(共51张PPT)
1.2
子集、全集、补集
(教学方式: 基本概念课—逐点理清式教学)
课时目标
1.理解集合之间包含与相等的含义,能从教材实例中抽象出子集、真子集的概念.
2.能识别给定集合的子集、真子集,掌握列举有限集所有集合的方法,并注意空集在解题中的影响.
3.会判断集合间的关系,并能用符号和Venn图表示.
4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 子集、真子集
逐点清(二) 补集与全集
逐点清(三) 确定子集(真子集)的个数
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 子集、真子集
01
多维理解
1.子集
定义 如果集合A的___________元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集
记法与读法 记为______或______,读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”
任意一个
A B
B A
续表
图示
结论 (1)任何一个集合是它本身的子集,即_______.
(2)对于集合A,B,C,若A B,且B C,则_______.
(3)若A B且B A,则______.
(4)规定 A,即空集是任何集合的子集
A A
A C
A=B
定义 如果A B,并且________,那么集合A称为集合B的真子集
记法与读法 记为_________或B A,读作“A真包含于B”或“B真包含A”
2.真子集
A B
A≠B
图示
结论 (1)A B,B C,则_______.
(2)A B且A≠B,则_______.
(3)规定 B(B为非空集合)
A C
续表
A B
|微|点|助|解| 对子集的理解
(1)“A是B的子集”的含义: 集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,即有任意x∈A能推出x∈B.
(2)真子集的理解: 需明确A B,首先满足A B,只要满足至少一个元素x∈B且x A.
(3) 与{0}的区别: 是不含任何元素的集合,{0}是含有一个元素的集合, {0}.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a∈A,则{a} A.( )
(2)若A B,且A≠B,则A B.( )
(3)如果集合B A,那么若元素a不属于A,则必不属于B.( )
微点练明
√
√
√
2.已知A={x|x是正数},B={x|x是正整数},C={x|x是实数},那么A,B,C之间的关系是 ( )
A.A B C B.B A C
C.C A B D.A=B C
解析: 集合A,B,C的关系如图所示.
√
3.(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A B,则a= ( )
A.2 B.1 C. D.-1
解析: 依题意有a-2=0或2a-2=0.当a-2=0时,解得a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足A B;当2a-2=0时,解得a=1,此时A={0,-1},B={-1,0,1},满足A B.所以a=1,故选B.
√
4.选用适当的符号填空:
(1)若集合A={x|2x-3<3x},B={x|x≥2},则-4 B,-3 A,
{2} B,B A;
解析: ∵集合A={x|2x-3<3x}={x|x>-3},B={x|x≥2},
∴-4 B,-3 A,{2} B,B A.
(2)若集合A={x|x2-1=0},则1 A,{-1} A, A,{1,-1} A;
解析: ∵集合A={x|x2-1=0}={-1,1},∴1∈A,{-1} A, A,{1,-1}=A.
(3){x|x是菱形} {x|x是平行四边形};{x|x是等边三角形} {x|x是等腰三角形}.
解析: {x|x是菱形} {x|x是平行四边形};{x|x是等边三角形} {x|x是等腰三角形}.
∈
=
5.若集合A {1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则这样的集合有___个.
解析: 若A中含有一个奇数,则A可能为{1},{3},{1,2},{2,3};若A中含有两个奇数,则A={1,3}.
5
逐点清(二) 补集与全集
02
多维理解
1.补集
定义 设A S,由S中_______A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集
记法与读法 记为 SA(读作“A在S中的补集”),即 SA=________________
不属于
{x|x∈S,且x A}
续表
图示
运算性质 UA U, UU= , U =____, U( UA)=___,A∪( UA)=___,
A∩( UA)=___
U
A
U
2.全集
如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的_____元素,那么就称这个集合为_____,全集通常记作___.
所有
全集
U
|微|点|助|解|
(1) UA包含三层含义: ①A U;② UA是一个集合,且 UA U;③ UA是U中所有不属于A的元素构成的集合.
(2)“全集”是一个相对的概念,并不是固定不变的,它是依据具体的问题加以选择的.
