板块综合融会 离散型随机变量及其分布列
(习题课小结评价式教学)
[建构知识体系]
[融通学科素养]
1.浸润的核心素养
(1)通过解决统计图表与随机变量的均值、方差的综合问题,重点提升直观想象、数据分析的核心素养.
(2)在学习超几何分布与二项分布的区别过程中,重点提升数学建模、数据分析、数学运算的核心素养.
2.渗透的数学思想
(1)涉及数形结合的题目主要是统计图表和随机变量的分布列的综合问题,要仔细观察统计图表,以便从中提取信息用以后续计算.
(2)在涉及概率问题的计算时,要注意转化为古典概型问题或相互独立事件的概率问题,体现了化归的思想方法.
融通点(一) 超几何分布与二项分布的区别
[例1] 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,对该流水线上的产品进行简单随机抽样,获得数据如下表:
分组区间 (单位:克) (490, 495] (495, 500] (500, 505] (505, 510] (510, 515]
产品件数 3 4 7 5 1
包装质量在(495,510]克的产品为一等品,其余为二等品.
(1)估计从该流水线上任取一件产品为一等品的概率;
(2)从上述抽取的样本产品中任取2件,设X为一等品的产品数量,求X的分布列;
(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为一等品的产品数量,求Y的分布列;试比较期望E(X)与期望E(Y)的大小.(结论不要求证明)
听课记录:
[思维建模] 二项分布与超几何分布的辨别方法
二项分布 超几何分布
特点 在n重伯努利试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p 在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品
概率 公式 P(X=k)=·pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n P(X=k)=,k=0,1,2,…,m(m=min{n,M},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*)
期望、方差 公式 E(X)=np, D(X)=np(1-p) E(X)=, D(X)=
当N→+∞时,超几何分布近似为二项分布
[针对训练]
1.在10件产品中有2件次品,连续抽3次,每次抽1件,求:
(1)不放回抽样时,抽取次品数X的均值;
(2)放回抽样时,抽取次品数Y的均值与方差.
2.某校高一年级举行数学史知识竞赛,每个同学从10道题中一次性抽出4道作答.小张有7道题能答对,3道不能答对;小王每道答对的概率均为p(0
(1)分别求小张,小王答对题目数的分布列;
(2)若预测小张答对题目数多于小王答对题目数,求p的取值范围.
融通点(二) 与互斥、独立事件有关的分布列的均值与方差
[例2] 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目,节目组准备了A,B两组歌曲的主旋律制成的铃声,随机从A,B两组歌曲中各播放两首歌曲的主旋律制成的铃声,该嘉宾根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.已知该嘉宾猜对A组中每首歌曲的歌名的概率均是,猜对B组中每首歌曲的歌名的概率均是,且猜对每首歌曲的歌名相互独立.
(1)求该嘉宾至少猜对两首歌曲的歌名的概率;
(2)若嘉宾猜对一首A组歌曲的歌名得1分,猜对一首B组歌曲的歌名得2分,猜错均得0分,记该嘉宾累计得分为X,求X的分布列与均值.
听课记录:
[思维建模]
若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求解时,可以利用分布列的性质求其概率.
[针对训练]
3.为了促进消费,某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动:每位会员客户可在价值80元,90元,100元的A,B,C三种商品中选择一种使用积分进行兑换,每10积分可兑换1元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有1 000积分,且甲兑换A,B,C三种商品的概率分别为,,,乙兑换A,B,C三种商品的概率分别为,,,且他们兑换何种商品相互独立.
(1)求甲、乙两人兑换同一种商品的概率;
(2)记X为两人兑换商品后的积分总余额,求X的分布列与均值.
融通点(三) 概率与统计相结合
[例3] 某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查,统计学生每天的学习时间(单位:h),将样本数据分成[3,4),[4,5),[5,6),[6,7),[7,8]五个组,并整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)已知该校高三年级共有600名学生,根据甲班的统计数据,估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数;
(2)已知这两个班级各有40名学生,从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人,记抽到的甲班学生人数为X,求X的分布列和均值;
(3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为,,试比较与的大小.(只需写出结论)
听课记录:
[思维建模]
求与统计有关的分布列问题,常借助题设条件运用古典概型的计算公式、二项分布的计算公式、超几何分布的计算公式及均值的公式求解,或借助题设条件运用频率分布直方图和分布列求解.
