(共75张PPT)
第三章
导数及其应用
考 情 探 究
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2024新课标Ⅰ，18 利用导数研究不等式，图象的对称性 求最值、求取值范围 逻辑思维 运算求解 综合性 数学运算
直观想象
逻辑推理
2024新课标Ⅱ，11 利用导数研究函数零点，极值及图象的对称性 求值、判断函数对称性 逻辑思维 运算求解 综合性 数学运算
直观想象
逻辑推理
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2024新课标Ⅱ，16 利用导数研究函数的切线、极值 求切线的方程、求参数的取值范围 逻辑思维 运算求解 综合性 数学运算
直观想象
逻辑推理
2023新课标Ⅰ，19； 2023新课标Ⅱ，6 利用导数研究函数的单调性 讨论函数的单调性；由单调性求参数的取值范围 逻辑思维 运算求解 综合性 逻辑推理
数学运算
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2023新课标Ⅱ，11,22 利用导数研究函数的极值、最值 由函数的极值求参数范围 逻辑思维 运算求解 综合性 逻辑推理
数学运算
2022新高考Ⅰ，7 利用导数研究函数的单调性 比较大小 逻辑思维 运算求解 综合性 数学运算
逻辑推理
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2022新高考Ⅰ，22； 2021新高考Ⅱ，22； 2024新课标Ⅰ，10 利用导数研究函数的零点问题 求值；研究不等式 逻辑思维 运算求解 创新性 数学运算
逻辑推理
2022新高考Ⅱ，22 利用导数证明不等式 由不等式恒成立求取值范围 逻辑思维 运算求解 综合性 数学运算
逻辑推理
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2022新高考Ⅰ，10 利用导数研究函数的极值、最值 研究极值点、零点个数 运算求解 逻辑思维 综合性 数学运算
逻辑推理
2022新高考Ⅰ，15 导数的概念和运算 由切线条数求取值范围 运算求解 综合性 数学运算
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2021新高考Ⅰ，7； 2022新高考Ⅱ，14 导数的概念和运算 求切线方程 运算求解 创新性 数学运算
2024新课标Ⅰ，13 利用导数研究切线 求值 运算求解 综合性 数学运算
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2021新高考Ⅰ，22 利用导数证明不等式 求解函数的单调性、极值点的偏移问题 逻辑思维 综合性 数学运算
直观想象
逻辑推理
【命题规律与备考策略】
本章内容为高考必考内容，多集中于考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式的证明等问题，常结合函数的零点、最值等问题综合考查，诸如含参函数单调性问题、恒成立问题等．
复习时，重点把握导数的应用，加强导数与函数的单调性、导数与函数的极值、导数与函数的最值的认知，理解化归与转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用．
第一讲 导数的概念及运算
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 导数的概念与导数的运算
1．函数的平均变化率
2．导数的概念
(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导
数，即y′＝f′(x)＝____________________.
瞬时变化率
3．基本初等函数的导数公式
(1)C′＝____(C为常数)；
(2)(xn)′＝________(n∈Q*)；
(3)(sin x)′＝________；
(4)(cos x)′＝__________；
(5)(ax)′＝__________；
(6)(ex)′＝______；
(7)(logax)′＝____；
(8)(ln x)′＝____.
0
nxn－1
cos x
－sin x
axln a
ex
4．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝_______________.
(2)[f(x)·g(x)]′＝______________________.
特别地：[C·f(x)]′＝_________(C为常数)．
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
Cf′(x)
5．复合函数的导数
复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为__________________.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
yx′＝yu′·ux′
知识点二 导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为_____________________.
y－y0＝f′(x0)(x－x0)
归 纳 拓 展
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．熟记以下结论：
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在曲线y＝f(x)上某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义相同．( )
(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
(5)(2x)′＝x·2x－1.( )
(6)[ln(－x)]′＝(ln x)′.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×
[解析] (1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线，点P在曲线上，而过点P(x0，y0)的切线，点P可以在曲线外．
(2)如图所示，切线可以与曲线有多个公共点．
(3)如图所示，直线与曲线只有一个公共点，但不是切线．
题组二 走进教材
2．(选择性必修2P75T1改编)下列函数的求导正确的是( )
[答案] D
题组三 走向高考
[答案] C
5．(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0,1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________.
[答案] ln 2
考点突破 · 互动探究
导数的基本运算——自主练透
1．(多选题)下列求导数运算正确的是( )
A．(2 024x)′＝x2 024x－1
[答案] BD
2．求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x；
3．若函数f(x)＝ln x－f′(1)x2＋3x－4，则f′(3)＝________.
[分析] 先求出f′(1)得出导函数的解析式，再把x＝3代入导函数解析式得f′(3)．
名师点拨：导数计算的原则和方法
1．原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商再求导．
2．方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；(6)复合函数：由外向内，层层求导．
导数的几何意义——多维探究
角度1 求切线的斜率或切线方程
1．(2025·湖南名校联考联合体摸底)已知定义在R上的函数f(x)满足2f(x)＝f(－x)＋3ex，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为( )
A．y＝3x＋3 B．y＝3x－3
C．y＝x＋3 D．y＝x－3
[答案] C
[解析] 因为2f(x)＝f(－x)＋3ex，所以2f(－x)＝f(x)＋3e－x，联立可解得f(x)＝e－x＋2ex，所以f(0)＝3，所以f′(x)＝－e－x＋2ex，f′(0)＝1.所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－3＝x，故所求的切线方程为y＝x＋3.故选C.
