(共78张PPT)
第六章
数列
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2023新课标Ⅰ，20 等差数列及其前n项和 求等差数列的通项公式及公差 运算求解 逻辑思维 综合性 数学运算
逻辑推理
2023新课标Ⅱ，8 等比数列的性质及其应用 等比数列前n项和的性质 运算求解 综合性 数学运算
2023新课标Ⅱ，18 数列的求和 并项求和 运算求解 逻辑思维 综合性 数学运算
逻辑推理
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2022新课标Ⅰ，17 求通项公式 累乘法求数列的通项公式 运算求解 综合性 数学运算
2022新课标Ⅱ，3； 2024新课标Ⅱ，12 等差数列及其前n项和 求值 运算求解 创新性 数学运算
2022新课标Ⅱ，17 等比数列及其前n项和 等比数列的通项公式及其应用 运算求解 逻辑思维 创新性 数学运算
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2021新课标Ⅰ，16，17 数列的求和 错位相减法求和，分组求和 运算求解 综合性 数学运算
2021新课标Ⅱ，17 等差数列及其前n项和 求解等差数列的通项公式、求和公式的运用 运算求解 综合性 数学运算
逻辑推理
2020新课标Ⅰ，14 等差数列及其前n项和 求等差数列的前n项和 运算求解 综合性 数学运算
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2020新课标Ⅰ，Ⅱ，18 等比数列及其前n项和 求通项公式及分组转化法求和 运算求解 逻辑思维 综合性 数学运算
逻辑推理
2021新课标Ⅱ，12； 2024新课标，Ⅰ，19 求通项公式等差数列性质 新定义 逻辑思维 创新性 综合性 逻辑推理
【命题规律与备考策略】
重点考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式和前n项和公式，考查错位相减、裂项相消等求和方法．有时考查数列的创新问题，实际应用问题，与不等式的综合问题，考查化归与转化思想，运算求解能力．
第一讲 数列的概念与简单表示法
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 数列的有关概念
概念 含义
数列 按照__________排列的一列数
数列的项 数列中的__________
数列的通项 数列{an}的第n项an
通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式___________表示，这个公式叫做数列{an}的通项公式
前n项和 数列{an}中，Sn＝__________________叫做数列{an}的前n项和
一定顺序
每一个数
an＝f(n)
a1＋a2＋…＋an
知识点二 数列的表示方法
列表法 列表格表示n与an的对应关系
图象法 把点________画在平面直角坐标系中
公式法 通项公式 把数列的通项使用______表示的方法
递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法
(n，an)
公式
知识点三 an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
S1
Sn－Sn－1
知识点四 数列的分类
归 纳 拓 展
1．数列与函数
数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．数列的通项公式是相应函数的解析式，它的图象是一群孤立的点．
2．常见数列的通项公式
(1)自然数列：1，2，3，4，…，an＝n.
(2)奇数列：1，3，5，7，…，an＝2n－1.
(3)偶数列：2，4，6，8，…，an＝2n.
(4)平方数列：1，4，9，16，…，an＝n2.
(5)2的乘方数列：2，4，8，16，…，an＝2n.
(6)乘积数列：2，6，12，20，…，an＝n(n＋1)．
(8)重复数串列：9，99，999，9 999，…，an＝10n－1.
(9)符号数列：－1，1，－1，1，…，或1，－1，1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1.
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有数列的第n项都可以用公式表示出来．( )
(2)依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( )
(3)数列的项与项数是同一个概念．( )
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对于任意n∈N*，都有an＝Sn－ Sn－1.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
[解析] (1)因为数列是按一定顺序排列的一列数，如我班某次数学测试成绩，按考号从小到大的顺序排列，这个数列肯定没有通项公式，所以错误．
(3)数列{an}中第n项an，其中n为项数，an为项．
(4)由数列前n项和的定义可知，当n∈N*，且n≥2都有an＝Sn－ Sn－1，而n＝1时a1＝S1，所以不正确．
题组二 走进教材
2．(选择性必修2P8T2改编)在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2且an＋2＝an＋1＋2an，则32是数列的( )
A．第4项 B．第5项
C．第6项 D．第7项
[答案] C
[解析] 由a1＝1，a2＝2，得a3＝a2＋2a1＝4，a4＝a3＋2a2＝8，a5＝a4＋2a3＝16，a6＝a5＋2a4＝32.故选C．
题组三 走向高考
A．b1C．b6[答案] D
[答案] 10
考点突破 · 互动探究
由数列的前几项求数列的通项公式——自主练透
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式an.