[针对训练]
4.某市为争创“文明城市”,现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管,为了解市民对该项目的满意度,分别从不同地区随机抽取了200名市民对该项目进行评分,绘制如下频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)用频率作为概率的估计值,现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况,用X表示抽到的评分在90分以上的人数,求X的分布列及均值E(X).
板块综合融会 离散型随机变量及其分布列
[融通点(一)]
[例1] 解:(1)样本中的产品件数为3+4+7+5+1=20,包装质量在(495,510]克的产品件数为4+7+5=16,故从该流水线上任取一件产品为一等品的概率P==.
(2)依题意,得X的可能取值为0,1,2,
P(X=2)==,P(X=1)==,P(X=0)==.
故X的分布列为
X 0 1 2
P
(3)由(2)可得E(X)=0×+1×+2×=,
依题意得Y~B,且Y的可能取值为0,1,2,
则P(Y=2)==,P(Y=1)=××=,P(Y=0)==.
故Y的分布列为
Y 0 1 2
P
所以E(Y)=2×=,E(Y)=E(X).
[针对训练]
1.解:(1)法一 由题意知X的可能取值为0,1,2.
P(X=0)==;
P(X=1)==;
P(X=2)==.
∴随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=.
法二 由题意知P(X=k)=(k=0,1,2),
∴随机变量X服从超几何分布,n=3,M=2,N=10,∴E(X)===.
(2)由题意知抽取1次取到次品的概率为=,
随机变量Y服从二项分布B,
∴E(Y)=3×=,D(Y)=3××=.
2.解:(1)设小张答对的题目数为X,可知随机变量X服从超几何分布,X的取值分别为1,2,3,4.有P(X=1)===,
P(X=2)===,
P(X=3)===,
P(X=4)===,
故小张答对的题目数X的分布列为
X 1 2 3 4
P
设小王答对的题目数为Y,可知随机变量Y服从二项分布Y~B(4,p),Y的取值分别为0,1,2,3,4,
有P(Y=0)=(1-p)4,
P(Y=1)=(1-p)3p=4p(1-p)3,
P(Y=2)=(1-p)2p2=6p2(1-p)2,
P(Y=3)=(1-p)p3=4p3(1-p),
P(Y=4)=p4.
故小王答对的题目数Y的分布列为
Y 0 1 2 3 4
P (1-p)4 4p(1-p)3 6p2(1-p)2 4p3(1-p) p4
(2)由(1)可知E(X)=1×+2×+3×+4×=,而Y~B,所以E(Y)=4p,
若预测小张答对的题目数多于小王答对的题目数,
则E(X)>E(Y),即>4p,可得0[融通点(二)]
[例2] 解:(1)该嘉宾一首歌曲的歌名都没有猜对的概率P1=×=;
该嘉宾只猜对一首歌曲的歌名的概率P2=×××+×××=.
故该嘉宾至少猜对两首歌曲的歌名的概率P=1-P1-P2=.
(2)由题意可得X的所有可能取值分别是0,1,2,3,4,5,6.
没有猜对A组中每首歌曲的歌名的概率为1-=,没有猜对B组中每首歌曲的歌名的概率是1-=,
则P(X=0)=×=,
P(X=1)=×××=,
P(X=2)=×+×××=,
P(X=3)=×××××=,
P(X=4)=×××+×=,
P(X=5)=×××=,
P(X=6)=×=.
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
故E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×+6×=.
[针对训练]
3.解:(1)由题可知,甲、乙两人兑换同一种商品的概率为×+×+×=.