2．(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________________.
名师点拨：求曲线的切线方程的两种类型
1．在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程和求曲线过点P(x0，y0)的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．
2．在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．求过点P的曲线的切线方程的步骤为：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
角度2 求切点坐标
(2024·河南模拟预测)函数f(x)＝ln x－x2与直线x＋y＝0相切于点A，则点A的横坐标为( )
[答案] B
名师点拨：求切点坐标的方法
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，然后让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
角度3 导数的几何意义
如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)－3f′(3)＝( )
A．1 B．0
C．2 D．4
[答案] A
角度4 求参数的值(或范围)
A．1 B．0
C．－1 D．－2
[答案] C
2．(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________.
[答案] (－∞，－4)∪(0，＋∞)
【变式训练】
[答案] B
2．(角度2)曲线y＝f(x)在点P(－1，f(－1))处的切线l如图所示，则f′(－1)＋f(－1)＝( )
A．2 B．1
C．－2 D．－1
[答案] C
3．(角度3)(2022·贵阳模拟)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，且曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为( )
A．(0,0) B．(a,1)
C．(1,1) D．(－1,2)
[答案] A
4．(角度4)(2023·开封市第一次模拟考试)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
[答案] B
名师讲坛 · 素养提升
公切线问题的模型求解
曲线的公切线问题是高考的热点题型之一．其中单一曲线的切线问题相对简单，但对于两条曲线的公切线问题的求解，就比单一曲线的切线问题要复杂．方法更灵活，具体的求解方法如下：
方法一：利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
1．求两条曲线的公切线
(2023·黑龙江齐齐哈尔期末联考)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝( )
[答案] C
[引申]本例中两曲线公切线方程为________________.
[答案] y＝2x＋1－ln 2
名师点拨：
【变式训练】
已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为____________.
[答案] y＝ex或y＝x＋1
2．由公切线求参数
(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线．
(1)若x1＝－1，求a；
(2)求a的取值范围．
[解析] (1)当x1＝－1时，f(－1)＝0，所以切点坐标为(－1,0)．
由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝3x2－1，
所以切线斜率k＝f′(－1)＝2，
所以切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2.
将y＝2x＋2代入y＝x2＋a，得x2－2x＋a－2＝0.
由切线与曲线y＝g(x)相切，得Δ＝(－2)2－4(a－2)＝0，
解得a＝3.
名师点拨：
两曲线存在公切线求参数的取值范围问题的解题思路是：由两切线为同一直线得到两个方程，然后消去x1和x2中的一个，转化为方程在特定区间上有解的问题，再分离参数转化为相应函数的值域问题，其中要关注自变量的取值范围．
【变式训练】
(2025·河北邯郸期中)已知函数f(x)＝mx＋ln x，g(x)＝x2－mx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)存在公切线，则实数m的最大值为________.(共81张PPT)
第三章
导数及其应用
第二讲 导数在研究函数中的应用
第一课时 导数与函数的单调性
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点 函数的单调性
1．设函数y＝f(x)在某个区间内______，若f′(x)____0，则f(x)为增函数，若f′(x)____0，则f(x)为减函数．
2．求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1)确定f(x)的________；
(2)求导数f′(x)；
(3)令f′(x)____0(或f′(x)____0)，解出相应的x的范围；
(4)当____________时，f(x)在相应区间上是增函数，当___________时，f(x)在相应区间上是减函数．
可导
>
<
定义域
>
<
f′(x)>0
f′(x)<0
归 纳 拓 展
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( )
(2)若函数y＝f(x)在(a，b)内恒有f′(x)≥0，则y＝f(x)在(a，b)上一定为增函数．( )
(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．( )
(4)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
[解析] (1)有可能f′(x)＝0，如f(x)＝x3，它在(－∞，＋∞)上为增函数，但f′(x)＝x2≥0.
(2)因为y＝f(x)若为常数函数，则一定有f′(x)＝0满足条件，但不具备单调性．
(3)f′(x)＝0在(a，b)内有有限个根不影响y＝f(x)的单调性，故正确．
(4)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则此函数f(x)在这个区间内为常数函数，则函数f(x)在这个区间内没有单调性．
题组二 走进教材
2．(选择性必修2P89T3改编)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上f(x)单调递增
B．在区间(1,3)上f(x)单调递减
C．在区间(4,5)上f(x)单调递增
D．在区间(3,5)上f(x)单调递增
[答案] C
[解析] 在区间(4,5)上f′(x)>0恒成立，
∴f(x)在区间(4,5)上单调递增，故选C.
A．(－∞，0) B．(0,2log2e)
C．(－∞，2log2e) D．(2log2e，＋∞)
[答案] B
4．(选择性必修2P99T12改编)已知函数f(x)＝1＋x－sin x，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是( )
A．f(2)>f(3)>f(π) B．f(3)>f(2)>f(π)
C．f(2)>f(π)>f(3) D．f(π)>f(3)>f(2)
[答案] D
[解析] f′(x)＝1－cos x，当x∈(0，π]时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，π]上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)．故选D.
