(共58张PPT)
第五章
平面向量与复数
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2023新课标Ⅰ，3； 2024新课标Ⅰ，3 平面向量数量积的应用 由向量垂直求参数的值 运算求解 基础性 数学运算
2023新课标Ⅱ，13； 2024新课标Ⅱ，3 平面向量数量积的定义及夹角与模问题 求模 运算求解 基础性 数学运算
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2022新高考Ⅰ，3 平面向量的概念及线性运算 向量的线性运算 运算求解 基础性 数学运算
2022新高考Ⅱ，4 平面向量数量积的应用 由夹角相等求参数值 运算求解 综合性 数学运算
2021新高考Ⅰ，10 平面向量数量积的定义及夹角与模问题 利用坐标运算求解向量的模、数量积 运算求解 综合性 数学运算
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2021新高考Ⅱ，15 平面向量数量积的定义及夹角与模问题 平面向量的数量积 运算求解 基础性 数学运算
2020新高考Ⅱ，3 平面向量的概念及线性运算 向量的线性运算 运算求解 基础性 逻辑推理
数学运算
2020新高考Ⅰ，7 平面向量数量积的应用 求数量积的取值范围 运算求解 综合性 数学运算
逻辑推理
直观想象
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2024新课标Ⅰ，2 复数的运算 复数的四则运算 运算求解 基础性 数学运算
2024新课标Ⅱ，1 复数的概念 求模 运算求解 基础性 数学运算
2023新课标Ⅰ，2 复数的运算 复数的除法运算 运算求解 基础性 数学运算
2023新课标Ⅱ，1 复数的概念 复数的几何意义 运算求解 基础性 数学运算
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2022新高考Ⅰ，2； 2022新高考Ⅱ，2； 2021新高考Ⅰ，2 复数的运算 复数的乘法运算 运算求解 基础性 数学运算
2021新高考Ⅱ，1 复数的概念 复数的几何意义 运算求解 基础性 数学运算
2020新高考Ⅱ，2 复数的运算 复数的乘法运算 运算求解 基础性 数学运算
2020新高考Ⅰ，2 复数的运算 复数的除法运算 运算求解 基础性 数学运算
【命题规律与备考策略】
本章内容分为两部分，第一部分平面向量、第二部分复数．高考对第一部分内容的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性运算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模．试题以中低档题为主，以选择题或填空题的形式出现，分值为5分．高考对本部分的考查依然是基础与能力并存，在知识的形成过程、知识的迁移中渗透数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，重视函数与方程、数形结合、转化与化归思想．高考对第二部分内容的考查，一般出现在选择题前2题中，比较简单，分值为5分．高考命题主要
集中于：①复数的相关概念，如虚数、纯虚数、共轭复数等；②复数的几何意义及复数的模的最值问题；③复数的四则运算，常考查乘、除法运算；④虚数单位i的性质．备考时，要掌握常见的知识与解题方法，加强对复数的概念的理解，提高运算求解能力．
第一讲 平面向量的概念及其线性运算
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 向量的有关概念
1．向量：既有______又有______的量叫做向量，向量的大小叫做向量的______(或称____)．
2．零向量：__________的向量叫做零向量，其方向是______的，零向量记作____.
3．单位向量：长度等于____个单位的向量．
大小
方向
长度
模
长度为0
任意
0
1
4．平行向量：方向相同或______的______向量；平行向量又叫______向量．规定：0与任一向量______.
5．相等向量：长度______且方向______的向量．
6．相反向量：长度______且方向______的向量．
相反
非零
共线
平行
相等
相同
相等
相反
知识点二 向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 ______法则 __________法则 (1)交换律：
a＋b＝________；
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝_______________
三角形
平行四边形
b＋a
a＋(b＋c)
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
减法 向量a加上向量b的__________叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b ______法则 a－b＝a＋(－b)
相反向量
三角形
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
数乘 实数λ与向量a的积是一个______记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a|； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向______； 当λ<0时，λa与a的方向______； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ是实数．
(1)____________＝(λμ)a
(2)(λ＋μ)a＝____________
(3)λ(a＋b)＝____________.
