(共54张PPT)
离散型随机变量的分布列
(深化课——题型研究式教学)
第2课时
课时目标
进一步理解离散型随机变量的分布列，掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 离散型随机变量的分布列
题型(二) 分布列的性质
及其应用
课时跟踪检测
题型(一) 离散型随机变量
的分布列
01
[例1] 今年雷锋日，某中学从高中三个年级中选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：
高一年级 高二年级 高三年级
10人 6人 4人
若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，记X为抽取的3人中高一年级学生的人数，求随机变量X的分布列.
解：由题意易知X的可能取值为0，1，2，3，
则P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=3)==，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
变式拓展
本例条件不变，若将4名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的)，记安排到高一年级的教师人数为ξ，求随机变量ξ 的分布列.
解：由题意易知ξ 的可能取值为0，1，2，3，4，
则P(ξ =0)==，
P(ξ =1)==，P(ξ =2)===，
P(ξ =3)==，P(ξ =4)==，
则ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
[思维建模]
求离散型随机变量分布列的步骤
(1)根据问题设出一个随机变量X，并写出随机变量X的所有可能取值.
(2)求随机变量X的每一个取值对应的概率.
(3)用解析式或表格表示X的分布列.
[注意] 利用所有概率之和是否为1检验分布列的正误.
针对训练
1.已知袋中有5个白球和6个红球，从中摸出2个球，记X=则X的分布列为_______.
答案：
X 0 1
P
解析：由题意得，P(X=0)==，P(X=1)==.
所以X的分布列为
X 0 1
P
2.某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答错误得0分，第三个问题回答正确得20分，回答错误得-10分.已知一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功.
(1)求至少回答正确一个问题的概率；
解：用事件A表示“至少回答正确一个问题”，
则P(A)=1-××=.
(2)求这位挑战者回答这三个问题的总得分X(单位：分)的分布列；
解：X的可能取值为-10，0，10，20，30，40.
P(X=-10)=××=，
P(X=0)=×××=，
P(X=10)=×=，
P(X=20)=××=，
P(X=30)=×××=，
P(X=40)=×=.
所以X的分布列为
X -10 0 10 20 30 40
P
(3)求这位挑战者闯关成功的概率.
解：这位挑战者闯关成功的概率为P(X≥10)=1-P(X=-10)-P(X=0)=1--=.
题型(二) 分布列的性质
及其应用
02
[例2] 设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求随机变量η =|X-1|的分布列；
解：由分布列的性质知，0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，解得m=0.3，
列表为
X 0 1 2 3 4
|X-1| 1 0 1 2 3
即随机变量η的可能取值为0，1，2，3，
可得P(η=0)=P(X=1)=0.1，
P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3，P(η =2)=P(X=3)=0.3，
P(η=3)=P(X=4)=0.3，
故η =|X-1|的分布列为
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
(2)求随机变量ξ=X2的分布列.
解：列表得
X 0 1 2 3 4
X2 0 1 4 9 16
即随机变量ξ=X2的可能取值为0，1，4，9，16.
从而ξ=X2的分布列为
ξ 0 1 4 9 16
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
[思维建模]
分布列的性质及其应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
针对训练
3.设随机变量X的分布列P(X=k)=(k=1，2，3，4，5)，则P(X≥4)
=( )
A. B.
C. D.
√
4.某银行有一自动取款机，在某时刻恰有k(k∈N)个人正在使用或等待使用该取款机的概率为p(k)，根据统计得到p(k)=
则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为( )
A. B.
C. D.
√
解析：由题意知，p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=1，
则p(0)=p(0)=1，
解得p(0)=，即该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为.
课时跟踪检测
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A级——综合提能
1.随机变量X的分布列为P(X=k)=，k=1，2，3，4，c为常数，则P=( )
A. B.
C. D.
√
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解析：由题意得+++=1，即c=1，解得c=，
所以P=P(X=1)+P(X=2)=×=.