微点练明
√
1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则 UM= ( )
A.U B.{1,3,5}
C.{3,5,6} D.{2,4,6}
2.已知全集U={x|-1≤x<3},集合A={x|-1≤x≤2},则 UA= ( )
A.{x|-1≤x<2} B.{x|2C.{x|2≤x<3} D.{x|x<-1或x>2}
解析: 由题意知 UA={x|2√
3.(2022·全国乙卷)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足 UM={1,3},则 ( )
A.2∈M B.3∈M
C.4 M D.5 M
解析: 由题意知M={2,4,5},故选A.
√
4.已知全集U=R,A={x|1≤x解析: 因为 UA={x|x<1或x≥2},所以A={x|1≤x<2}.所以b=2.
2
逐点清(三) 确定子集(真子集)
的个数
03
根据子集的定义可知,若集合A是集合B的子集,则有A B,它包含A= ,A B,A=B,所以有限集合的子集个数的结论为
①n个元素的集合有2n个子集;
②n个元素的集合有(2n-1)个真子集;
③n个元素的集合有(2n-1)个非空子集;
④n个元素的集合有(2n-2)个非空真子集.
[典例] (1)已知a为给定的实数,那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为 ( )
A.1 B.2
C.4 D.不确定
解析: 由方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a2>0,知方程有两个不相等的实数根,则M有2个元素,得集合M有22=4个子集.
√
(2)满足{a} M {a,b,c,d}的集合M共有 个.
解析:集合M中必含元素a,且为{a,b,c,d}的真子集,可按元素个数分类依次写出集合M为{a},{a,b},{a,c},{a,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},共7个.
7
|思|维|建|模|
(1)当集合中元素很少时,我们可以写出它的全部子集,从而得到子集和真子集的个数.写子集时不要忘记空集及集合本身.
(2)当集合中元素很多时,可以利用公式求解,注意真子集与子集公式的不同.
变式拓展
1.已知集合A,B,C,其中A有10个元素,C有15个元素,则满足A B C的集合B的个数为( )
A.32 B.31
C.30 D.5
解析: 由题意,知集合B的个数可以看成由5个元素构成的集合的非空真子集的个数,有25-2=30个,所以集合B的个数为30.
√
2.设M={1,2},N={a|a M},则集合N中元素的个数为 .
解析: 由题,可知集合N是由集合M的子集构成的集合,因为集合M的子集个数为22=4,所以集合N中元素的个数为4.
4
3.设集合A={0,1,2},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},集合M的真子集的个数为 .
解析: 集合A={0,1,2},B={4,5},而M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M={4,5,6,7},所以集合M的真子集的个数为24-1=15.
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课时跟踪检测
04
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1.已知集合A={y|y=|x|-1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是 ( )
A.-3∈A B.3 B
C.B A D.A B
解析: 集合A={y|y≥-1},B={x|x≥2},所以B A.
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2.已知集合A={x∈N|0≤x≤4},B={3,4},则 AB等于 ( )
A.{0,1,2} B.{1,2}
C.{1,2,3} D.{4}
解析: 集合A={x∈N|0≤x≤4}={0,1,2,3,4}, AB={0,1,2},故选A.
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√
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3.集合M={x∈N|-2A.7 B.8
C.15 D.16
解析: 集合M中共有0,1,2,3四个元素,真子集的个数是24-1=15.
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4.若集合A={1,3,x},B={x2,1}且B A,则满足条件的实数x的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析: 因为B A,所以x2∈A.又x2≠1,所以x2=3或x2=x,解得x=±或x=0.故选C.
16
√
5.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是 ( )
解析: 由x2-x=0,得x=1或x=0,故N={0,1},易得N M,其对应的Venn图如选项B所示.
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6.(多选)已知A B,A C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},则A可以是 ( )
A.{1,8} B.{2,3}
C.{1} D.{2}
解析: ∵A B,A C,∴A中的元素应为B和C的共同元素.
∵B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},∴B和C的共同元素为1和8.
∴A {1,8}.结合选项知,A、C选项满足题意,故选A、C.
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√
√
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7.已知集合A={x|x=3k,k∈Z},B={x|x=6k,k∈Z},则A与B之间最适合的关系是 ( )
A.A B B.B A
C.A B D.B A
解析: 选D 集合A是能被3整除的整数组成的集合,集合B是能被6整除的整数组成的集合,能被6整除的数一定能被3整除,所以B A.
