阶段质量评价(二) 随机变量及其分布（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第三册
文档属性
| 名称 | 阶段质量评价(二) 随机变量及其分布（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-25 20:14:03 | ||
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文档简介
阶段质量评价(二) 随机变量及其分布
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.甲击中目标的概率是,如果击中赢10分,否则输11分,用X表示他的得分,则X的均值为 ( )
A.0.5分 B.-0.5分
C.1分 D.5分
2.已知随机变量X的分布列为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P= ( )
A. B.
C. D.
3.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A=“两个点数互不相同”,B=“出现一个5点”,则P(B|A)= ( )
A. B.
C. D.
4.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)A.0.7 B.0.6
C.0.4 D.0.3
5.某公司现有员工120人,在荣获“优秀员工”称号的85人中,有75人是高级工程师.既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有14人,公司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访,被选中的员工是高级工程师的概率为 ( )
A. B.
C. D.
6.长时间玩手机可能影响视力,据调查,某学校学生中,大约有的学生每天玩手机超过1 h,这些人近视率约为,其余学生的近视率约为,现从该校任意调查一名学生,他近视的概率大约是 ( )
A. B.
C. D.
7.甲、乙两人进行乒乓球比赛,采用三局两胜的比赛制度,规定每局比赛都没有平局(必须分出胜负),若每一局甲赢的概率都是p,且0A.E(X)= B.E(X)>
C.D(X)> D.D(X)<
8.为了提升全民身体素质,学校十分重视学生的体育锻炼.某校一位篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进,则他后一球投进的概率为,若他前一球投不进,则他后一球投进的概率为.若他第1个球投进的概率为,则他第4个球投进的概率为 ( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.某工厂加工一种零件,有两种不同的工艺选择,用这两种工艺加工一个零件所需时间t(单位:小时)均近似服从正态分布,用工艺1加工一个零件所用时间X~N(μ1,),用工艺2加工一个零件所用时间Y~N(μ2,),X,Y的正态曲线如图,则下列结论正确的是 ( )
A.μ1<μ2,>
B.若加工时间只有a个小时,应选择工艺2
C.若加工时间只有c个小时,应选择工艺2
D. t0∈(b,c),P(XP(Y10.设随机变量ξ的分布列如表所示:
ξ 1 2 3 … 2 023 2 024
P a1 a2 a3 … a2 023 a2 024
则下列说法正确的是 ( )
A.当{an}为等差数列时,a2+a2 023=
B.数列{an}的通项公式可能为an=
C.当数列{an}满足an=(n=1,2,…,2 023)时,a2 024=
D.当数列{an}满足P(ξ≤k)=k2ak(k=1,2,…,2 024)时,(n+1)an=(n-1)an-1(n≥2,n∈N*)
11.在一次数学学业水平测试中,某市高一全体学生的成绩X~N(μ,σ2),且E(X)=80,D(X)=400,规定测试成绩不低于60分者为及格,高于120分者为优秀,令P(|X-μ|≤σ)=m,P(|X-μ|≤2σ)=n,则 ( )
A.μ=80,σ=400
B.从该市高一全体学生中随机抽取一名学生,该生测试成绩及格但不优秀的概率为
C.从该市高一全体学生中(数量很大)依次抽取两名学生,这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为
D.从该市高一全体学生中随机抽取一名学生,在已知该生测试成绩及格的条件下,该生测试成绩优秀的概率为
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上)
12.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动,服务活动共有“走进社区”“环境监测”“爱心义演”“交通宣传”四个项目,每人限报其中的一项,记事件A为“四名同学所报项目各不相同”,事件B为“只有甲同学报‘走进社区’项目”,则P(A|B)的值为 .
