该箱玻璃杯;否则不买.设事件A表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”,事件Bi表示“箱中恰好有i(i=0,1,2)只残次品”,求:
(1)顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率P(A);
(2)在顾客买下的一箱中,没有残次品的概率P(B0|A).
听课记录:
[思维建模]
若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验具体结果怎样未知,那么:(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率,则用全概率公式;(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,要熟记这个特征.
[针对训练]
4.某一地区患有癌症的人占0.005,患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95,正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04.现抽查了一个人,试验反应是阳性,则此人是癌症患者的概率有多大
7.1.2 全概率公式
课前环节
1.(1)P(B)=P(Ai)P(B|Ai)
[基点训练]
1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√
2.选A 买到的是优质品的概率是0.6×0.95+0.4×0.9=0.93=93%.
3.解析:设事件A=“合格平板电脑”,事件B=“甲厂平板电脑”,事件C=“乙厂平板电脑”,则P(B)=70%=0.7,P(A|B)=95%=0.95,P(C)=30%=0.3,P(A|C)=80%=0.8,P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)=0.7×0.95+0.3×0.8=0.905.故该商店所售平板电脑的合格率为90.5%.
答案:90.5%
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解:设事件Bi(i=1,2,3)表示“走第i条路”,事件A表示“堵车”.
则P(B1)=P(B2)=P(B3)=,P(A|B1)=,P(A|B2)=,P(A|B3)=,
所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)·P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×+×+×=.
所以从甲地到乙地堵车的概率为.
[针对训练]
1.选D 由题意可得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.7P(A)+0.3P()=0.7P(A)+0.3[1-P(A)],即0.4=0.4P(A)+0.3,解得P(A)=.
2.选B 设“种植一等麦种和二等麦种”的事件分别为A1,A2,“所结麦穗含有50粒以上麦粒”为事件B,依题意,得P(A1)=0.8,P(A2)=0.2,P(B|A1)=0.6,P(B|A2)=0.2,由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.8×0.6+0.2×0.2=0.52.故选B.
[题型(二)]
[例2] 解:(1)设Ai表示“第i次从甲箱中抽到概念叙述题”,i=1,2,
则P(A1)=,P(A2|A1)=,P(A2|)=,
所以第二题抽到的是概念叙述题的概率
P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()·P(A2|)=×+×=.
(2)设事件B1表示“A同学从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题”,事件B2表示“A同学从甲箱中取出的两道题都是计算题”,事件B3表示“A同学从甲箱中取出1道概念叙述题、1道计算题”,事件C表示“B同学从乙箱中抽取两道题目,第一个题目抽取概念叙述题”,
则P(B1)==,P(B2)==,
P(B3)===,
P(C|B1)==,
P(C|B2)==,
P(C|B3)==,
所以P(C)=P(B1)P(C|B1)+P(B2)·P(C|B2)+P(B3)P(C|B3)=×+×+×=.
[针对训练]
3.解:(1)依题意知,从甲袋8个球中取4个球有种取法,其中4个球中恰好有3个红球,
即恰好有3个红球、1个白球,有种取法,
所以4个球中恰好有3个红球的概率
P==.
(2)记A1为“从乙袋中取出1个红球、1个白球”,A2为“从乙袋中取出2个红球”,B为“从甲袋中取出2个红球”,
则P(A1)==,P(A2)==,
P(B|A1)==,
P(B|A2)==,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=×+×=.
[题型(三)]
[例3] 解:(1)由题设可知,P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1,
且P(A|B0)=1,P(A|B1)==,P(A|B2)==,
所以P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)·P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=0.8×1+0.1×+0.1×=.
即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为.
(2)因为P(B0|A)===,所以在顾客买下的一箱中,没有残次品的概率是.
[针对训练]
4.解:设“抽查的人患有癌症”为事件C,“试验反应为阳性”为事件A,则“抽查的人不患癌症”为事件,
已知P(C)=0.005,P()=0.995,
P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04,
由贝叶斯公式得
P(C|A)=
=≈0.106 6.
所以此人是癌症患者的概率约为0.106 6.