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8.已知集合M={x∈Z|1≤x≤m},若集合M有4个子集,则实数m= ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析: 根据题意,集合M有4个子集,则M中有2个元素,又由M={x∈Z|1≤x≤m},其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数,故m=2.
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9.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+1=0},若B≠ ,B A,则a等于 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.±1
解析: 当B={-1}时,x2-2ax+1=0有两个相等的实根-1,即a=-1;当B={1}时,x2-2ax+1=0有两个相等的实根1,即a=1;当B={-1,1}时,不成立.故a=±1.
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10.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,a+6,5}, UA={2,a2-1},则a的值为 ( )
A.-3 B.-3和-2 C.-2 D.2
解析: 由补集的定义可知a+6的可能取值为3或4,当a+6=3,即a=-3时,a2-1=8,不满足题意;当a+6=4,即a=-2时,a2-1=3,此时A={1,4,5}, UA={2,3},满足题意.综上,a=-2.
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11.已知集合U={-1,0,1},A={x|x=m2,m∈U},则 UA= .
解析: 因为集合U={-1,0,1},A={x|x=m2,m∈U},所以A={0,1},
则 UA={-1}.
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{-1}
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12.设A,B是R的两个子集,对任意x∈R,定义: m=n=若A B,则对任意x∈R,m(1-n)= .
解析: ∵A B,∴当x A时,m=0,m(1-n)=0;当x∈A时,必有x∈B,m=n=1,m(1-n)=0.综上,m(1-n)=0.
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13.已知全集为U,集合A={1,3,5,7}, UA={2,4,6}, UB={1,4,6},则集合B= .
解析: 因为A={1,3,5,7}, UA={2,4,6},所以U={1,2,3,4,5,6,7}.
又 UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}.
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{2,3,5,7}
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14.已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1解析: 由集合B={x|11时,要使B A,则满足解得116
{m|m≤4}
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15.(10分)已知集合A={1,2,3}.
(1)若M是A的子集,且至少含有元素3,写出满足条件的所有集合M;
解:∵M A,3∈M,∴集合M可能为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}.
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(2)若B={x|ax-3=0},且B A,求实数a的取值集合.
解:当a=0时,B= ,满足B A;当a≠0时,B=;
若B A,则=1或=2或=3,解得a=3或a=或a=1.
综上所述,实数a的取值集合为.
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16.(10分)若集合A={x|ax2+2x+1=0,x∈R}至多有一个真子集,求a的取值范围.
解: ①当A无真子集时,即A= 时,
则方程ax2+2x+1=0无实根,
所以解得a>1.
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②当A只有一个真子集时,即A为单元素集,这时有两种情况:
当a=0时,方程化为2x+1=0,
解得x=-,符合题意;
当a≠0时,由Δ=4-4a=0,解得a=1,符合题意.
综上,当集合A至多有一个真子集时,a的取值范围是{a|a=0或a≥1}.
161．2 子集、全集、补集—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．理解集合之间包含与相等的含义，能从教材实例中抽象出子集、真子集的概念．
2．能识别给定集合的子集、真子集，掌握列举有限集所有集合的方法，并注意空集在解题中的影响．
3．会判断集合间的关系，并能用符号和Venn图表示．
4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．
逐点清(一) 子集、真子集
[多维理解]
1．子集
定义 如果集合A的__________元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集
记法与读法 记为________或________，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”
图示
结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即______．(2)对于集合A，B，C，若A B，且B C，则_____．(3)若A B且B A，则________．(4)规定 A，即空集是任何集合的子集
2.真子集
定义 如果A B，并且________，那么集合A称为集合B的真子集
记法与读法 记为________或B?A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”
图示
结论 (1)A?B，B?C，则________．(2)A B且A≠B，则________．(3)规定 ?B(B为非空集合)
|微|点|助|解|
对子集的理解
(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.
(2)真子集的理解：需明确A?B，首先满足A B，只要满足至少一个元素x∈B且x A.