13.为舒缓高考压力,某中学高三年级开展了“葵花心语”活动,每个同学选择一颗葵花种子亲自播种在花盆中,四个人为一互助组,每组四人的种子播种在同一花盆中,若盆中至少长出三株花苗,则可评为“阳光小组”.已知每颗种子发芽的概率为0.8,全年级恰好共种了500盆,则大概有 个小组能评为“阳光小组”.(结果保留整数)
14.江先生朝九晚五上班,上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行.江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟.公交车多且路程近一些,但乘坐公交路上经常拥堵,所需时间Y(单位:分钟)服从正态分布N(33,42),下车后从公交站步行到单位要12分钟;乘坐地铁畅通,但路线长且乘客多,所需时间Z(单位:分钟)服从正态分布N(44,22),下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.有下列说法:①若8:00出门,则乘坐公交上班不会迟到;②若8:02出门,则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大;③若8:06出门,则乘坐公交上班不迟到的可能性更大;④若8:12出门,则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到.从统计的角度分析,以上所有合理说法的序号是 .
附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件,甲加工的次品率为6%,乙、丙加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起,已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.
(1)任取一个零件,求它是次品的概率;
(2)如果取到的零件是次品,求它是丙车床加工的概率.
16.(15分)某校总务处的主任要购买学校教学用的粉笔,并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”还是“非优质产品”的方法.某品牌的粉笔整箱出售,每箱共有20盒,根据以往的经验,其中会有某些盒的粉笔为非优质产品,其余的都为优质产品.并且每箱含有0,1,2盒非优质产品的概率依次为0.7,0.2,0.1.为了购买该品牌的粉笔,校总务处主任设计了一种购买的方案:欲买一箱粉笔,随机查看该箱中的4盒粉笔,如果没有非优质产品,则购买,否则不购买.设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A,“箱中有i(i=0,1,2)盒粉笔为非优质产品”为事件Bi.
(1)求P(A|B0),P(A|B1),P(A|B2);
(2)随机查看某一箱该品牌粉笔中的4盒,设X为其中非优质产品的盒数,求X的分布列及期望;
(3)假设购买100箱该品牌粉笔,若按照主任所设计的方案进行购买,箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望比随机购买的箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望大10,则所设计的方案有效.讨论该方案是否有效.
17.(15分)生产A,B两种元件,其质量按测试指标划分为指标大于或等于82为正品,小于82为次品.现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下表:
测试 指标 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100]
元件A 8 12 40 32 8
元件B 7 18 40 29 6
(1)试分别估计元件A,元件B为正品的概率;
(2)生产一件元件A,若是正品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件元件B,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元.在(1)的前提下,
①记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望;
②求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率.
18.(17分)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试,一种通常采用的测试方法如下:拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝,要求其按品质优劣为它们排序;经过一段时间,等其记忆淡忘之后,再让其品尝这n瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序.这称为一轮测试,根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.
现设n=4,分别以a1,a2,a3,a4表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号,并令X=|1-a1|+|2-a2|+|3-a3|+|4-a4|,则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.
(1)写出X的可能取值的集合.
(2)假设a1,a2,a3,a4等可能地为1,2,3,4的各种排列,求X的分布列.
(3)某品酒师在相继进行的三轮测试中,都有X≤2.
①试按(2)中的结果,计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立);
②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何 说明理由.
19.(17分)若ξ,η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量,则称(ξ,η)是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机向量.设(ξ,η)的一切可能取值为(ai,bj),i,j=1,2,…,记pij表示(ai,bj)在Ω中出现的概率,其中pij=P(ξ=ai,η=bj)=P[(ξ=ai)∩(η=bj)].
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中,记1号盒子中的小球个数为ξ,2号盒子中的小球个数为η,则(ξ,η)是一个二维随机变量.
①写出该二维离散型随机变量(ξ,η)的所有可能取值;
②若(m,n)是①中的值,求P(ξ=m,η=n)(结果用m,n表示);
(2)P(ξ=ai)称为二维离散型随机变量(ξ，η)关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：P(ξ=ai)=pij.
阶段质量评价(二)
1.选B E(X)=10×+(-11)×=-0.5.
2.选A 由题意得+++=1,解得a=.所以P=P(X=1)+P(X=2)=×=.故选A.
3.选A 出现点数互不相同的共有n(A)=6×5=30(种),出现一个5点共有n(AB)=5×2=10(种),所以P(B|A)==.
4.选B 由题意得X~B(10,p).因为D(X)=2.4,所以10p·(1-p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4.因为P(X=4)0.5,所以p=0.6.故选B.