题组三 走向高考
5．(2023·新课标Ⅱ卷，6,5分)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)单调递增，则a的最小值为( )
A．e2 B．e
C．e－1 D．e－2
[答案] C
考点突破 · 互动探究
函数的单调性
考向1 不含参数的函数的单调性——自主练透
求下列函数的单调区间．
(4)由f(x)＝(x－1)ex－x2，得f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝xex－2x＝x(ex－2)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln 2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：
x (－∞，0) 0 (0，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
由表可知，函数f(x)的单调递减区间为(0，ln 2)，单调递增区间为 (－∞，0)，(ln 2，＋∞)．
名师点拨：用导数f′(x)确定函数f(x)单调区间的三种类型及方法：
1．当不等式f′(x)>0或f′(x)<0可解时，根据函数的定义域，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间．
2．当方程f′(x)＝0可解时，根据函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，再确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间．
3．当不等式f′(x)>0或f′(x)<0及方程f′(x)＝0均不可解时，对f′(x)化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间．
注意：(1)求单调区间一定要在定义域范围内．
(2)函数的单调区间有多个时不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
【变式训练】
[答案] (3，＋∞)
考向2 含参数的函数的单调性——师生共研
(2021·全国甲卷，20)设函数f(x)＝a2x2＋ax－3ln x＋1，其中a＞0.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围．
名师点拨：
1．研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．遇二次三项式因式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论．
2．划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
3．个别导数为0的点不影响在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．
【变式训练】
(2024·全国甲卷节选)已知函数f(x)＝a(x－1)－ln x＋1.求f(x)的单调区间．
考向3 利用导数解决函数的单调性的应用问题——多维探究
角度1 比较大小
[答案] C
角度2 解不等式
(2025·辽宁期中联考)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)及其导函数f′(x)，满足(x－1)f(x)
A．(1,2) B．(－3，－1)
C．(1,3) D．(1，＋∞)
[答案] B
名师点拨：
1．利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小．
2．与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式．
角度3 已知函数的单调性求参数取值范围
若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
[分析] 利用函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增等价于f′(x)≥0在(1，＋∞)恒成立求解．或利用区间(1，＋∞)是f(x)的增区间的子集求解．
[答案] D
[引申](1)本例中若f(x)的增区间为(1，＋∞)，则k＝____________；
(2)若f(x)在(1，＋∞)上递减，则k的取值范围是____________；
(3)若f(x)在(1，＋∞)上不单调，则k的取值范围是____________；
(4)若f(x)在(1，＋∞)上存在减区间，则k的取值范围是__________；
(5)若f(x)在(1,2)上单调，则k的取值范围是____________.
名师点拨：已知函数单调性，求参数取值范围的两个方法
1．利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
2．转化为不等式的恒成立问题：利用“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数f(x)单调递减，则f′(x)≤0”来求解．
提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒等于0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
【变式训练】
[答案] C
2. (角度2)(2024·陕西西安期中)已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)>0的解集为( )
[答案] A
[答案] (0,1)
名师讲坛 · 素养提升
一、构造法在导数中的应用
在导数应用的客观题中，有一类考查热点，不给出具体的函数解析式，大多涉及f(x)与f′(x)的一些关系式，利用构造法构造新函数，确定其单调性，然后解决问题，下面重点突破两类问题．
题型一 利用导数的运算法则构造函数
角度1 利用f(x)与ex构造
已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f′(x)满足f′(x)< f(x)对于x∈R恒成立，则( )
A．f(2)>e2f(0)，f(2 025)>e2 025f(0)
B．f(2)e2 025f(0)
C．f(2)>e2f(0)，f(2 025)D．f(2)[答案] D
角度2 利用f(x)与xn构造
已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x>0时，2f(x)>xf′(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是____________.
[答案] (－1,0)∪(0,1)
角度3 利用f(x)与sin x，cos x构造
[答案] CD
名师点拨：利用导数关系构造函数的一些常见结构
1．对于不等式f′(x)＋g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)．
2．对于不等式f′(x)－g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)．
特别地，对于不等式f′(x)>k，构造函数F(x)＝f(x)－kx.
3．对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)·g(x)．
【变式训练】
1．(角度1)设f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f′(x)－cos x<0，则不等式f(x)[答案] (0，＋∞)
[解析] 令φ(x)＝f(x)－sin x，所以当x≥0时，φ′(x)＝f′(x)－cos x<0，所以φ(x)在[0，＋∞)上单调递减，又f(x)为R上的奇函数，所以φ(x)为R上的奇函数，所以φ(x)在(－∞，0]上单调递减，故φ(x)在R上单调递减且φ(0)＝0，不等式f(x)0，所以原不等式的解集为(0，＋∞)．
[答案] c[答案] a题型二 通过变量构造具体函数
(多选题)(2024·广东深圳模拟)若0[答案] AC
A．ey－x>1 B．ey－x<1
C．ey－x－1>1 D．ey－x－1<1
[答案] A
名师点拨：
若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边，即可构造函数，并且利用函数的单调性求解．
【变式训练】
(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y<3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0
[答案] A
[解析] 原已知条件等价于2x－3－x<2y－3－y，设函数f(x)＝2x－3－x.因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增，即f(x)0，所以A正确，B不正确；因为|x－y|与1的大小不能确定，所以C，D不正确．
题型三 通过数值构造具体函数
[答案] c[答案] b名师点拨：
当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小．
【变式训练】
实数e3,3π，π3的大小关系为____________.
