第 2 课时 集合运算的综合问题—— (教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
题型(一) 集合的交、并、补混合运算
[例1] 设集合U＝{1,2,3,4,5}，若( UB)∪( UA)＝{1,2,3}，则A∩B＝( )
A．{4,5} B．{3,4,5}
C．{1,2,5} D．{5}
听课记录：
[例2] 设全集U＝{x∈N*|x≤9}，若 U(A∪B)＝{1,3}，A∩( UB)＝{2,4}，则集合B＝( )
A．{4,5,6,7,8,9} B．{2,4,5,6,7,8,9}
C．{5,6,7,8} D．{5,6,7,8,9}
听课记录：
|思|维|建|模|
解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．
(2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
[针对训练]
1．(2023·全国乙卷)设全集U＝{0,1,2,4,6,8}，集合M＝{0,4,6}，N＝{0,1,6}，则M∪ UN＝( )
A．{0,2,4,6,8} B．{0,1,4,6,8}
C．{1,2,4,6,8} D．U
2．(多选)已知集合A中含有6个元素，全集U＝A∪B中共有12个元素，( UA)∪( UB)中有m个元素，已知m≥8，则集合B中元素个数可能为( )
A．2 B．6
C．8 D．12
3．(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z }，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z }，则 U(M∪N)＝( )
A．{x|x＝3k，k∈Z } B．{x|x＝3k－1，k∈Z }
C．{x|x＝3k－2，k∈Z } D．
题型(二) 集合运算的综合应用
[例3] 已知集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|1－a
听课记录：
[变式拓展]
1．若本例条件“( RA)∪B＝R”变为“A∪B＝A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
2．若本例条件变为已知集合A＝{x|2a－3|思|维|建|模|
解集合中参数问题的注意点及常用方法
注意点 ①不能忽视集合为 的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论
常用方法 对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答
[针对训练]
4．设集合A＝{0,2,4}，B＝{x|x2－mx＋n＝0}，若A∪B＝{0,1,2,3,4}，则m＋n的值是( )
A．1 B．3
C．5 D．7
5．已知集合A＝{x|xA．{a|a≥1} B．{a|a>1}
C．{a|a≤1} D．{a|a<1}
题型(三) 集合中的新定义问题
[例4] 设集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1，2,3}，定义A·B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A·B中元素的个数是( )
A．7 B．10
C．25 D．52
听课记录：
|思|维|建|模|
解决新定义问题的策略技巧
(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．
(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．
[针对训练]
6．(多选)对任意A，B R，记A B＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，并称A B为集合A，B的对称差．例如：若A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A B＝{1,4}．下列命题中，为真命题的是( )
A．若A，B R且A B＝B，则A＝
B．若A，B R且A B＝ ，则A＝B
C．若A，B R且A B A，则A B
D．存在A，B R，使得A B≠ RA RB
第2课时 集合运算的综合问题
[题型(一)]
[例1] 选A 因为( UB)∪( UA)＝{1,2,3}，所以 U(A∩B)＝{1,2,3}．又因为U＝{1,2,3,4,5}，所以A∩B＝{4,5}．
[例2] 选D 因为全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，由 U(A∪B)＝{1,3}，得A∪B＝{2,4,5,6,7,8,9}．又A∩( UB)＝{2,4}，所以B＝{5,6,7,8,9}．
[针对训练]
1．选A 由题意知， UN＝{2,4,8}，所以M∪ UN＝{0,2,4,6,8}．故选A.
2．选BC 因为( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)中有m个元素，所以A∩B中有12－m个元素．设集合B中元素个数为x，又集合A中含有6个元素，则x＋6－(12－m)＝12，即m＝18－x.因为m≥8，所以x≤10.又U＝A∪B中共有12个元素，所以x≥6，则6≤x≤10.
3．选A 法一：M＝{…，－2,1,4,7,10，…}，N＝{…，－1,2,5,8,11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1,1,2,4,5,7,8,10,11，…}，所以 U(M∪N)＝{…，－3,0,3,6,9，…}，其元素都是3的倍数，即 U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}，故选A.
