模块综合检测（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第三册

模块综合检测
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.从不同品牌的4部手机和不同品牌的5台电脑中任意选取3个,其中手机和电脑都选到的不同选法种数为 (　　)
A.140 B.84
C.35 D.70
2.某工厂有甲、乙两条生产线生产同一型号的机械零件,产品的尺寸分别记为X,Y,已知X,Y均服从正态分布,且X~N(μ1,),Y~N(μ2,),其正态曲线如图所示,则下列结论正确的是 (　　)
A.甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性
B.甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性
C.甲生产线产品尺寸的平均值大于乙生产线产品尺寸的平均值
D.甲生产线产品尺寸的平均值小于乙生产线产品尺寸的平均值
3.(x+2y)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为 (　　)
A.10 B.20
C.30 D.40
4.设随机变量X,Y满足Y=3X-1,X~B,则D(Y)= (　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
5.已知在所有男子中有5%患有色盲症,在所有女子中有0.25%患有色盲症,现随机抽一人发现其患色盲症,则此人为男子的概率为(设男子和女子的人数相等) (　　)
A. B.
C. D.
6.已知(2-x)2 024=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a2 024(x+1)2 024,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 024|= (　　)
A.24 048 B.1
C.22 024 D.0
7.用5种不同颜色给图中5个车站的候车牌(E,A,B,C,D)染色,要求相邻的两个车站间的候车牌不同色,则不同的染色方法有 (　　)
A.120种 B.180种
C.360种 D.420种
8.已知(1+x)9=a0+a1(2x+1)+a2(2x+1)2+…+a9(2x+1)9,随机变量ξ~B(32,p),其中p=a1,则E(ξ)= (　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列关于(a-b)11的展开式的说法,正确的是 (　　)
A.展开式中的二项式系数之和为2 048
B.展开式中只有第6项的二项式系数最大
C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D.展开式中第6项的系数最小
10.在一次满分为150分的数学测试中,某校共有800名学生参加,学生的成绩X(单位:分)服从正态分布N(110,100),其中90分为及格线,120分为优秀线,则下列说法正确的是 (　　)
附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997 3.
A.该校学生数学成绩的期望为110
B.该校学生数学成绩的标准差为100
C.该校学生数学成绩在140分以上的人数大于5
D.该校学生数学成绩的及格率超过0.97
11.骰子通常作为桌上游戏的小道具.最常见的骰子是六面骰,它是一个质地均匀的正方体,六个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6.现有一款闯关游戏,共有4关,规则如下:在第n关要抛掷六面骰n次,每次观察向上面的点数并做记录,如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n+n,则算闯过第n关,n=1,2,3,4.假定每次闯关互不影响,则 (　　)
A.直接挑战第2关并过关的概率为
B.连续挑战前两关并过关的概率为
C.若直接挑战第3关,设A=“三个点数之和等于15”,B=“至少出现一个5点”,则P(A|B)=
D.若直接挑战第4关,则过关的概率是
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上)
12.某“防震减灾科普示范学校”组织4名男生、6名女生志愿者到社区进行防震减灾图片宣讲,若这些选派学生只考虑性别,则派往甲社区宣讲的3人中至少有2名男生的概率为　　　　.
13.设a∈Z,且0≤a≤16,若42 025+a能被17整除,则a的值为　　　　.
14.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中不放回地随机抽取3次,每次取1个球.记m为前两次取出的球上数字的平均值,n为取出的三个球上数字的平均值,则m与n的差的绝对值不超过的概率是　　　　.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知的展开式中所有系数之和比(3-x)n的展开式中所有系数之和大240.
(1)求的展开式中的常数项(用数字作答);
(2)求的展开式的二项式系数之和(用数字作答).
16.(15分)某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:
优级品 合格品 不合格品 合计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
合计 96 52 2 150
(1)填写如下列联表:
优级品 非优级品 合计
甲车间
乙车间
合计
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异 能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5,设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果>p+1.65,则认为该工厂产品的优级品率提高了,根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了 (≈12.247)
附:χ2=
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
17.(15分)某工厂生产一种产品,测得相关数据如下表所示:
尺寸x(mm) 38 48 58 68 78 88
质量y(g) 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5
质量与尺寸 的比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290
(1)若按照检测标准,合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式y=c·xd(c,d为大于0的常数),求y关于x的回归方程;
(2)已知产品的收益z(单位:千元)与产品尺寸和质量的关系式为z=2y-0.32x,根据(1)中求得的回归方程分析,当产品的尺寸x约为何值时,收益z的预测值最大(结果用整数表示).
参考数据： (ln xi·ln yi)≈75.3，ln xi≈24.6，ln yi≈18.3， (ln xi)2≈101.4，e≈2.718 3.
参考公式：对于样本(vi，ui)(i＝1,2，…，n)，其经验回归直线＝v＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝，＝－.
18.(17分)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成员为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.
(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.