[答案] e3<π3<3π
二、泰勒展开式
1．泰勒公式
2．常见的泰勒展开式
在泰勒公式中，令x0＝0，即可得到如下泰勒展开式：
3．泰勒公式的价值
泰勒公式将各种类型的函数(指数函数、对数函数、正弦与余弦函数)与多项式函数联系了起来，这样在局部可以用多项式函数近似替代其他函数，我们主要用其证明不等式及比较大小，下面我们主要介绍如何比较大小．
[答案] A
【变式训练】
[答案] B(共54张PPT)
第三章
导数及其应用
第二讲 导数在研究函数中的应用
第二课时 导数与函数的极值、最值
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 函数的极值
1．函数的极值
(1)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)____ f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作f(x)极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)____ f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作f(x)极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．
(2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法：
如果xx0有f′(x)____0，那么f(x0)是极大值．
如果xx0有f′(x)____0，那么f(x0)是极小值．
<
>
>
<
<
>
2．求可导函数f(x)极值的步骤
(1)______________；
(2)_____________________；
(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的____________的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得________；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得________.
求导数f′(x)
求方程f′(x)＝0的根
根左右的值
极大值
极小值
知识点二 函数的最值
1．函数的最值的概念
设函数y＝f(x)在_________上连续，在__________内可导，函数f(x)在[a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y＝f(x)的最大(最小)值．
2．连续函数在闭区间[a，b]上一定有最大值和最小值．
[a，b]
(a，b)
3．求函数最值的步骤
设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最值，可分两步进行：
(1)_______________________；
(2)__________________________________________________________________________.
求f(x)在(a，b)内的极值
将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值
归 纳 拓 展
1．f′(x0)＝0与x0是f(x)极值点的关系
函数f(x)可导，则f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
2．极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值．
3．极值与最值的关系
极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得；有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．
4．定义在开区间(a，b)内的函数不一定存在最大(小)值．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．( )
(2)函数的极小值不一定比极大值小．( )
(3)导数等于0的点不一定是函数的极值点．( )
(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )
(5)单调函数一定没有极值．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
[解析] (1)函数的极值是局部概念，极值点是与该点附近的点的函数值比较得到的，而不是在某区间或定义域上比较．
(2)如图，在x1处的极大值比在x2处的极小值小．
(3)如y＝x3在x＝0处，导数为0，但不是极值点．
(4)如图知正确．
题组二 走进教材
2．(选择性必修2P92T1改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] A
[解析] 由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．
3．(选择性必修2P98T6改编)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为( )
A．1－e B．－1
C．－e D．0
[答案] B
题组三 走向高考
[答案] BCD
[答案] B
考点突破 · 互动探究
用导数求解函数极值问题——多维探究
角度1 根据函数图象判断极值
1．(多选题)(2025·江苏连云港模拟)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，下列说法正确的是( )
A．f(1)为函数f(x)的极大值
B．当x＝－1时，f(x)取得极小值
C．f(x)在(－1,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减
D．当x＝3时，f(x)取得极小值
[答案] BC
[解析] 由图象知，当x∈(－2，－1)时，f′(x)<0，
即f(x)在(－2，－1)上单调递减，
当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，
即f(x)在(－1,2)上单调递增，
所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，
故A错误，B正确；
当x∈(2,4)时，f′(x)<0，
即f(x)在(2,4)上单调递减，故C正确，D错误．
[引申]本例1中f(x)有________个极值点，且在x＝________时，取得极小值，在x＝________时取得极大值．
[答案] 3 －1或4 2
名师点拨：据图象求极值的解题策略
1．已知导函数图象判断函数极值的情况．先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
2．已知函数求极值．求f′(x)→求方程f′(x)＝0的根→列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根的两侧的符号→得出结论．
角度2 求函数的极值
(2023·安徽省部分重点学校联考)求下列函数的极值．
[分析] 求导，研究函数的单调性从而确定极值．
名师点拨：可导函数求极值的步骤
1．确定函数的定义域．
2．求方程f′(x)＝0的根．
3．用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格．
4．由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少．f′(x)＝0是函数有极值的必要条件．
角度3 根据极值求参数的取值范围
(2025·浙江台州六校期中)若函数f(x)＝(－x2－x＋5)·ex在区间(a，a＋2)上有极大值，则a的取值范围是____________.
[答案] (－1,1)
[解析] 由f(x)＝(－x2－x＋5)·ex，
得f′(x)＝(－x2－3x＋4)·ex＝－(x＋4)(x－1)·ex，列表如下：
x (－∞，－4) －4 (－4,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ? 极小值 ? 极大值 ?
所以a<1且a＋2>1，解得－1[引申]若本例中函数在给定区间上无极值，则a的取值范围为________________.
[答案] (－∞，－6]∪[－4，－1]∪[1，＋∞)
名师点拨：已知函数极值点或极值求参数的2个要领
1．列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
2．验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
【变式训练】
1．(角度1)(2025·山东名校联考联盟期中)用min{a，b，c}表示a，b，c中的最小数，若函数f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)＝min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}，则f(x)的极值点的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] D
[解析] 由f(x)＝min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}，x≥0，可得函数的大致图象，由图象可知当x>0时，有两个极值点，由对称性可知当x<0时，也有两个极值点，同时由图象可知：x＝0也是极值点，所以共有5个极值点．故选D.
2．(角度2)(2024·河南中原名校质量检查)已知函数f(x)＝2f′(1)ln x－x，则f(x)的极大值为( )
A．2 B．2ln 2－2
C．e D．2－e
[答案] B
[答案] B
用导数求函数的最值——师生共研
(1)求a，k的值；
(2)求f(x)的最小值．
令f′(x)＝0，解得x＝－1或3，
x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ? 极小值 ? 极大值 ?