(3) 与{0}的区别： 是不含任何元素的集合，{0}是含有一个元素的集合， ?{0}．
[微点练明]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∈A，则{a} A.( )
(2)若A B，且A≠B，则A?B.( )
(3)如果集合B A，那么若元素a不属于A，则必不属于B.( )
2．已知A＝{x|x是正数}，B＝{x|x是正整数}，C＝{x|x是实数}，那么A，B，C之间的关系是( )
A．A B C B．B A C
C．C A B D．A＝B C
3．(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A B，则a＝( )
A．2 B．1
C. D．－1
4．选用适当的符号填空：
(1)若集合A＝{x|2x－3<3x}，B＝{x|x≥2}，则－4____B，－3____A，{2}____B，B____A；
(2)若集合A＝{x|x2－1＝0}，则1____A，{－1}____A， ____A，{1，－1}____A；
(3){x|x是菱形}____{x|x是平行四边形}；{x|x是等边三角形}____{x|x是等腰三角形}．
5．若集合A?{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．
逐点清(二) 补集与全集
[多维理解]
1．补集
定义 设A S，由S中________A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集
记法与读法 记为 SA(读作“A在S中的补集”)，即 SA＝________________
图示
运算性质 UA U， UU＝ ， U ＝__________， U( UA)＝_________，A∪( UA)＝______，A∩( UA)＝______
2.全集
如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的______元素，那么就称这个集合为________，全集通常记作______．
|微|点|助|解|
(1) UA包含三层含义：①A U；② UA是一个集合，且 UA U；③ UA是U中所有不属于A的元素构成的集合．
(2)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的．
[微点练明]
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则 UM＝( )
A．U B．{1,3,5}
C．{3,5,6} D．{2,4,6}
2．已知全集U＝{x|－1≤x<3}，集合A＝{x|－1≤x≤2}，则 UA＝( )
A．{x|－1≤x<2}
B．{x|2C．{x|2≤x<3}
D．{x|x<－1或x>2}
3．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足 UM＝{1,3}，则( )
A．2∈M B．3∈M
C．4 M D．5 M
4．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x逐点清(三) 确定子集(真子集)的个数
根据子集的定义可知，若集合A是集合B的子集，则有A B，它包含A＝ ，A?B，A＝B，所以有限集合的子集个数的结论为
①n个元素的集合有2n个子集；
②n个元素的集合有(2n－1)个真子集；
③n个元素的集合有(2n－1)个非空子集；
④n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
[典例] (1)已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，x∈R}的子集的个数为( )
A．1 B．2
C．4 D．不确定
(2)满足{a} M?{a，b，c，d}的集合M共有________个．
听课记录：
|思|维|建|模|
(1)当集合中元素很少时，我们可以写出它的全部子集，从而得到子集和真子集的个数．写子集时不要忘记空集及集合本身．
(2)当集合中元素很多时，可以利用公式求解，注意真子集与子集公式的不同．
[针对训练]
1．已知集合A，B，C，其中A有10个元素，C有15个元素，则满足A?B?C的集合B的个数为( )
A．32 B．31
C．30 D．5
2．设M＝{1,2}，N＝{a|a M}，则集合N中元素的个数为________．
3．设集合A＝{0,1,2}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，集合M的真子集的个数为______．
1．2 子集、全集、补集
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.任意一个 A B B A (1)A A (2)A C (3)A＝B
2．A≠B A?B (1)A?C (2)A?B
[微点练明] 1.(1)√ (2)√ (3)√
2．B 3.B 4.(1) ? ? (2)∈ ? ? ＝ (3)? ? 5.5
[逐点清(二)]
[多维理解] 1.不属于 {x|x∈S，且x A} U A U
2．所有 全集 U
[微点练明] 1.C 2.B 3.A 4.2
[逐点清(三)]
[典例] 解析：(1)由方程x2－3x－a2＋2＝0的根的判别式Δ＝1＋4a2>0，知方程有两个不相等的实数根，则M有2个元素，得集合M有22＝4个子集．
(2)集合M中必含元素a，且为{a，b，c，d}的真子集，可按元素个数分类依次写出集合M为{a}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，共7个．
答案：(1)C (2)7
[针对训练]
1．选C 由题意，知集合B的个数可以看成由5个元素构成的集合的非空真子集的个数，有25－2＝30个，所以集合B的个数为30.
2．解析：由题，可知集合N是由集合M的子集构成的集合，因为集合M的子集个数为22＝4，所以集合N中元素的个数为4.