(1)－1，7，－13，19，…；
(2)3，5，9，17，33，…；
(3)5，55，555，5 555，…；
[解析] (1)符号可通过(－1)n或(－1)n＋1调节，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．
(2)观察各项的特点：每一项都比2的n次幂多1，所以an＝2n＋1.
名师点拨：由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略
1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等．
2．具体策略
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相邻项的变化特征；
(3)拆项后的特征；
(4)各项的符号特征和绝对值特征；
(5)化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；
(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．
注意：并不是每个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一．
【变式训练】
(2024·贵州黔南二模)n∈N*，数列1，－3，7，－15，31，…的一个通项公式为( )
C．an＝2n－1 D．an＝(－1)n(1－2n)
[答案] D
[解析] 因为a1＝(2－1)cos π＝－1≠1，故A错误；因为a2＝(1－22)sin π＝0≠－3，故B错误；因为a2＝22－1＝3≠－3，故C错误；检验可知对n＝1，2，3，4，5均成立，故D正确．故选D．
由an与Sn的关系求通项公式——多维探究
角度1 已知Sn求an问题
1．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n，则此数列的通项公式为an＝________.
[答案] 2n－11
[解析] 当n＝1时，a1＝S1＝1－10＝－9；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11.
当n＝1时，2×1－11＝－9＝a1，所以an＝2n－11.
2．若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1，则此数列的通项公式为an＝____________.
[解析] 当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－2n－1＝2n－1.
角度2 由Sn与an的关系求an
[答案] A
名师点拨：已知Sn求an的一般步骤
1．当n＝1时，由a1＝S1，求a1的值．
2．当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式．
3．检验a1的值是否满足2中的表达式，若不满足，则分段表示an.
4．写出an的完整表达式．
Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
1．利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式．
2．利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
【变式训练】
1．(角度1)(2025·福建三明一中期中)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式( )
[答案] B
2．(角度2)(2024·江苏南通三模)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋n＝2an，则a7＝( )
A．65 B．127
C．129 D．255
[答案] B
[解析] n＝1时，a1＋1＝2a1，则a1＝1.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－[2an－1－(n－1)]＝2an－2an－1－1，∴an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，a1＋1＝2≠0，∴{an＋1}是2为首项，2为公比的等比数列，∴a7＋1＝2×26＝27＝128，∴a7＝127，故选B．
用累加法、累乘法求通项公式——多维探究
角度1 形如an＋1＝an＋f(n)，求an
角度2 形如an＋1＝anf(n)，求an
(2024·四川泸州三模)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，nan＋1＝(n＋2)Sn，则an＝____________.
[答案] (n＋1)·2n－2
[解析] 当n≥2时，(n－1)an＝(n＋1)Sn－1，
当n＝1时，a1＝1，符合上式，故an＝(n＋1)·2n－2.
[引申]本例中Sn＝________
[答案] n·2n－1
名师点拨：
1．累加法求通项公式
如果数列{an}的递推公式满足an＋1－an＝f(n)的形式，且f(n)可求和，那么就可以运用累加法an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，求出数列{an}的通项公式．
2．累乘法求通项公式
【变式训练】
1．(角度1)(2024·河北保定三模)设{bn}是公差为3的等差数列，且bn＝an＋1＋an，若a1＝1，则a21＝( )
A．21 B．25
C．27 D．31
[答案] D
[解析] 由bn＝an＋1＋an，得bn＋1＝an＋2＋an＋1，则bn＋1－bn＝an＋2－an＝3，从而a21＝a21－a19＋a19－a17＋…＋a3－a1＋a1＝3×10＋1＝31.故选D．
[答案] an＝(n＋1)·2n－1
数列的函数性质——多维探究
角度1 数列的周期性
[答案] 1
[解析] 解法一：由题意知，a1＝1，a2＝2，
因此数列{an}是周期为4的周期数列，
所以a2 025＝a506×4＋1＝a1＝1.