(2)由题意知,兑换A,B,C三种商品所需的积分分别为800,900,1 000,
则X的取值可能为0,100,200,300,400,
P(X=0)=×=,
P(X=100)=×+×=,
P(X=200)=×+×+×=,
P(X=300)=×+×=,
P(X=400)=×=,
则X的分布列为
X 0 100 200 300 400
P
E(X)=0×+100×+200×+300×+400×=250.
[融通点(三)]
[例3] 解:(1)由甲班频率分布直方图知,甲班每天学习时间达到5小时及以上的频率为(0.500+0.250+0.050)×1=0.8.故该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为0.8×600=480.
(2)甲班每天学习时间不足4小时的人数约为40×0.050×1=2,乙班每天学习时间不足4小时的人数约为40×0.100×1=4,
所以两个班每天学习时间不足4小时的学生共6人.从中随机抽取3人,则抽到的甲班学生人数X的可能取值为0,1,2,且X服从超几何分布,
则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
法一 E(X)=0×+1×+2×=1.
法二 E(X)==1.
(3)从甲、乙两个班级学生每天的学习时间的频率分布直方图上来看,甲班的数据比较集中,乙班的数据相比甲班较为分散,故<.
[针对训练]
4.解:(1)在频率分布直方图中,所有矩形的面积之和为1,则(0.002+0.004+0.014+0.02+0.035+a)×10=1,解得a=0.025.
(2)因为评分在90分以上的市民所占的频率为0.025×10=0.25,
由题意可知,X~B,
所以P(X=0)==,
P(X=1)=××=,
P(X=2)=××=,
P(X=3)=××=,
P(X=4)==,
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)=4×=1.
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板块综合融会 离散型随机变量及其分布列
(习题课——小结评价式教学)
[建构知识体系]
[融通学科素养]
1.浸润的核心素养
(1)通过解决统计图表与随机变量的均值、方差的综合问题，重点提升直观想象、数据分析的核心素养.
(2)在学习超几何分布与二项分布的区别过程中，重点提升数学建模、数据分析、数学运算的核心素养.
2.渗透的数学思想
(1)涉及数形结合的题目主要是统计图表和随机变量的分布列的综合问题，要仔细观察统计图表，以便从中提取信息用以后续计算.
(2)在涉及概率问题的计算时，要注意转化为古典概型问题或相互独立事件的概率问题，体现了化归的思想方法.
CONTENTS
目录
1
2
3
融通点(一) 超几何分布与二项分布的区别
融通点(二) 与互斥、独立事件有关的分布列的均值与方差
融通点(三) 概率与统计相结合
4
课时跟踪检测
融通点(一) 超几何分布与
二项分布的区别
01
[例1] 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表：
分组区间 (单位：克) (490，495] (495，500] (500，505] (505，510] (510，515]
产品件数 3 4 7 5 1
包装质量在(495，510]克的产品为一等品，其余为二等品.
(1)估计从该流水线上任取一件产品为一等品的概率；
解：样本中的产品件数为3+4+7+5+1=20，包装质量在(495，510]克的产品件数为4+7+5=16，故从该流水线上任取一件产品为一等品的概率P==.
(2)从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列；
解：依题意，得X的可能取值为0，1，2，
P(X=2)==，P(X=1)==，
P(X=0)==.故X的分布列为
X 0 1 2
P
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求Y的分布列；试比较期望E(X)与期望E(Y)的大小.(结论不要求证明)
解：由(2)可得E(X)=0×+1×+2×=，
依题意得Y~B，且Y的可能取值为0，1，2，
则P(Y=2)==，P(Y=1)=××=，P(Y=0)==.
故Y的分布列为
Y 0 1 2
P
所以E(Y)=2×=，E(Y)=E(X).
[思维建模] 二项分布与超几何分布的辨别方法
二项分布 超几何分布
特点 在n重伯努利试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品
概率 公式 P(X=k)=·pk(1-p)n-k，k=0，1，2，…，n P(X=k)=，k=0，1，2，…，m(m=min{n，M}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*)
期望、 方差公式 E(X)=np， D(X)=np(1-p) E(X)=，
D(X)=
当N→+∞时，超几何分布近似为二项分布
续表
1.在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：
(1)不放回抽样时，抽取次品数X的均值；
解：法一 由题意知X的可能取值为0，1，2.
