(共59张PPT)
第四章
三角函数、解三角形
考 情 探 究
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2023新课标Ⅰ，8； 2023新课标Ⅱ，7 三角恒等变换 求值 运算求解 基础性 数学运算
2023新课标Ⅱ，16 三角函数的图象及其变换 由图象求解析式 运算求解 逻辑思维 综合性 数学运算
逻辑推理
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2023新课标Ⅰ，15 三角函数的性质及其应用 由函数零点个数求ω的取值范围 运算求解 逻辑思维 综合性 数学运算
逻辑推理
2023新课标Ⅰ，17； 2023新课标Ⅱ，17； 2024新课标Ⅰ，15 解三角形及其综合应用 利用正、余弦定理及面积公式求边和角 运算求解 逻辑思维 综合性 数学运算
逻辑推理
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2022新课标Ⅰ，18； 2022新课标Ⅱ，17； 2024新课标Ⅱ，15 解三角形及其综合应用 求角度及最值；求面积及边长 运算求解 综合性 数学运算
2022新课标Ⅱ，6； 2024新课标Ⅱ，13 三角恒等变换 求正切值 运算求解 综合性 数学运算
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2022新课标Ⅱ，9； 2021新课标Ⅰ，4 三角函数的性质及其应用 求单调区间、对称轴 运算求解 综合性 数学运算
2021新课标Ⅰ，6 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 给值求值问题 运算求解 综合性 数学运算
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2021新课标Ⅱ，18 解三角形及其综合应用 求三角形的面积、应用余弦定理判断三角形的形状 运算求解 逻辑思维 基础性 数学运算
逻辑推理
2024新课标Ⅰ 三角函数和图象 求图象交点个数 运算求解 基础性 逻辑推理
2024新课标Ⅱ 三角函数的图象及性质 求零点、周期、最值、对称轴 运算求解 综合性 数学运算
逻辑推理
【命题规律与备考策略】
本章是高考常考内容，结合往年命题规律，命制三角恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”，给定函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，求解函数解析式．以选择题、填空题为主，分值为5分，而结合三角恒等变换与三角函数图象与性质、解三角形的题目多以解答题形式出现，分值为10分．
针对本章公式比较多，知识点比较多的特点，备考时可以采用如下策略与方法：①扫除公式、定理“障碍”，将公式、定理、推论归类整理，形成条理性；②固定解题模式与规范步骤；③注意解题中容易忽略的角的范围问题或多解问题；④注重将多个知识点融合交汇的综合题目的处理方法与思路解析明晰化．
第一讲 任意角和弧度制及
任意角的三角函数
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 角的有关概念
1．从旋转的角度看，角可分为正角、______和______.
2．从终边位置来看，角可分为________与________.
3．若β与α是终边相同的角，则β用α表示为_____________________.
负角
零角
象限角
轴线角
{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}
知识点二 弧度制及弧长、扇形面积公式
1．1弧度的角
长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
2．角α的弧度数
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝
对值是|α|＝____.
3．角度与弧度的换算
(1)1°＝____________；(2)1 rad＝______.
半径长
4．弧长、扇形面积的公式
|α|r
知识点三 任意角的三角函数
1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那
么sin α＝____，cos α＝____，tan α＝____________.
2．三角函数的符号
三角函数在各象限的符号一定要熟记口诀：________、________、________、________.
y
x
一全正
二正弦
三正切
四余弦
归 纳 拓 展
1．象限角
2．轴线角
3．终边相同的角与对称性拓展
(1)β，α终边相同 β＝α＋2kπ，k∈Z.
(2)β，α终边关于x轴对称 β＝－α＋2kπ，k∈Z.