法二：集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.
[题型(二)]
[例3] 解：因为A＝{x|0≤x≤1}，所以 RA＝{x|x<0或x>1}，又因为B＝{x|1－a1，故实数a的取值范围为{a|a>1}．
[变式拓展]
1．解：因为A∪B＝A，则B A.
若B＝ ，则2a≤1－a，解得a≤.
若B≠ ，则解得综上所述，实数a的取值范围为.
2．解：由题意知A∩B＝ ，
当A＝ 时，2a－3≥a＋1，解得a≥4.
当A≠ 时，或
解得2≤a<4或a≤－1.
综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤－1或a≥2}．
[针对训练]
4．选D 因为集合A＝{0,2,4}，B＝{x|x2－mx＋n＝0}，A∪B＝{0,1,2,3,4}，则B＝{1,3}，所以1,3是方程x2－mx＋n＝0的两根，所以
因此m＋n＝4＋3＝7.
5．选A 因为B＝{x|x≥1}，所以 RB＝{x|x<1}，因为( RB)∪A＝A，所以( RB) A，所以a≥1.
[题型(三)]
[例4] 选B 因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．由x∈A∩B，可知x可取0,1；由y∈A∪B，可知y可取－1，0,1,2,3.所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：
yx －1 0 1 2 3
0 (0，－1) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3)
1 (1，－1) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3)
所以A·B中的元素共有10个．故选B.
[针对训练]
6．选AB 因为A B＝B，所以B＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，所以A B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A＝ ，即A正确；因为A B＝ ，所以 ＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，即A∪B与A∩B是相同的，所以A＝B，B正确；因为A B A，所以{x|x∈A∪B，x A∩B} A，所以B A，即C错误；由于 RA RB＝{x|x∈ RA∪ RB，x RA∩ RB}＝{x|x∈ R(A∩B)，x R(A∪B)}＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，而A B＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，故A B＝ RA RB，即D错误．(共51张PPT)
集合运算的综合问题
(教学方式: 拓展融通课—习题讲评式教学)
第2课时
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 集合的交、并、补混合运算
题型(二) 集合运算的综合应用
题型(三) 集合中的新定义问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 集合的交、并、
补混合运算
01
多维理解
[例1] 设集合U={1,2,3,4,5},若( UB)∪( UA)={1,2,3},则A∩B= ( )
A.{4,5} B.{3,4,5}
C.{1,2,5} D.{5}
解析：因为( UB)∪( UA)={1,2,3},所以 U(A∩B)={1,2,3}.
又因为U={1,2,3,4,5},所以A∩B={4,5}.
√
[例2] 设全集U={x∈N*|x≤9},若 U(A∪B)={1,3},A∩( UB)={2,4},则集合B= ( )
A.{4,5,6,7,8,9} B.{2,4,5,6,7,8,9}
C.{5,6,7,8} D.{5,6,7,8,9}
解析：因为全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},由 U(A∪B)={1,3},得A∪B={2,4,5,6,7,8,9}.又A∩( UB)={2,4},所以B={5,6,7,8,9}.
√
|思|维|建|模| 解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.
(2)如果所给集合是无限实数集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.
1.(2023·全国乙卷)设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6}, N ={0,1,6},则M∪ U N = ( )
A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8}
C.{1,2,4,6,8} D.U
解析: 由题意知, U N ={2,4,8},所以M∪ U N ={0,2,4,6,8}.故选A.
√
针对训练
2.(多选)已知集合A中含有6个元素,全集U=A∪B中共有12个元素,( UA)∪( UB)中有m个元素,已知m≥8,则集合B中元素个数可能为 ( )
A.2 B.6
C.8 D.12
√
√
解析: 因为( UA)∪( UB)= U(A∩B)中有m个元素,所以A∩B中有12-m个元素.设集合B中元素个数为x,又集合A中含有6个元素,则x+6-(12-m)=12,即m=18-x.因为m≥8,所以x≤10.又U=A∪B中共有12个元素,所以x≥6,则6≤x≤10.