3 / 3(共64张PPT)
7.1.2
全概率公式
(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式.
2.理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率.
3.了解贝叶斯公式，并会简单应用.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·
自主落实主干基础
1.全概率公式
(1)定义：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有_______________________
(2)全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)=P(A1B)+P(A2B)+…+P(AnB)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An).
2.贝叶斯公式*
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)== ，i=1，2，…，n.
微点助解
条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系
条件概率P(B|A)= 乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)
全概率公式
贝叶斯公式
基点训练
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率求解问题，转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. ( )
(2)所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能，在这多种可能中，均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式. ( )
√
√
×
√
(3)全概率公式用于求复杂事件的概率，是求最后结果的概率. ( )
√
2.已知某手机专卖店只售卖甲、乙两种品牌的智能手机，其占有率和优质率的信息如表所示.
从该专卖店中随机购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率是 ( )
A.93% B.94% C.95% D.96%
解析：买到的是优质品的概率是0.6×0.95+0.4×0.9=0.93=93%.
品牌 甲 乙
占有率 60% 40%
优质率 95% 90%
√
3.一电器商店出售两家工厂生产的平板电脑，甲厂的平板电脑占70%，乙厂的平板电脑占30%.甲厂平板电脑的合格率为95%，乙厂平板电脑的合格率为80%，则该商店所售平板电脑的合格率为 .
解析：设事件A=“合格平板电脑”，事件B=“甲厂平板电脑”，事件C=“乙厂平板电脑”，则P(B)=70%=0.7，P(A|B)=95%=0.95，P(C)
=30%=0.3，P(A|C)=80%=0.8，P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)=0.7×
0.95+0.3×0.8=0.905.故该商店所售平板电脑的合格率为90.5%.
90.5%
课堂环节/题点研究·
迁移应用融会贯通
题型(一) 全概率公式
[例1] 长假期间，某人从甲地到乙地驾车出行.已知共有3条路可选，第一条路堵车的概率为，第二条路堵车的概率为，第三条路堵车的概率为.求从甲地到乙地堵车的概率.
解：设事件Bi(i=1，2，3)表示“走第i条路”，事件A表示“堵车”.
则P(B1)=P(B2)=P(B3)=，P(A|B1)=，P(A|B2)=，P(A|B3)=，
所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×+×+×=.
所以从甲地到乙地堵车的概率为.
[思维建模]
两个事件的全概率问题求解策略
(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分，如A1，A2(或A与).
(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率.
(3)求和：所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).
针对训练
1.已知A，B为两个随机事件，0A.B. C. D.
解析：由题意可得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.7P(A)+0.3P()=0.7P
(A)+0.3[1-P(A)]，即0.4=0.4P(A)+0.3，解得P(A)=.
√
2.某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%，等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为 ( )
A.0.48 B.0.52
C.0.56 D.0.65
√
解析：设“种植一等麦种和二等麦种”的事件分别为A1，A2，“所结麦穗含有50粒以上麦粒”为事件B，依题意，得P(A1)=0.8，P(A2)=0.2，
P(B|A1)=0.6，P(B|A2)=0.2，由全概率公式，得P(B)=P(A1)P(B|A1)
+P(A2)P(B|A2)=0.8×0.6+0.2×0.2=0.52.故选B.
题型(二) 全概率公式的实际应用
[例2] 为了考查学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱.其中，甲箱中有2道概念叙述题，2道计算题；乙箱中有2道概念叙述题，3道计算题(所有题目均不相同).现有A，B两个同学来抽题回答，每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答.每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答(不在题目上作答).两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱.
(1)如果A同学从甲箱中抽取两道题，求第二题抽到的是概念叙述题的概率；
解：设Ai表示“第i次从甲箱中抽到概念叙述题”，i=1，2，
则P(A1)=，P(A2|A1)=，P(A2|)=，
所以第二题抽到的是概念叙述题的概率
P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=×+×=.
(2)如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中.B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率.
