(共63张PPT)
7.4.2
正态分布
(强基课 ——梯度进阶式教学)
课时目标
1.了解正态曲线和正态分布的概念，能借助正态曲线理解正态曲线的特点及曲线表示的意义.
2.了解变量落在区间[μ-σ，μ+σ]，[μ-2σ，μ+2σ]，[μ-3σ，μ+3σ]的概率大小，会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间内的概率；会用正态分布解决实际问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·
自主落实主干基础
1.正态曲线
我们称f(x)=________________，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为_______________，称它的图象为正态密度曲线，简称___________.
正态密度函数
正态曲线
2.正态分布
(1)若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ，σ2).特别地，当μ=___ ，σ=___时，称随机变量X服从标准正态分布.
(2)若X~N(μ，σ2)，则E(X)=____，D(X)=____.
0
1
μ
σ2
3.正态曲线的特点
(1)非负性：对 x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的______.
(2)定值性：曲线与x轴之间的面积为____.
(3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线______对称.
(4)最大值：曲线在______处达到峰值.
(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近___轴.
上方
1
x=μ
x=μ
x
微点助解
(1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.
(2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.
4.3σ原则
(1)假设X~N(μ，σ2)，可以证明：对给定的k∈N*，P(μ-kσ≤X≤μ+kσ) 是一个只与k有关的定值.特别地，
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
(2)尽管正态变量的取值范围是(-∞，+∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ-3σ，μ+3σ]内，而在此区间外取值的概率大约只有________，通常认为这种情况几乎不可能发生.
(3)在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.
0.002 7
基点训练
1.设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)=，则这个正态总体的均值与标准差分别是( )
A.10与8 B.10与2
C.8与10 D.2与10
√
2.函数f(x)=(其中μ<0)的图象可能为( )
解析：函数f(x)图象的对称轴为直线x=μ，因为μ<0，所以排除B、D；又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，故选A.
√
3.在正态分布N中，数据落在[-2，2]内的概率为__________.
解析：由题可得μ=0，σ=，P(-2≤X≤2)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
0.997 3
课堂环节/题点研究·
迁移应用融会贯通
题型(一) 正态曲线
[例1] 已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ=_____，方差σ2=____.
20
2
解析：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对称，最大值是，所以=，解得σ=，因此总体的均值μ=20，方差σ2=()2=2.
[思维建模]
正态曲线中μ，σ的认识
利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：
一是对称轴x=μ，二是最值.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式.
针对训练
1.[多选]某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩X(单位：分)服从正态分布，其正态密度函数f(x)=·，则下列说法正确的是( )
A.这次考试的数学平均成绩为80分
B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D.这次考试的数学成绩的标准差为10
√
√
√
解析：由函数解析式知这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10，故A、D正确.因为函数图象关于直线x=80对称，所以分数在120分以上的人数与分数在40分以下的人数相同，分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故B错误，C正确.
2.若一个正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态密度函数的解析式.
解：由于该正态密度函数是一个偶函数，
所以正态曲线关于y轴对称，即μ=0，
又该函数的最大值是，
所以=，解得σ=4.
故所求正态密度函数的解析式为f(x)=，x∈(-∞，+∞).
题型(二) 正态分布的概率计算
[例2] 设ξ~N(1，22)，试求：
(1)P(-1≤ξ≤3)；
解：∵ξ~N(1，22)，∴μ=1，σ=2.
P(-1≤ξ≤3)=P(1-2≤ξ≤1+2)=P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7.
(2)P(3≤ξ≤5).
解：∵ξ~N(1，22)，∴μ=1，σ=2.
∵P(3≤ξ≤5)=P(-3≤ξ≤-1)，
∴P(3≤ξ≤5)=[P(-3≤ξ≤5)-P(-1≤ξ≤3)]=[P(1-4≤ξ≤1+4)-P(1-2≤ξ
≤1+2)]=[P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)]≈×(0.954 5-0.682 7)=
0.135 9.
[变式拓展]
若本例条件不变，求P(ξ>5).
解：P(ξ>5)=P(ξ<-3)=[1-P(-3≤ξ≤5)]=[1-P(1-4≤ξ≤1+4)]=[1-P
(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)]≈×(1-0.954 5)=0.022 75.
[思维建模]
利用正态分布求概率的两个方法
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x=μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x=μ对称的区间概率相等.如：
①P(X
②P(X<μ-a)=P(X>μ+a).
(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ-σ，μ+σ]，[μ-2σ，μ+2σ]，[μ-3σ，μ+3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解.