由表格可知，f(x)有极小值f(－1)＝－2e，
因为当x∈(3，＋∞)时，f(x)>0，
所以f(x)最小值为－2e.
名师点拨：
1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值．
(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)．
(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，一般要根据其极值及单调性画出函数的大致图象，借图求解．
注：求最值时，不可想当然认为极值点就是最值点，要通过比较再下结论．
【变式训练】
已知函数f(x)＝excos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
[解析] (1)因为f(x)＝excos x－x，所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.
又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
名师讲坛 · 素养提升
利用导数研究生活中的优化问题
一个圆柱形圆木的底面半径为1 m，长为10 m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上)，设∠BOC＝θ，木梁的体积为V(单位：m3)．
(1)求V关于θ的函数表达式；
(2)求当体积V最大时θ的值．
名师点拨：
利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤
提醒：在利用导数解决实际问题时，若在定义域内只有一个极值，则这个值即为最优解．
(1)写出月利润f(x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式；
(2)求该工厂在生产这种特殊产品中所获得的月利润最大值(万元)及此时的月生产量(万件)．(共68张PPT)
第三章
导数及其应用
第三讲 导数的综合应用
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 利用导数证明不等式
若证明f(x)知识点二 利用导数解决不等式的恒成立问题
“恒成立”与“存在性”问题可看作一类问题，一般都可通过求相关函数的最值来解决，如：当f(x)在x∈D上存在最大值和最小值时，若f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)在x∈D上的最小值，将原条件转化为g(a)≤f(x)min；若f(x)≤g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)在x∈D上的最大值，将原条件转化为g(a)≥f(x)max；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)在x∈D上的最大值，将原条件转化为g(a)≤f(x)max；若存在x∈D，使得f(x)≤g(a)成立，应求f(x)在x∈D上的最小值，将原条件转化为g(a)≥f(x)min.
知识点三 利用导数研究函数零点的方法
方法一：(1)求函数f(x)的单调区间和极值．
(2)根据函数f(x)的性质作出图象．
(3)判断函数零点的个数．
方法二：(1)求函数f(x)的单调区间和极值．
(2)分类讨论，判断函数零点的个数．
归 纳 拓 展
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x－sin x有无数多个零点．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
题组二 走进教材
2．(选择性必修2P99T13改编)若函数f(x)＝xln x－a有两个零点，则实数a的取值范围为( )
[答案] C
[解析] 函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝0得a＝xln x，记g(x)＝xln x.
A．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b)
C．f(a)1
[答案] C
4．(选择性必修2P99T12改编)求证：(1)ex≥x＋1；
(2)ln x≤x－1(x>0)．
题组三 走向高考
5．(多选题)(2024·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则( )
A．x＝3是f(x)的极小值点
B．当0C．当1D．当－1f(x)
[答案] ACD
[解析] 因为函数f(x)的定义域为R，
而f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2
＝3(x－1)(x－3)，
令f′(x)＝0得x1＝1，x2＝3，
当x变化时f′(x)和f(x)的变化情况如下表
x (－∞，1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
故x＝3是函数f(x)的极小值点，A正确；
当00，
所以1>x>x2>0，
而由上可知，函数f(x)在(0,1)上单调递增，
所以f(x)>f(x2)，B错误；
当1函数f(x)在(1,3)上单调递减，
所以f(1)>f(2x－1)>f(3)，
即－4当－10，
所以f(2－x)>f(x)，D正确．故选ACD.
第一课时 导数与不等式的证明
考点突破 · 互动探究
直接作差构造函数证明不等式
(2024·全国甲卷节选)已知函数f(x)＝a(x－1)－ln x＋1(a≤2)．证明：当x>1时，f(x)名师点拨：
1．待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式．
2．利用作差构造法证明不等式的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数g(x)；
(3)利用导数研究g(x)的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
【变式训练】
(2024·河北保定三模)已知函数f(x)＝x2－ax＋ln x，x＝1为f(x)的极值点．
(1)求a；
(2)证明：f(x)≤2x2－4x.
利用隔离分析最值法证明不等式
(2023·青岛质检改编)已知函数f(x)＝ln x＋x.证明：xf(x)名师点拨：
1．若直接求导比较复杂或无从下手时，或两次求导都不能判断导数的正负时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．含ln x与ex的混合式不能直接构造函数，要将指数与对数分离，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．
2．等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，ex与ln x要分离，常构造xn与ln x，xn与ex的积、商形式，便于求导后找到极值点．
【变式训练】
(2023·新课标Ⅱ卷节选)证明：当0[证明] 构建F(x)＝x－sin x，x∈(0,1)，
则F′(x)＝1－cos x>0对 x∈(0,1)恒成立，
则F(x)在(0,1)上单调递增，可得F(x)>F(0)＝0，
所以x>sin x，x∈(0,1)；
构建G(x)＝sin x－(x－x2)＝x2－x＋sin x，x∈(0,1)，
则G′(x)＝2x－1＋cos x，x∈(0,1)，
构建g(x)＝G′(x)，x∈(0,1)，则g′(x)＝2－sin x>0对 x∈(0,1)恒成立，
则g(x)在(0,1)上单调递增，可得g(x)>g(0)＝0，
即G′(x)>0对 x∈(0,1)恒成立，
则G(x)在(0,1)上单调递增，可得G(x)>G(0)＝0，
所以sin x>x－x2，x∈(0,1)；
综上所述：x－x2放缩后构造函数证明不等式
名师点拨：
【变式训练】
双变量不等式的证明
已知函数f(x)＝x(1－ln x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
[解析] (1)由条件知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－ln x，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
即在区间(0,1)上，函数f(x)单调递增；在区间(1，＋∞)上，函数f(x)单调递减．
名师点拨：证明双变量函数不等式的常见思路
1．将双变量中的一个看作变量，另一个看作常数构造一个含参数的辅助函数证明不等式．
2．整体换元．对于齐次式往往可将双变量整体换元，化为一元不等式．
3．若双变量的函数不等式具有对称性，并且可以将两个变量分离开，分离之后的函数结构具有相似性，从而构造函数利用单调性证明．
【变式训练】
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)设m，n为两个不相等的正数，且mln n－nln m＝m－n，证明：mn>e4.