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2.若离散型随机变量X的分布列为
则常数a的值为 ( )
A.B. C.或 D.1或
√
X 0 1
P 6a2-a 3-7a
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解析：由离散型随机变量分布列的性质知，∴a=，故选A.
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3.从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P(X=3)= ( )
A. B.
C. D.
解析： “X=3”表示前2次未抽到中奖彩票，第3次抽到中奖彩票，故P(X=3)===.故选D.
√
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4.一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色则停止抽取，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X，则P(X≤2)= ( )
A. B.
C. D.
√
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解析：令X=k表示前k个球为白球，第k+1个球为红球，
此时P(X=0)==，P(X=1)=×=，P(X=2)=××=，
则P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=++=.
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5.[多选]已知随机变量X的分布列为P(X=n)=(n=0，1，2)，其中a是常数，则下列说法正确的是( )
A.P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1
B.a=
C.P(0≤X<2)=
D.P(X≥1)=
√
√
√
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解析：由P(X=n)=(n=0，1，2)，
得P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1，即++=1，解得a=，故A、B正确；P(0≤X<2)=P(X=0)+P(X=1)=+=，故C正确；P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=+=，故D错误.
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6.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如表，其中a，b，c成等差数列，且c=ab.则这名运动员得3分的概率是____.
X 0 2 3
P a b c
解析：由题意得2b=a+c，c=ab，a+b+c=1，且a≥0，b≥0，c≥0，联立得a=，b=，c=，故得3分的概率是.
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7.若随机变量X的分布列如表所示：
X 0 1 2 3
P a b
则a2+b2的最小值为_____.
解析：由分布列的性质，知a+b=，又a2+b2≥=
，则a2+b2的最小值为.
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8.已知随机变量X的分布列如表所示.
X -2 -1 0 1 2 3
P
若Y=X2，P(Y(4，9]
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解析：由随机变量X的分布列知，Y的可能取值为0，1，4，9，且P(Y=0)=，P(Y=1)=+==，P(Y=4)=+==，P(Y=9)=.
可得Y的分布列如表所示.
Y 0 1 4 9
P
∵P(Y∴实数x的取值范围是(4，9].
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9.已知离散型随机变量X的分布列为
X -2 -1 0 1 2
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(1)求3X+2的分布列；
解：由题意，知3X+2=-4，-1，2，5，8，
则3X+2的分布列为
3X+2 -4 -1 2 5 8
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
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(2)求|X-1|的分布列；
解：由题意，知|X-1|=0，1，2，3，则|X-1|的分布列为
|X-1| 0 1 2 3
P 0.3 0.4 0.1 0.2
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(3)求X2的分布列.
解：由题意，知X2=0，1，4，则X2的分布列为
X2 0 1 4
P 0.1 0.4 0.5
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10.从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机取出两个球，规定每取出1个黑球记2分，而取出1个白球记-1分，取出黄球记零分.
(1)以X表示所得分数，求X的分布列；
解：依题意，当取到2个白球时，随机变量X=-2；
当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X=-1；
当取到2个黄球时，随机变量X=0；
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当取到1个白球，1个黑球时，随机变量X=1；
当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量X=2；
当取到2个黑球时，随机变量X=4，
所以随机变量X的可能取值为-2，-1，0，1，2，4，
则P(X=-2)==，P(X=-1)==，
P(X=0)==，P(X=1)==，
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P(X=2)==，P(X=4)==，
所以X的分布列为
X -2 -1 0 1 2 4
P
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(2)求得分X>0时的概率.
解：由(1)得P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)=++=，
所以得分X>0时的概率为.
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B级——应用创新
11.[多选]已知ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时， ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， ξ=1.则下列结论正确的是( )
A.共有24对相交棱 B.P(ξ =0)=
C.P(ξ =)= D.P(ξ =1)=
√
√
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解析：若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有=24对相交棱，因此P(ξ=0)==
=，故A正确，B错误；若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故P(ξ=)==，于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)
-P(ξ=)=1--=，故C正确，D错误.