(3)β，α终边关于y轴对称 β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
(4)β，α终边关于原点对称 β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角．( )
(2)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．( )
(3)若sin α>0，则α终边落在第一、二象限．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
[解析] 根据任意角的概念知(1)(2)(4)(5)均是错误的．sin α>0，α也可落在y轴正半轴上，故(3)也不对．
题组二 走进教材
2．(必修1P171T3改编)－2 025°的角的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] －2 025°＝－6×360°＋135°，－2 025°和135°的终边相同，所以－2 025°的终边在第二象限．
3．(必修1P182T4改编)若角θ满足tan θ>0，sin θ<0，则角θ所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
[解析] 由tan θ>0知，θ是一、三象限角，由sin θ<0知，θ是三、四象限角或终边在y轴非正半轴上，故θ是第三象限角．
[答案] －3
题组三 走向高考
5．(2020·课标Ⅱ，2)若α为第四象限角，则( )
A．cos 2α>0 B．cos 2α<0
C．sin 2α>0 D．sin 2α<0
[答案] D
考点突破 · 互动探究
角的基本概念——自主练透
[答案] C
[答案] D
A．第一象限或第二象限或第三象限
B．第一象限或第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上
D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上
[答案] D
A．一 B．二
C．三 D．四
[答案] AC
名师点拨：
1．迅速进行角度和弧度的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知识必备的基本功，若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化成2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断，这里要特别注意是π的偶数倍，而不是π的整数倍．
2．终边相同角的表达式的应用
利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需角．
扇形的弧长、面积公式的应用——师生共研
已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
名师点拨：弧长和扇形面积的计算方法
1．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．但要注意圆心角的单位是弧度．
2．从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
【变式训练】
1．(多选题)(2024·青岛质检)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的是( )
A．圆的半径为2 B．圆的半径为1
C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2
[答案] ABC
A．5 B．6
C．7 D．8
[答案] D
三角函数的定义——多维探究
角度1 定义的直接应用
角度2 三角函数值符号的应用
1．(多选题)下列各选项中正确的是( )
[答案] AB
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[答案] C
名师点拨：定义法求三角函数值的两种情况
1．已知角α终边上一点P的坐标，可先求出点P到原点的距离|OP|＝r，然后利用三角函数的定义求解．
2．已知角α的终边所在的直线方程，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离r，再利用三角函数的定义求解，应注意分情况讨论．
【变式训练】
2．(角度2)sin 2cos 3tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
[答案] A
名师讲坛 · 素养提升
利用三角函数定义解三角不等式
名师点拨：
1．利用单位圆解三角不等式的步骤为：(1)确定区域的边界；(2)确定区域；(3)写出解集．
【变式训练】
函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为___________________________．(共49张PPT)
第四章
三角函数、解三角形
第二讲 同角三角函数的
基本关系式与诱导公式
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 同角三角函数的基本关系式
1．平方关系：_________________.
sin2x＋cos2x＝1
知识点二 三角函数的诱导公式
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
－cos α
cos α
－cos α
sin α
－sin α
tan α
－tan α
－tan α
归 纳 拓 展
1．同角三角函数基本关系式的常见变形
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；
(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α；
2．诱导公式的记忆口诀
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
题组二 走进教材
[答案] A
[答案] B
[答案] A
题组三 走向高考
考点突破 · 互动探究
同角三角函数的基本关系式——师生共研
[答案] 0
【变式训练】
[答案] CD
[答案] D
3．已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________.
诱导公式及其应用——多维探究
角度1 利用诱导公式化简三角函数式
[答案] －1
角度2 “换元法”的应用
[答案] 0
名师点拨：
1．诱导公式的两个应用方向与原则
(1)求值：化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了．
(2)化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．
【变式训练】
[答案] A
名师讲坛 · 素养提升
sin x＋cos x、sin x－cos x、sin xcos x之间的关系
名师点拨：
sin x＋cos x、sin x－cos x、sin xcos x之间的关系为(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x，(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x，(sin x＋cos x)2＋(sin x－cos x)2＝2.
因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．
【变式训练】
[答案] B
[答案] C(共62张PPT)
第四章
三角函数、解三角形
第三讲 两角和与差的三角函数 二倍角公式
第一课时 三角函数公式的基本应用
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．sin 2α＝________________；
2．cos 2α＝_______________＝_________－1＝1－__________；
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2cos2α
2sin2α
知识点三 半角公式(不要求记忆)
归 纳 拓 展
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
[解析] 根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知(2)(3)(4)(5)是错误的，(1)是正确的．
题组二 走进教材
2．(必修1P219例4改编)计算sin 43°cos 13°＋sin 47°cos 103°的结果等于( )
[答案] A
[答案] A
题组三 走向高考
[答案] D
[答案] A
[解析] 因为cos(α＋β)＝m，
所以cos αcos β－sin αsin β＝m，
而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，
故cos αcos β－2cos αcos β＝m，
即cos αcos β＝－m，
从而sin αsin β＝－2m，故cos(α－β)＝－3m，故选A.