名师讲坛 · 素养提升
有关x与ex，ln x的组合函数的处理方法
1．熟悉函数f(x)＝h(x)ln x±ex，h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0)的图象特征，做到对图1、图2、图3、图4所示的特殊函数的图象“有形可寻”．
方法一 分离参数，设而不求
方法二 分离ln x与ex
已知函数f(x)＝ax2－xln x.
(1)若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；
方法三 借助ex≥x＋1和ln x≤x－1进行放缩
已知函数f(x)＝xex－aln x(e为自然对数的底数，e＝2.718…)．
(1)若f(x)在(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)当a＝－1时，设g(x)＝x[f(x)－xex]－x3＋x2－b，若函数g(x)存在零点，求实数b的最大值．
[思路] (1)先对f(x)求导，再利用f′(x)≤0对x∈(0,1)恒成立，可求实数a的取值范围；(2)将问题转化为方程b＝xln x－x3＋x2在(0，＋∞)上有解，构造函数k(x)＝xln x－x3＋x2，由零点存在性定理或利用ln x≤x－1可求得实数b的最大值．
当x∈(0，x0)时，m(x)<0，即k′(x)<0，k(x)单调递减；
当x∈(x0,1)时，m(x)>0，即k′(x)>0，k(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，m(x)<0，即k′(x)<0，k(x)单调递减．
由于x→0时，k(x)→0且k(x)<0，所以k(x)max＝k(1)＝0，
于是实数b的最大值为0.
由此可知k(x)＝xln x－x3＋x2≤x(x－1)－x3＋x2＝－x(x2－2x＋1)＝ －x(x－1)2≤0，
又当x＝1时，k(1)＝0，
所以实数b的最大值为0.
(构造函数，利用不等式ln x≤x－1(x>0)放缩，求出实数b的最大值)
[关键点拨] 本题第(2)问的求解中，方法二借助不等式ln x≤x－1(x>0)进行放缩，使求解过程变得简洁，这种方法在求解涉及ln x的函数问题中经常用到，应注意掌握．(共41张PPT)
第三章
导数及其应用
第三讲 导数的综合应用
第二课时 导数与不等式恒(能)成立
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
考点突破 · 互动探究
分离参数法
(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)．
(1)若a＝1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当x>0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
[解析] (1)若a＝1，则f(x)＝xex－2(2x－1)．
即f′(x)＝xex＋ex－4，
则f′(0)＝－3，f(0)＝2，
所以所求切线方程为3x＋y－2＝0.
名师点拨：分离参数法解决恒成立问题的策略
1．分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
2．a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.
【变式训练】
已知函数f(x)＝x2－(a＋1)ln x，若f(x)≥(a2－a)ln x对x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．
等价转化法
已知函数f(x)＝ex－1－ax＋ln x(a∈R)，若不等式f(x)≥ln x－a＋1对一切x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
[解析] f(x)≥ln x－a＋1可化为ex－1－ax＋a－1≥0(x>0)，
令φ(x)＝ex－1－ax＋a－1，
则当x∈[1，＋∞)时，φ(x)min≥0，
∵φ′(x)＝ex－1－a，
名师点拨：“等价转化法”解决不等式恒成立问题
在不等式恒成立问题中，如果不能分离参数或分离参数后的函数的最值比较难求，可以把含参不等式整理成f(x，a)>0或f(x，a)≥0的形式，然后从研究函数的性质入手，通过讨论函数的单调性和极值，直接用参数表达函数的最值，然后根据题意，建立关于参数的不等式，解不等式即得参数的取值范围．
(1)如果f(x，a)有最小值g(a)，则f(x，a)>0恒成立 g(a)>0，f(x，a)≥0恒成立 g(a)≥0.
(2)如果f(x，a)有最大值g(a)，则f(x，a)<0恒成立 g(a)<0，f(x，a)≤0恒成立 g(a)≤0.
【变式训练】
(1)当a＝1时，求f(x)的极值；
(2)若对 x∈(e－1，e)，f(x)双变量的恒(能)成立问题
名师点拨：
“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价转换有：
(1) x1，x2∈D，f(x1)>g(x2) f(x)min>g(x)max.
(2) x1∈D1， x2∈D2，f(x1)>g(x2) f(x)min>g(x)min.
(3) x1∈D1， x2∈D2，f(x1)>g(x2) f(x)max>g(x)max.