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12.[多选]设随机变量ξ的分布列如下，则下列结论
正确的是 ( )
A.P(ξ≤2)=1-P(ξ ≥3)
B.当an=(n=1，2，3，4)时，a5=
C.若{an}为等差数列，则a3=
D.{an}的通项公式可能为an=
ξ 1 2 3 4 5
P a1 a2 a3 a4 a5
√
√
√
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解析：P(ξ≤2)=P(ξ=1)+P(ξ=2)，1-P(ξ≥3)=1-P(ξ=3)-P(ξ=4)-P(ξ=5)
=P(ξ=1)+P(ξ=2)，∴P(ξ≤2)=1-P(ξ≥3)，故A正确；当an=(n=1，2，3，4)时，a5=1----==，故B正确；若{an}为等差数列，则a1+a2
+a3+a4+a5=5a3=1，∴a3=，故C正确；当{an}的通项公式为an==-时，a1+a2+a3+a4+a5=1-+-+-+-+-=1-=≠1，故D错误.
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14.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
解：记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)=×=.
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(2)已知每检测一件产品需花费100元，设检测结束时所需要的检测总费用为X元，求X的分布列.
解：由题意可知，X的可能取值为200，300，400.则P(X=200)==，P(X=300)==，P(X=400)==.
所以X的分布列为
X 200 300 400
P第2课时 离散型随机变量的分布列(深化课题型研究式教学)
课时目标
进一步理解离散型随机变量的分布列,掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.
题型(一) 离散型随机变量的分布列
[例1] 今年雷锋日,某中学从高中三个年级中选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者,学生的名额分配如下:
高一年级 高二年级 高三年级
10人 6人 4人
若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传,记X为抽取的3人中高一年级学生的人数,求随机变量X的分布列.
听课记录:
[变式拓展]
本例条件不变,若将4名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教师的选择是相互独立的),记安排到高一年级的教师人数为ξ,求随机变量ξ的分布列.
[思维建模]
求离散型随机变量分布列的步骤
(1)根据问题设出一个随机变量X,并写出随机变量X的所有可能取值.
(2)求随机变量X的每一个取值对应的概率.
(3)用解析式或表格表示X的分布列.
[注意] 利用所有概率之和是否为1检验分布列的正误.
[针对训练]
1.已知袋中有5个白球和6个红球,从中摸出2个球,记X=则X的分布列为 .
2.某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题,其中前两个问题回答正确各得10分,回答错误得0分,第三个问题回答正确得20分,回答错误得-10分.已知一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是,回答第三个问题正确的概率为,且各题回答正确与否相互之间没有影响,这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功.
(1)求至少回答正确一个问题的概率;
(2)求这位挑战者回答这三个问题的总得分X(单位:分)的分布列;
(3)求这位挑战者闯关成功的概率.
题型(二) 分布列的性质及其应用
[例2] 设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求随机变量η=|X-1|的分布列;
(2)求随机变量ξ=X2的分布列.
听课记录:
[思维建模]
分布列的性质及其应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.
(2)求随机变量在某个范围内的概率时,根据分布列,将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.
[针对训练]
3.设随机变量X的分布列P(X=k)=(k=1,2,3,4,5),则P(X≥4)= ( )
A. B.
C. D.
4.某银行有一自动取款机,在某时刻恰有k(k∈N)个人正在使用或等待使用该取款机的概率为p(k),根据统计得到p(k)=则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为 ( )
A. B.
C. D.
第2课时 离散型随机变量的分布列
[题型(一)]
[例1] 解:由题意易知X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
[变式拓展]
解:由题意易知ξ的可能取值为0,1,2,3,4,
则P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)===,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,
则ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
[针对训练]
1.解析:由题意得,P(X=0)==,P(X=1)==.