5.选C 如图,设集合A为“优秀员工”,集合B为“高级工程师”,由题集合A有85个元素,A∩B有75个元素, U(A∪B)里有14个元素,故集合B中有96个元素.故概率p==.故选C.
6.选C 设事件A为“任意调查一名学生,每天玩手机超过1 h”,事件B为“任意调查一名学生,该学生近视”,则P(A)=,P(B|A)=,所以P()=1-P(A)=,P(B|)=,则P(B)=P(A)·P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.故选C.
7.选D 随机变量X的可能取值为2,3,P(X=2)=p2+(1-p)2=2p2-2p+1,P(X=3)=p(1-p)p+p(1-p)·(1-p)=2p-2p2,故E(X)=2(2p2-2p+1)+3(2p-2p2)=-2p2+2p+2=-2+,因为08.选B 设该篮球运动员投进第(n-1)(n≥2,n∈N*)个球的概率为Pn-1,则他投进第n个球的概率为Pn=Pn-1+(1-Pn-1)=+Pn-1,∴Pn-=,又P1-=-=≠0,∴是以为首项,为公比的等比数列,∴Pn-=·=,∴Pn=+(n∈N*),∴P4=.故选B.
9.选AC 对于A,由X~N(μ1,),Y~N(μ2,)及题图可知X的正态曲线的对称轴为直线t=μ1=a,Y的正态曲线的对称轴为直线t=μ2=b,且ac),P(Y≤c)=1-P(Y>c),而P(X>c)>P(Y>c),可知P(X≤c)10.选ABD 设数列a1,a2,a3,…,a2 023,a2 024的前n项和为Sn.对于A,因为{an}为等差数列,所以S2 024==1,则有a2+a2 023=a1+a2 024=,故A正确;对于B,若数列{an}的通项公式为an==,则S2 024=×1-+-+…+-=×=1,符合分布列的性质,故B正确;对于C,因为an=(n=1,2,…,2 023),所以S2 024=+a2 024=1-+a2 024=1,则有a2 024=,故C错误;对于D,令Tk=P(ξ≤k)=k2ak,则ak+1=Tk+1-Tk=(k+1)2ak+1-k2ak,故=,所以=(n≥2,n∈N*),即(n+1)an=(n-1)an-1(n≥2,n∈N*),故D正确.故选ABD.
11.选BCD 对于A,由E(X)=80,D(X)=400,则μ=80,σ2=400,故A错误;对于B,由μ=80,σ2=400,则X~N(80,202),则μ-σ=80-20=60,μ+2σ=80+2×20=120,故有P(60≤X≤100)=m,P(40≤X≤120)=n,则P(100≤X≤120)=,则P(60≤X≤120)=+m=,即从该市高一全体学生中随机抽取一名学生,该生测试成绩及格但不优秀的概率为,故B正确;对于C,P(X>120)=,则从该市高一全体学生中(数量很大)依次抽取两名学生,这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为P=2××=,故C正确;对于D,P(X≥60)=+,又P(X>120)=,故从该市高一全体学生中随机抽取一名学生,该生测试成绩及格的概率为+,该生测试成绩优秀的概率为,则在已知该生测试成绩及格的条件下,该生测试成绩优秀的概率为=,故D正确.故选BCD.
12.解析:根据题意得P(B)==,P(AB)==,所以P(A|B)==.
答案:
13.解析:由题意知,每一盆至少长出三株花苗包括“恰好长出三株花苗”和“长出四株花苗”两种情况,其概率为×0.84+×(1-0.8)×0.83=0.819 2,即一盆花苗能被评为“阳光小组”的概率为0.819 2,且被评为“阳光小组”的盆数X服从二项分布B(500,0.819 2),所以500盆花苗中能被评为“阳光小组”的有500×0.819 2=409.6≈410.
答案:410
14.解析:对于说法①,江先生乘坐公交的时间不大于43分钟才不会迟到,因为P(Y≤43)43)>1-0.998 65=0.001 35,所以“江先生8:00出门,乘坐公交上班迟到”还是有可能发生的,所以说法①不合理.