3.(2023·全国甲卷)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},则 U(M∪N)= ( )
A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k-1,k∈Z}
C.{x|x=3k-2,k∈Z} D.
√
解析: 法一: M={…,-2,1,4,7,10,…}, N ={…,-1,2,5,8,11,…},所以M∪N ={…,-2,-1,1,2,4,5,7,8,10,11,…},所以 U(M∪N)={…,-3,0,3,6,9,…},其元素都是3的倍数,即 U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z},故选A.
法二: 集合M∪N表示被3除余1或2的整数集,则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集,故选A.
题型(二) 集合运算的综合应用
02
[例3] 已知集合A={x|0≤x≤1},B={x|1-a解：因为A={x|0≤x≤1},所以 RA={x|x<0或x>1},又因为B={x|1-a1,
故实数a的取值范围为{a|a>1}.
1.若本例条件“( RA)∪B=R”变为“A∪B=A”,其他条件不变,求实数a的取值范围.
解: 因为A∪B=A,则B A.若B= ,则2a≤1-a,解得a≤.
若B≠ ,则解得综上所述,实数a的取值范围为.
变式拓展
2.若本例条件变为已知集合A={x|2a-3解: 由题意知A∩B= ,当A= 时,2a-3≥a+1,解得a≥4.
当A≠ 时,或
解得2≤a<4或a≤-1.
综上所述,实数a的取值范围为{a|a≤-1或a≥2}.
|思|维|建|模| 解集合中参数问题的注意点及常用方法
注意点 ①不能忽视集合为 的情形;
②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论
常用方法 对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时,常采用数形结合的思想,借助数轴解答
4.设集合A={0,2,4},B={x|x2-mx+n=0},若A∪B={0,1,2,3,4},则m+n的值是 ( )
A.1 B.3 C.5 D.7
解析: 因为集合A={0,2,4},B={x|x2-mx+n=0},A∪B={0,1,2,3,4},则B={1,3},所以1,3是方程x2-mx+n=0的两根,所以因此m+n=4+3=7.
√
针对训练
5.已知集合A={x|xA.{a|a≥1} B.{a|a>1}
C.{a|a≤1} D.{a|a<1}
解析: 因为B={x|x≥1},所以 RB={x|x<1},因为( RB)∪A=A,
所以( RB) A,所以a≥1.
√
题型(三) 集合中的新定义问题
03
[例4] 设集合A={-1,0,1},B={0,1,2,3},定义A·B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},则A·B中元素的个数是 ( )
A.7 B.10
C.25 D.52
√
解析：因为A={-1,0,1},B={0,1,2,3},所以A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3}.由x∈A∩B,可知x可取0,1;由y∈A∪B,可知y可取-1,0,1,2,3.所以元素(x,y)的所有结果如下表所示:
y x -1 0 1 2 3
0 (0,-1) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3)
1 (1,-1) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3)
所以A·B中的元素共有10个.故选B.
|思|维|建|模| 解决新定义问题的策略技巧
(1)紧扣“新”定义: 分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题的关键所在.
(2)把握“新”性质: 集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质.
(3)遵守“新”法则: 准确把握新定义的运算法则,将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可.
针对训练
6.(多选)对任意A,B R,记A B={x|x∈A∪B,x A∩B},并称A B为集合A,B的对称差.例如: 若A={1,2,3},B={2,3,4},则A B={1,4}.下列命题中,为真命题的是( )
A.若A,B R且A B=B,则A= B.若A,B R且A B= ,则A=B
C.若A,B R且A B A,则A B D.存在A,B R,使得A B≠ RA R B
√
√
解析: 因为A B=B,所以B={x|x∈A∪B,x A∩B},所以A B,且B中的元素不能出现在A∩B中,因此A= ,即A正确;因为A B= ,
所以 ={x|x∈A∪B,x A∩B},即A∪B与A∩B是相同的,所以A=B,B正确;因为A B A,所以{x|x∈A∪B,x A∩B} A,所以B A,即C错误;
由于 RA RB={x|x∈ RA∪ RB,x RA∩ RB}={x|x∈ R(A∩B),
x R(A∪B)}={x|x∈A∪B,x A∩B},而A B={x|x∈A∪B,x A∩B},故A B= RA RB,即D错误.