考点突破 · 互动探究
三角函数公式的直接应用——自主练透
[答案] D
[答案] B
[答案] B
名师点拨：
1．使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
2．使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
三角函数公式的逆用与变形用——多维探究
角度1 公式的逆用
[答案] C
角度2 公式的变形应用
[答案] B
[答案] D
[答案] C
名师点拨：
1．注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
2．熟记三角函数公式的2类变式
(1)和差角公式变形：
sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，
cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
tan α±tan β＝tan(α±β)·(1 tan α·tan β)．
(2)倍角公式变形：
【变式训练】
[答案] D
[答案] B
角的变换与名的变换——师生共研
[答案] B
[答案] B
[答案] C
名师点拨：
【变式训练】
1．(2025·江苏徐州期中抽测)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则cos2α－cos2β＝( )
[答案] D
[答案] B
名师讲坛 · 素养提升
辅助角公式的应用
应用1 求值
应用2 求最值
[分析] 高次的先用二倍角余弦公式降次，然后再用辅助角公式化为Asin(ωx＋φ)．
[答案] [－3,1]
应用3 求单调区间
[答案] B
名师点拨：
用辅助角公式变形三角函数式时：
1．遇两角和或差的三角函数，要先展开再重组；
2．遇高次时，要先降幂；
3．熟记以下常用结论：
【变式训练】
1．(2021·北京卷，14)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为________.
[答案] B(共42张PPT)
第四章
三角函数、解三角形
第三讲 两角和与差的三角函数 二倍角公式
第二课时 三角函数式的化简与求值
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
考点突破 · 互动探究
三角函数式的化简——师生共研
化简下列各式：
名师点拨：
1．此类化简题，对公式既要会正用，又要会逆用，甚至变形应用．
2．应用公式时特别注意角不要化错，函数名称、符号一定要把握准确．
3．对asin x＋bcos x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚．
【变式训练】
[答案] 0
求值问题——多维探究
角度1 给角求值
1．cos 20°·cos 40°·cos 100°＝( )
[答案] B
[答案] 1
名师点拨：给角求值问题的解题思路
给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：
1．观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分；
2．观察名，尽可能使函数统一名称；
3．观察结构，利用公式，整体化简．
角度2 给值求值
[答案] A
[答案] B
角度3 给值求角
[答案] C
[答案] D
名师点拨：
1．已知三角函数值求角的解题步骤
(1)求出角的某一三角函数值；
(2)确定角的范围；
(3)根据角的范围确定角．
2．给值求角的原则
(1)已知正切函数值，选正切函数；
【变式训练】
[答案] C
名师讲坛 · 素养提升
三角形中的恒等变换问题
[分析] 由sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B知求sin A、cos B即可．
[答案] D
2．(2025·河北唐山一中质检)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．不含60°的等腰三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
[分析] 利用cos(B＋C)＝－cos A，sin(A＋C)＝sin B及两角差的正弦公式求解．
[答案] D
名师点拨：
利用三角函数解决三角形问题要注意一些隐含条件，再根据所给的三角函数值确定角的范围，然后再进行求值．本题应用三角形中大角对大边，也可知A>B a>b sin A>sin B，知B为锐角．
【变式训练】
[答案] D
2．(2024·宁夏平罗中学期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin A＝2sin Bcos C，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
[答案] A
[解析] 由题意知sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
整理化简得sin Bcos C－cos Bsin C＝0
即sin(B－C)＝0，又－π
∴B－C＝0，即B＝C，故选A.(共74张PPT)
第四章
三角函数、解三角形
第四讲 三角函数的图象与性质
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 周期函数的定义及周期的概念
1．对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做__________.非零常数T叫做这个函数的______.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小________.
2．正弦函数、余弦函数都是周期函数，___________________都是它们的周期，最小正周期是______.
周期函数
周期
正周期
2kπ(k∈Z，k≠0)
2π
知识点二 正弦、余弦、正切函数的图象与性质
(kπ，0)，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
2π
2π
π
{y|－1≤y≤1}
{y|－1≤y≤1}
R
[(2k－1)π，2kπ]
[2kπ，(2k＋1)π]
2kπ(k∈Z)
π＋2kπ(k∈Z)
奇函数
偶函数
奇函数
归 纳 拓 展
1．关于周期性
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin x在第一象限内单调递增．( )
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( )
(3)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴．( )
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )
(5)y＝|sin x|与y＝sin |x|都是周期为π的偶函数．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
题组二 走进教材
[答案] C
3．(必修1P207T3改编)下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是( )
[答案] B
题组三 走向高考
[答案] 2
5．(2022·北京卷)已知函数f(x)＝cos2 x－sin2x，则( )
[答案] C
考点突破 · 互动探究
三角函数的定义域、值域——自主练透
名师点拨：三角函数定义域、值域的求解策略
1．求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：
(1)形如y＝asin ωx＋bcos ωx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值).