(2)假设0①为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛
②为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛
19.(17分)甲、乙、丙三人参加竞答游戏,一轮三个题目,每人回答一题,为体现公平,制订如下规则:
①第一轮回答顺序为甲、乙、丙,第二轮回答顺序为乙、丙、甲,第三轮回答顺序为丙、甲、乙,第四轮回答顺序为甲、乙、丙,……,后面按此规律依次向下进行;
②当一人回答不正确时,竞答结束,最后一个回答正确的人胜出.
已知每次甲回答正确的概率为,乙回答正确的概率为,丙回答正确的概率为,三人回答每个问题相互独立.
(1)求一轮中三人全部回答正确的概率;
(2)分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率;
(3)记Pn为甲在第n轮胜出的概率,Qn为乙在第n轮胜出的概率,求Pn与Qn,并比较Pn与Qn的大小.
模块综合检测
1.选D　根据题意,从不同品牌的4部手机和不同品牌的5台电脑中任意选取3个,不同的选法共有=84(种),其中只有手机的选法有=4(种),只有电脑的选法有=10(种),则手机和电脑都选到的不同选法有84-4-10=70(种).故选D.
2.A
3.选C　(x+y)5的展开式的通项为Tr+1=x5-ryr,r=0,1,2,…,5,令5-r=2,得r=3,令5-r=3,得r=2,所以展开式中x3y3的系数为+2=30,故选C.
4.选A　因为X~B,所以D(X)=2××=,又Y=3X-1,所以D(Y)=D(3X-1)=32D(X)=4.
5.选B　设A表示“此人为男子”,B表示“此人为女子”,C表示“此人患色盲症”,则P(C|A)=0.05,P(C|B)=0.002 5,P(A)=0.5,P(B)=0.5,由贝叶斯公式可得P(A|C)=
==.
6.选A　令t=x+1,可得x=t-1,则[2-(t-1)]2 024=(3-t)2 024=a0+a1t+a2t2+…+a2 024t2 024,令t=-1,得a0-a1+a2-…+a2 024=(3+1)2 024=24 048.二项式(3-t)2 024的展开式的通项为Tr+1=·32 024-r·(-t)r,则ar=·32 024-r·(-1)r.当r为奇数时,ar<0,当r为偶数时,ar>0,因此,|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 024|=a0-a1+a2-…+a2 024=24 048.故选A.
7.选D　用3种颜色涂色,则有=60种方法;用4种颜色涂色,则有=240种方法;用5种颜色涂色,则有=120种方法.所以共有60+240+120=420种不同的染色方法.故选D.
8. 选A　令2x+1=t,则x=,所以由(1+x)9=a0+a1(2x+1)+a2(2x+1)2+…+a9(2x+1)9,得=a0+a1t+a2t2+…+a9t9,则通项Tr+1==·t9-r.令9-r=1,得r=8,所以a1==.所以p=a1=.因为随机变量ξ~B(32,p),所以E(ξ)=32p=32×=.
9.选ACD　对于A,二项式系数之和为211=2 048,故A正确;对于B、C,展开式共12项,中间第6,7项的二项式系数最大,故B错误,C正确;对于D,展开式中的第k+1项为Tk+1=(-1)ka11-kbk,k=0,1,…,11.易知当k=5时,该项的系数最小.故D正确.故选ACD.
10.选AD　因为学生的成绩X(单位:分)服从正态分布N(110,100),所以该校学生数学成绩的期望为110,故A正确;该校学生数学成绩的标准差为10,故B错误;该校学生数学成绩在140分以上的概率P=≈=0.001 35,所以该校学生数学成绩在140分以上的人数为0.001 35×800≈1,故C错误;该校学生数学成绩的及格率为0.5+≈0.5+=0.977 25>0.97,故D正确.故选AD.
11.选ACD　对于A,22+2=6,所以两次点数之和应大于6,即直接挑战第2关并过关的概率为P1===,故A正确;对于B,21+1=3,所以挑战第一关过关的概率P2=,则连续挑战前两关并过关的概率为P=P1P2=×=,故B错误;对于C,由题意可知,抛掷3次的样本点有63=216(个),抛掷3次至少出现一个5点的共有63-53=216-125=91(个),故P(B)=,而事件AB包括:含5,5,5的1种,含4,5,6的有6种,共7种,故P(AB)=,所以P(A|B)==×=,故C正确;对于D,当n=4时,2n+n=24+4=20,样本点有64个,而“4次点数之和大于20”包含以下35种情况:含5,5,5,6的有4种,含5,5,6,6的有6种,含6,6,6,6的有1种,含4,6,6,6的有4种,含5,6,6,6的有4种,含4,5,6,6的有12种,含3,6,6,6的有4种,所以P4==,故D正确.故选ACD.
12.解析:派往甲社区宣讲的3人中至少有2名男生的概率P===.
