微专题5 模型构建 勾股定理在最短路径问题中的应用
【模型一】平面上的最短路径问题
模型 基本图形 解题思路
一定一动 利用垂线段最短确定最短路径→构造直角三角形→利用勾股定理求解
两定一动 将同侧转化为异侧→利用两点之间线段最短确定最短路径→构造直角三角形→利用勾股定理求解
针对训练
1.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,若点P在边AC上移动,则BP的最小值是(D)
A.5 B.6 C.4 D.4.8
2.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=5,BC=12,AD是∠BAC的平分线,若M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是 .
3.如图,C地到A,B两地分别有笔直的道路CA,CB相连,A地与B地之间有一条河流通过,A,B,C三地的距离如图所示.
(1)如果A地在C地的正东方向,那么B地在C地的什么方向
(2)现计划把河水从河道AB段的点D引到C地,求C,D两点间的最短距离.
【解析】(1)因为BC2+AC2=62+82=102=AB2,
所以△ABC是直角三角形,
所以B地在C地的正北方向;
(2)作CD⊥AB于D,
则CD的长是C,D两地的最短距离,
因为△ABC是直角三角形,
所以S△ABC=AB·CD=AC·BC,
所以C,D两点间的最短距离===4.8(km),
答:C,D两点间的最短距离是4.8 km.
【模型二】几何体上的最短路径问题
类型 圆柱型 棱柱型 阶梯型 缠绕型 内外型
问题 图
展开 图
基本 思路 化曲(折)为直:将立体图形展开成平面图形→利用两点之间线段最短确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解
针对训练
4.葛藤是一种多年生草本植物,为获得更多的雨露和阳光,其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上,如图,如果把树干看成圆柱体,它的底面周长是2.4 m,当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高为1 m时,这段葛藤的长为(C)
A.1.4 m B.6.76 m
C.2.6 m D.3.4 m
5.如图是一个台阶示意图,每一层台阶的高都是20 cm,长都是50 cm,宽都是40 cm,一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B,其爬行的最短线路的长度是(C)
A.100 cm B.120 cm
C.130 cm D.150 cm
6.如图,有一长、宽、高分别是5 cm,4 cm,4 cm的长方体木块,一只蚂蚁沿如图所示路径从顶点A处在长方体的表面爬到长方体上和A相对的中点B处,则需要爬行的最短路径长的平方为(A)
A.85 B.61 C.97 D.
7.如图,小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈,正好从A点绕到正上方的B点,已知圆柱底面周长是3 m,高为5 m,则所需彩带最短是 13 m.
8.数学兴趣小组的小华同学某天在家观察到这样一个问题:如图,一个棱长为8 cm的无盖正方体铁盒(不计铁盒厚度),有一只蚂蚁在铁盒上爬行.已知蚂蚁从点C出发,沿着外壁面正方形ABDC爬行,爬到边AB上再在边AB上爬行3 cm,最后再沿着内壁正方形ABDC爬行,最终到达BD的中点P,蚂蚁所走的最短路程是 16 cm.
9.有一个如图所示的长方体的透明玻璃杯,其长AD=8 cm,高AB=6 cm,水深为AE=4 cm,在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物,且EG=6 cm,一小虫想从杯外的A处沿壁爬进杯内的G处吃掉食物.
(1)小虫应该走怎样的路线才能使爬的路线最短呢 请你在图中画出它爬行的路线,并用箭头标注.
(2)求小虫爬行的最短路线长(不计杯壁厚度).
【解析】(1)如图所示,AQ+QG为最短路程.
(2)因为在直角△A'EG中,AE=4 cm,AA'=12 cm,所以A'E=8 cm,又EG=6 cm,
所以AQ+QG=A'Q+QG=A'G==10 cm.
所以最短路线长为10 cm.微专题5 模型构建 勾股定理在最短路径问题中的应用
【模型一】平面上的最短路径问题
模型 基本图形 解题思路
一定一动 利用垂线段最短确定最短路径→构造直角三角形→利用勾股定理求解
两定一动 将同侧转化为异侧→利用两点之间线段最短确定最短路径→构造直角三角形→利用勾股定理求解
针对训练
1.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,若点P在边AC上移动,则BP的最小值是()
A.5 B.6 C.4 D.4.8
2.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=5,BC=12,AD是∠BAC的平分线,若M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是 .
3.如图,C地到A,B两地分别有笔直的道路CA,CB相连,A地与B地之间有一条河流通过,A,B,C三地的距离如图所示.
(1)如果A地在C地的正东方向,那么B地在C地的什么方向
(2)现计划把河水从河道AB段的点D引到C地,求C,D两点间的最短距离.
【解析】(1)因为BC2+AC2=62+82=102=AB2,
所以△ABC是直角三角形,
所以B地在C地的正北方向;
(2)作CD⊥AB于D,
则CD的长是C,D两地的最短距离,
因为△ABC是直角三角形,
所以S△ABC=AB·CD=AC·BC,
所以C,D两点间的最短距离===4.8(km),
答:C,D两点间的最短距离是4.8 km.
【模型二】几何体上的最短路径问题
类型 圆柱型 棱柱型 阶梯型 缠绕型 内外型
问题 图
展开 图
基本 思路 化曲(折)为直:将立体图形展开成平面图形→利用两点之间线段最短确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解
针对训练
4.葛藤是一种多年生草本植物,为获得更多的雨露和阳光,其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上,如图,如果把树干看成圆柱体,它的底面周长是2.4 m,当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高为1 m时,这段葛藤的长为()
A.1.4 m B.6.76 m
C.2.6 m D.3.4 m
5.如图是一个台阶示意图,每一层台阶的高都是20 cm,长都是50 cm,宽都是40 cm,一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B,其爬行的最短线路的长度是()
A.100 cm B.120 cm
C.130 cm D.150 cm
6.如图,有一长、宽、高分别是5 cm,4 cm,4 cm的长方体木块,一只蚂蚁沿如图所示路径从顶点A处在长方体的表面爬到长方体上和A相对的中点B处,则需要爬行的最短路径长的平方为()
A.85 B.61 C.97 D.
7.如图,小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈,正好从A点绕到正上方的B点,已知圆柱底面周长是3 m,高为5 m,则所需彩带最短是 m.
8.数学兴趣小组的小华同学某天在家观察到这样一个问题:如图,一个棱长为8 cm的无盖正方体铁盒(不计铁盒厚度),有一只蚂蚁在铁盒上爬行.已知蚂蚁从点C出发,沿着外壁面正方形ABDC爬行,爬到边AB上再在边AB上爬行3 cm,最后再沿着内壁正方形ABDC爬行,最终到达BD的中点P,蚂蚁所走的最短路程是 cm.
9.有一个如图所示的长方体的透明玻璃杯,其长AD=8 cm,高AB=6 cm,水深为AE=4 cm,在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物,且EG=6 cm,一小虫想从杯外的A处沿壁爬进杯内的G处吃掉食物.
(1)小虫应该走怎样的路线才能使爬的路线最短呢 请你在图中画出它爬行的路线,并用箭头标注.
(2)求小虫爬行的最短路线长(不计杯壁厚度).