P(X=0)==；P(X=1)==；
P(X=2)==.
针对训练
∴随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=.
法二 由题意知P(X=k)=(k=0，1，2)，
∴随机变量X服从超几何分布，n=3，M=2，N=10，∴E(X)===.
(2)放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差.
解：由题意知抽取1次取到次品的概率为=，
随机变量Y服从二项分布B，∴E(Y)=3×=，D(Y)=3××=.
2.某校高一年级举行数学史知识竞赛，每个同学从10道题中一次性抽出4道作答.小张有7道题能答对，3道不能答对；小王每道答对的概率均为p(0(1)分别求小张，小王答对题目数的分布列；
解：设小张答对的题目数为X，可知随机变量X服从超几何分布，X的取值分别为1，2，3，4.有P(X=1)===，
P(X=2)===，
P(X=3)===，
P(X=4)===，
故小张答对的题目数X的分布列为
X 1 2 3 4
P
设小王答对的题目数为Y，可知随机变量Y服从二项分布Y~B(4，p)，Y的取值分别为0，1，2，3，4，
有P(Y=0)=(1-p)4，
P(Y=1)=(1-p)3p=4p(1-p)3，
P(Y=2)=(1-p)2p2=6p2(1-p)2，
P(Y=3)=(1-p)p3=4p3(1-p)，
P(Y=4)=p4.
故小王答对的题目数Y的分布列为
Y 0 1 2 3 4
P (1-p)4 4p(1-p)3 6p2(1-p)2 4p3(1-p) p4
(2)若预测小张答对题目数多于小王答对题目数，求p的取值范围.
解：由(1)可知E(X)=1×+2×+3×+4×=，而Y~B，所以E(Y)=4p，
若预测小张答对的题目数多于小王答对的题目数，
则E(X)>E(Y)，即>4p，可得0故p的取值范围是.
融通点(二) 与互斥、独立事件有关的分布列的均值与方差
02
[例2] 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，节目组准备了A，B两组歌曲的主旋律制成的铃声，随机从A，B两组歌曲中各播放两首歌曲的主旋律制成的铃声，该嘉宾根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.已知该嘉宾猜对A组中每首歌曲的歌名的概率均是，猜对B组中每首歌曲的歌名的概率均是，且猜对每首歌曲的歌名相互独立.
(1)求该嘉宾至少猜对两首歌曲的歌名的概率；
解：该嘉宾一首歌曲的歌名都没有猜对的概率P1=×=；
该嘉宾只猜对一首歌曲的歌名的概率P2=×××+×××=.
故该嘉宾至少猜对两首歌曲的歌名的概率P=1-P1-P2=.
(2)若嘉宾猜对一首A组歌曲的歌名得1分，猜对一首B组歌曲的歌名得2分，猜错均得0分，记该嘉宾累计得分为X，求X的分布列与均值.
解：由题意可得X的所有可能取值分别是0，1，2，3，4，5，6.
没有猜对A组中每首歌曲的歌名的概率为1-=，没有猜对B组中每首歌曲的歌名的概率是1-=，
则P(X=0)=×=，
P(X=1)=×××=，
P(X=2)=×+×××=，
P(X=3)=×××××=，
P(X=4)=×××+×=，
P(X=5)=×××=，
P(X=6)=×=.
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
故E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×+6×=.
[思维建模]
若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求解时，可以利用分布列的性质求其概率.
针对训练
3.为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值80元，90元，100元的A，B，C三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每10积分可兑换1元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有1 000积分，且甲兑换A，B，C三种商品的概率分别为，乙兑换A，B，C三种商品的概率分别为，且他们兑换何种商品相互独立.
(1)求甲、乙两人兑换同一种商品的概率；
解：由题可知，甲、乙两人兑换同一种商品的概率为×+×+
×=.
(2)记X为两人兑换商品后的积分总余额，求X的分布列与均值.