对于说法②,若江先生乘坐地铁上班,则其乘坐地铁的时间不大于48分钟才不会迟到,因为P(44-4≤Z≤44+4)≈0.954 5,所以P(Z≤48)≈0.5+0.954 5×0.5=0.977 25,所以“江先生8:02出门,乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性约为0.977 25;若江先生乘坐公交上班,则其乘坐公交的时间不大于41分钟才不会迟到,因为P(33-8≤Y≤33+8)≈0.954 5,所以P(Y≤41)≈0.5+0.954 5×0.5=0.977 25,所以“江先生8:02出门,乘坐公交上班不迟到”发生的可能性约为0.977 25,二者可能性相近,所以说法②不合理.
对于说法③,若江先生乘坐公交上班,则其乘坐公交的时间不大于37分钟才不会迟到,因为P(33-4≤Y≤33+4)≈0.682 7,所以P(Y≤37)≈0.5+0.5×0.682 7=0.841 35,所以“江先生8:06出门,乘坐公交上班不迟到”发生的可能性约为0.841 35;若江先生乘坐地铁上班,则其乘坐地铁的时间不大于44分钟才不会迟到,因为P(Z≤44)=0.5,所以“江先生8:06出门,乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性为0.5,又0.841 35>0.5,所以说法③合理.
对于说法④,江先生乘坐地铁的时间不大于38分钟才不会迟到,因为P(44-6≤Z≤44+6)≈0.997 3,所以P(Z≤38)≈(1-0.997 3)×0.5=0.001 35,所以“江先生8:12出门,乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性约为0.001 35,非常小,所以说法④合理.
所以四个说法中合理的是③④.
答案:③④
15.解:(1)设B=“任取一个零件是次品”,A甲=“零件为甲车床加工”,A乙=“零件为乙车床加工”,A丙=“零件为丙车床加工”,则A甲,A乙,A丙两两互斥.
由题意得P(A甲)=0.25,P(A乙)=0.3,P(A丙)=0.45,P(B|A甲)=0.06,P(B|A乙)=P(B|A丙)=0.05,所以P(B)=P(A甲)·P(B|A甲)+P(A乙)P(B|A乙)+P(A丙)·P(B|A丙)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.052 5.
(2)由题意得P(A丙|B)===.
16.解:(1)由已知得P(A|B0)=1,P(A|B1)==,P(A|B2)==.
(2)由题意可知X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=0.7+0.2×+0.1×=,
P(X=1)=0.2×+0.1×=,
P(X=2)=0.1×=.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=.
(3)由题意知,P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=0.7×1+0.2×+0.1×=,
按照主任所设计的方案购买的一箱粉笔中,箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为P(B0|A)===,
因为100×-100×0.7≈6<10,所以该方案无效.
17.解:(1)元件A为正品的概率约为=.
元件B为正品的概率约为=.
(2)①因为生产1件元件A和1件元件B可以分为四种情况:A正B正,A次B正,A正B次,A次B次.
所以随机变量X的所有取值为90,45,30,-15.
因为P(X=90)=×=;
P(X=45)=×=;
P(X=30)=×=;
P(X=-15)=×=.
所以随机变量X的分布列为
X 90 45 30 -15
P
E(X)=90×+45×+30×+(-15)×=66.
②设生产的5件元件B中正品有n件,则次品有(5-n)件.
依题意得50n-10(5-n)≥140,解得n≥.
所以n=4或n=5.
设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A,则P(A)=×+=.
18.解:(1)在1,2,3,4中,奇数与偶数各有两个,所以a2,a4中的奇数个数等于a1,a3中的偶数个数.因为|1-a1|+|3-a3|与|2-a2|+|4-a4|的奇偶数相同,从而X=(|1-a1|+|3-a3|)+(|2-a2|+|4-a4|)必为偶数.又X的值非负,且易知其值不大于8,故X的可能取值的集合为{0,2,4,6,8}.
(2)可用列表或树状图列出1,2,3,4的24种排列,计算每种排列下的X的值,在等可能的假定下,得到X的分布列为
X 0 2 4 6 8
P
(3)①P(X≤2)=P(X=0)+P(X=2)==.
将三轮测试都有X≤2的概率记为P,则P==.
②P=<是一个很小的概率,这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小,所以我们认为该品酒师有良好的酒味鉴别功能,不是随机猜测.