三角函数的单调性——师生共研
1．求下列函数的单调区间：
名师点拨：三角函数单调性问题的解题策略
1．求三角函数单调区间的两种方法
(1)代换法：求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简．化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式．求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)图解法：若函数的图象能够容易画出，可利用图象直观迅速求解．如某些含绝对值的三角函数．
注：正、余弦型单调区间长度为半周期．
2．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
【变式训练】
[答案] A
[答案] C
三角函数的周期性、奇偶性、对称性——多维探究
角度1 周期性
求下列函数的最小正周期：
角度2 奇偶性
[答案] A
2．(多选题)已知f(x)＝sin(x＋φ)＋cos(x＋φ)为奇函数，则φ的一个取值可以是( )
[答案] CD
角度3 对称性
[答案] A
名师点拨：
3．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题．
(1)∵y＝sin x的对称中心是(kπ，0)(k∈Z)，
【变式训练】
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
[答案] B
2．(角度2)已知函数f(x)＝sin xcos(2x＋φ)(φ∈[0，π])为偶函数，则φ＝( )
[答案] C
[答案] A
名师讲坛 · 素养提升
三角函数的值域与最值
[答案] A
名师点拨：求三角函数值域或最值的方法
1．y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)的值域为[－|a|＋b，|a|＋b]．
2．y＝asin2x＋bcos x＋c可转化为关于cos x的二次函数，求在给定区间上的值域(或最值)即可．
【变式训练】
[答案] D
[答案] 1
3．(2024·云南调研)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域是____________.(共94张PPT)
第四章
三角函数、解三角形
第五讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示．
X ______ ________ ____ ________
____
ωx＋φ ____ ____ ____ ____ ______
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
0
π
2π
知识点二 函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下
知识点三 简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)中的有关物理量
ωx＋φ
归 纳 拓 展
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
题组二 走进教材
[答案] A
题组三 走向高考
[答案] BC
[答案] C
考点突破 · 互动探究
“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象——师生共研
ωx＋φ
x
f(x)
图象如图：
名师点拨：用“五点法”作正、余弦型函数图象的步骤
1．将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的形式．
2．确定周期．
3．确定一个周期或给定区间内函数图象的最高点和最低点以及零点．
4．列表．
5．描点．
根据这些数据，要得到函数y＝Asin ωx的图象，需要将函数f(x)的图象( )
[答案] A
三角函数图象的变换——多维探究
角度1 给定变换前后函数解析式、确定图象间变换
[答案] C
角度2 给定图象变换，确定函数解析式
[答案] B
名师点拨：
【变式训练】
[答案] D
[答案] B
已知函数图象求解析式——师生共研
(多选题)下图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝( )
[答案] BC
【变式训练】
(多选题)(2024·河北邢台模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则( )
[答案] BD
三角函数图象与性质的综合应用——师生共研
[答案] AD
名师点拨：三角函数图象与性质的综合问题的求解思路
先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
[答案] D
2. (多选题)(2025·山东联合质检)如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象，则下列说法中正确的是( )
[答案] BC
名师讲坛 · 素养提升
三角函数中有关参数ω的求解问题
题型分析 三角函数中的参数问题主要是指函数y＝Asin(ωx＋φ)中ω与φ的求解，或所涉及的区间端点参数的求解，一般是利用所给函数的单调性、奇偶性、对称性等进行．
一、利用三角函数的周期性求参数
为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( )
[答案] B
名师点拨：
解决此类问题的关键在于弄清楚出现最大值的次数与周期的关系，易错之处是认为出现50次最大值需要至少50个周期．
[答案] B
[答案] C
名师点拨：
确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可求ω的取值范围．
[答案] B
三、三角函数的对称性与ω的关系
[答案] CD
名师点拨：
[答案] C
四、三角函数的最值与ω的关系
[答案] A
名师点拨：
利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围．
【变式训练】
将函数f(x)＝sin(2ωx＋φ)(ω>0，φ∈[0,2π])图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数g(x)，函数g(x)的部分图象如图所示，且g(x)在[0,2π]上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值范围是( )
[答案] C
五、三角函数的零点与ω的关系
[答案] C
名师点拨：
利用三角函数的零点转化为集合的包含关系，进而建立ω所满足的不等式(组)求解．
【变式训练】
[答案] C(共88张PPT)
第四章
三角函数、解三角形
第六讲 解三角形
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ______________________＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝____________________
b2＝____________________
c2＝____________________
b2＋c2－2bccos A
c2＋a2－2accos B
a2＋b2－2abcos C
定理 正弦定理 余弦定理
常见 变形 ①a＝_________，b＝_________，c＝__________ ②sin A＝_____，sin B＝______， sin C＝____ ③a∶b∶c＝_________________ ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝______________
cos B＝______________
cos C＝______________
2Rsin A
2Rsin B
2Rsin C
sin A∶sin B∶sin C
定理 正弦定理 余弦定理
解决解 斜三角 形的问题 (1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求各角
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
知识点二 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下
知识点三 三角形常用面积公式
知识点四 实际问题中的常用术语
知识点五 实际测量中的常见问题
归 纳 拓 展
在△ABC中，常有以下结论
1．∠A＋∠B＋∠C＝π.