针对训练
3.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，若P(ξ>3)=0.18，则P(1≤ξ≤2)= ( )
A.0.18 B.0.32
C.0.68 D.0.82
解析：易知正态曲线的对称轴为直线x=2，所以P(1≤ξ≤2)=P(ξ≤2)-P(ξ<1)=P(ξ≤2)-P(ξ>3)=0.5-0.18=0.32.故选B.
√
4.(2024·新课标Ⅰ卷)[多选]为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则( )
(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ+σ)≈0.841 3)
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
√
√
解析：依题可知X~N(1.8，0.12)，Y~N(2.1，0.12)，
故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3>0.5，C正确，D错误；P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)，因为P(X<1.8+0.1)≈0.841 3，
所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7<0.2，
而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)1.8+0.1)<0.2，B正确，A错误.故选BC.
题型(三) 正态分布的实际应用
[例3] 有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20，4).若这批零件共有5 000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18~22 mm间的零件所占的百分比；
解：∵X~N(20，4)，∴μ=20，σ=2，
∴μ-σ=18，μ+σ=22，于是尺寸在18~22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%.
(2)若规定尺寸在24~26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个
解：∵μ-3σ=14，μ+3σ=26，μ-2σ=16，μ+2σ=24，
∴尺寸在14~26 mm间的零件所占的百分比大约是99.73%，而尺寸在16~24 mm间的零件所占的百分比大约是95.45%.
∴尺寸在24~26 mm间的零件所占的百分比大约是=2.14%.
因此尺寸在24~26 mm间的零件大约5 000×2.14%≈107(个).
∴这批零件中不合格的零件大约有107个.
[思维建模]
正态分布的实际应用
解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ-3σ，μ+3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是概率较小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格.
针对训练
5.假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布N(500，52)(单位：g)，该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于515 g.
(1)求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于515 g的概率为多少；
解：设正常情况下，该生产线上包装出来的食盐质量为X g，由题意可知X~N(500，52).
由于515=500+3×5，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知，P(X>515)=P(|X-3×5|>500)≈×0.3%=0.15%.
(2)检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理 请说明理由.
解：检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由(1)可知，随机抽取两包检查，质量都大于515 g的概率约为0.15%×0.15%
=2.25×10-6，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的.
课时跟踪检测
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A级——综合提能
1.某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的正态
曲线如图所示，下列说法正确的是( )
A.甲科总体成绩的标准差最小
B.丙科总体成绩的平均数最小
C.乙科总体成绩的标准差及平均数都居中
D.甲、乙、丙三科成绩的平均数不相同
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2.已知随机变量X~N(0，1)，则X在区间(-∞，-2)内取值的概率约为 ( )
A.0.954 B.0.046
C.0.977 D.0.023
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3.为了解某地高中男生的身体发育状况，随机抽取
1 000名男生测量他们的体重，测量的结果表明他
们的体重X(单位：kg)服从正态分布N(μ，22)，正
态曲线如图所示.若体重落在区间[58.5，62.5]内属于正常情况，则在这
1 000名男生中不属于正常情况的人数约是 ( )
A.954 B.819
C.683 D.317
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解析：由题意可知，μ=60.5，σ=2，故P(58.5≤X≤62.5)=P(μ-σ≤X≤
μ+σ)≈0.682 7，从而不属于正常情况的人数约是1 000×(1-0.682 7)≈317.
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4.某工厂制造的某种机器零件的尺寸X~N(100，0.01)，现从中随机抽取10 000个零件，尺寸在[99.8，99.9]内的个数约为 ( )
A.2 718 B.1 359
C.430 D.215
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解析：因为X~N(100，0.01)，所以μ=100，σ=0.1，
则P(99.8≤X≤99.9)=P(μ-2σ≤X≤μ-σ)=[P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-
P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.故随机抽取的10 000个零件中尺寸在[99.8，99.9]内的个数约为10 000×0.135 9=1 359.
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5.[多选]已知某高校学生每周阅读时间X(单位：小时)服从正态分布N(9，4)，则下列说法正确的是(附：若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σA.该校学生每周平均阅读时间为9小时
B.该校学生每周阅读时间的标准差为4
C.该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占0.15%
D.若该校有10 000名学生，则每周阅读时间在3~5小时的人数约为210
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√
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解析：因为X~N(9，4)，所以该校学生每周平均阅读时间为9小时，每周阅读时间的标准差为2，故A正确，B错误；该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占×100%=×100%
=×100%=0.15%，故C正确；每周阅读时间在3~5小时的人数占[P(3μ+2σ)]×100%=×(0.997-0.955)×100%=2.1%，则每周阅读时间在3~5小时的人数约为2.1%×10 000=210，故D正确.故选ACD.