课时跟踪检测
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1.(2023·全国甲卷)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},则N∪ UM= ( )
A.{2,3,5} B.{1,3,4}
C.{1,2,4,5} D.{2,3,4,5}
解析:由题意知, UM={2,3,5},又N={2,5},所以N∪ UM={2,3,5},故选A.
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A级——达标评价
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2.满足M {a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析: 由题意知集合M一定含有元素a1,a2,并且不含元素a3,故M={a1,a2}或M={a1,a2,a4}.
√
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3.已知( RA)∩B= ,则下列选项中一定成立的是 ( )
A.A∩B=A B.A∩B=B
C.A∪B=B D.A∪B=R
解析: 作出Venn图如图所示,则B A,所以A∩B=B.
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4.(多选)定义集合运算A B={z|z=(x+y)×(x-y),x∈A,y∈B},设集合A={2,},集合B={1,},则( )
A.A B中有四个元素 B.A B有7个真子集
C.3∈A B D.A B中的元素之和为13
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解析: x可取2,,y可取1,,则z可取(2+1)×(2-1)=3,(2+)×(2-)=2,(+1)×(-1)=4,()×()=3;由集合元素的互异性可知A B 有3个元素,故A错误;A B={2,3,4},则A B的真子集有23-1=7个,故B正确;3∈A B,故C正确;A B中所有元素之和为2+3+4=9,故D错误.
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5.定义集合运算: A*B={z|z=xy,x∈A∩B,y∈A∪B}.若集合A={1,2,3},B={0,1,2},则 (A*B)A= ( )
A.{0} B.{0,4}
C.{0,6} D.{0,4,6}
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解析: 因为A={1,2,3},B={0,1,2},所以A∩B={1,2},A∪B={0,1,2,3},所以当x∈A∩B,y∈A∪B时, z=0,1,2,3,4,6,所以A*B={0,1,2,3,4,6},所以 (A*B)A={0,4,6}.故选D.
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6.已知全集U={1,2,3,4},且 U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩( UB)等于 ( )
A.{3} B.{4}
C.{3,4} D.
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解析: 因为全集U={1,2,3,4},且 U(A∪B)={4},所以A∪B={1,2,3},又B={1,2},所以 UB={3,4},A={3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3},所以A∩( UB)={3}.
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7.设全集U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∪( UB)= .
解析: ∵U=R,B={x|x>1},∴ UB={x|x≤1}.又∵A={x|x>0},∴A∪( UB)={x|x>0}∪{x|x≤1}=R.
R
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8.对于任意两集合A,B,定义A-B={x|x∈A且x B},A*B=(A-B)∪(B-A),记A={y|y≥0},B={x|-3≤x≤3},则A*B= .
解析: A-B={x|x>3},B-A={x|-3≤x<0},所以A*B={x|-3≤x<0或x>3}.
{x|-3≤x<0或x>3}
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9.(8分)已知集合A={x|1(1)求A∩B与( RA)∪B;
解:由集合A={x|1又由 RA={x|x≤1或x≥3},得( RA)∪B={x|x≤1或x>2}.
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(2)设集合P={x|a解:由集合A={x|1由集合P={x|a故实数a的取值范围为{a|1≤a≤3}.
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2
10.(10分)对于集合A,B,我们把集合{x|x∈A,x B}叫作集合A与B的差集,记为A-B,A-B可用图中的阴影部分来表示.
(1)若A={1,3,5,9},B={3,5,7},求集合A-B和B-A;
解:由A={1,3,5,9},B={3,5,7}可知A-B={1,9},B-A={7}.
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(2)集合A={x|x2-5x+6≤0},集合B={x|2m-3≤x≤2m+3},若A-B= ,求实数m的取值范围.