解：设事件B1表示“A同学从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题”，事件B2表示“A同学从甲箱中取出的两道题都是计算题”，事件B3表示“A同学从甲箱中取出1道概念叙述题、1道计算题”，事件C表示“B同学从乙箱中抽取两道题目，第一个题目抽取概念叙述题”，
则P(B1)==，P(B2)==，
P(B3)===，
P(C|B1)==，
P(C|B2)==，
P(C|B3)==，
所以P(C)=P(B1)P(C|B1)+P(B2)P(C|B2)+P(B3)P(C|B3)=×+×+×=.
[思维建模]
当直接求事件A发生的概率不易求出时，可以采用化整为零的方式，即把事件A分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率.
针对训练
3.设甲袋中有4个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球(每个球除颜色以外均相同).
(1)从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有3个红球的概率；
解：依题意知，从甲袋8个球中取4个球有种取法，其中4个球中恰好有3个红球，
即恰好有3个红球、1个白球，有种取法，
所以4个球中恰好有3个红球的概率P==.
(2)先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率.
解：记A1为“从乙袋中取出1个红球、1个白球”，A2为“从乙袋中取出2个红球”，B为“从甲袋中取出2个红球”，
则P(A1)==，P(A2)==，
P(B|A1)==，P(B|A2)==，
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=.
题型(三) 贝叶斯公式*
[例3] 玻璃杯整箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为0.8，0.1和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.设事件A表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件Bi表示“箱中恰好有i(i=0，1，2)只残次品”，求：
(1)顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率P(A)；
解：由题设可知，P(B0)=0.8，P(B1)=0.1，P(B2)=0.1，且P(A|B0)=1，P(A|B1)==，P(A|B2)==，
所以P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=0.8×1+0.1×+
0.1×=.
即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为.
(2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率P(B0|A).
解：因为P(B0|A)===，所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是.
[思维建模]
若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验具体结果怎样未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，要熟记这个特征.
针对训练
4.某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率有多大
解：设“抽查的人患有癌症”为事件C，“试验反应为阳性”为事件A，则“抽查的人不患癌症”为事件，
已知P(C)=0.005，P()=0.995，
P(A|C)=0.95，P(A|)=0.04，
由贝叶斯公式得
P(C|A)=
=≈0.106 6.
所以此人是癌症患者的概率约为0.106 6.
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
A级——综合提能
1.在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为( )
A.B. C. D.
解析：设“甲中奖”为A事件，“乙中奖”为B事件，则P(B)=P(B|A)
P(A)+P(B|)P()=×+×=，故选B.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
2.已知P(A)=，P()=，P(B|A)=0，P(B)=，则P(B|)=( )
A.B. C. D.
解析：由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×0+×
P(B|)=，解得P(B|)=，故选B.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
3.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机
运动，在如图所示的试验容器中，容器由两个仓组
成，某粒子作布朗运动时，每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束.已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 ( )
A.B. C. D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析：设从i号仓出发最终从1号仓出的概率为Pi，
所以解得P1=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
4.某陶瓷厂上釉车间有A，B两条生产线，现随机对这两条生产线所生产的产品进行抽检，抽检A生产线的产品的概率为，抽检B生产线的产品的概率为.经过大量数据分析得A生产线的次品率为12%，如果本次抽检得到的产品为次品的概率为10%，据此估计B生产线的次品率为( )
A.9% B.8.67%
C.8% D.6%
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析：设事件N为“抽检得到的产品为次品”，事件M1，M2分别表示抽检A，B两条生产线的产品，则P(M1)=，P(M2)=，P(N|M1)=0.12，设P(N|M2)=p，因此P(N)=P(N|M1)P(M1)+P(N|M2)P(M2)=0.12×+p×
=0.1，解得p=0.06，所以估计B生产线的次品率为6%.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
5.[多选]若0A.P(A|B)=
B.P(AB)=P(A)P(B|A)
C.P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)
D.P(A|B)=
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析：由条件概率的计算公式知A错误，B、C显然正确.
因为P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)，
所以P(A|B)==，知D正确.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
6.现有分别来自三个地区的10名、15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，则所取到的是女生报名表的概率为 .