19.解:(1)①该二维离散型随机变量(ξ,η)的所有可能取值为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0).
②依题意,0≤m+n≤3,P(ξ=m,η=n)=P(ξ=m|η=n)·P(η=n),
显然P(η=n)=,
则P(ξ=m|η=n)==,所以P(ξ=m,η=n)=··
==.
(2) 证明：由定义及全概率公式知，
P(ξ=ai)=P{(ξ=ai)∩[(η=b1)∪(η=b2)∪…∪(η=bj)∪…]}=P{[(ξ=ai)∩(η=b1)]∪[(ξ=ai)∩(η=b2)]∪…∪[(ξ=ai)∩(η=bj)]∪…}=P[(ξ=ai)∩(η=b1)]+P[(ξ=ai)∩(η=b2)]+…+P[(ξ=ai)∩(η=bj)]+…=P[(ξ=ai)∩(η=bj)]=P(ξ=ai，η=bj)=pij.
1 / 5
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.甲击中目标的概率是,如果击中赢10分,否则输11分,用X表示他的得分,则X的均值为 ( )
A.0.5分 B.-0.5分
C.1分 D.5分
2.已知随机变量X的分布列为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P= ( )
A. B.
C. D.
3.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A=“两个点数互不相同”,B=“出现一个5点”,则P(B|A)= ( )
A. B.
C. D.
4.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)
C.0.4 D.0.3
5.某公司现有员工120人,在荣获“优秀员工”称号的85人中,有75人是高级工程师.既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有14人,公司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访,被选中的员工是高级工程师的概率为 ( )
A. B.
C. D.
6.长时间玩手机可能影响视力,据调查,某学校学生中,大约有的学生每天玩手机超过1 h,这些人近视率约为,其余学生的近视率约为,现从该校任意调查一名学生,他近视的概率大约是 ( )
A. B.
C. D.
7.甲、乙两人进行乒乓球比赛,采用三局两胜的比赛制度,规定每局比赛都没有平局(必须分出胜负),若每一局甲赢的概率都是p,且0
C.D(X)> D.D(X)<
8.为了提升全民身体素质,学校十分重视学生的体育锻炼.某校一位篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进,则他后一球投进的概率为,若他前一球投不进,则他后一球投进的概率为.若他第1个球投进的概率为,则他第4个球投进的概率为 ( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.某工厂加工一种零件,有两种不同的工艺选择,用这两种工艺加工一个零件所需时间t(单位:小时)均近似服从正态分布,用工艺1加工一个零件所用时间X~N(μ1,),用工艺2加工一个零件所用时间Y~N(μ2,),X,Y的正态曲线如图,则下列结论正确的是 ( )
A.μ1<μ2,>
B.若加工时间只有a个小时,应选择工艺2
C.若加工时间只有c个小时,应选择工艺2
D. t0∈(b,c),P(X
ξ 1 2 3 … 2 023 2 024
P a1 a2 a3 … a2 023 a2 024
则下列说法正确的是 ( )
A.当{an}为等差数列时,a2+a2 023=
B.数列{an}的通项公式可能为an=
C.当数列{an}满足an=(n=1,2,…,2 023)时,a2 024=
D.当数列{an}满足P(ξ≤k)=k2ak(k=1,2,…,2 024)时,(n+1)an=(n-1)an-1(n≥2,n∈N*)
11.在一次数学学业水平测试中,某市高一全体学生的成绩X~N(μ,σ2),且E(X)=80,D(X)=400,规定测试成绩不低于60分者为及格,高于120分者为优秀,令P(|X-μ|≤σ)=m,P(|X-μ|≤2σ)=n,则 ( )
A.μ=80,σ=400
B.从该市高一全体学生中随机抽取一名学生,该生测试成绩及格但不优秀的概率为
C.从该市高一全体学生中(数量很大)依次抽取两名学生,这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为
D.从该市高一全体学生中随机抽取一名学生,在已知该生测试成绩及格的条件下,该生测试成绩优秀的概率为
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上)
12.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动,服务活动共有“走进社区”“环境监测”“爱心义演”“交通宣传”四个项目,每人限报其中的一项,记事件A为“四名同学所报项目各不相同”,事件B为“只有甲同学报‘走进社区’项目”,则P(A|B)的值为 .