答案:
13.解析:42 025+a=4×161 012+a=4×(17-1)1 012+a=4×(×171 012-×171 011+×171 010-×171 009+…-×17+1)+a,它除以17的余数为4×1+a,由于它能被17整除,a∈Z且0≤a≤16,所以a=13.
答案:13
14.解析:从6个不同的球中不放回地抽取3次,共有=120种,设前两个球的号码为a,b,第三个球的号码为c,则≤,故|2c-(a+b)|≤3,故-3≤2c-(a+b)≤3,故a+b-3≤2c≤a+b+3, 若c=1,则a+b≤5,则(a,b)为(2,3),(3,2),故有2种,若c=2,则1≤a+b≤7,则(a,b)为(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10种,若c=3,则3≤a+b≤9,则(a,b)为(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),
(2,6),(4,5),(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),故有16种,若c=4,则5≤a+b≤11,同理有16种,若c=5,则7≤a+b≤13,同理有10种,若c=6,则9≤a+b≤15,同理有2种,故m与n的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为2×(2+10+16)=56,故所求概率为=.
答案:
15.解:因为的展开式中所有系数之和比(3-x)n的展开式中所有系数之和大240,
所以22n=2n+240,解得2n=16,n=4.
(1)=,
Tr+1=x8-r=x8-2r,
由8-2r=0,得r=4.
所以展开式中的常数项为=70.
(2)=,展开式的二项式系数之和为++++=24=16.
16.解:(1)根据题意可得列联表:
优级品 非优级品 合计
甲车间 26 24 50
乙车间 70 30 100
合计 96 54 150
可得χ2===4.687 5,因为3.841<4.687 5<6.635,
所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.
(2)由题意可知,生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品的频率为=0.64,
用频率估计概率可得=0.64,又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5,则p+1.65=0.5+1.65≈0.5+1.65×≈0.567,
可知>p+1.65,
所以可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了.
17.解: (1)对y＝c·xd(c，d>0)两边取自然对数，得ln y＝ln c＋dln x.
令vi＝ln xi，ui＝ln yi，则u＝dv＋ln c.
由题意得＝
＝
≈＝＝，
ln ＝－＝－×≈－×＝1，所以＝e，所以y关于x的回归方程为＝e·x.
(2)由(1)得=e·,
所以z=2e-0.32x=-0.32()2+2e.
令t=,则当t=时,z取得最大值,此时x=≈≈72,
所以当产品的尺寸约为72 mm时,收益z的预测值最大.
18.解:(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,则甲第一阶段至少投中1次,乙第二阶段也至少投中1次,∴比赛成绩不少于5分的概率P=(1-0.63)·(1-0.53)=0.686.
(2)①若甲先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲=[1-(1-p)3]q3,
若乙先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙=[1-(1-q)3]p3,
∵0∴P甲-P乙=q3-(q-pq)3-p3+(p-pq)3=(q-p)(q2+pq+p2)+(p-q)[(p-pq)2+(q-pq)2+(p-pq)(q-pq)]=(p-q)(3p2q2-3p2q-3pq2)=3pq(p-q)(pq-p-q)=3pq(p-q)·[(1-p)(1-q)-1]>0,
∴P甲>P乙,应该由甲参加第一阶段比赛.
②若甲先参加第一阶段比赛,比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15,
P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3]·(1-q)3,
P(X=5)=[1-(1-p)3]q·(1-q)2,
P(X=10)=[1-(1-p)3]·q2(1-q),
P(X=15)=[1-(1-p)3]·q3,
∴E(X)=15[1-(1-p)3]q=15(p3-3p2+3p)·q.
若乙先参加第一阶段比赛,比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15,
同理E(Y)=15(q3-3q2+3q)·p.
∴E(X)-E(Y)=15[pq(p+q)(p-q)-3pq(p-q)]=15(p-q)pq(p+q-3),
∵00,
∴应该由甲参加第一阶段比赛.
19.解:(1)设“一轮中三人全部回答正确”为事件M,则P(M)=××=.
(2)甲在第一轮胜出的概率为×=.
甲在第二轮胜出,说明第一轮、第二轮中三人都回答正确,第三轮中丙回答错误,
故甲在第二轮胜出的概率为×=.
同理,甲在第三轮胜出的概率为×××=×=.
(3)由(2)知P1=,P2=×=,P3=×=.由题意得P4=×P1=×=,P5=×P2=×,P6=×P3=×,P7=×P1=,….
所以当n=3k(k∈N*)时,Pn=×;
当n=3k+1(k∈N*)时,Pn=;
当n=3k+2(k∈N*)时,Pn=×.
同理可得,当n=3k(k∈N*)时,Qn=×;
当n=3k+1(k∈N*)时,Qn=;
当n=3k+2(k∈N*)时,Qn=×.所以当n=3k(k∈N*)时,Pn>Qn;
当n=3k+1(k∈N*)时,Pn=Qn;
当n=3k+2(k∈N*)时,Pn5 / 5