【变式训练】
[解析] x∈(－∞，＋∞)且f′(x)＝ex＋1＋(x－1)·ex＋1＋2mx＝x(ex＋1＋2m)，
当m>0时，因为ex＋1>0，
所以ex＋1＋2m>0，
所以当x>0时，f′(x)>0；
名师讲坛 · 素养提升
洛必达法则
已知函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)．若对任意x>0都有f(x)>ax成立，求实数a的取值范围．
[解析] 解法一：令φ(x)＝f(x)－ax＝(x＋1)ln(x＋1)－ax(x>0)，
则φ′(x)＝ln(x＋1)＋1－a.
∵x>0，∴ln(x＋1)>0.
①当1－a≥0，即a≤1时，φ′(x)>0，
∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又φ(0)＝0，∴φ(x)>0恒成立，故a≤1满足题意．
②当1－a<0，即a>1时，
令φ′(x)＝0，得x＝ea－1－1，
∴x∈(0，ea－1－1)时，φ′(x)<0；
x∈(ea－1－1，＋∞)时，φ′(x)>0，
∴φ(x)在(0，ea－1－1)上单调递减，
在(ea－1－1，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)min＝φ(ea－1－1)<φ(0)＝0与φ(x)>0恒成立矛盾，故a>1不满足题意．
综上有a≤1，故实数a的取值范围是(－∞，1]．
解法二：当x∈(0，＋∞)时，
(x＋1)ln(x＋1)>ax恒成立，
【变式训练】
已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝－1处有极值，求a的值；
(2)当x>0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围．
(2)解法一：当x>0时，f(x)≥0，
即x(ex－1)－ax2≥0，即ex－1－ax≥0，
令φ(x)＝ex－1－ax(x>0)，则φ(x)min≥0，
φ′(x)＝ex－a.
①当a≤1时，φ′(x)＝ex－a>0，
∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)>φ(0)＝0，∴a≤1满足条件．
②当a>1时，若0若x>ln a，则φ′(x)>0.
∴φ(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)min＝φ(ln a)＝a－1－aln a≥0.
令g(a)＝a－1－aln a(a>1)，
∴g′(a)＝1－(1＋ln a)＝－ln a<0，
∴g(a)在(1，＋∞)上单调递减．
∴g(a)故a>1不满足条件，
综上，实数a的取值范围是(－∞，1]．(共58张PPT)
第三章
导数及其应用
第三讲 导数的综合应用
第三课时 导数与函数的零点
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
考点突破 · 互动探究
判断、证明或讨论零点的个数
(1)当a＝1时，求f(x)的最大值；
(2)讨论函数f(x)在区间[1，e2]上零点的个数．
2．(2025·黑龙江牡丹江省级示范高中月考)已知f(x)＝ex－1－ax(x>0)，x＝1是f(x)的极值点(其中e是自然对数的底数)．
(1)求a的值；
[解析] (1)∵f(x)＝ex－1－ax(x>0)，∴f′(x)＝ex－1－a，
∵x＝1是f(x)的极值点，∴f′(1)＝e0－a＝0，解得a＝1.
名师点拨：利用导数研究方程根(函数零点)的技巧
1．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．
2．根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置．
3．利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
【变式训练】
(2025·赣州适应性考试)已知函数f(x)＝ex－m－xln x，f(x)的导函数为f′(x)．
(1)当m＝1时，证明：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
(2)若g(x)＝f′(x)－m＋1，讨论函数g(x)零点的个数．
(2)由题意得，f′(x)＝ex－m－ln x－1，则g(x)＝f′(x)－m＋1＝ex－m－ln x－m(x>0)，
令g(x)＝ex－m－ln x－m＝0，则ex－m＝ln x＋m，
∴ex＝em(ln x＋m)，
∴xex＝xem(ln x＋m)，
∴xex＝em＋ln x(ln x＋m)，
令φ(x)＝xex，则φ(x)＝φ(m＋ln x)，
∵当x>0时，φ′(x)＝(x＋1)ex>0，
∴当x>0时，φ(x)＝xex为单调递增函数，
∴x＝m＋ln x，∴m＝x－ln x(x>0)，
根据零点个数求参数范围
[答案] A
名师点拨：利用函数零点求参数范围的方法
1．利用零点的个数结合函数f(x)的单调性构建不等式求解．
2．转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
3．分离参数(k＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝k与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解．
【变式训练】
(2025·山东菏泽检测)若关于x的方程x3－x2－x－1－2k＝0有3个不同的根，则实数k的取值范围为( )
[答案] B
与零点有关的综合问题
1．(2024·全国甲卷)曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，则a的取值范围为________.
[答案] (－2,1)
[解析] 令x3－3x＝－(x－1)2＋a，
即a＝x3＋x2－5x＋1，
令g(x)＝x3＋x2－5x＋1(x>0)，
则g′(x)＝3x2＋2x－5＝(3x＋5)(x－1)，
令g′(x)＝0(x>0)得x＝1，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
g(0)＝1，g(1)＝－2，
因为曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，
所以等价于y＝a与g(x)有两个交点，所以a∈(－2,1)．
【变式训练】
已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.
证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；
(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
名师讲坛 · 素养提升
极值点偏移问题处理方法
图说极值点偏移
方法(一) 对称变换
对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题，其解题要点如下：
(1)定极值点，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.