解：由题意知，兑换A，B，C三种商品所需的积分分别为800，900，1 000，
则X的取值可能为0，100，200，300，400，
P(X=0)=×=，
P(X=100)=×+×=，
P(X=200)=×+×+×=，
P(X=300)=×+×=，
P(X=400)=×=，
则X的分布列为
X 0 100 200 300 400
P
E(X)=0×+100×+200×+300×+400×=250.
融通点(三) 概率与统计相结合
03
[例3] 某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间(单位：h)，将样本数据分成[3，4)，[4，5)，
[5，6)，[6，7)，[7，8]五个组，并整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数；
解：由甲班频率分布直方图知，甲班每天学习时间达到5小时及以上的频率为(0.500+0.250+0.050)×1=0.8.故该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为0.8×600=480.
(2)已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记抽到的甲班学生人数为X，求X的分布列和均值；
解：甲班每天学习时间不足4小时的人数约为40×0.050×1=2，乙班每天学习时间不足4小时的人数约为40×0.100×1=4，
所以两个班每天学习时间不足4小时的学生共6人.从中随机抽取3人，则抽到的甲班学生人数X的可能取值为0，1，2，且X服从超几何分布，
则P(X=0)==，P(X=1)==，
P(X=2)==，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
法一 E(X)=0×+1×+2×=1.
法二 E(X)==1.
(3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，试比较与的大小.(只需写出结论)
解：从甲、乙两个班级学生每天的学习时间的频率分布直方图上来看，甲班的数据比较集中，乙班的数据相比甲班较为分散，故<.
[思维建模]
求与统计有关的分布列问题，常借助题设条件运用古典概型的计算公式、二项分布的计算公式、超几何分布的计算公式及均值的公式求解，或借助题设条件运用频率分布直方图和分布列求解.
针对训练
4.某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了200名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值；
解：在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1，
则(0.002+0.004+0.014+0.02+0.035+a)×10=1，解得a=0.025.
(2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用X表示抽到的评分在90分以上的人数，求X的分布列及均值E(X).
解：因为评分在90分以上的市民所占的频率为0.025×10=0.25，
由题意可知，X~B，
所以P(X=0)==，
P(X=1)=××=，
P(X=2)=××=，
P(X=3)=××=，
P(X=4)==，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)=4×=1.
课时跟踪检测
03
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
A级——综合提能
1.某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会都是p，则供电网络中一天平均用电的单位个数是( )
A.np(1-p) B.np
C.n D.p(1-p)
解析：∵用电单位的个数X~B(n，p)，
∴E(X)=np.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
2.若随机变量X的分布列如表所示，则E(X)等于 ( )
√
X 0 1 2 3 4 5
P 2x 3x 7x 2x 3x x
A.B. C. D.
解析：因为2x+3x+7x+2x+3x+x=18x=1，所以x=，因此E(X)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x=40×=.
1
5
6
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12
13
3
4
2
3.某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如表所示：
若以频率视为概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为 ( )
使用时 间/天 10~20 21~30 31~40 41~50 51~60
个数 10 40 80 50 20
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
A. B.
C. D.
解析：由题表可知元件使用寿命在30天以上的概率为=，则所求概率为××+=.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
4.已知离散型随机变量X的分布列为
则D(X)的值为 ( )
A.B. C. D.1
√
X 0 1 2
P m
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
解析：由分布列的性质，知+m+=1，∴m=.∴E(X)=0×+1×+2×=1，D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2
×=.
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5.已知X是离散型随机变量，P(X=x1)=，P(X=x2)=，且x1A. B.
C.3 D.
√
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解析：∵E(X)=x1+x2=，∴x2=4-2x1，
又D(X)=×+×=，x11
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6.李明参加某大会的青年志愿者选拔，在已知备选的10道题中，李明能答对其中的6道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选.则李明入选的概率为______.
解析：设所选3题中李明能答对的题数为X，则X服从参数为N=10，M=6，n=3的超几何分布，且P(X=k)=(k=0，1，2，3)，故所求概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=+=.
