5.1 勾股定理及其逆定理
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.经历探索勾股定理的过程,发展学生的推理能力 几何直观、推理能力
2.掌握勾股定理,并能运用勾股定理解决一些实际问题 运算能力、模型观念、应用意识
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点
勾股定理
文字语言 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
图示
符号语言 因为△ABC是直角三角形且∠C=90°,所以AC2+BC2=AB2或a2+b2=c2
前提条件 勾股定理只适用于直角三角形
对点小练
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”):
(1)直角三角形的两直角边长分别为1.5,2,斜边长一定是2.5.(√)
(2)一个直角三角形的两边长分别是6和8,则第三边长为10.(×)
(3)若a,b,c是直角三角形的三边长,那么a2+b2=c2.(×)
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,直角边a=5,b=12,则斜边c的长为(B)
A.15 B.13 C.12 D.10
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】勾股定理(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P125练习T2变式)如图,直角三角形的三边上分别有一个正方形,其中两个正方形的面积分别是25和169,则字母B所代表的正方形的面积是(A)
A.144 B.194 C.12 D.13
【举一反三】
1.如图,所有阴影部分的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C的面积依次为6,10,7,则正方形D的面积为(D)
A.11 B.16
C.17 D.23
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,若以AC边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC.若△BEC的面积为S1,△AFC的面积为S2,则S1+S2=(C)
A.4 B.9
C.18 D.36
【重点2】勾股定理的简单应用(运算能力、模型观念、应用意识)
【典例2】一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为 50 km.
【举一反三】
1.如图,将长为8 cm的橡皮筋放置在水平桌面上,固定两端A和B,然后把中点P垂直向上拉升3 cm至点C,则橡皮筋被拉长了(C)
A.4 cm B.3 cm
C.2 cm D.1 cm
2.如图,某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,“远航”号以每小时12 n mile的速度沿北偏东60°方向航行,“海天”号以每小时16 n mile的速度沿北偏西30°方向航行,2小时后,“远航”号、“海天”号分别位于M,N处,则此时“远航”号与“海天”号的距离为 40 n mile.
【技法点拨】
利用勾股定理解决实际问题的“四步法”
1.分析题意,从实际问题中抽象出几何图形.
2.找到要求的线段所在的直角三角形(或作辅助线构造).
3.利用勾股定理计算相关线段的长.
4.解决实际问题.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·运算能力、几何直观、推理能力)有一个三角形两边长为4和5,要使三角形为直角三角形,则第三边的长的平方为(D)
A.9 B.41
C.9或31 D.9或41
2.(4分·运算能力、几何直观、推理能力)如图,分别以直角三角形的三边a,b,c为边,向外作半圆、等腰直角三角形和正方形,这三种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形有 3 个.
3.(8分·模型观念、运算能力、应用意识)如图,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处,已知旗杆原长16米.
(1)求出旗杆在离底部多少米的位置断裂;
(2)求点B到AC的距离.
【解析】(1)设AB=x米,
因为AB+AC=16米,所以AC=(16-x)米,
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=8米,
由勾股定理得:AC2=AB2+BC2,
即(16-x)2=x2+82,解得x=6.
答:旗杆在离底部6米的位置断裂.
(2)如图,过点B作BD⊥AC于点D,
则S△ABC=AC·BD
=AB·BC,
所以AC·BD=AB·BC,
由(1)可知,AC=16-6=10(米),
所以BD===4.8(米).
答:点B到AC的距离为4.8米.5.1 勾股定理及其逆定理
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.经历探索勾股定理的过程,发展学生的推理能力 几何直观、推理能力
2.掌握勾股定理,并能运用勾股定理解决一些实际问题 运算能力、模型观念、应用意识
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点
勾股定理
文字语言 直角三角形两直角边的 等于斜边的
图示
符号语言 因为△ABC是直角三角形且∠C=90°,所以AC2+BC2= 或 =c2
前提条件 勾股定理只适用于直角三角形
对点小练
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”):
(1)直角三角形的两直角边长分别为1.5,2,斜边长一定是2.5.(√)
(2)一个直角三角形的两边长分别是6和8,则第三边长为10.(×)
(3)若a,b,c是直角三角形的三边长,那么a2+b2=c2.(×)
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,直角边a=5,b=12,则斜边c的长为()
A.15 B.13 C.12 D.10
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】勾股定理(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P125练习T2变式)如图,直角三角形的三边上分别有一个正方形,其中两个正方形的面积分别是25和169,则字母B所代表的正方形的面积是()
A.144 B.194 C.12 D.13
【举一反三】
1.如图,所有阴影部分的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C的面积依次为6,10,7,则正方形D的面积为()
A.11 B.16
C.17 D.23
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,若以AC边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC.若△BEC的面积为S1,△AFC的面积为S2,则S1+S2=()
A.4 B.9
C.18 D.36
【重点2】勾股定理的简单应用(运算能力、模型观念、应用意识)
【典例2】一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为 km.
【举一反三】
1.如图,将长为8 cm的橡皮筋放置在水平桌面上,固定两端A和B,然后把中点P垂直向上拉升3 cm至点C,则橡皮筋被拉长了()
A.4 cm B.3 cm
C.2 cm D.1 cm
2.如图,某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,“远航”号以每小时12 n mile的速度沿北偏东60°方向航行,“海天”号以每小时16 n mile的速度沿北偏西30°方向航行,2小时后,“远航”号、“海天”号分别位于M,N处,则此时“远航”号与“海天”号的距离为 n mile.
【技法点拨】
利用勾股定理解决实际问题的“四步法”
1.分析题意,从实际问题中抽象出几何图形.
2.找到要求的线段所在的直角三角形(或作辅助线构造).
3.利用勾股定理计算相关线段的长.
4.解决实际问题.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·运算能力、几何直观、推理能力)有一个三角形两边长为4和5,要使三角形为直角三角形,则第三边的长的平方为()
A.9 B.41
C.9或31 D.9或41
2.(4分·运算能力、几何直观、推理能力)如图,分别以直角三角形的三边a,b,c为边,向外作半圆、等腰直角三角形和正方形,这三种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形有 个.
3.(8分·模型观念、运算能力、应用意识)如图,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处,已知旗杆原长16米.
(1)求出旗杆在离底部多少米的位置断裂;
(2)求点B到AC的距离.
