2.2 三角形全等的判定
第4课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握直角三角形全等的判定定理“HL”,并能运用它进行有关的计算与证明 几何直观、推理能力
2.熟练应用全等的判定方法判定两个直角三角形全等 几何直观、推理能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点
直角三角形全等的判定定理——“HL”
文字 语言 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)
几何 语言 因为在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠B=∠E=90°, , 所以Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
对点小练
如图,△ABC中,AD⊥BC于点D,根据“HL”判定△ABD≌△ACD,还需添加条件(A)
A.AB=AC
B.CD=BD
C.∠BAD=∠CAD
D.∠C=∠B
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】用“HL”判定直角三角形全等
【典例1】如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AC=A'C',AD与A'D'分别为BC,B'C'边上的中线,且AD=A'D',
求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
【证明】在Rt△ACD和Rt△A'C'D'中,
AC=A'C',AD=A'D',
所以Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL),
所以CD=C'D'.
因为AD与A'D'分别为BC,B'C'边上的中线,所以CB=2CD,C'B'=2C'D',所以CB=C'B',在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,
AC=A'C',∠C=∠C'=90°,CB=C'B',
所以Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SAS).
【举一反三】
如图,点C为线段AB的中点,分别过点A,B作AB的垂线AD,BE(点D,E在AB的同侧),连接CD,CE,且CD=CE.求证:△ACD≌△BCE.
【证明】因为点C为线段AB的中点,
所以AC=BC,
因为AD⊥AC,BE⊥BC,
所以∠A=∠B=90°,
在Rt△ACD与Rt△BCE中,,
所以Rt△ACD≌Rt△BCE(HL).
【重点2】直角三角形全等判定方法综合
【典例2】(2024·日照东港质检)已知,如图BE⊥AC于点E,CD⊥AB于点D,且BD=CE,求证:AF平分∠BAC.
【证明】因为BE⊥AC,CD⊥AB,
所以∠BDF=∠CEF=90°,
因为∠BDF=∠CEF,∠BFD=∠CFE,BD=CE,所以△BDF≌△CEF(AAS),
所以DF=EF,
因为AF=AF,DF=EF,
所以Rt△ADF≌Rt△AEF(HL),
所以∠DAF=∠EAF,所以AF平分∠BAC.
【举一反三】
如图,已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,如果AD=AF,AC=AE.求证:BC=BE.
【证明】在Rt△ADC和Rt△AFE中,,
所以Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).
所以CD=EF.
在Rt△ABD和Rt△ABF中,,
所以Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).
所以BD=BF.所以BD-CD=BF-EF,
即BC=BE.
素养当堂测评 (10分钟·15分)
1.(5分·几何直观、推理能力)如图,在四边形ABCD中,连接BD,且AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等,则需要添加的条件是(D)
A.∠A=∠C B.∠ADB=∠CBD
C.AB=CD D.AD=CB
2.(5分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,点D为边BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,DE=DF.
求证:Rt△DEB≌Rt△DFC.
以下是排乱的证明过程:
①因为在Rt△DEB和Rt△DFC中,
②所以Rt△DEB≌Rt△DFC(HL).
③所以∠BED=∠CFD=90°.
④因为DE⊥AB,DF⊥AC.
证明过程正确的顺序是(B)
A.④→②→③→① B.④→③→①→②
C.③→②→①→④ D.③→①→④→②
3.(5分·几何直观、推理能力)题目:“如图,AB⊥BC,DC⊥BC,BC=2DC=20,点P,Q分别在AB,BC上,且BD=PQ.当BP为何值时,△BPQ与△BCD全等.”对于其答案,甲答:BP=20.乙答:BP=15.丙答:BP=10,则正确的是(B)
A.只有甲答对
B.甲、丙答案合在一起才完整
C.乙、丙答案合在一起才完整
D.三人答案合在一起才完整2.2 三角形全等的判定
第4课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握直角三角形全等的判定定理“HL”,并能运用它进行有关的计算与证明 几何直观、推理能力
2.熟练应用全等的判定方法判定两个直角三角形全等 几何直观、推理能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点
直角三角形全等的判定定理——“HL”
文字 语言 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)
几何 语言 因为在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠B=∠E=90°, , 所以Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
对点小练
如图,△ABC中,AD⊥BC于点D,根据“HL”判定△ABD≌△ACD,还需添加条件()
A.AB=AC
B.CD=BD
C.∠BAD=∠CAD
D.∠C=∠B
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】用“HL”判定直角三角形全等
【典例1】如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AC=A'C',AD与A'D'分别为BC,B'C'边上的中线,且AD=A'D',
求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
【举一反三】
如图,点C为线段AB的中点,分别过点A,B作AB的垂线AD,BE(点D,E在AB的同侧),连接CD,CE,且CD=CE.求证:△ACD≌△BCE.
【重点2】直角三角形全等判定方法综合
【典例2】(2024·日照东港质检)已知,如图BE⊥AC于点E,CD⊥AB于点D,且BD=CE,求证:AF平分∠BAC.
【举一反三】
如图,已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,如果AD=AF,AC=AE.求证:BC=BE.
素养当堂测评 (10分钟·15分)
1.(5分·几何直观、推理能力)如图,在四边形ABCD中,连接BD,且AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等,则需要添加的条件是()
A.∠A=∠C B.∠ADB=∠CBD
C.AB=CD D.AD=CB
2.(5分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,点D为边BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,DE=DF.
求证:Rt△DEB≌Rt△DFC.
以下是排乱的证明过程:
①因为在Rt△DEB和Rt△DFC中,
②所以Rt△DEB≌Rt△DFC(HL).
③所以∠BED=∠CFD=90°.
④因为DE⊥AB,DF⊥AC.
证明过程正确的顺序是()
A.④→②→③→① B.④→③→①→②
C.③→②→①→④ D.③→①→④→②
3.(5分·几何直观、推理能力)题目:“如图,AB⊥BC,DC⊥BC,BC=2DC=20,点P,Q分别在AB,BC上,且BD=PQ.当BP为何值时,△BPQ与△BCD全等.”对于其答案,甲答:BP=20.乙答:BP=15.丙答:BP=10,则正确的是()
A.只有甲答对
B.甲、丙答案合在一起才完整
C.乙、丙答案合在一起才完整
D.三人答案合在一起才完整