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7.某校为了增强学生对传统文化的继承和发扬，组织了一场类似《诗词大会》PK赛(共4局)，A，B两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各胜者均得1分，每局的负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为_______.
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2
解析：比赛结束时A队的得分高于B队的得分的情况有三种，
第一种：A队全胜，概率为=.
第二种：A队三胜一负，概率为××=.
第三种：A队胜第三局，另外三局一胜二负，
概率为×××=.
所以比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为++=.
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8.五一临近，某火车站有三个安检入口，每个安检入口每天通过的旅客人数(单位：人)超过1 100人的概率不低于0.2，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天至少有两个超过1 100人的概率最少为______.
0.104
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解析：由题意可知旅客人数X超过1 100人的概率不低于0.2，即P(X>1 100)
≥0.2，所以这三个安检入口每天至少有两个超过1 100人的概率最少为P=×0.22×(1-0.2)+×0.23×(1-0.2)0=0.104.
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9.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为[490，495)，[495，500)，…，[510，515]，由此得到样本的频率分布直方图如图所示.
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2
(1)根据频率分布直方图，求抽取的40件产品中重量超过505克的产品数量；
解：重量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3，
所以重量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件).
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(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为重量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；
解：重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，X服从超几何分布.
则P(X=0)==，P(X=1)==，
P(X=2)==，
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所以X的分布列为
X 0 1 2
P
X的均值为
法一 E(X)=0×+1×+2×=.
法二 E(X)==.
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2
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列.
解：根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的重量超过505克的概率为=.
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，重量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y~B，
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2
P(Y=k)=××，k=0，1，2，
所以P(Y=0)=×=，
P(Y=1)=××=，
P(Y=2)=×=.
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所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
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2
10.某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的考核，每个项目只有一次补考机会，补考不及格者不能进入下一个项目的考核(即淘汰).若该学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，假设每一次考核是否合格互不影响，该生不放弃每一次考核的机会.用X表示其参加补考的次数，求随机变量X的均值与方差.
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2
解：X的可能取值为0，1，2.
设“该学生第一次、第二次身体体能考核合格”分别为事件A1，A2，“第一次、第二次外语考核合格”分别为事件B1，B2，
则P(X=0)=P(A1B1)=×=，
P(X=2)=P(A2B2)+P(A2)
=×××+×××=.
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2
根据分布列的性质，可知P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=，D(X)=×+×+×=.
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2
B级——应用创新
11.已知随机变量ξ的分布列如表，若D(ξ-1)=，则E(ξ-1)=( )
A. B.-C.-或- D.或-
√
ξ -1 0 1
P a c
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2
解析：由题意得，a+c=，a∈，E(ξ)=-2a+.若D(ξ-1)=，则D(ξ)=，所以a++
=，整理得，12a2-8a+1=0，解得a=或a=，所以E(ξ)=-2a+=-或，E(ξ-1)=E(ξ)-1=-或-.
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12.[多选]某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10 100)，其中A的各位数中ak(k=1，2，3，4，5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X=a1+a2+a3+a4+a5，则当程序运行一次时( )
A.X服从超几何分布 B.P(X=1)=
C.X的均值E(X)= D.X的方差D(X)=
√
√
√
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2
解析：由二进制数A的特点知，每一个数位上的数字只能填0，1且每个数位上的数字互不影响，故X的可能取值有0，1，2，3，4，5，且X的取值表示1出现的次数，由二项分布的定义，可得X~B，故A错误；故P(X=1)==，故B正确；因为X~B，所以E(X)=5×=，D(X)=5××=，故C、D正确.故选BCD.
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2
13.2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹.某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异.在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
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2
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值a，将该指标小于a的人判定为阳性，大于或等于a的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(a)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(a).假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率.
(1)当临界值a=20时，求漏诊率p(a)和误诊率q(a)；
解：由频率分布直方图可知p(20)=0.02×5=0.1，q(20)=0.01×5=0.05.