(3)判断单调性，即利用导数讨论h(x)的单调性．
(4)比较大小，即判断函数h(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系．
(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求．
[探究] 本题证明的不等式中含有两个变量，对于此类问题一般的求解思路是将两个变量分到不等式的两侧，然后根据函数的单调性，通过两个变量之间的关系“减元”，建立新函数，最终将问题转化为函数的最值问题来求解．考查了逻辑推理、数学建模及数学运算等核心素养．在求解此类问题时，需要注意变量取值范围的限定．
方法(二) 消参减元
消参减元的主要目的就是减元，进而建立与所求解问题相关的函数．主要是利用函数极值点乘积所满足的条件进行消参减元．其解题要点如下：
建方程 求函数的导函数，令f′(x)＝0，建立极值点所满足的方程，抓住导函数中的关键式子，即导函数解析式中变号的部分(一般为一个二次整式)
定关系 根据极值点所满足的方程，利用方程解的理论，建立极值点与方程系数之间的关系，确定两个极值点之积
消参减元 根据两个极值点之积的关系，化简或转化所求解问题，进行消参减元
构造函数 根据消参减元后的式子结构特征，构建相应的函数
求解问题 利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，从而解决相关问题
(2024·安徽六安一中模拟)已知函数f(x)＝xln x－ax2＋x(a∈R)．
(1)证明：曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l恒过定点；
[探究] 本题第(2)问要证明的方程f(x)＝0的根之间的不等式关系比较复杂，此类问题可通过不等式的等价变形，再利用函数的单调性转化为对应函数值之间的大小关系．显然构造函数的关键仍然是消掉参数．
方法(三) 比(差)值换元
比(差)值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的，设法用比值或差值(一般用t表示)表示两个极值点，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题求解．(共32张PPT)
第三章
导数及其应用
高考大题规范解答——函数与导数
命题动向：函数是中学数学的核心内容，而导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)，求极值、最值、切线方程、函数的零点或方程的根，求参数的范围及证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归等，中、高档难度均有．
1．(15分)(2023·北京高考题，20)设函数f(x)＝x－x3eax＋b，曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
(3)求f(x)的极值点个数．
[解题思路] (1)根据曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1可得f′(1)＝－1及f(1)＝0，根据f′(1)＝－1及f(1)＝0求出a，b的值；(2)首先对函数g(x)求导，然后确定g′(x)>0和g′(x)<0时的x的取值范围，最后写出函数g(x)的单调区间；(3)求函数f(x)的极值点个数，即求g(x)＝f′(x)＝0变号根的个数，根据g(x)的单调性、极值及函数g(x)图象的变化趋势确定g(x)＝f′(x)＝0的变号根的个数．
[解析](1)第1步：对函数f(x)求导
因为f(x)＝x－x3eax＋b，所以f′(x)＝1－3x2eax＋b－ax3eax＋b＝1－eax＋b(ax3＋3x2)，(1分)
第2步：根据曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程得f′(1)及f(1)的值
因为曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1，
所以f′(1)＝－1，f(1)＝0，(2分)
第3步：根据f′(1)及f(1)的值列方程组，求出a，b的值
第3步：根据函数g(x)的单调性及零点存在定理确定函数f(x)在x∈ (－∞，0)时的极值点情况
当x<0时，因为g(－2)＝1＋4×(－5)e3＝1－20e3<0，函数g(x)在 (－∞，0)上单调递增，所以由零点存在定理可知，存在唯一的γ∈(－2, 0)，使得g(γ)＝0，所以x0，f(x)单调递增．所以x＝γ是函数f(x)的极小值点．(14分)
综上，函数f(x)的极值点个数为3.(15分)
冲关策略：利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值，已知f(x)的单调性，可转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题；求函数的极值、最值问题是高考解答题的基础和常见题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图象的性质进行分析．
2．(17分)(2025·广东调研)已知函数f(x)＝ex－1－xln x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)证明：f(x)>0.
[解析] (1)f(1)＝e1－1－ln 1＝1，(2分)
f′(x)＝ex－1－(ln x＋1)，则k＝f′(1)＝0，(5分)
曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝1.(6分)
即f′(x)≥0，(14分)
所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，f(1)＝1，
则ex－1－xln x≥1，(16分)
综上所述，f(x)>0.(17分)
冲关策略：(1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解．
(2)证明不等式，通常转化为求函数的最值问题．对于较复杂的不等式，要先用分析法进行适当的转化．
3．(17分)(2025·湖南沅澧共同体联考)已知f(x)＝ex－ax＋1，a∈R，e是自然对数的底数．
(1)讨论函数y＝f(x)的单调性；
(2)若关于x的方程f(x)－1＝0有两个不等实根，求a的取值范围；
(3)当a＝e时，若满足f(x1)＝f(x2)(x1[解析] (1)函数f(x)＝ex－ax＋1的定义域为R，
求导得f′(x)＝ex－a，(2分)
当a≤0时，恒有f′(x)>0，则函数f(x)在R上单调递增；(3分)
当a>0时，由f′(x)<0，得x0，得x>ln a，(4分)
即函数f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
所以当a≤0时，函数f(x)的递增区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，函数f(x)的递减区间为(－∞，ln a)，
递增区间为(ln a，＋∞)．(5分)
而当x<0时，g(x)<0，当x>0时，g(x)>0，
且当x＝1时，g(x)取得极小值g(1)＝e，
作出函数y＝g(x)的图象，如图：
观察图象，当a>e时，直线y＝a与函数y＝g(x)的图象有2个交点，
所以a的取值范围为(e，＋∞)．(11分)
而x1<1，因此f(x1)即f(x2)1，x2>1，
函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，从而x2<2－x1，
所以x1＋x2<2.(17分)