向量
相同
相反
λ(μa)
λa＋μa
λa＋λb
知识点三 共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使__________.
b＝λa
归 纳 拓 展
1．零向量与任何向量共线．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关．( )
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
[答案] B
3．(多选题)(必修2P15T4改编)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中( )
[答案] BC
[答案] A
[解析] ∵D为△ABC的边AB的中点，
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
[答案] B
考点突破 · 互动探究
向量的基本概念——自主练透
1．(多选题)(2025·山东烟台月考)给出下列命题，其中叙述错误的命题为( )
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．|a|＋|b|＝|a－b| a与b方向相反
D．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
[答案] BC
A．a＝－2b B．a2＝b2
C．a＝2b D．|a|＝|b|
[答案] C
名师点拨：
1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
2．共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
3．平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．
向量的线性运算——多维探究
角度1 向量加、减法的几何意义
设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
[答案] A
[解析] 解法一：利用向量加法的平行四边形法则．
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
解法二：∵|a＋b|＝|a－b|，
∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.
∴a·b＝0.∴a⊥b.
角度2 向量的线性运算
[答案] D
角度3 根据向量线性运算求参数
[答案] B
名师点拨：平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
1．考查向量加法或减法的几何意义．
2．求已知向量的和或差．一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则．
3．与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数．
4．与平行四边形综合，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
【变式训练】
1．(角度1)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( )
A．a＋b＝0 B．a＝b
C．a与b共线反向 D．存在正实数λ，使a＝λb
[答案] D
[解析] 因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，所以a与b共线同向，故D正确．
[答案] D
[答案] A
共线向量定理及其应用——师生共研
设两个非零向量a与b不共线．
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[分析] (1)利用向量证明三点共线时，首先要证明两个非零向量共线，然后再说明两向量有公共点，这时才能说明三点共线；
(2)利用共线向量定理求解．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb.
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
[引申]本例(2)中，若ka＋b与a＋kb反向，则k＝________；若ka＋b与a＋kb同向，则k＝________.
[答案] －1 1
[解析] 由本例可知ka＋b与a＋kb反向时λ<0，从而k＝－1；ka＋b与a＋kb同向时λ>0，从而k＝1.
名师点拨：平面向量共线的判定方法
1．向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．
2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
【变式训练】
A．3 B．－3
C．－2 D．2
[答案] D
2．(2024·浙江杭州三模)已知不共线的平面向量a，b满足(a＋λb)∥ (λa＋2b)，则正数λ＝( )
[答案] B
名师讲坛 · 素养提升
易错警示——都是零向量“惹的祸”
下列命题正确的是( )
A．向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa
C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立
D．若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线
[答案] D
[解析] 易知ABC错误．对于D．∵向量a与b不共线，
∴向量a，b，a＋b与a－b均不为零向量．
若a＋b与a－b共线，
则存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)，
即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
即a＋b与a－b不共线．故D正确．
名师点拨：
在向量的有关概念中，定义长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且规定：0与任一向量平行．由于零向量的特殊性，在两个向量共线或平行问题上，如果不考虑零向量，那么往往会得到错误的判断或结论．在向量的运算中，很多学生也往往忽视0与0的区别，导致结论错误．
【变式训练】
下列叙述正确的是( )
A．若非零向量a与b的方向相同或相反，则a＋b与a，b其中之一的方向相同
B．|a|＋|b|＝|a＋b| a与b的方向相同
D．若λ≠0，λa＝λb，则a＝b
[答案] D(共57张PPT)
第五章
平面向量与复数
第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝_________________.
知识点二 平面向量的坐标表示
在直角坐标系内，分别取与______________________的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，________叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝_______， j＝(0，1)，0＝ ________.
不共线
λ1e1＋λ2e2
x轴，y轴正方向相同
(x，y)
(1，0)
(0，0)
知识点三 平面向量的坐标运算
1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝_________________，a－b＝_____________________，λa＝_____________，|a|＝____________.