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(2)从指标在区间[20，25]样本中随机抽取2人，记随机变量X为未患病者的人数，求X的分布列和均值；
解：样本中患病者在指标为区间[20，25]的人数是20×0.02×5=2，未患病者在指标为区间[20，25]的人数是20×0.03×5=3，总人数为5.
X可能的取值为0，1，2.
P(X=0)==，P(X=1)==，
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P(X=2)==.
随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=.
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(3)在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记f(a)为该地诊断结果不符合真实情况的概率.当a∈[20，25]时，直接写出使得f(a)取最小值时的a的值.
解：由题意得，f(a)=q(a)×95%+p(a)×5%，
a∈[20，25]时，令a=t+20(t=0，1，2，3，4，5)，
则q(a)=5×，
1
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p(a)=5×，
所以f(a)=g(t)=5××95%+5×
×5%，则关于t的一次函数的系数为5(0.03×19%-0.02×1%)>0，
故g(t)单调递增，故当t=0即a=20时，f(a)取最小值.课时跟踪检测(二十一) 离散型随机变量及其分布列
A级——综合提能
1.某一供电网络有n个用电单位,每个单位在一天中用电的机会都是p,则供电网络中一天平均用电的单位个数是 ( )
A.np(1-p) B.np
C.n D.p(1-p)
2.若随机变量X的分布列如表所示,则E(X)等于 ( )
X 0 1 2 3 4 5
P 2x 3x 7x 2x 3x x
A. B.
C. D.
3.某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查,随机抽查的200个机械元件情况如表所示:
使用时 间/天 10~20 21~30 31~40 41~50 51~60
个数 10 40 80 50 20
若以频率视为概率,现从该批次机械元件中随机抽取3个,则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为 ( )
A. B.
C. D.
4.已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P m
则D(X)的值为 ( )
A. B.
C. D.1
5.已知X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1A. B.
C.3 D.
6.李明参加某大会的青年志愿者选拔,在已知备选的10道题中,李明能答对其中的6道,规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试,至少答对2题才能入选.则李明入选的概率为 .
7.某校为了增强学生对传统文化的继承和发扬,组织了一场类似《诗词大会》PK赛(共4局),A,B两队各由4名选手组成,每局两队各派一名选手PK,除第三局胜者得2分外,其余各胜者均得1分,每局的负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为 .
8.五一临近,某火车站有三个安检入口,每个安检入口每天通过的旅客人数(单位:人)超过1 100人的概率不低于0.2,假设三个安检入口均能正常工作,则这三个安检入口每天至少有两个超过1 100人的概率最少为 .
9.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为[490,495),[495,500),…,[510,515],由此得到样本的频率分布直方图如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求抽取的40件产品中重量超过505克的产品数量;
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为重量超过505克的产品数量,求X的分布列,并求其均值;
(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为重量超过505克的产品数量,求Y的分布列.
10.某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的考核,每个项目只有一次补考机会,补考不及格者不能进入下一个项目的考核(即淘汰).若该学生身体体能考核合格的概率是,外语考核合格的概率是,假设每一次考核是否合格互不影响,该生不放弃每一次考核的机会.用X表示其参加补考的次数,求随机变量X的均值与方差.
B级——应用创新
11.已知随机变量ξ的分布列如表,若D(ξ-1)=,则E(ξ-1)= ( )
ξ -1 0 1
P a c
A. B.-
C.-或- D.或-
12.[多选]某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10 100),其中A的各位数中ak(k=1,2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为,记X=a1+a2+a3+a4+a5,则当程序运行一次时 ( )
A.X服从超几何分布 B.P(X=1)=
C.X的均值E(X)= D.X的方差D(X)=
13.2023年冬,甲型流感病毒来势汹汹.某科研小组经过研究发现,患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异.在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值a,将该指标小于a的人判定为阳性,大于或等于a的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(a);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(a).假设数据在组内均匀分布,用频率估计概率.
(1)当临界值a=20时,求漏诊率p(a)和误诊率q(a);
(2)从指标在区间[20,25]样本中随机抽取2人,记随机变量X为未患病者的人数,求X的分布列和均值;
(3)在该地患病者占全部人口的5%的情况下,记f(a)为该地诊断结果不符合真实情况的概率.当a∈[20,25]时,直接写出使得f(a)取最小值时的a的值.