解析：依题意，随机地取一个地区的报名表选到每个地区的概率为，所以取到的是女生报名表的概率为×+×+×=.
7.某初级中学初一、初二、初三的学生人数比例为2∶1∶1，假设该中学初一、初二、初三的学生阅读完《三国演义》的概率分别为0.2，0.3，p(01
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
[0.3，0.4]
解析：若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《三国演义》的概率为0.2×+0.3×+p×=
0.175+0.25p≤0.275，解得p≤0.4，因为该中学初三的学生阅读完《三国演义》的概率不低于初二的学生阅读完《三国演义》的概率，所以p≥0.3，故p的取值范围是[0.3，0.4].
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
8.甲袋中有3个白球，2个黑球，乙袋中有4个白球，4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为 .
解析：设事件A表示“从乙袋中取出的是白球”，事件Bi表示“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i=0，1，2.由全概率公式得P(A)=P(B0)
P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=·+·+·=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
9.甲、乙两名同学分别与同一台智能机器人进行象棋比赛.在一轮比赛中，如果甲单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为；如果乙单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为.
(1)甲单独与机器人进行三轮比赛，求甲至少有两轮获胜的概率；
解：设“甲至少有两轮获胜”为事件A，
则P(A)=3××+=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛，求战胜机器人的概率.
解：设“选中甲与机器人比赛”为事件A1，“选中乙与机器人比赛”为事件A2，“战胜机器人”为事件B，
根据题意得P(A1)=P(A2)=，P(B|A1)=，P(B|A2)=，
由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=.
所以战胜机器人的概率为.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
10.第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；
解：记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件B表示“两个球都是红球”，
则P(A)=1-=，P(AB)==，
故P(B|A)===.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率；
解：设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”，
则P(C)==，P()==，P(D|C)=，P(D|)=，
可得P(D)=P(CD)+P(D)=P(C)P(D|C)+P()P(D|)=×+×=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(3)在(2)的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率.
解：在(2)的条件下P(C|D)===.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
B级——应用创新
11.盒中有a个红球，b个黑球，现随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是( )
A. B.
C. D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析：设事件A=“第一次抽出的是黑球”，事件B=“第二次抽出的是黑球”，则B=AB+B，由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|).
由题意P(A)=，P(B|A)=，P()=，P(B|)=，
所以P(B)=+=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
12.[多选]有3台车床加工同一型号的零件. 第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%. 则下列结论正确的是 ( )
A.任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率为0.06
B.任取一个零件，它是次品的概率为0.052 5
C.如果取到的零件是次品，它是第2台车床加工的概率为
D.如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析：根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件A，B，C，该零件为次品为事件D，则P(A)=0.25，P(B)=0.3，P(C)=0.45，P(D|A)=0.06，P(D|B)=P(D|C)=0.05，对于A，任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率P(AD)=P(A)P(D|A)=0.06×0.25=0.015，故A错误；对于B，任取一个零件是次品的概率P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+
P(C)P(D|C)=0.06×0.25+0.05×0.3+0.05×0.45=0.052 5，故B正确；
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
对于C，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率P(B|D)
====，故C正确；对于D，记取到的零件不是第3台车床加工的为事件E，则P(E)=0.25+0.3=0.55，则P(DE)=P(A)P(D|A)
+P(B)P(D|B)=0.06×0.25+0.05×0.3=0.03，所以P(D|E)===，
即如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为，故D正确.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
13.若甲盒中有5个红球、3个白球、2个黑球，乙盒中有x个红球、2个白球、3个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，设B= “从乙盒中取出的球是红球”，若P(B)≤，则x的最大值为 .
7
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析：设A=从甲盒中取出的球是红球，则P(A)==，P()=，P(B|A)
=，P(B|)=，则P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×
=.所以≤，即x≤.因为x是正整数，所以x≤7.所以x的
最大值为7.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
14.甲、乙、丙、丁四名选手进行象棋比赛，已知甲和乙是专业选手，丙和丁是业余选手.已知专业选手对业余选手时专业选手获胜的概率为0.7、业余选手获胜的概率为0.3，专业选手对专业选手时每人获胜的概率均为0.5，业余选手对业余选手时每人获胜的概率均为0.5，比赛规则为第一轮随机安排两两对赛，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮胜者为第一名.