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6.若随机变量ξ~N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)=0.4，则P(ξ>11)=______.
解析：由P(9≤ξ≤11)=0.4且正态曲线以直线x=μ=10为对称轴知，P(9≤ξ≤11)=2P(10≤ξ≤11)=0.4，即P(10≤ξ≤11)=0.2，
又P(ξ≥10)=0.5，所以P(ξ>11)=0.5-0.2=0.3.
0.3
7.若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5.设ξ~N(1，σ2)，且P(ξ>3)≈0.158 65，则σ=___.
解析：因为P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7，所以P(ξ>μ+σ)≈×(1-0.682 7)
=0.158 65.因为ξ~N(1，σ2)，P(ξ>1+σ)≈0.158 65，所以1+σ=3，即σ=2.
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8.据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X服从正态分布N(60，102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第_____名.
解析：依题意，P(60-20≤X≤60+20)≈0.954 5，P(X>80)≈(1-0.954 5)
≈0.022 8，
故成绩高于80分的考生人数约为10 000×0.022 8=228.所以该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名.
229
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9.已知随机变量X~N(μ，σ2)，且其正态曲线在(-∞，80)上单调递增，在(80，+∞)上单调递减，且P(72≤X≤88)≈0.682 7.
(1)求参数μ，σ的值；
解：由于正态曲线在(-∞，80)上单调递增，在(80，+∞)上单调递减，所以正态曲线关于直线x=80对称，即参数μ=80.又P(72≤X≤88)≈0.682 7.
结合P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，可知σ=8.
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(2)求P(64≤X≤72).
解：因为P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=P(64≤X≤96)≈0.954 5.
P(μ-σ≤X≤μ+σ)=P(72≤X≤88)≈0.682 7，
所以P(64≤X≤72)=[P(64≤X≤96)-P(72≤X≤88)]≈×(0.954 5-0.682 7)
=0.135 9.
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10.某校积极响应国家号召，组织全校学生加强实心球项目训练，规定该校男生投掷实心球6.9米达标，女生投掷实心球6.2米达标，并拟定投掷实心球的考试方案为每位学生可以投掷3次，一旦达标就不用再投.从该校任选5名学生进行测试，如果有2人不达标的概率超过0.1，则该校学生还需加强实心球项目训练.已知该校男生投掷实心球的米数ξ1服从正态分布N(6.9，0.25)，女生投掷实心球的米数ξ2服从正态分布N(6.2，0.16).
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(1)请你通过计算，说明该校学生是否还需加强实心球项目训练；
解：由该校男生投掷实心球的米数ξ1服从正态分布N(6.9，0.25)，女生投掷实心球的米数ξ2服从正态分布N(6.2，0.16)，可知该校男生和女生达标的概率均为，不达标的概率均为，所以选5人进行测试时，有2人不达标的概率为×=>0.1，
所以该校学生还需加强实心球项目训练.
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(2)为提高学生考试达标率，该校决定加强训练，经过一段时间训练后，该校女生投掷实心球的米数X服从正态分布N(6.516，0.16)，且P(X≤
6.832)=0.785.此时，请判断该校女生投掷实心球的考试达标率能否达到99%，并说明理由.(取的值为2.15)
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解：由题意知X~N(6.516，0.16)，P(X≤6.832)=0.785，
即P(X≤6.516+0.316)=0.785，
所以P(X≥6.2)=P(X≥6.516-0.316)=P(X≤6.832)=0.785，
所以女生的达标率为[1-(1-0.785)3]×100%=(1-0.2153)×100%
=×100%=99%，所以该校女生投掷实心球的考试达标率能达到99%.
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B级——应用创新
11.[多选]如图是正态分布N(0，1)的正态曲线图，下列
选项表示图中阴影部分面积的为(注：Φ(a)=P(X≤a))
( )
A.-Φ(-a) B.Φ(1-a)
C.Φ(a)- D.Φ(0)
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解析：因为Φ(-a)=P(X≤-a)，所以题图中阴影部分的面积为-P(X≤-a)
=-Φ(-a)，又根据性质Φ(-a)+Φ(a)=1，可得-Φ(-a)=-[1-Φ(a)]=Φ(a)-.所以A、C正确.