13.为舒缓高考压力,某中学高三年级开展了“葵花心语”活动,每个同学选择一颗葵花种子亲自播种在花盆中,四个人为一互助组,每组四人的种子播种在同一花盆中,若盆中至少长出三株花苗,则可评为“阳光小组”.已知每颗种子发芽的概率为0.8,全年级恰好共种了500盆,则大概有 个小组能评为“阳光小组”.(结果保留整数)
14.江先生朝九晚五上班,上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行.江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟.公交车多且路程近一些,但乘坐公交路上经常拥堵,所需时间Y(单位:分钟)服从正态分布N(33,42),下车后从公交站步行到单位要12分钟;乘坐地铁畅通,但路线长且乘客多,所需时间Z(单位:分钟)服从正态分布N(44,22),下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.有下列说法:①若8:00出门,则乘坐公交上班不会迟到;②若8:02出门,则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大;③若8:06出门,则乘坐公交上班不迟到的可能性更大;④若8:12出门,则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到.从统计的角度分析,以上所有合理说法的序号是 .
附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件,甲加工的次品率为6%,乙、丙加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起,已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.
(1)任取一个零件,求它是次品的概率;
(2)如果取到的零件是次品,求它是丙车床加工的概率.
16.(15分)某校总务处的主任要购买学校教学用的粉笔,并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”还是“非优质产品”的方法.某品牌的粉笔整箱出售,每箱共有20盒,根据以往的经验,其中会有某些盒的粉笔为非优质产品,其余的都为优质产品.并且每箱含有0,1,2盒非优质产品的概率依次为0.7,0.2,0.1.为了购买该品牌的粉笔,校总务处主任设计了一种购买的方案:欲买一箱粉笔,随机查看该箱中的4盒粉笔,如果没有非优质产品,则购买,否则不购买.设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A,“箱中有i(i=0,1,2)盒粉笔为非优质产品”为事件Bi.
(1)求P(A|B0),P(A|B1),P(A|B2);
(2)随机查看某一箱该品牌粉笔中的4盒,设X为其中非优质产品的盒数,求X的分布列及期望;
(3)假设购买100箱该品牌粉笔,若按照主任所设计的方案进行购买,箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望比随机购买的箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望大10,则所设计的方案有效.讨论该方案是否有效.
17.(15分)生产A,B两种元件,其质量按测试指标划分为指标大于或等于82为正品,小于82为次品.现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下表:
测试 指标 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100]
元件A 8 12 40 32 8
元件B 7 18 40 29 6
(1)试分别估计元件A,元件B为正品的概率;
(2)生产一件元件A,若是正品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件元件B,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元.在(1)的前提下,
①记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望;
②求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率.
18.(17分)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试,一种通常采用的测试方法如下:拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝,要求其按品质优劣为它们排序;经过一段时间,等其记忆淡忘之后,再让其品尝这n瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序.这称为一轮测试,根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.
现设n=4,分别以a1,a2,a3,a4表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号,并令X=|1-a1|+|2-a2|+|3-a3|+|4-a4|,则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.
(1)写出X的可能取值的集合.
(2)假设a1,a2,a3,a4等可能地为1,2,3,4的各种排列,求X的分布列.
(3)某品酒师在相继进行的三轮测试中,都有X≤2.
①试按(2)中的结果,计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立);
②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何 说明理由.
19.(17分)若ξ,η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量,则称(ξ,η)是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机向量.设(ξ,η)的一切可能取值为(ai,bj),i,j=1,2,…,记pij表示(ai,bj)在Ω中出现的概率,其中pij=P(ξ=ai,η=bj)=P[(ξ=ai)∩(η=bj)].
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中,记1号盒子中的小球个数为ξ,2号盒子中的小球个数为η,则(ξ,η)是一个二维随机变量.
①写出该二维离散型随机变量(ξ,η)的所有可能取值;
②若(m,n)是①中的值,求P(ξ=m,η=n)(结果用m,n表示);
(2)P(ξ=ai)称为二维离散型随机变量(ξ，η)关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：P(ξ=ai)=pij.
阶段质量评价(二)
1.选B E(X)=10×+(-11)×=-0.5.