2．向量坐标的求法
(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx1，λy1)
(x2－x1，y2－y1)
知识点四 向量共线的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b _______________.
x1y2－x2y1＝0
归 纳 拓 展
1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( )
(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√
题组二 走进教材
2．(必修2P60T2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，3)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
[答案] B
[解析] A选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B选项中，不存在实数λ，使得e1＝λe2.故两向量不共线，故其可以作为基底；C选项中，e2＝2e1，两向量共线，故其不可以作为基底；D选项中，e1＝4e2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B．
[答案] C
题组三 走向高考
A．(－7，－4) B．(7，4)
C．(－1，4) D．(1，4)
[答案] A
5．(2018·全国卷Ⅲ，13，5分)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
考点突破 · 互动探究
平面向量基本定理的应用——师生共研
1．(多选题)(2024·上海浦东新三模改编)给定平面上的一组不共线的向量e1、e2，则以下四组向量中能构成平面向量的基底的是( )
A．2e1＋e2和e1－e2 B．e1＋3e2和e2＋3e1
C．3e1－e2和2e2－6e1 D．e1和e1＋e2
[答案] ABD
[解析] 对A：不存在实数λ，使得2e1＋e2＝λ(e1－e2)，故2e1＋e2和e1－e2不共线，可作基底；对B：不存在实数λ，使得e1＋3e2＝λ(e2＋3e1)，故e1＋3e2和e2＋3e1不共线，可作基底；对C：对3e1－e2和2e2－6e1，因为e1，e2是不共线的两个非零向量，且存在实数－2，使得2e2－6e1＝－2(3e1－e2)，故3e1－e2和2e2－6e1共线，不可作基底；对D：不存在实数λ，使得e1＝λ(e1＋e2)，故e1和e1＋e2不共线，可作基底．故选ABD．
[答案] 3
名师点拨：应用平面向量基本定理表示向量的方法
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：
1．运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．
2．将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
【变式训练】
1．(2024·陕西西安一模)设k∈R，下列向量中，可与向量q＝(1,－1)组成基底的向量是( )
A．b＝(k，k) B．c＝(－k，－k)
C．d＝(k2＋1，k2＋1) D．e＝(k2－1，k2－1)
[答案] C
[解析] 若k＝0时，b＝(0，0)，c＝(0，0)不满足构成基向量的条件，所以AB都错误；若k＝±1时，e＝(0，0)不满足构成基向量的条件，所以D错误；因为 k∈R，k2＋1≠0，又因为(k2＋1)×(－1)－(k2＋1)×1≠0恒成立，说明d与q不共线，故选C．
[答案] D
平面向量坐标的基本运算——自主练透
[答案] B
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0)．
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，
[解析] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
名师点拨：
1．利用向量的坐标运算解题时，首先利用加、减、数乘运算法则进行运算，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，转化为方程(组)进行求解．
2．向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．
【变式训练】
A．(－2，－1) B．(0，5)
C．(2，－5) D．(2，－1)
[答案] A
向量共线的坐标表示及其应用——多维探究
角度1 利用向量共线求参数的值
1．(2025·山东德州期中)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，若a＋b与3a－b平行，则m＝( )
[答案] A
名师点拨：利用向量共线的坐标表示求参数的一般步骤
1．根据已知条件求出相关向量的坐标．
2．利用向量共线的坐标表示列出有关向量的方程或方程组．
3．根据方程或方程组求解得到参数的值．
角度2 利用向量共线求向量或点的坐标
(2024·天津模拟)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为________.
[答案] (3，3)
名师点拨：两平面向量共线的充要条件有两种形式
1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
2．若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．求点的坐标时，可设要求点的坐标为(x，y)，根据向量共线的条件列方程(组)，求出x，y的值．
【变式训练】
1．(角度1)(2025·河北邯郸开学考试)已知a＝(x，－1)，b＝(2，1)，若(a－2b)∥b，则x＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[答案] A
[解析] 依题意a－2b＝(x－4，－3)，又(a－2b)∥b，所以x－4＋6＝0，解得x＝－2.故选A．
[答案] (－3，9)
名师讲坛 · 素养提升
[答案] C
[答案] A
[答案] B(共78张PPT)
第五章
平面向量与复数
第三讲 平面向量的数量积
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 向量的夹角
a与b的夹角为____时，则a与b垂直，记作a⊥b.
[0，π]
知识点二 平面向量的数量积
1．定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝_______________，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
|a||b|cos θ
投影
投影向量
|a|cos θe
知识点三 平面向量数量积的性质及其坐标表示
1．设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝____________.
x1x2＋y1y2
(5)已知两非零向量a与b，a⊥b a·b＝0 ____________________；a∥b a·b＝±|a||b|(或|a·b|＝|a|·|b|)．
(6)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)
2．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
x1x2＋y1y2＝0
归 纳 拓 展
1．两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0而0·a＝0.