所以X的分布列为
X 0 1
P
答案:
X 0 1
P
2.解:(1)用事件A表示“至少回答正确一个问题”,则P(A)=1-××=.
(2)X的可能取值为-10,0,10,20,30,40.
P(X=-10)=××=,
P(X=0)=×××=,
P(X=10)=×=,
P(X=20)=××=,
P(X=30)=×××=,
P(X=40)=×=.
所以X的分布列为
X -10 0 10 20 30 40
P
(3)这位挑战者闯关成功的概率为P(X≥10)=1-P(X=-10)-P(X=0)=1--=.
[题型(二)]
[例2] 解:(1)由分布列的性质知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3,
列表为
X 0 1 2 3 4
|X-1| 1 0 1 2 3
即随机变量η的可能取值为0,1,2,3,
可得P(η=0)=P(X=1)=0.1,
P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(η=2)=P(X=3)=0.3,P(η=3)=P(X=4)=0.3,
故η=|X-1|的分布列为
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
(2)列表得
X 0 1 2 3 4
X2 0 1 4 9 16
即随机变量ξ=X2的可能取值为0,1,4,9,16.
从而ξ=X2的分布列为
ξ 0 1 4 9 16
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
[针对训练]
3.选A P(X=k)===,∵P(X=k)=1,∴×1-+-+-+-+-==1.则m=,∴P(X≥4)=×-+-=.
4.选B 由题意知,p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=1,则p(0)1++++=p(0)=1,解得p(0)=,即该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为.
2 / 2课时跟踪检测(十六) 离散型随机变量的分布列
A级——综合提能
1.随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,4,c为常数,则P= ( )
A. B.
C. D.
2.若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P 6a2-a 3-7a
则常数a的值为 ( )
A. B.
C.或 D.1或
3.从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取,设X表示直至抽到中奖彩票时的次数,则P(X=3)= ( )
A. B.
C. D.
4.一袋中装有4个白球和2个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个不放回,取出后记下颜色,若为红色则停止抽取,若为白色则继续抽取,停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X,则P(X≤2)= ( )
A. B.
C. D.
5.[多选]已知随机变量X的分布列为P(X=n)=(n=0,1,2),其中a是常数,则下列说法正确的是 ( )
A.P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1
B.a=
C.P(0≤X<2)=
D.P(X≥1)=
6.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如表,其中a,b,c成等差数列,且c=ab.则这名运动员得3分的概率是 .
X 0 2 3
P a b c
7.若随机变量X的分布列如表所示:
X 0 1 2 3
P a b
则a2+b2的最小值为 .
8.已知随机变量X的分布列如表所示.
X -2 -1 0 1 2 3
P
若Y=X2,P(Y9.已知离散型随机变量X的分布列为
X -2 -1 0 1 2
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(1)求3X+2的分布列;
(2)求|X-1|的分布列;
(3)求X2的分布列.
10.从装有除颜色外完全相同的6个白球,4个黑球和2个黄球的箱中随机取出两个球,规定每取出1个黑球记2分,而取出1个白球记-1分,取出黄球记零分.
(1)以X表示所得分数,求X的分布列;
(2)求得分X>0时的概率.
B级——应用创新
11.[多选]已知ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1.则下列结论正确的是 ( )
A.共有24对相交棱 B.P(ξ=0)=
C.P(ξ=)= D.P(ξ=1)=
12.[多选]设随机变量ξ的分布列如下,则下列结论正确的是 ( )
ξ 1 2 3 4 5
P a1 a2 a3 a4 a5
A.P(ξ≤2)=1-P(ξ≥3)
B.当an=(n=1,2,3,4)时,a5=
C.若{an}为等差数列,则a3=
D.{an}的通项公式可能为an=
13.设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且P(X=i)=pi>0(i=1，2，…，n)，pi=1，定义M(X)=pipn+1-i.若p1pn=，则当n=3时，M(X)的最大值为 .
14.已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需花费100元,设检测结束时所需要的检测总费用为X元,求X的分布列.