解:由x2-5x+6≤0,可得2≤x≤3,所以A=[2,3],由A-B= 可知A B,
所以解得0≤m≤,所以实数m的取值范围为.
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2
11.如图中的阴影部分,可用集合符号表示为 ( )
A.( UA)∩( UB) B.( UA)∪( UB)
C.( UB)∩A D.( UA)∩B
解析: 题图中阴影部分是集合A与集合B的补集的交集,即题图中的阴影部分可以用A∩( UB)来表示,故选C.
B级——重点培优
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12.设全集U=R,集合A={x|x≤1或x≥3},集合B={x|kA.k<0或k>3 B.2C.0解析: ∵A={x|x≤1或x≥3},∴ UA={x|1√
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13.我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集,用card(A)表示有限集合A中元素的个数.例如,A={a,b,c},则card(A)=3.容斥原理告诉我们,如果被计数的事物有A,B,C三类,那么,card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C).某校初一四班学生46人寒假参加体育训练,其中足球队25人,排球队22人,游泳队24人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有9人,排球、游泳都参加的有8人,则三项都参加的有(教材阅读与思考改编) ( )
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A.2人 B.3人
C.4人 D.5人
解析: 设集合A={参加足球队的学生},集合B={参加排球队的学生},集合C={参加游泳队的学生},则card(A)=25,card(B)=22,
card(C)=24,card(A∩B)=12,card(B∩C)=8,card(A∩C)=9.
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设三项都参加的有x人,即card(A∩B∩C)=x,card(A∪B∪C)=46,所以由card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C),得46=25+22+24-12-8-9+x,解得x=4,故三项都参加的有4人.
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14.(12分)已知全集U=R,集合A={x|x2+3x+b-1=0},集合B={x|(x-4)(x2-x-2)=0}.
(1)若b=-9,且集合C满足: A∩C≠ ,C∪B=B,求出所有这样的集合C;
解:当b=-9时,A={x|x2+3x-10=0}={2,-5},B={x|(x-4)(x2-x-2)=0}={4,2,-1}.
因为C∪B=B,所以C B.因为A∩C≠ ,所以C≠ .
因为A∩B={2},所以2∈C,故C={2},{2,-1},{2,4}或{2,4,-1}.
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(2)集合A,B是否能满足( UB)∩A= ,若能,求实数b的取值范围;若不能,请说明理由.
解:因为( UB)∩A= ,所以A B,
若A= ,则满足A B,此时Δ=9-4(b-1)<0,解得b>.
若-1∈A,则(-1)2-3+b-1=0,解得b=3,
所以x2+3x+2=0,解得x=-1或x=-2,故A={-1,-2},不满足A B,舍去;
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若2∈A,则22+6+b-1=0,解得b=-9,
所以x2+3x-10=0,解得x=-5或x=2,所以A={-5,2},不满足A B,舍去;
若4∈A,则42+12+b-1=0,解得b=-27,所以x2+3x-28=0,解得x=-7或x=4,不满足A B,舍去.综上,实数b的取值范围是.
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15.(12分)给定数集A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,a-b∈A,则称集合A为闭集合.
(1)判断集合A1={-4,-2,0,2,4},B={x|x=3k,k∈Z}是否为闭集合,并给出证明;
解:因为4∈A1,2∈A1,4+2=6 A1,所以A1不是闭集合.任取x,y∈B,设x=3m,y=3n,m,n∈Z,则x+y=3m+3n=3(m+n)且m+n∈Z,所以x+y∈B,同理,x-y∈B,故B为闭集合.
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(2)若集合C,D为闭集合,则C∪D是否一定为闭集合 请说明理由;
解:结论: 不一定.
不妨令C={x|x=2k,k∈Z},D={x|x=3k,k∈Z},则由(1)可知, D为闭集合,同理可证C为闭集合.因为2,3∈C∪D,2+3=5 C∪D,因此,C∪D不一定是闭集合.所以若集合C,D为闭集合,则C∪D不一定为闭集合.