2.选A 由题意得+++=1,解得a=.所以P=P(X=1)+P(X=2)=×=.故选A.
3.选A 出现点数互不相同的共有n(A)=6×5=30(种),出现一个5点共有n(AB)=5×2=10(种),所以P(B|A)==.
4.选B 由题意得X~B(10,p).因为D(X)=2.4,所以10p·(1-p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4.因为P(X=4)
5.选C 如图,设集合A为“优秀员工”,集合B为“高级工程师”,由题集合A有85个元素,A∩B有75个元素, U(A∪B)里有14个元素,故集合B中有96个元素.故概率p==.故选C.
6.选C 设事件A为“任意调查一名学生,每天玩手机超过1 h”,事件B为“任意调查一名学生,该学生近视”,则P(A)=,P(B|A)=,所以P()=1-P(A)=,P(B|)=,则P(B)=P(A)·P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.故选C.
7.选D 随机变量X的可能取值为2,3,P(X=2)=p2+(1-p)2=2p2-2p+1,P(X=3)=p(1-p)p+p(1-p)·(1-p)=2p-2p2,故E(X)=2(2p2-2p+1)+3(2p-2p2)=-2p2+2p+2=-2+,因为0
9.选AC 对于A,由X~N(μ1,),Y~N(μ2,)及题图可知X的正态曲线的对称轴为直线t=μ1=a,Y的正态曲线的对称轴为直线t=μ2=b,且a
11.选BCD 对于A,由E(X)=80,D(X)=400,则μ=80,σ2=400,故A错误;对于B,由μ=80,σ2=400,则X~N(80,202),则μ-σ=80-20=60,μ+2σ=80+2×20=120,故有P(60≤X≤100)=m,P(40≤X≤120)=n,则P(100≤X≤120)=,则P(60≤X≤120)=+m=,即从该市高一全体学生中随机抽取一名学生,该生测试成绩及格但不优秀的概率为,故B正确;对于C,P(X>120)=,则从该市高一全体学生中(数量很大)依次抽取两名学生,这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为P=2××=,故C正确;对于D,P(X≥60)=+,又P(X>120)=,故从该市高一全体学生中随机抽取一名学生,该生测试成绩及格的概率为+,该生测试成绩优秀的概率为,则在已知该生测试成绩及格的条件下,该生测试成绩优秀的概率为=,故D正确.故选BCD.
12.解析:根据题意得P(B)==,P(AB)==,所以P(A|B)==.
答案:
13.解析:由题意知,每一盆至少长出三株花苗包括“恰好长出三株花苗”和“长出四株花苗”两种情况,其概率为×0.84+×(1-0.8)×0.83=0.819 2,即一盆花苗能被评为“阳光小组”的概率为0.819 2,且被评为“阳光小组”的盆数X服从二项分布B(500,0.819 2),所以500盆花苗中能被评为“阳光小组”的有500×0.819 2=409.6≈410.
答案:410
14.解析:对于说法①,江先生乘坐公交的时间不大于43分钟才不会迟到,因为P(Y≤43)
对于说法②,若江先生乘坐地铁上班,则其乘坐地铁的时间不大于48分钟才不会迟到,因为P(44-4≤Z≤44+4)≈0.954 5,所以P(Z≤48)≈0.5+0.954 5×0.5=0.977 25,所以“江先生8:02出门,乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性约为0.977 25;若江先生乘坐公交上班,则其乘坐公交的时间不大于41分钟才不会迟到,因为P(33-8≤Y≤33+8)≈0.954 5,所以P(Y≤41)≈0.5+0.954 5×0.5=0.977 25,所以“江先生8:02出门,乘坐公交上班不迟到”发生的可能性约为0.977 25,二者可能性相近,所以说法②不合理.
对于说法③,若江先生乘坐公交上班,则其乘坐公交的时间不大于37分钟才不会迟到,因为P(33-4≤Y≤33+4)≈0.682 7,所以P(Y≤37)≈0.5+0.5×0.682 7=0.841 35,所以“江先生8:06出门,乘坐公交上班不迟到”发生的可能性约为0.841 35;若江先生乘坐地铁上班,则其乘坐地铁的时间不大于44分钟才不会迟到,因为P(Z≤44)=0.5,所以“江先生8:06出门,乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性为0.5,又0.841 35>0.5,所以说法③合理.