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12.[多选]若随机变量ξ~N(0，1)，φ(x)=P(ξ≤x)，其中x>0，则下列等式成立的是 ( )
A.φ(-x)=1-φ(x)
B.φ(2x)=2φ(x)
C.P(|ξ|D.P(|ξ|>x)=2-φ(x)
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解析：因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)，
所以正态曲线关于直线x=0对称，如图所示.又φ(x)
=P(ξ≤x)，x>0，根据曲线的对称性，所以φ(-x)=
P(ξ≥x)=1-φ(x)，所以A正确；φ(2x)=P(ξ≤2x)，2φ(x)=2P(ξ≤x)，所以φ(2x)≠2φ(x)，故B错误；P(|ξ|=2φ(x)-1，所以C正确；P(|ξ|>x)=P(ξ>x或ξ<-x)=1-φ(x)+φ(-x)
=1-φ(x)+1-φ(x)=2-2φ(x)，所以D错误.故选AC.
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13.[多选]某农户贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植红玫瑰和白玫瑰后销售.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布N(μ，302)和N(280，402)，则下列结论正确的是(附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ-σA.若红玫瑰日销售量在(μ-30，280)内的概率是0.682 6，则红玫瑰日销售量平均为250
B.白玫瑰日销售量在(240，+∞)内的概率约为0.841 3
C.白玫瑰日销售量在(320，+∞)内的概率约为0.341 3
D.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
√
√
√
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解析：对于A，由题意得μ+30=280，解得μ=250，故红玫瑰日销售量平均为250，故A正确；对于B，设白玫瑰的日销售量为X，则X~N(280，402)，令μ2=280，σ2=40，所以P(X>240)=P(X>μ2-σ2)=P(μ2-σ2+≈0.682 6+=0.841 3，P(X>320)=
≈=0.158 7，故B正确，C错误；对于D，
∵红玫瑰日销售量的方差为900，白玫瑰日销售量的方差为1 600，
∴红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故D正确.故选ABD.
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14.为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试.高三全体考生的数学成绩X(单位：分)近似服从正态分布N(100，17.52).已知成绩在117.5分以上的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩在82.5分以下的概率为_______，如果成绩在135分以上的为特别优秀，那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有_____人.
附：若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.96.
0.16
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解析：由题意得P(X<82.5)=P(X<μ-σ)=P(X<μ)-≈0.5-
=0.16，因为正态曲线关于直线x=100对称，所以P(X>117.5)=P(X<82.5)
=0.16，因为成绩在117.5分以上的学生有80人，所以本次高三考生总人数约为=500.又P(X>135)=P(X>μ+2σ)=P(X>μ)-≈0.5-
=0.02，所以本次考试数学成绩特别优秀的大约有500×0.02=10(人).
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15.某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径Z(单位：cm)的数据如下：97，97，98，102，105，107，108，109，113，114.设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ.
(1)求μ与σ；
解：由题意得μ=×(97+97+98+102+105+107+108+109+113+114)=105，
σ2=×(64+64+49+9+0+4+9+16+64+81)=36，∴σ=6.
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(2)假设这批零件的内径Z(单位：cm)服从正态分布N(μ，σ2).
①从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径小于87 cm的个数为X，求E(4X+3)；
②若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径(单位：cm)分别为86，95，103，109，118，以原设备生产性能为标准，这台设备是否需要进一步调试 说明理由.
参考数据：若X~N(μ，σ2)，则P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤
X≤μ+3σ)≈0.997 3，0.997 34≈0.99.
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解：①由(1)得Z~N(105，36)，∴P(Z<87)=P(Z<μ-3σ)=P(Z<μ)
-≈0.5-=0.001 35，
∴X~B(5，0.001 35)，∴E(4X+3)=4E(X)+3=4×5×0.001 35+3=3.027.
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②需要.理由如下：
∵P(87≤Z≤123)=P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3，∴5个零件中恰有1个零件的内径不在[μ-3σ，μ+3σ]内的概率为×0.997 34×(1-0.997 3)
≈5×0.99×0.002 7=0.013 365.
∵86 [87，123]，∴试生产的5个零件中出现了1个零件的内径不在[μ-3σ，μ+3σ]内，出现的频率为0.2，大概是0.013 365的15倍，根据3σ原则，这台设备需要进一步调试.7.5 正态分布(强基课梯度进阶式教学)
课时目标
1.了解正态曲线和正态分布的概念,能借助正态曲线理解正态曲线的特点及曲线表示的意义.
2.了解变量落在区间[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]的概率大小,会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间内的概率;会用正态分布解决实际问题.
1.正态曲线
我们称f(x)= ,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,为 ,称它的图象为正态密度曲线,简称 .
2.正态分布
(1)若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).特别地,当μ= ,σ= 时,称随机变量X服从标准正态分布.
(2)若X~N(μ,σ2),则E(X)= ,D(X)= .