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(3)若集合C,D为闭集合,且C R,D R,证明: (C∪D) R.
解:证明: 不妨假设C∪D=R,则由C R,可得存在a∈R且a C,故a∈D.同理,存在b∈R且b D,故b∈C.因为a+b∈R=C∪D,所以a+b∈C或a+b∈D.若a+b∈C,则由C为闭集合且b∈C,得a=(a+b)-b∈C,与a C矛盾.若a+b∈D,则由D为闭集合且a∈D,得b=(a+b)-a∈D,与b D矛盾,
综上,C∪D=R不成立,故(C∪D) R.课时跟踪检测(五) 集合运算的综合问题
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．(2023·全国甲卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，则N∪ UM＝( )
A．{2,3,5} B．{1,3,4}
C．{1,2,4,5} D．{2,3,4,5}
2．满足M {a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．已知( RA)∩B＝ ，则下列选项中一定成立的是( )
A．A∩B＝A B．A∩B＝B
C．A∪B＝B D．A∪B＝R
4．(多选)定义集合运算A B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{2，}，集合B＝{1，}，则( )
A．A B中有四个元素
B．A B有7个真子集
C．3∈A B
D．A B中的元素之和为13
5．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A∩B，y∈A∪B}．若集合A＝{1,2,3}，B＝{0,1,2}，则 (A*B)A＝( )
A．{0} B．{0,4}
C．{0,6} D．{0,4,6}
6．已知全集U＝{1,2,3,4}，且 U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩( UB)等于( )
A．{3} B．{4}
C．{3,4} D．
7．设全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∪( UB)＝________.
8．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝________.
9．(8分)已知集合A＝{x|1(1)求A∩B与( RA)∪B；
(2)设集合P＝{x|a10．(10分)对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，x B}叫作集合A与B的差集，记为A－B，A－B可用图中的阴影部分来表示．
(1)若A＝{1,3,5,9}，B＝{3,5,7}，求集合A－B和B－A；
(2)集合A＝{x|x2－5x＋6≤0}，集合B＝{x|2m－3≤x≤2m＋3}，若A－B＝ ，求实数m的取值范围．
B级——重点培优
11．如图中的阴影部分，可用集合符号表示为( )
A．( UA)∩( UB) B．( UA)∪( UB)
C．( UB)∩A D．( UA)∩B
12．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|kA．k<0或k>3 B．2C．013．我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示有限集合A中元素的个数．例如，A＝{a，b，c}，则card(A)＝3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)．某校初一四班学生46人寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的有(教材阅读与思考改编)( )
A．2人 B．3人
C．4人 D．5人
14．(12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋b－1＝0}，集合B＝{x|(x－4)(x2－x－2)＝0}．
(1)若b＝－9，且集合C满足：A∩C≠ ，C∪B＝B，求出所有这样的集合C；
(2)集合A，B是否能满足( UB)∩A＝ ，若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由．
15．(12分)给定数集A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，a－b∈A，则称集合A为闭集合．
(1)判断集合A1＝{－4，－2,0,2,4}，B＝{x|x＝3k，k∈Z}是否为闭集合，并给出证明；
(2)若集合C，D为闭集合，则C∪D是否一定为闭集合？请说明理由；
课时跟踪检测(五)
1．选A 由题意知， UM＝{2,3,5}，又N＝{2,5}，所以N∪ UM＝{2,3,5}，故选A.
2．选B 由题意知集合M一定含有元素a1，a2，并且不含元素a3，故M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}．
3．选B 作出Venn图如图所示，则B A，所以A∩B＝B.
4．选BC x可取2，，y可取1，，则z可取(2＋1)×(2－1)＝3，(2＋)×(2－)＝2，(＋1)×(－1)＝4，(＋)×(－)＝3；由集合元素的互异性可知A B中有3个元素，故A错误；A B＝{2,3,4}，则A B的真子集有23－1＝7个，故B正确；3∈A B，故C正确；A B中所有元素之和为2＋3＋4＝9，故D错误．
5．选D 因为A＝{1,2,3}，B＝{0,1,2}，所以A∩B＝{1,2}，A∪B＝{0,1,2,3}，所以当x∈A∩B，y∈A∪B时，z＝0,1,2,3,4,6，所以A*B＝{0,1,2,3,4,6}，所以 (A*B)A＝{0,4,6}．故选D.