2．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4．∠A>∠B a>b sin A>sin B cos A5．tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C．
6．三角形式的余弦定理sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B·sin Ccos A，
sin2B＝sin2A＋sin2C－2sin Asin Ccos B，
sin2C＝sin2A＋sin2B－2sin Asin Bcos C．
7．三角形中的射影定理：bcos C＋ccos B＝a，acos C＋ccos A＝b，acos B＋bcos A＝c.
9．三角形中判断内角范围的方法：①若b2＋c2>a2，则角A为锐角；②若b2＋c2＝a2，则角A为直角：③若b2＋c210．在锐角三角形ABC中，必有sin A>cos B，sin B>cos C，sin C>cos A等．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在△ABC中，a∶b∶c＝A∶B∶C.( )
(2)在△ABC中，A>B必有sin A>sin B．( )
(3)在△ABC中，若b2＋c2>a2，则△ABC为锐角三角形．( )
(4)在△ABC中，若bcos B＝acos A，则△ABC是等腰三角形．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×
题组二 走进教材
[答案] B
题组三 走向高考
[答案] C
[答案] C
考点突破 · 互动探究
利用正、余弦定理解三角形——自主练透
2．(2025·江苏淮安调研)在外接圆半径为4的△ABC中，∠ABC＝30°，若符合上述条件的三角形有两个，则边AB的长可能为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] D
[答案] 2
[答案] D
判断三角形的形状——师生共研
1．(2025·开封调研)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
[答案] D
A．钝角三角形 B．正三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[答案] C
名师点拨：判断三角形形状的2种途径
【变式训练】
(2024·山东实验中学期中)在△ABC中，若(a－acos B)sin B＝(b－ ccos C)sin A，则这个三角形是( )
A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
[答案] A
正、余弦定理的综合应用——师生共研
角度1 三角形面积问题
名师点拨：三角形面积公式的应用原则
角度2 三角形中的范围问题
[引申]在本例条件下，若△ABC为锐角三角形，则△ABC周长的取值范围为____________，面积的取值范围为____________.
名师点拨：
解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路如下：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．
【变式训练】
名师讲坛 · 素养提升
三角形中的实际测量问题
角度1 测量距离问题
(2025·武汉模拟)如图，一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔时，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔时，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
[答案] A
名师点拨：距离问题的常见类型及解法
1．类型：测量距离问题常分为三种类型：山两侧、河两岸、河对岸．
2．解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：(1)基线的选取要恰当准确；(2)选取的三角形及正、余弦定理要恰当．若图中涉及多个三角形，则先解可解三角形，借助公共边、公共角再解其他三角形从而求解．
角度2 测量高度问题
[答案] 60
名师点拨：求解高度问题的三个关注点
1．在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．
2．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
3．注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
易错提醒：解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来．而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．
角度3 角度问题
[答案] ABD
名师点拨：角度问题的解题方法
首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．
提醒：方向角是相对于某点而言的，因此确定方向角时，首先要弄清是哪一点的方向角．
【变式训练】
1. (角度1)(2024·南京师大附中期中)如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，在河岸这边取点C，D，测得CD的长为12千米，在点C处测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，在点D处测得∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B两点间的距离为________千米．(设A，B，C，D四点在同一平面内)
2. (角度2)(2025·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了600 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________.
3．(角度3)(2025·宜昌模拟)如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
[答案] B(共16张PPT)
第四章
三角函数、解三角形
高考大题规范解答——三角函数、解三角形
3．(15分)(2025·湖北云学部分重点高中联盟联考)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c设向量m＝(2a－c，cos C)，n＝(b，cos B)，且m∥n.
A
B
D
C