3.正态曲线的特点
(1)非负性:对 x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的 .
(2)定值性:曲线与x轴之间的面积为 .
(3)对称性:曲线是单峰的,它关于直线 对称.
(4)最大值:曲线在 处达到峰值.
(5)当|x|无限增大时,曲线无限接近 轴.
微点助解
(1)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图①.
(2)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ较小时曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中;σ较大时,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图②.
4.3σ原则
(1)假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ) 是一个只与k有关的定值.特别地,
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
(2)尽管正态变量的取值范围是(-∞,+∞),但在一次试验中,X的取值几乎总是落在区间[μ-3σ,μ+3σ]内,而在此区间外取值的概率大约只有 ,通常认为这种情况几乎不可能发生.
(3)在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
[基点训练]
1.设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=,则这个正态总体的均值与标准差分别是 ( )
A.10与8 B.10与2
C.8与10 D.2与10
2.函数f(x)=(其中μ<0)的图象可能为 ( )
3.在正态分布N中,数据落在[-2,2]内的概率为 .
题型(一) 正态曲线
[例1] 已知随机变量服从正态分布,其正态曲线如图所示,则总体的均值μ= ,方差σ2= .
听课记录:
[思维建模]
正态曲线中μ,σ的认识
利用图象求正态密度函数的解析式,应抓住图象的实质,主要有两点:
一是对称轴x=μ,二是最值.这两点确定以后,相应参数μ,σ便确定了,代入便可求出相应的解析式.
[针对训练]
1.[多选]某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩X(单位:分)服从正态分布,其正态密度函数f(x)=·,则下列说法正确的是 ( )
A.这次考试的数学平均成绩为80分
B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D.这次考试的数学成绩的标准差为10
2.若一个正态密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为,求该正态密度函数的解析式.
题型(二) 正态分布的概率计算
[例2] 设ξ~N(1,22),试求:
(1)P(-1≤ξ≤3);
(2)P(3≤ξ≤5).
听课记录:
[变式拓展]
若本例条件不变,求P(ξ>5).
[思维建模]
利用正态分布求概率的两个方法
(1)对称法:由于正态曲线是关于直线x=μ对称的,且概率的和为1,故关于直线x=μ对称的区间概率相等.如:
①P(X②P(X<μ-a)=P(X>μ+a).
(2)“3σ”法:利用X落在区间[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]内的概率分别是0.682 7,0.954 5,0.997 3求解.
[针对训练]
3.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),若P(ξ>3)=0.18,则P(1≤ξ≤2)= ( )
A.0.18 B.0.32
C.0.68 D.0.82
4.(2024·新课标Ⅰ卷)[多选]为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则 ( )
(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),P(Z<μ+σ)≈0.841 3)
A.P(X>2)>0.2
B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5
D.P(Y>2)<0.8
题型(三) 正态分布的实际应用
[例3] 有一种精密零件,其尺寸X(单位:mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5 000个,试求:
(1)这批零件中尺寸在18~22 mm间的零件所占的百分比;
(2)若规定尺寸在24~26 mm间的零件不合格,则这批零件中不合格的零件大约有多少个
听课记录:
[思维建模]
正态分布的实际应用
解题时,应当注意零件尺寸应落在[μ-3σ,μ+3σ]之内,否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是概率较小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的,而一旦发生了,就可以认为这批产品不合格.
[针对训练]
5.假设某厂包装食盐的生产线,正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布N(500,52)(单位:g),该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐,称得其质量均大于515 g.
(1)求正常情况下,任意抽取一包食盐,质量大于515 g的概率为多少;
(2)检测员根据抽检结果,判断出该生产线出现异常,要求立即停产检修,检测员的判断是否合理 请说明理由.
7.5 正态分布
课前环节
1. 正态密度函数 正态曲线 2.(1)0 1 (2)μ σ2 3.(1)上方 (2)1 (3)x=μ (4)x=μ (5)x 4.(2)0.002 7
[基点训练]
1.B
2.选A 函数f(x)图象的对称轴为直线x=μ,因为μ<0,所以排除B、D;又正态曲线位于x轴上方,因此排除C,故选A.
3.解析:由题可得μ=0,σ=,P(-2≤X≤2)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
答案:0.997 3
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解析:从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线x=20对称,最大值是,所以=,解得σ=,因此总体的均值μ=20,方差σ2=()2=2.
答案:20 2
[针对训练]
1.选ACD 由函数解析式知这次考试的数学平均成绩为80分,标准差为10,故A、D正确.因为函数图象关于直线x=80对称,所以分数在120分以上的人数与分数在40分以下的人数相同,分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同,故B错误,C正确.