2．数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)．
3．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
4．两向量a与b的夹角为锐角 a·b>0且a与b不共线；两向量a与b的夹角为钝角 a·b<0，且a与b不共线．当a、b为非零向量时a、b同向 a·b＝|a||b|；a、b反向 a·b＝－|a||b|.
5．投影向量的表示：
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(2)a·b>0，则a与b的夹角为锐角；a·b<0，则a与b的夹角为钝角. ( )
(3)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( )
(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
题组二 走进教材
2．(必修2P36T2改编)向量a＝(2，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．6 B．5
C．1 D．－6
[答案] A
[解析] 由题意知2a＋b＝(3，0)，∴(2a＋b)·a＝(3，0)·(2，－1)＝6，故选A．
[答案] C
[答案] B
解法二：以D为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则E(1，2)，C(2，0)，D(0，0)，
5．(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[答案] D
[解析] 因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D．
考点突破 · 互动探究
平面向量数量积的运算——师生共研
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[答案] C
A．10 B．13
C．18 D．26
[答案] B
3．(2024·山东潍坊三模)已知向量a＝(1，2)，b＝(4，－2)，c＝(1，λ)，若c·(2a＋b)＝0，则实数λ＝________.
[答案] －3
[解析] 2a＋b＝(2，4)＋(4，－2)＝(6，2)，c·(2a＋b)＝(1，λ)·(6，2)＝6＋2λ＝0，解得λ＝－3.
名师点拨：向量数量积的四种计算方法
1．当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ.
2．当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
3．转化法：当模和夹角都没给出时，即用已知模或夹角的向量作基底来表示要求数量积的向量求解．
4．坐标法：结合图形特征适当建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积．
【变式训练】
1．(2024·黑龙江二模)已知向量a＝(1，m)，b＝(n，6)，若b＝3a，则a·b＝________.
[答案] 15
[解析] ∵b＝3a，即(n，6)＝(3，3m)，∴n＝3，m＝2，∴a＝(1，2)，b＝(3，6)，∴a·b＝1×3＋2×6＝15.
[答案] A
向量的模、夹角——多维探究
角度1 向量的模
1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝( )
[答案] B
[答案] B
名师点拨：平面向量的模的解题方法
2．若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．即“模的问题平方求解．”
角度2 向量的夹角
1．(2025·河北石家庄质检)已知平面向量a，b满足a·(a－b)＝2，且|a|＝1，|b|＝2，则向量a，b的夹角为( )
[答案] B
[答案] D
名师点拨：求两向量夹角的方法及注意事项
2．注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．
角度3 平面向量的垂直
1．(2023·新课标Ⅰ卷，3，5分)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
[答案] D
[解析] 由题意得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，
即a2＋(λ＋μ)a·b＋λμb2＝0，
∵a＝(1，1)，b＝(1，－1)，∴a2＝2，b2＝2，a·b＝0，
∴2＋2λμ＝0，解得λμ＝－1，故选D．
[答案] A
名师点拨：平面向量垂直问题的解题思路
解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件a·b＝0求解．
角度4 向量的投影
1．(2025·安徽江淮十校模拟)已知|b|＝2|a|，若a与b的夹角为60°，则2a－b在b上的投影向量为( )
[答案] B
[答案] C
【变式训练】
1．(角度1、3)(2025·黑龙江牡丹江省级示范性高中期中)已知平面向量m，n满足m·n＝3，且m⊥(m－2n)，则|m|＝________.
2．(角度2、3)(2025·重庆质检)已知平面上的两个非零向量a，b满足(a－b)·(a＋2b)＝a·b＝b2，则〈a，b〉＝( )
[答案] B
3．(角度4)(2024·浙江绍兴三模)若非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a＋2b在b方向上的投影向量为( )
[答案] B
名师讲坛 · 素养提升
向量最值问题的解法
一、目标函数法
[答案] C
解法三：以O为坐标原点，过点O平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，
A．[－5，3] B．[－3，5]
C．[－6，4] D．[－4，6]
[答案] D
[解析] 依题意如图建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，
因为PC＝1，所以P在以C为圆心，
1为半径的圆上运动，
设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π]，
＝cos2θ－3cos θ－4sin θ＋sin2θ
＝1－3cos θ－4sin θ
二、数形结合法
[答案] A
2．已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是____________.