角度2 数列的单调性
(2024·天津南开区二模)设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为( )
A．(－3，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．[－3，＋∞)
[答案] A
[解析] 由题意可得an＋1－an>0恒成立，即(n＋1)2＋b(n＋1)－n2－bn＝2n＋1＋b>0，即b>－2n－1，又n≥1，－2n－1≤－3，故b∈(－3，＋∞)．故选A．
角度3 数列的最大(小)项问题
[答案] C
名师点拨：
1．解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
2．判断数列单调性的方法：(1)作差(或商)法；(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
【变式训练】
1．(角度1)(2024·山东济宁三模)已知数列{an}中，a1＝2，a2＝1， an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，则a2 024＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[答案] C
[解析] 由a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，得a3＝a2－a1＝－1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－1，a6＝a5－a4＝1，a7＝a6－a5＝2，a8＝a7－a6＝1，……则{an}是以6为周期的周期数列，所以 a2 024＝a337×6＋2＝a2＝1.故选C．
2．(角度2)(2024·江西模拟预测)已知数列{an}满足an＝n－a(a∈R)，则“a≤1”是{|an|}是递增数列的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
A．此数列没有最大项
B．此数列的最大项是a3
C．此数列没有最小项
D．此数列的最小项是a2
[答案] B
[解析] 令t＝n－1≥0，则n＝t＋1，
所以数列{an}有最大项a3，有最小项a1.故选B．
名师讲坛 · 素养提升
递推数列的通项公式的求法
热点一 an＋1＝Aan＋B(A、B为常数)型
(2025·西北师大附中调研)已知数列{an}满足a1＝－2，且an＋1＝3an＋6，则an＝____________.
[答案] 3n－1－3
[解析] ∵an＋1＝3an＋6，
∴an＋1＋3＝3(an＋3)，
又a1＝－2，∴a1＋3＝1，
∴{an＋3}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴an＋3＝3n－1，∴an＝3n－1－3.
(2025·江苏南京模拟预测)已知数列{an}满足a1＝1,2an＋1－an＋anan＋1＝0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为____________.
热点三 an＋1＝pan＋f(n)(p为常数)型
(1)在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*，则an＝____.
(2)若a1＝1，an＋1＝2an＋3n，n∈N*，则an＝____________.
[答案] (1)4n－1＋n(2)3n－2n
名师点拨：
1．形如an＋1＝pan＋An＋B(p、A、B为常数)的类型，可令an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝p(an＋λn＋μ)，求出λ、μ的值即可知{an＋λn＋μ}为等比数列，进而可求an.
【变式训练】
在数列{an}中，
(1)若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则an＝____________；
(3)若a1＝1，an＋1＝2an－3n，n∈N*，则an＝____________；
(4)若a1＝1，an＋1＝2an＋3·2n，n∈N*，则an＝____________.
(3)－5·2n－1＋3n＋3 (4)(3n－2)·2n－1
[解析] (1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，
∴a1＋1＝2，∴{an＋1}是首项为2公比为3的等比数列，
∴an＋1＝2×3n－1，∴an＝2×3n－1－1.
(3)∵an＋1＝2an－3n，令an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝2(an＋λn＋μ)，
∴an＋1－3(n＋1)－3＝2(an－3n－3)．
又a1＝1，∴{an－3n－3}是首项为－5，公比为2的等比数列，∴an－3n－3＝－5·2n－1
∴an＝－5·2n－1＋3n＋3.(共59张PPT)
第六章
数列
第二讲 等差数列及其前n项和
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 等差数列的有关概念
1．等差数列的定义
如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的差等于______ _____，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_____，通常用字母____表示，定义的表达式为_______________________.
2
同一个
常数
公差
d
an＋1－an＝d(n∈N*)
2．等差中项
如果a，A，b成等差数列，那么___叫做a与b的等差中项且________.
3．通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝_______________＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
4．前n项和公式：Sn＝__________________＝____________.
A
a1＋(n－1)d
知识点二 等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．
ap＋aq
kd
5．n为奇数时，Sn＝na中，S奇＝______a中，
S偶＝______a中，∴S奇－S偶＝_____.
6．数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.
a中
4．等差数列与函数的关系
(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d.若公差d>0，则为递增数列，若公差d<0，则为递减数列．
如{an}为等差数列，Sn为前n项和，d>0，若S5＝S13，则当n＝9时，Sn最小，S18＝0.
5．在遇到三个数成等差数列时，可设其为a－d，a，a＋d；四个数成等差数列时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a－d，a，a＋d，a＋2d.