课时跟踪检测(十六)
1.选B 由题意得+++=1,即c=1,解得c=,所以P=P(X=1)+P(X=2)=×=.
2.选A 由离散型随机变量分布列的性质知,∴a=,故选A.
3.选D “X=3”表示前2次未抽到中奖彩票,第3次抽到中奖彩票,故P(X=3)===.故选D.
4.选A 令X=k表示前k个球为白球,第k+1个球为红球,此时P(X=0)==,P(X=1)=×=,P(X=2)=××=,则P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=++=.
5.选ABC 由P(X=n)=(n=0,1,2),得P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1,即++=1,解得a=,故A、B正确;P(0≤X<2)=P(X=0)+P(X=1)=+=,故C正确;P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=+=,故D错误.
6.解析:由题意得2b=a+c,c=ab,a+b+c=1,且a≥0,b≥0,c≥0,联立得a=,b=,c=,故得3分的概率是.
答案:
7.解析:由分布列的性质,知a+b=,又a2+b2≥=当且仅当a=b=时,等号成立,则a2+b2的最小值为.
答案:
8.解析:由随机变量X的分布列知,Y的可能取值为0,1,4,9,且P(Y=0)=,P(Y=1)=+==,P(Y=4)=+==,P(Y=9)=.
可得Y的分布列如表所示.
Y 0 1 4 9
P
∵P(Y答案:(4,9]
9.解:(1)由题意,知3X+2=-4,-1,2,5,8,
则3X+2的分布列为
3X+2 -4 -1 2 5 8
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)由题意,知|X-1|=0,1,2,3,则|X-1|的分布列为
|X-1| 0 1 2 3
P 0.3 0.4 0.1 0.2
(3)由题意,知X2=0,1,4,则X2的分布列为
X2 0 1 4
P 0.1 0.4 0.5
10.解:(1)依题意,当取到2个白球时,随机变量X=-2;
当取到1个白球,1个黄球时,随机变量X=-1;
当取到2个黄球时,随机变量X=0;
当取到1个白球,1个黑球时,随机变量X=1;
当取到1个黑球,1个黄球时,随机变量X=2;
当取到2个黑球时,随机变量X=4,
所以随机变量X的可能取值为-2,-1,0,1,2,4,
则P(X=-2)==,P(X=-1)==,P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=4)==,
所以X的分布列为
X -2 -1 0 1 2 4
P
(2)由(1)得P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)=++=,
所以得分X>0时的概率为.
11.选AC 若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有=24对相交棱,因此P(ξ=0)===,故A正确,B错误;若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对,故P(ξ=)==,于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0) -P(ξ=)=1--=,故C正确,D错误.
12.选ABC P(ξ≤2)=P(ξ=1)+P(ξ=2),1-P(ξ≥3)=1-P(ξ=3)-P(ξ=4)-P(ξ=5)=P(ξ=1)+P(ξ=2),∴P(ξ≤2)=1-P(ξ≥3),故A正确;当an=(n=1,2,3,4)时,a5=1----==,故B正确;若{an}为等差数列,则a1+a2+a3+a4+a5=5a3=1,∴a3=,故C正确;当{an}的通项公式为an==-时,a1+a2+a3+a4+a5=1-+-+-+-+-=1-=≠1,故D错误.
13.解析: 当n=3时，p1p3=，则M(X)=pip4-i=p1p3+p2p2+p3p1=2p1p3+=+[1-(p1+p3)]2，∵p1>0，p3>0，p1p3=，∴p1+p3≥2=，当且仅当p1=p3=时，等号成立.所以≤p1+p3<1，0<1-(p1+p3)≤，∴M(X)≤+=，即M(X)的最大值为.
答案:
14.解:(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,则P(A)=×=.
(2)由题意可知,X的可能取值为200,300,400.则P(X=200)==,P(X=300)==,P(X=400)==.
所以X的分布列为
X 200 300 400
P
3 / 3