2.解:由于该正态密度函数是一个偶函数,
所以正态曲线关于y轴对称,即μ=0,
又该函数的最大值是,
所以=,解得σ=4.
故所求正态密度函数的解析式为f(x)=,x∈(-∞,+∞).
[题型(二)]
[例2] 解:∵ξ~N(1,22),∴μ=1,σ=2.
(1)P(-1≤ξ≤3)=P(1-2≤ξ≤1+2)=P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7.
(2)∵P(3≤ξ≤5)=P(-3≤ξ≤-1),
∴P(3≤ξ≤5)=[P(-3≤ξ≤5)-P(-1≤ξ≤3)]=[P(1-4≤ξ≤1+4)-P(1-2≤ξ≤1+2)]=[P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)]≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.
[变式拓展]
解:P(ξ>5)=P(ξ<-3)=[1-P(-3≤ξ≤5)]=[1-P(1-4≤ξ≤1+4)]=[1-P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)]≈×(1-0.954 5)=0.022 75.
[针对训练]
3.选B 易知正态曲线的对称轴为直线x=2,所以P(1≤ξ≤2)=P(ξ≤2)-P(ξ<1)=P(ξ≤2)-P(ξ>3)=0.5-0.18=0.32.故选B.
4.选BC 依题可知X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12),故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3>0.5,C正确,D错误;P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1),因为P(X<1.8+0.1)≈0.841 3,所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7<0.2,而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)1.8+0.1)<0.2,B正确,A错误.故选BC.
[题型(三)]
[例3] 解:(1)∵X~N(20,4),∴μ=20,σ=2,
∴μ-σ=18,μ+σ=22,于是尺寸在18~22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%.
(2)∵μ-3σ=14,μ+3σ=26,μ-2σ=16,μ+2σ=24,
∴尺寸在14~26 mm间的零件所占的百分比大约是99.73%,而尺寸在16~24 mm间的零件所占的百分比大约是95.45%.
∴尺寸在24~26 mm间的零件所占的百分比大约是=2.14%.
因此尺寸在24~26 mm间的零件大约5 000×2.14%≈107(个).
∴这批零件中不合格的零件大约有107个.
[针对训练]
5.解:(1)设正常情况下,该生产线上包装出来的食盐质量为X g,由题意可知X~N(500,52).
由于515=500+3×5,所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知,P(X>515)=P(|X-3×5|>500)≈×0.3%=0.15%.
(2)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话,由(1)可知,随机抽取两包检查,质量都大于515 g的概率约为0.15%×0.15%=2.25×10-6,几乎为零,但这样的事件竟然发生了,所以有理由认为生产线出现了异常,检测员的判断是合理的.
1 / 4课时跟踪检测(二十二) 正态分布\
A级——综合提能
1.某市教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示,下列说法正确的是 ( )
A.甲科总体成绩的标准差最小
B.丙科总体成绩的平均数最小
C.乙科总体成绩的标准差及平均数都居中
D.甲、乙、丙三科成绩的平均数不相同
2.已知随机变量X~N(0,1),则X在区间(-∞,-2)内取值的概率约为 ( )
A.0.954 B.0.046
C.0.977 D.0.023
3.为了解某地高中男生的身体发育状况,随机抽取1 000名男生测量他们的体重,测量的结果表明他们的体重X(单位:kg)服从正态分布N(μ,22),正态曲线如图所示.若体重落在区间[58.5,62.5]内属于正常情况,则在这1 000名男生中不属于正常情况的人数约是 ( )
A.954 B.819
C.683 D.317
4.某工厂制造的某种机器零件的尺寸X~N(100,0.01),现从中随机抽取10 000个零件,尺寸在[99.8,99.9]内的个数约为 ( )
A.2 718 B.1 359
C.430 D.215
5.[多选]已知某高校学生每周阅读时间X(单位:小时)服从正态分布N(9,4),则下列说法正确的是(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σA.该校学生每周平均阅读时间为9小时
B.该校学生每周阅读时间的标准差为4
C.该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占0.15%
D.若该校有10 000名学生,则每周阅读时间在3~5小时的人数约为210
6.若随机变量ξ~N(10,σ2),P(9≤ξ≤11)=0.4,则P(ξ>11)= .
7.若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5.设ξ~N(1,σ2),且P(ξ>3)≈0.158 65,则σ= .
8.据抽样统计,在某市的公务员考试中,考生的综合评分X服从正态分布N(60,102),考生共10 000人,若一考生的综合评分为80分,则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第 名.