(1)求选手甲和丁在第一轮对赛的概率；
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解：由题意，第一轮的对赛的所有情况有
①甲乙，丙丁；②甲丙，乙丁；③甲丁，乙丙，共三种情况，
故甲和丁在第一轮对赛的概率为.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)求选手甲和丁在第二轮对赛的概率；
解：由(1)，第一轮的对赛的所有情况有三种.
①甲乙，丙丁：甲和丁在第二轮对赛，则甲、丁分别战胜对手，
故甲和丁在第二轮对赛的概率为0.5×0.5=0.25；
②甲丙，乙丁：甲和丁在第二轮对赛，则甲、丁分别战胜对手，
故甲和丁在第二轮对赛的概率为0.7×0.3=0.21；
③甲丁，乙丙：甲和丁在第二轮对赛的概率为0.
故甲和丁在第二轮对赛的概率为×0.25+×0.21+×0=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(3)现有两种比赛方案，
方案一：第一轮安排专业选手与专业选手对赛；
方案二：第一轮安排业余选手与专业选手对赛.
比较两种方案中业余选手获得第一名的概率的大小，并解释结果.
解：方案一：第一轮安排专业选手与专业选手对赛：
则第二轮必定为专业选手与业余选手对赛，则业余选手获得第一名的概率为0.3.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
方案二：第一轮安排业余选手与专业选手对赛：
第二轮为全专业选手的概率为0.7×0.7=0.49，则业余选手获得第一名的概率为0.49×0=0.
第二轮为全业余选手的概率为0.3×0.3=0.09，则业余选手获得第一名的概率为0.09×1=0.09.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
第二轮为一个专业选手与一个业余选手的概率为0.7×0.3+0.3
×0.7=0.42，此时业余选手获得第一名的概率为0.42×0.3=0.126.
综上业余选手获得第一名的概率为0+0.09+0.126=0.216.
所以方案一中业余选手获得第一名的概率大于方案二中业余选手获得第一名的概率.课时跟踪检测(十四) 全概率公式
A级——综合提能
1.在3张彩票中有2张有奖,甲、乙两人先后从中各任取一张,则乙中奖的概率为 ( )
A. B.
C. D.
2.已知P(A)=,P()=,P(B|A)=0,P(B)=,则P(B|)= ( )
A. B.
C. D.
3.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动,在如图所示的试验容器中,容器由两个仓组成,某粒子作布朗运动时,每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外,一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获,此时试验结束.已知该粒子初始位置在1号仓,则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 ( )
A. B.
C. D.
4.某陶瓷厂上釉车间有A,B两条生产线,现随机对这两条生产线所生产的产品进行抽检,抽检A生产线的产品的概率为,抽检B生产线的产品的概率为.经过大量数据分析得A生产线的次品率为12%,如果本次抽检得到的产品为次品的概率为10%,据此估计B生产线的次品率为 ( )
A.9% B.8.67%
C.8% D.6%
5.[多选]若0A.P(A|B)=
B.P(AB)=P(A)P(B|A)
C.P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)
D.P(A|B)=
6.现有分别来自三个地区的10名、15名和25名考生的报名表,其中女生报名表分别为3份、7份和5份,随机地取一个地区的报名表,则所取到的是女生报名表的概率为 .
7.某初级中学初一、初二、初三的学生人数比例为2∶1∶1,假设该中学初一、初二、初三的学生阅读完《三国演义》的概率分别为0.2,0.3,p(08.甲袋中有3个白球,2个黑球,乙袋中有4个白球,4个黑球,今从甲袋中任取2球放入乙袋,再从乙袋中任取一球,则该球是白球的概率为 .
9.甲、乙两名同学分别与同一台智能机器人进行象棋比赛.在一轮比赛中,如果甲单独与机器人比赛,战胜机器人的概率为;如果乙单独与机器人比赛,战胜机器人的概率为.