对于说法④,江先生乘坐地铁的时间不大于38分钟才不会迟到,因为P(44-6≤Z≤44+6)≈0.997 3,所以P(Z≤38)≈(1-0.997 3)×0.5=0.001 35,所以“江先生8:12出门,乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性约为0.001 35,非常小,所以说法④合理.
所以四个说法中合理的是③④.
答案:③④
15.解:(1)设B=“任取一个零件是次品”,A甲=“零件为甲车床加工”,A乙=“零件为乙车床加工”,A丙=“零件为丙车床加工”,则A甲,A乙,A丙两两互斥.
由题意得P(A甲)=0.25,P(A乙)=0.3,P(A丙)=0.45,P(B|A甲)=0.06,P(B|A乙)=P(B|A丙)=0.05,所以P(B)=P(A甲)·P(B|A甲)+P(A乙)P(B|A乙)+P(A丙)·P(B|A丙)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.052 5.
(2)由题意得P(A丙|B)===.
16.解:(1)由已知得P(A|B0)=1,P(A|B1)==,P(A|B2)==.
(2)由题意可知X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=0.7+0.2×+0.1×=,
P(X=1)=0.2×+0.1×=,
P(X=2)=0.1×=.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=.
(3)由题意知,P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=0.7×1+0.2×+0.1×=,
按照主任所设计的方案购买的一箱粉笔中,箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为P(B0|A)===,
因为100×-100×0.7≈6<10,所以该方案无效.
17.解:(1)元件A为正品的概率约为=.
元件B为正品的概率约为=.
(2)①因为生产1件元件A和1件元件B可以分为四种情况:A正B正,A次B正,A正B次,A次B次.
所以随机变量X的所有取值为90,45,30,-15.
因为P(X=90)=×=;
P(X=45)=×=;
P(X=30)=×=;
P(X=-15)=×=.
所以随机变量X的分布列为
X 90 45 30 -15
P
E(X)=90×+45×+30×+(-15)×=66.
②设生产的5件元件B中正品有n件,则次品有(5-n)件.
依题意得50n-10(5-n)≥140,解得n≥.
所以n=4或n=5.
设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A,则P(A)=×+=.
18.解:(1)在1,2,3,4中,奇数与偶数各有两个,所以a2,a4中的奇数个数等于a1,a3中的偶数个数.因为|1-a1|+|3-a3|与|2-a2|+|4-a4|的奇偶数相同,从而X=(|1-a1|+|3-a3|)+(|2-a2|+|4-a4|)必为偶数.又X的值非负,且易知其值不大于8,故X的可能取值的集合为{0,2,4,6,8}.
(2)可用列表或树状图列出1,2,3,4的24种排列,计算每种排列下的X的值,在等可能的假定下,得到X的分布列为
X 0 2 4 6 8
P
(3)①P(X≤2)=P(X=0)+P(X=2)==.
将三轮测试都有X≤2的概率记为P,则P==.
②P=<是一个很小的概率,这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小,所以我们认为该品酒师有良好的酒味鉴别功能,不是随机猜测.
19.解:(1)①该二维离散型随机变量(ξ,η)的所有可能取值为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0).
②依题意,0≤m+n≤3,P(ξ=m,η=n)=P(ξ=m|η=n)·P(η=n),
显然P(η=n)=,
则P(ξ=m|η=n)==,所以P(ξ=m,η=n)=··
==.
(2) 证明：由定义及全概率公式知，
P(ξ=ai)=P{(ξ=ai)∩[(η=b1)∪(η=b2)∪…∪(η=bj)∪…]}=P{[(ξ=ai)∩(η=b1)]∪[(ξ=ai)∩(η=b2)]∪…∪[(ξ=ai)∩(η=bj)]∪…}=P[(ξ=ai)∩(η=b1)]+P[(ξ=ai)∩(η=b2)]+…+P[(ξ=ai)∩(η=bj)]+…=P[(ξ=ai)∩(η=bj)]=P(ξ=ai，η=bj)=pij.
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