9.已知随机变量X~N(μ,σ2),且其正态曲线在(-∞,80)上单调递增,在(80,+∞)上单调递减,且P(72≤X≤88)≈0.682 7.
(1)求参数μ,σ的值;
(2)求P(64≤X≤72).
10.某校积极响应国家号召,组织全校学生加强实心球项目训练,规定该校男生投掷实心球6.9米达标,女生投掷实心球6.2米达标,并拟定投掷实心球的考试方案为每位学生可以投掷3次,一旦达标就不用再投.从该校任选5名学生进行测试,如果有2人不达标的概率超过0.1,则该校学生还需加强实心球项目训练.已知该校男生投掷实心球的米数ξ1服从正态分布N(6.9,0.25),女生投掷实心球的米数ξ2服从正态分布N(6.2,0.16).
(1)请你通过计算,说明该校学生是否还需加强实心球项目训练;
(2)为提高学生考试达标率,该校决定加强训练,经过一段时间训练后,该校女生投掷实心球的米数X服从正态分布N(6.516,0.16),且P(X≤6.832)=0.785.此时,请判断该校女生投掷实心球的考试达标率能否达到99%,并说明理由.(取的值为2.15)
B级——应用创新
11.[多选]如图是正态分布N(0,1)的正态曲线图,下列选项表示图中阴影部分面积的为(注:Φ(a)=P(X≤a)) ( )
A.-Φ(-a) B.Φ(1-a)
C.Φ(a)- D.Φ(0)
12.[多选]若随机变量ξ~N(0,1),φ(x)=P(ξ≤x),其中x>0,则下列等式成立的是 ( )
A.φ(-x)=1-φ(x)
B.φ(2x)=2φ(x)
C.P(|ξ|D.P(|ξ|>x)=2-φ(x)
13.[多选]某农户贷款承包了一个新型温室鲜花大棚,种植红玫瑰和白玫瑰后销售.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布N(μ,302)和N(280,402),则下列结论正确的是(附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σA.若红玫瑰日销售量在(μ-30,280)内的概率是0.682 6,则红玫瑰日销售量平均为250
B.白玫瑰日销售量在(240,+∞)内的概率约为0.841 3
C.白玫瑰日销售量在(320,+∞)内的概率约为0.341 3
D.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
14.为了解高三复习备考情况,某校组织了一次阶段考试.高三全体考生的数学成绩X(单位:分)近似服从正态分布N(100,17.52).已知成绩在117.5分以上的学生有80人,则此次参加考试的学生成绩在82.5分以下的概率为 ,如果成绩在135分以上的为特别优秀,那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有 人.
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.96.
15.某车间生产一批零件,现从中随机抽取10个零件,测量其内径Z(单位:cm)的数据如下:97,97,98,102,105,107,108,109,113,114.设这10个数据的平均值为μ,标准差为σ.
(1)求μ与σ;
(2)假设这批零件的内径Z(单位:cm)服从正态分布N(μ,σ2).
①从这批零件中随机抽取5个,设这5个零件中内径小于87 cm的个数为X,求E(4X+3);
②若该车间又新购一台设备,安装调试后,试生产了5个零件,测量其内径(单位:cm)分别为86,95,103,109,118,以原设备生产性能为标准,这台设备是否需要进一步调试 说明理由.
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3,0.997 34≈0.99.
课时跟踪检测(二十二)
1.A 2.D
3.选D 由题意可知,μ=60.5,σ=2,故P(58.5≤X≤62.5)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,从而不属于正常情况的人数约是1 000×(1-0.682 7)≈317.
4.选B 因为X~N(100,0.01),所以μ=100,σ=0.1,则P(99.8≤X≤99.9)=P(μ-2σ≤X≤μ-σ)=[P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.故随机抽取的10 000个零件中尺寸在[99.8,99.9]内的个数约为10 000×0.135 9=1 359.
5.选ACD 因为X~N(9,4),所以该校学生每周平均阅读时间为9小时,每周阅读时间的标准差为2,故A正确,B错误;该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占×100%=×100%=×100%=0.15%,故C正确;每周阅读时间在3~5小时的人数占[P(36.解析:由P(9≤ξ≤11)=0.4且正态曲线以直线x=μ=10为对称轴知,P(9≤ξ≤11)=2P(10≤ξ≤11)=0.4,即P(10≤ξ≤11)=0.2,又P(ξ≥10)=0.5,所以P(ξ>11)=0.5-0.2=0.3.