(1)甲单独与机器人进行三轮比赛,求甲至少有两轮获胜的概率;
(2)在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛,求战胜机器人的概率.
10.第三次人工智能浪潮滚滚而来,以ChatGPT发布为里程碑,开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论,概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究:甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球,其中甲箱中有3个红球、2个白球,乙箱中有4个红球、1个白球.
(1)从甲箱中随机抽出2个球,在已知抽到红球的条件下,求2个球都是红球的概率;
(2)抛一枚质地均匀的骰子,如果点数小于等于4,从甲箱中随机抽出1个球;如果点数大于等于5,从乙箱中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率;
(3)在(2)的条件下,若抽到的是红球,求它是来自乙箱的概率.
B级——应用创新
11.盒中有a个红球,b个黑球,现随机地从中取出一个,观察其颜色后放回,并加上同色球c个,再从盒中抽取一球,则第二次抽出的是黑球的概率是 ( )
A. B.
C. D.
12.[多选]有3台车床加工同一型号的零件. 第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起. 已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的25%,30%,45%. 则下列结论正确的是 ( )
A.任取一个零件,它是第1台车床加工的次品的概率为0.06
B.任取一个零件,它是次品的概率为0.052 5
C.如果取到的零件是次品,它是第2台车床加工的概率为
D.如果取到的零件不是第3台车床加工的,它是次品的概率为
13.若甲盒中有5个红球、3个白球、2个黑球,乙盒中有x个红球、2个白球、3个黑球,现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒,再从乙盒中随机取出一个球,设B= “从乙盒中取出的球是红球”,若P(B)≤,则x的最大值为 .
14.甲、乙、丙、丁四名选手进行象棋比赛,已知甲和乙是专业选手,丙和丁是业余选手.已知专业选手对业余选手时专业选手获胜的概率为0.7、业余选手获胜的概率为0.3,专业选手对专业选手时每人获胜的概率均为0.5,业余选手对业余选手时每人获胜的概率均为0.5,比赛规则为第一轮随机安排两两对赛,胜者进入第二轮,负者淘汰;第二轮胜者为第一名.
(1)求选手甲和丁在第一轮对赛的概率;
(2)求选手甲和丁在第二轮对赛的概率;
(3)现有两种比赛方案,
方案一:第一轮安排专业选手与专业选手对赛;
方案二:第一轮安排业余选手与专业选手对赛.
比较两种方案中业余选手获得第一名的概率的大小,并解释结果.
课时跟踪检测(十四)
1.选B 设“甲中奖”为A事件,“乙中奖”为B事件,则P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=×+×=,故选B.
2.选B 由全概率公式得P(B)=P(A)·P(B|A)+P()P(B|)=×0+×P(B|)=,解得P(B|)=,故选B.
3.选C 设从i号仓出发最终从1号仓出的概率为Pi,所以解得P1=.
4.选D 设事件N为“抽检得到的产品为次品”,事件M1,M2分别表示抽检A,B两条生产线的产品,则P(M1)=,P(M2)=,P(N|M1)=0.12,设P(N|M2)=p,因此P(N)=P(N|M1)·P(M1)+P(N|M2)P(M2)=0.12×+p×=0.1,解得p=0.06,所以估计B生产线的次品率为6%.
5.选BCD 由条件概率的计算公式知A错误,B、C显然正确.因为P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|),所以P(A|B)==,知D正确.
6.解析:依题意,随机地取一个地区的报名表选到每个地区的概率为,所以取到的是女生报名表的概率为×+×+×=.
答案:
7.解析:若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生,则这名学生阅读完《三国演义》的概率为0.2×+0.3×+p×=0.175+0.25p≤0.275,解得p≤0.4,因为该中学初三的学生阅读完《三国演义》的概率不低于初二的学生阅读完《三国演义》的概率,所以p≥0.3,故p的取值范围是[0.3,0.4].
答案:[0.3,0.4]
8.解析:设事件A表示“从乙袋中取出的是白球”,事件Bi表示“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”,i=0,1,2.由全概率公式得P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=·+·+·=.