课时跟踪检测(二十一)
1.选B ∵用电单位的个数X~B(n,p),
∴E(X)=np.
2.选C 因为2x+3x+7x+2x+3x+x=18x=1,所以x=,因此E(X)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x=40×=.
3.选D 由题表可知元件使用寿命在30天以上的概率为=,则所求概率为××+=.
4.选B 由分布列的性质,知+m+=1,∴m=.∴E(X)=0×+1×+2×=1,D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=.
5.选C ∵E(X)=x1+x2=,∴x2=4-2x1,又D(X)=×+×=,x16.解析:设所选3题中李明能答对的题数为X,则X服从参数为N=10,M=6,n=3的超几何分布,且P(X=k)=(k=0,1,2,3),故所求概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=+=.
答案:
7.解析:比赛结束时A队的得分高于B队的得分的情况有三种,
第一种:A队全胜,概率为=.
第二种:A队三胜一负,概率为××=.
第三种:A队胜第三局,另外三局一胜二负,概率为×××=.
所以比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为++=.
答案:
8.解析:由题意可知旅客人数X超过1 100人的概率不低于0.2,即P(X>1 100)≥0.2,所以这三个安检入口每天至少有两个超过1 100人的概率最少为P=×0.22×(1-0.2)+×0.23×(1-0.2)0=0.104.
答案:0.104
9.解:(1)重量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3,
所以重量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件).
(2)重量超过505克的产品数量为12件,则重量未超过505克的产品数量为28件,X的取值为0,1,2,X服从超几何分布.
则P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
X的均值为
法一 E(X)=0×+1×+2×=.
法二 E(X)==.
(3)根据样本估计总体的思想,取一件产品,该产品的重量超过505克的概率为=.
从流水线上任取2件产品互不影响,该问题可看成2重伯努利试验,重量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2,且Y~B,P(Y=k)=××,k=0,1,2,
所以P(Y=0)=×=,
P(Y=1)=××=,
P(Y=2)=×=.
所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
10.解:X的可能取值为0,1,2.
设“该学生第一次、第二次身体体能考核合格”分别为事件A1,A2,“第一次、第二次外语考核合格”分别为事件B1,B2,
则P(X=0)=P(A1B1)=×=,
P(X=2)=P(A2B2)+P(A2)
=×××+×××=.
根据分布列的性质,可知P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=,D(X)=×+×+×=.
11.选C 由题意得,a+c=,a∈,E(ξ)=-2a+.若D(ξ-1)=,则D(ξ)=,所以a+-2a+2+-a-2a+-12=,整理得,12a2-8a+1=0,解得a=或a=,所以E(ξ)=-2a+=-或,E(ξ-1)=E(ξ)-1=-或-.
12.选BCD 由二进制数A的特点知,每一个数位上的数字只能填0,1且每个数位上的数字互不影响,故X的可能取值有0,1,2,3,4,5,且X的取值表示1出现的次数,由二项分布的定义,可得X~B,故A错误;故P(X=1)==,故B正确;因为X~B,所以E(X)=5×=,D(X)=5××=,故C、D正确.故选BCD.
13.解:(1)由频率分布直方图可知p(20)=0.02×5=0.1,q(20)=0.01×5=0.05.
(2)样本中患病者在指标为区间[20,25]的人数是20×0.02×5=2,未患病者在指标为区间[20,25]的人数是20×0.03×5=3,总人数为5.
X可能的取值为0,1,2.
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.
随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=.
(3)由题意得,f(a)=q(a)×95%+p(a)×5%,a∈[20,25]时,令a=t+20(t=0,1,2,3,4,5),
则q(a)=5×,
p(a)=5×,
所以f(a)=g(t)=5×0.01+0.03××95%+5××5%,则关于t的一次函数的系数为5(0.03×19%-0.02×1%)>0,故g(t)单调递增,故当t=0即a=20时,f(a)取最小值.
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