三、基本不等式法
名师点拨：
1．向量模的最值问题常用结论：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|(等号成立当且仅当a、b同向或反向)．
2．向量数量积的最值问题：(1)化为目标函数求解；(2)利用向量投影的几何意义，数形结合求解；(3)建立坐标系，“坐标化”求解．
[答案] C
[答案] B(共59张PPT)
第五章
平面向量与复数
第四讲 平面向量的综合应用
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 向量在平面几何中的应用
1．用向量解决常见平面几何问题的技巧
问题类型 所用知识 公式表示
线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b __________ ________________，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b ____________ __________________，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量
a＝λb
x1y2－x2y1＝0
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
问题类型 所用知识 公式表示
夹角问题 数量积的定义
cos θ＝________(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量
长度问题 数量积的定义 |a|＝______＝__________，其中a＝(x，y)，a为非零向量
2．用向量方法解决平面几何问题的步骤
知识点二 向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．
知识点三 向量与相关知识的交汇
平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．
归 纳 拓 展
2．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
题组二 走进教材
2．(必修2P60T10改编)设向量a＝(cos θ，2)，b＝(－1，sin θ)，若a⊥b，则sin 2θ＝________.
[解析] ∵a＝(cos θ，2)，b＝(－1，sin θ)，且a⊥b.
A．矩形 B．正方形
C．菱形 D．梯形
[答案] C
4．(必修2P60T8改编)一质点在平面上的三个力F1，F2，F3的作用下处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为( )
[答案] B
题组三 走向高考
[答案] 6
考点突破 · 互动探究
向量与平面几何——师生共研
[答案] D
名师点拨：平面几何问题的向量解法
1．坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
2．基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．
【变式训练】
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[答案] C
向量在解析几何中的应用——师生共研
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．直线
[答案] A
[答案] 6
[解析] 解法一：由题意，得F(－1，0)，设P(x0，y0)，
名师点拨：
向量在解析几何中的“两个”作用：①载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题；②工具作用，利用a⊥b a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题常常是比较优越的方法．
向量与其他知识的交汇——师生共研
名师点拨：平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
1．题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
2．给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值．
[解析] (1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，所以ccos B＋(b－2a)cos C＝0，
在△ABC中，由正弦定理得，
sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，sin A＝2sin Acos C，
名师讲坛 · 素养提升
三角形的四“心”及三角形形状的判定
一、三角形的“四心”
3．外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．
类型一 平面向量与三角形的“重心”问题
A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心
C．△ABC的重心 D．AB边的中点
[答案] C
类型二 平面向量与三角形的“外心”问题
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
[答案] A
所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，
所以P是△ABC的外心．故选A．
类型三 平面向量与三角形的“垂心”问题
A．重心 B．垂心
C．外心 D．内心
[答案] B
类型四 平面向量与三角形的“内心”问题
A．重心 B．外心
C．垂心 D．内心
[答案] D
二、三角形形状的判断
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
[分析] 通过向量运算从算式中消掉O.
[答案] C
【变式训练】
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
[答案] D
2．若P为△ABC所在平面内一点．
[答案] (1)垂心 (2)重心 (3)外心(共65张PPT)
第五章
平面向量与复数
第五讲 复数
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 复数的有关概念
2．复数相等：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R) a＝c且b＝d.
a－bi
|z|
|a＋bi|
知识点二 复数的几何意义
1．复平面的概念：建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，x轴叫做______，y轴叫做______.
2．实轴上的点都表示______；除了原点外，虚轴上的点都表示________.
实轴
虚轴
实数
纯虚数
知识点三 复数的运算
1．复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝_____________________；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝_____________________；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝____________________________；
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
2．复数的运算律：复数加法满足交换律、结合律
(1)交换律：z1＋z2＝____________；
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝________________.