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( )
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( )
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
[解析] (1)同一个常数．
(2)因为在等差数列{an}中，当公差d>0时，该数列是递增数列，当公差d<0时，该数列是递减数列，当公差d＝0时，该数列是常数数列，所以命题正确．
(3)常数列的前n项和公式为一次函数．
(4)由定义知an＋2－an＋1＝an＋1－an(n∈N*)故正确．
题组二 走进教材
2．(选择性必修2P15例2改编)已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第100项为________.
[答案] 487
[解析] 依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487.
3．(选择性必修2P24T1改编)设Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＝5，a7＝20，则S8＝( )
A．90 B．100
C．120 D．200
[答案] B
题组三 走向高考
4．(2023·全国甲卷文，5，5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝( )
A．25 B．22
C．20 D．15
[答案] C
5．(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________.
[答案] 95
[解析] 因为数列{an}为等差数列，则由题意得
考点突破 · 互动探究
等差数列的基本运算——自主练透
1．(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn，其公差d>1，且a7＋a9＝16，则( )
A．a8＝8 B．S15＝120
C．a1<1 D．a2>2
[答案] ABC
2．(2024·江西阶段检测)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S14＝483，a3＝12，则{an}的公差为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
[答案] A
[解析] 设数列{an}的公差为d，依题意，
名师点拨：等差数列基本量的求法
1．等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．
2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．
【变式训练】
(2025·黑龙江大庆质监)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝ －2，S5＝－5，则S12＝( )
A．30 B．32
C．36 D．40
[答案] A
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，
等差数列性质的应用——多维探究
角度1 等差数列项的性质
1．(2025·湖南岳阳质监)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝15，a4＋a6＋a8＝33，则a9＝( )
A．6 B．12
C．17 D．24
[答案] C
[解析] 15＝a1＋a3＋a5＝3a3，∴a3＝5，
33＝a4＋a6＋a8＝3a6，∴a6＝11，
又a3＋a9＝2a6，∴a9＝2a6－a3＝17.故选C．
2．(多选题)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有( )
A．a7 B．a8
C．S15 D．S16
[答案] BC
角度2 等差数列前n项和性质
[答案] B
[解析] 解法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
解法二：设等差数列前n项和为Sn＝An2＋Bn，
【变式训练】
1．(角度1)(2025·昆明模拟)若等差数列{an}的前15项和S15＝30，则2a5－a6－a10＋a14＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] A
∴a1＋a15＝4，∴2a8＝4，∴a8＝2.
∴2a5－a6－a10＋a14＝a4＋a6－a6－a10＋a14＝a4－a10＋a14＝a10＋a8－a10＝a8＝2.
A．4 B．5
C．6 D．7
[答案] D
等差数列的判定与证明——师生共研
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
[解析] (1)证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积，
名师点拨：等差数列的四个判定方法
1．定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．
2．等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.
3．通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．
4．前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．
【变式训练】
(1)求a1，a2，并证明：数列{an＋an＋1}是等差数列；
(2)求S20.
即an＋an－1＝4n－2，
所以(an＋1＋an)－(an＋an－1)＝[4(n＋1)－2]－(4n－2)＝4，
故数列{an＋1＋an}为等差数列．
(2)由(1)知an＋an－1＝4n－2，
所以an＋an＋1＝4(n＋1)－2＝4n＋2，
所以数列{an＋1＋an}为等差数列，首项为a1＋a2＝6，
又a19＋a20＝4×19＋2＝78，
所以S20＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)
名师讲坛 · 素养提升
与等差数列前n项和Sn有关的最值问题
1．(2024·吉林市调研)设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，且a1>0，若S5＝S9，则当Sn最大时，n＝( )
A．6 B．7
C．10 D．9
[分析] 由S5＝S9可求得a1与d的关系，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解．
[答案] B
[解析] 解法一：由S5＝S9得a6＋a7＋a8＋a9＝0，
即a7＋a8＝0，∴2a1＋13d＝0，又a1>0，∴d<0.
∴a7>0，a8<0，∴a1>a2>…>a7>0>a8>a9>…，
∴Sn最大时，n＝7，故选B．
A．11 B．19
C．20 D．21
[分析] 利用Sn>0 a1＋an>0求解．
[答案] B
[引申] (1)本例1中若将“S5＝S9”改为“S5＝S10”，则当Sn取最大值时n＝________；
(2)本例1中，使Sn<0的n的最小值为________；
(3)本例2中，使Sn取最大值时n＝________.