答案：4
3．解析：集合A＝{0,1,2}，B＝{4,5}，而M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M＝{4,5,6,7}，所以集合M的真子集的个数为24－1＝15.
答案：15课时跟踪检测(三) 子集、全集、补集
(满分90分，选填小题每题5分)
1．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )
A．－3∈A B．3 B
C．B A D．A B
2．已知集合A＝{x∈N|0≤x≤4}，B＝{3,4}，则 AB等于( )
A．{0,1,2} B．{1,2}
C．{1,2,3} D．{4}
3．集合M＝{x∈N|－2A．7 B．8
C．15 D．16
4．若集合A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}且B A，则满足条件的实数x的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )
6．(多选)已知A B，A C，B＝{2,0,1,8}，C＝{1,9，3,8}，则A可以是( )
A．{1,8} B．{2,3}
C．{1} D．{2}
7．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是( )
A．A B B．B A
C．A?B D．B?A
8．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝ ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
9．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋1＝0}，若B≠ ，B A，则a等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．±1
10．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1，a＋6,5}， UA＝{2，a2－1}，则a的值为( )
A．－3 B．－3和－2
C．－2 D．2
11．已知集合U＝{－1,0,1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则 UA＝________.
12．设A，B是R的两个子集，对任意x∈R，定义：m＝n＝若A B，则对任意x∈R，m(1－n)＝________.
13．已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}， UB＝{1,4,6}，则集合B＝________.
14．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|115．(10分)已知集合A＝{1,2,3}．
(1)若M是A的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M；
(2)若B＝{x|ax－3＝0}，且B A，求实数a的取值集合．
16．(10分)若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，x∈R}至多有一个真子集，求a的取值范围．
课时跟踪检测(三)
1．选C 集合A＝{y|y≥－1}，B＝{x|x≥2}，所以B A.
2．选A 集合A＝{x∈N|0≤x≤4}＝{0,1,2,3,4}， AB＝{0,1,2}，故选A.
3．选C 集合M中共有0,1,2,3四个元素，真子集的个数是24－1＝15.
4．选C 因为B A，所以x2∈A.又x2≠1，所以x2＝3或x2＝x，解得x＝±或x＝0.故选C.
5．选B 由x2－x＝0，得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N?M，其对应的Venn图如选项B所示．
6．选AC ∵A B，A C，∴A中的元素应为B和C的共同元素．∵B＝{2,0,1,8}，C＝{1,9,3,8}，∴B和C的共同元素为1和8.∴A {1,8}．结合选项知，A、C选项满足题意，故选A、C.
7．选D 集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，能被6整除的数一定能被3整除，所以B?A.
8．选B 根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，故m＝2.
9．选D 当B＝{－1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根－1，即a＝－1；当B＝{1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根1，即a＝1；当B＝{－1,1}时，不成立．故a＝±1.
10．选C 由补集的定义可知a＋6的可能取值为3或4，当a＋6＝3，即a＝－3时，a2－1＝8，不满足题意；当a＋6＝4，即a＝－2时，a2－1＝3，此时A＝{1,4，5}， UA＝{2,3}，满足题意．综上，a＝－2.
11．解析：因为集合U＝{－1,0,1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，所以A＝{0,1}，则 UA＝{－1}．
答案：{－1}
12．解析：∵A B，∴当x A时，m＝0，m(1－n)＝0；当x∈A时，必有x∈B，m＝n＝1，m(1－n)＝0.综上，m(1－n)＝0.
答案：0
13．解析：因为A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又 UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．
答案：{2,3,5,7}
14．解析：由集合B＝{x|11时，要使B A，则满足解得1答案：{m|m≤4}
15．解：(1)∵M A,3∈M，∴集合M可能为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．
(2)当a＝0时，B＝ ，满足B A；
当a≠0时，B＝；
若B A，则＝1或＝2或＝3，
解得a＝3或a＝或a＝1.
综上所述，实数a的取值集合为.
16．解：①当A无真子集时，即A＝ 时，
则方程ax2＋2x＋1＝0无实根，
所以解得a>1.
②当A只有一个真子集时，即A为单元素集，这时有两种情况：
当a＝0时，方程化为2x＋1＝0，
解得x＝－，符合题意；
当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1，符合题意．
综上，当集合A至多有一个真子集时，a的取值范围是{a|a＝0或a≥1}．