答案:
9.解:(1)设“甲至少有两轮获胜”为事件A,则P(A)=3××+=.
(2)设“选中甲与机器人比赛”为事件A1,“选中乙与机器人比赛”为事件A2,“战胜机器人”为事件B,
根据题意得P(A1)=P(A2)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=.
所以战胜机器人的概率为.
10.解:(1)记事件A表示“抽出的2个球中有红球”,事件B表示“两个球都是红球”,
则P(A)=1-=,P(AB)==,
故P(B|A)===.
(2)设事件C表示“从乙箱中抽球”,则事件表示“从甲箱中抽球”,事件D表示“抽到红球”,
则P(C)==,P()==,
P(D|C)=,P(D|)=,
可得P(D)=P(CD)+P(D)=P(C)·P(D|C)+P()P(D|)=×+×=.
(3)在(2)的条件下
P(C|D)===.
11.选C 设事件A=“第一次抽出的是黑球”,事件B=“第二次抽出的是黑球”,则B=AB+B,由全概率公式得P(B)=P(A)·P(B|A)+P()P(B|).由题意P(A)=,P(B|A)=,P()=,P(B|)=,所以P(B)=+=.
12.选BCD 根据题意,设任取一个零件,由第1,2,3台车床加工为事件A,B,C,该零件为次品为事件D,则P(A)=0.25,P(B)=0.3,P(C)=0.45,P(D|A)=0.06,P(D|B)=P(D|C)=0.05,对于A,任取一个零件,它是第1台车床加工的次品的概率P(AD)=P(A)P(D|A)=0.06×0.25=0.015,故A错误;对于B,任取一个零件是次品的概率P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.06×0.25+0.05×0.3+0.05×0.45=0.052 5,故B正确;对于C,如果取到的零件是次品,且是第2台车床加工的概率P(B|D)====,故C正确;对于D,记取到的零件不是第3台车床加工的为事件E,则P(E)=0.25+0.3=0.55,则P(DE)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)=0.06×0.25+0.05×0.3=0.03,所以P(D|E)===,即如果取到的零件不是第3台车床加工的,它是次品的概率为,故D正确.
13.解析:设A=从甲盒中取出的球是红球,则P(A)==,P()=,P(B|A)=,P(B|)=,则P(B)=P(A)·P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.所以≤,即x≤.因为x是正整数,所以x≤7.所以x的最大值为7.
答案:7
14.解:(1)由题意,第一轮的对赛的所有情况有①甲乙,丙丁;②甲丙,乙丁;③甲丁,乙丙,共三种情况,
故甲和丁在第一轮对赛的概率为.
(2)由(1),第一轮的对赛的所有情况有三种.
①甲乙,丙丁:甲和丁在第二轮对赛,则甲、丁分别战胜对手,
故甲和丁在第二轮对赛的概率为0.5×0.5=0.25;
②甲丙,乙丁:甲和丁在第二轮对赛,则甲、丁分别战胜对手,
故甲和丁在第二轮对赛的概率为0.7×0.3=0.21;
③甲丁,乙丙:甲和丁在第二轮对赛的概率为0.
故甲和丁在第二轮对赛的概率为×0.25+×0.21+×0=.
(3)方案一:第一轮安排专业选手与专业选手对赛:
则第二轮必定为专业选手与业余选手对赛,则业余选手获得第一名的概率为0.3.
方案二:第一轮安排业余选手与专业选手对赛:
第二轮为全专业选手的概率为0.7×0.7=0.49,则业余选手获得第一名的概率为0.49×0=0.
第二轮为全业余选手的概率为0.3×0.3=0.09,则业余选手获得第一名的概率为0.09×1=0.09.
第二轮为一个专业选手与一个业余选手的概率为0.7×0.3+0.3×0.7=0.42,此时业余选手获得第一名的概率为0.42×0.3=0.126.
综上业余选手获得第一名的概率为0+0.09+0.126=0.216.
所以方案一中业余选手获得第一名的概率大于方案二中业余选手获得第一名的概率.
3 / 3