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
归 纳 拓 展
1．两个虚数不能比较大小，但虚数的模可以比较大小．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x2－x＋1＝0没有解．( )
(2)原点是实轴与虚轴的交点．( )
(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．( )
(4)复数z＝3－2i中，虚部为－2i.( )
(5)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4＋3i>3＋3i，3＋4i>3＋3i等．( )
(6)若a∈C，则|a|2＝a2.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×
[答案] C
A．E B．F
C．G D．H
[答案] D
题组三 走向高考
A．－i B．i
C．0 D．1
[答案] A
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
[答案] C
考点突破 · 互动探究
复数的基本概念——自主练透
1．(2025·河北石家庄摸底)已知复数z满足(1＋i)z＝2＋3i，则复数z的虚部为( )
[答案] A
2．(2024·湖南“一起考”大联考模拟)已知a∈R，若(3＋i)(1－ai)为纯虚数，则a＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
[答案] A
A．1＋i B．1－i
C．2＋i D．2－i
[答案] A
[答案] C
5．(2023·全国甲理，2，5分)设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[答案] C
复数的运算——多维探究
角度1 复数的加、减法
(2024·广西来宾期末)已知a，b∈R，(a＋3i)＋(2－i)＝5＋bi，则ab＝( )
A．－4 B．7
C．－8 D．6
[答案] D
角度2 复数的乘法
1．(2025·甘肃庆阳调研)已知复数z＝－5－2i，则z2的实部为( )
A．20 B．21
C．－21 D．－20
[答案] B
[解析] 因为z＝－5－2i，所以z2＝(－5－2i)(－5－2i)＝(5＋2i)(5＋2i)＝25＋10i＋10i－4＝21＋20i，所以z2的实部为21，故选B．
2．(2023·新课标Ⅱ卷，1，5分)在复平面内，(1＋3i)·(3－i)对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] A
[解析] (1＋3i)(3－i)＝6＋8i，对应的点(6，8)在第一象限，故选A.
角度3 复数的除法
A．－1 B．1
C．1－i D．1＋i
[答案] C
[答案] B
角度4 复数的综合运算
[答案] B
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] D
[解析] 设z＝a＋bi，a、b∈R，
所以z＝1－2i在复平面中对应的点为(1，－2)，在第四象限．故选D.
名师点拨：复数运算的技巧
1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．
2．记住以下结论，可提高运算速度．
简单的复数方程的解法
1．利用复数的四则运算求解即可．
2．待定系数法：设z＝a＋bi(a、b∈R)代入方程，利用复数相等的条件、列出关于a、b的方程组(复数问题实数化)求解．
【变式训练】
[答案] B
A．－1＋3i B．－1－3i
C．－1－i D．－1＋i
[答案] B
A．i B．1＋i
C．3－i D．3＋i
[答案] D
复数的几何意义——师生共研
[答案] BCD
名师点拨：复数几何意义及应用
2．|z|表示复平面内复数z对应的点到原点的距离；|z1－z2|表示复平面内复数z1、z2对应的两点间的距离．
3．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
【变式训练】
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
与复数相关的方程问题
1．(多选题)(2025·河北邢台期中)若复数z1，z2是方程x2－8x＋17＝0的两个根，则( )
A．z1－z2为纯虚数 B．z1z2＝17
[答案] ABD
[解析] 方程的判别式Δ＝(－8)2－4×17＝－4<0，
即方程x2－8x＋17＝0的根为4＋i，4－i，
不妨设z1＝4＋i，z2＝4－i，
则z1－z2＝2i为纯虚数，故A正确；
z1z2＝(4＋i)(4－i)＝16－i2＝17，故B正确；
2．(2025·山东名校考试联盟期中)若1＋i(i为虚数单位)是关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，则b＝( )
A．0 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] 因为1＋i(i为虚数单位)是关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根
所以，1－i也是关于x的方程
x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，
所以，b＝2.故选B．
3．(2025·河南豫北名校联考)已知虚数z满足，则z2－z＋1＝0，则|z|＝( )
A．0 B．1
C．0或1 D．2
[答案] B
[解析] 由题知，设虚数z＝a＋bi，a，b∈R，
代入z2－z＋1＝0可得(a2－a＋1－b2)＋(2ab－b)i＝0，
名师点拨：
实系数方程可用求根公式求解，实系数方程的虚根成对出现，且互为共轭复数，且根与系数的关系仍然成立．
含复数的方程，通常设出复数根的代数形式“实数化”求解．
【变式训练】
(2025·湖北高中名校联盟联测)已知p，q为实数，1－i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则p－q＝( )
A．－2 B．2
C．4 D．－4
[答案] D
[解析] 因为1－i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，所以(1－i)2＋p(1－i)＋q＝0，即p＋q－(p＋2)i＝0.所以p＋q＝0且p＋2＝0，解得p＝－2，q＝2，所以p－q＝－4.故选D．
名师讲坛 · 素养提升
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案] D
[答案] A