6．选A 因为全集U＝{1,2,3,4}，且 U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以 UB＝{3,4}，A＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}，所以A∩( UB)＝{3}．
7．解析：∵U＝R，B＝{x|x>1}，∴ UB＝{x|x≤1}．又∵A＝{x|x>0}，∴A∪( UB)＝{x|x>0}∪{x|x≤1}＝R.
答案：R
8．解析：A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x<0}，所以A*B＝{x|－3≤x<0或x>3}．
答案：{x|－3≤x<0或x>3}
9．解：(1)由集合A＝{x|1又由 RA＝{x|x≤1或x≥3}，得( RA)∪B＝{x|x≤1或x>2}．
(2)由集合A＝{x|1由集合P＝{x|a故实数a的取值范围为{a|1≤a≤3}．
10．解：(1)由A＝{1,3,5,9}，B＝{3,5,7}可知A－B＝{1,9}，B－A＝{7}．
(2)由x2－5x＋6≤0，可得2≤x≤3，
所以A＝[2,3]，由A－B＝ 可知A B，
所以解得0≤m≤，
所以实数m的取值范围为.
11．选C 题图中阴影部分是集合A与集合B的补集的交集，即题图中的阴影部分可以用A∩( UB)来表示，故选C.
12．选C ∵A＝{x|x≤1或x≥3}，∴ UA＝{x|113．选C 设集合A＝{参加足球队的学生}，集合B＝{参加排球队的学生}，集合C＝{参加游泳队的学生}，则card(A)＝25，card(B)＝22，card(C)＝24，card(A∩B)＝12，card(B∩C)＝8，card(A∩C)＝9.设三项都参加的有x人，即card(A∩B∩C)＝x，card(A∪B∪C)＝46，所以由card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，得46＝25＋22＋24－12－8－9＋x，解得x＝4，故三项都参加的有4人．
14．解：(1)当b＝－9时，A＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}，B＝{x|(x－4)(x2－x－2)＝0}＝{4,2，－1}．
因为C∪B＝B，所以C B.
因为A∩C≠ ，所以C≠ .
因为A∩B＝{2}，所以2∈C，
故C＝{2}，{2，－1}，{2,4}或{2,4，－1}．
(2)因为( UB)∩A＝ ，所以A B，
若A＝ ，则满足A B，此时Δ＝9－4(b－1)<0，解得b>.
若－1∈A，则(－1)2－3＋b－1＝0，解得b＝3，
所以x2＋3x＋2＝0，解得x＝－1或x＝－2，故A＝{－1，－2}，不满足A B，舍去；
若2∈A，则22＋6＋b－1＝0，解得b＝－9，
所以x2＋3x－10＝0，解得x＝－5或x＝2，所以A＝{－5,2}，不满足A B，舍去；
若4∈A，则42＋12＋b－1＝0，解得b＝－27，所以x2＋3x－28＝0，解得x＝－7或x＝4，不满足A B，舍去．综上，实数b的取值范围是.
15．解：(1)因为4∈A1,2∈A1,4＋2＝6 A1，所以A1不是闭集合．任取x，y∈B，设x＝3m，y＝3n，m，n∈Z，则x＋y＝3m＋3n＝3(m＋n)且m＋n∈Z，所以x＋y∈B，同理，x－y∈B，故B为闭集合．
(2)结论：不一定．
不妨令C＝{x|x＝2k，k∈Z}，D＝{x|x＝3k，k∈Z}，则由(1)可知， D为闭集合，同理可证C为闭集合．因为2,3∈C∪D,2＋3＝5 C∪D，因此，C∪D不一定是闭集合．所以若集合C，D为闭集合，则C∪D不一定为闭集合．