答案:0.3
7.解析:因为P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,所以P(ξ>μ+σ)≈×(1-0.682 7)=0.158 65.因为ξ~N(1,σ2),P(ξ>1+σ)≈0.158 65,所以1+σ=3,即σ=2.
答案:2
8.解析:依题意,P(60-20≤X≤60+20)≈0.954 5,P(X>80)≈(1-0.954 5)≈0.022 8,
故成绩高于80分的考生人数约为10 000×0.022 8=228.所以该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名.
答案:229
9.解:(1)由于正态曲线在(-∞,80)上单调递增,在(80,+∞)上单调递减,所以正态曲线关于直线x=80对称,即参数μ=80.又P(72≤X≤88)≈0.682 7.
结合P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,可知σ=8.
(2)因为P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=P(64≤X≤96)≈0.954 5.
P(μ-σ≤X≤μ+σ)=P(72≤X≤88)≈0.682 7,所以P(64≤X≤72)=[P(64≤X≤96)-P(72≤X≤88)]≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.
10.解:(1)由该校男生投掷实心球的米数ξ1服从正态分布N(6.9,0.25),女生投掷实心球的米数ξ2服从正态分布N(6.2,0.16),可知该校男生和女生达标的概率均为,不达标的概率均为,所以选5人进行测试时,有2人不达标的概率为×=>0.1,
所以该校学生还需加强实心球项目训练.
(2)由题意知X~N(6.516,0.16),P(X≤6.832)=0.785,即P(X≤6.516+0.316)=0.785,
所以P(X≥6.2)=P(X≥6.516-0.316)=P(X≤6.832)=0.785,
所以女生的达标率为[1-(1-0.785)3]×100%=(1-0.2153)×100%=×100%=99%,所以该校女生投掷实心球的考试达标率能达到99%.
11.选AC 因为Φ(-a)=P(X≤-a),所以题图中阴影部分的面积为-P(X≤-a)=-Φ(-a),又根据性质Φ(-a)+Φ(a)=1,可得-Φ(-a)=-[1-Φ(a)]=Φ(a)-.所以A、C正确.
12.选AC 因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1),所以正态曲线关于直线x=0对称,如图所示.又φ(x)=P(ξ≤x),x>0,根据曲线的对称性,所以φ(-x)=P(ξ≥x)=1-φ(x),所以A正确;φ(2x)=P(ξ≤2x),2φ(x)=2P(ξ≤x),所以φ(2x)≠2φ(x),故B错误;P(|ξ|x)=P(ξ>x或ξ<-x)=1-φ(x)+φ(-x)=1-φ(x)+1-φ(x)=2-2φ(x),所以D错误.故选AC.
13.选ABD 对于A,由题意得μ+30=280,解得μ=250,故红玫瑰日销售量平均为250,故A正确;对于B,设白玫瑰的日销售量为X,则X~N(280,402),令μ2=280,σ2=40,所以P(X>240)=P(X>μ2-σ2)=P(μ2-σ2320)=≈=0.158 7,故B正确,C错误;对于D,∵红玫瑰日销售量的方差为900,白玫瑰日销售量的方差为1 600,∴红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中,故D正确.故选ABD.
14.解析:由题意得P(X<82.5)=P(X<μ-σ)=P(X<μ)-≈0.5-=0.16,因为正态曲线关于直线x=100对称,所以P(X>117.5)=P(X<82.5)=0.16,因为成绩在117.5分以上的学生有80人,所以本次高三考生总人数约为=500.又P(X>135)=P(X>μ+2σ)=P(X>μ)-≈0.5-=0.02,所以本次考试数学成绩特别优秀的大约有500×0.02=10(人).
答案:0.16 10
15.解:(1)由题意得μ=×(97+97+98+102+105+107+108+109+113+114)=105,
σ2=×(64+64+49+9+0+4+9+16+64+81)=36,∴σ=6.
(2)①由(1)得Z~N(105,36),∴P(Z<87)=P(Z<μ-3σ)=P(Z<μ)-≈0.5-=0.001 35,
∴X~B(5,0.001 35),∴E(4X+3)=4E(X)+3=4×5×0.001 35+3=3.027.
②需要.理由如下:
∵P(87≤Z≤123)=P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3,∴5个零件中恰有1个零件的内径不在[μ-3σ,μ+3σ]内的概率为×0.997 34×(1-0.997 3)≈5×0.99×0.002 7=0.013 365.
∵86 [87,123],∴试生产的5个零件中出现了1个零件的内径不在[μ-3σ,μ+3σ]内,出现的频率为0.2,大概是0.013 365的15倍,根据3σ原则,这台设备需要进一步调试.
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