[答案] (1)7或8 (2)15 (3)10
名师点拨：求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法：
【变式训练】
1．(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且满足a1>0，S11＝S18，则对Sn描述正确的有( )
A．S14是唯一最大值 B．S15是最大值
C．S29＝0 D．S1是最小值
[答案] BC
[解析] 由S11＝S18可知a12＋a13＋…＋a18＝0，又{an}是等差数列，所以a15＝0，故S29＝29a15＝0.又a1>0，故S14＝S15，所以S14，S15都是最大值，且公差d<0，Sn无最小值，结合选项可知B，C正确，故选BC．
2．(2025·河北石家庄摸底)若数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，a4＋a9>0，S11<0，则Sn的最小值为( )
A．S5 B．S6
C．S7 D．S8
[答案] B(共72张PPT)
第六章
数列
第三讲 等比数列及其前n项和
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 等比数列的概念
1．等比数列的定义
如果一个数列______________________________________________ ___________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，通常用字母____表示．
符号语言：____________(n∈N*，q为非零常数)．
从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常
数(不为零)
公比
q
2．等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么____叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项 a，G，b成等比数列 G2＝______.
注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个．
G
ab
知识点二 等比数列的有关公式
1．通项公式：an＝___________＝___________.
2．前n项和公式
a1qn－1
amqn－m
na1
知识点三 等比数列的主要性质
设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．
2．相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
4．当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列．当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．
5．等比数列{an}的单调性
(4)当q<0时，{an}为摆动数列．
归 纳 拓 展
等比数列的概念的理解
(1)由an＋1＝qan(q≠0)，并不能断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
(2)等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．如{an}为等比数列，a3＝－1，a11＝－4则a7＝－2.
(3)等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0)．
(4)若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝kan＋b(k≠0，k≠1)，则数列{an}必为等比数列．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等比数列{an}的公比q>1，则该数列单调递增．( )
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )
(3){an}为等比数列，若a3＝1，a9＝4，则a6＝2.( )
(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( )
(6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×
(4)an必须大于0.
(5)讨论a＝0，1和a≠0，1.
(6)q＝－1时S4＝S8＝S12＝0.
[答案] 1
题组三 走向高考
4．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )
A．14 B．12
C．6 D．3
[答案] D
5．(2023·新课标Ⅱ卷，8，5分)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝( )
A．120 B．85
C．－85 D．－120
[答案] C
考点突破 · 互动探究
等比数列的基本运算——自主练透
A．a4a8＝1 B．an≥a2
C．Sn≤21 D．Sn≥16
[答案] ABD
则当n＝1时，Sn有最大值，即Sn≤S1＝32，
当n＝2时，Sn有最小值，即Sn≥S2＝16，
故C错误，D正确．故选ABD．
2．(2024·陕西渭南二模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝30，S4＝120，则其公比q＝( )
A．1 B．2
C．3 D．－3
[答案] C
[解析] 设等比数列{an}的公比为q，
因为a1＋a3＝30，S4＝120，若q＝1，由a1＋a3＝30，
得到an＝a1＝15，不满足S4＝120，所以q≠1，
由a1＋a3＝30，得到a1(1＋q2)＝30①，
[引申]在本例2的条件下an＝________.
[答案] 3n
[解析] 由a1＋a3＝30得a1(1＋32)＝30，即a1＝3，∴an＝a1qn－1＝3n.
名师点拨：等比数列基本量的求法
等比数列的计算涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求其二，即根据条件列出关于a1，q的方程组求解，体现了方程思想的应用．
特别提醒：在使用等比数列的前n项和公式时，q的值除非题目中给出，否则要根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．
【变式训练】
(2025·辽宁期中)设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋1＋2an＝0，2a3＋3a4＝16，则S6＝________.
[答案] 21
[解析] 由an＋1＋2an＝0，可得an＋1＝－2an，
所以数列{an}是一个公比为－2的等比数列，
即a4＝－2a3，
所以2a3＋3a4＝16 2a3－6a3＝16 a3＝－4，
即a3＝a1(－2)2＝－4 a1＝－1，
所以由等比数列的求和公式可得：
等比数列性质的应用——多维探究
角度1 等比数列项的性质的应用
[答案] B
2．(2025·陕西模拟预测)等比数列{an}满足：a1>0，q>0，a1a3a5a7a9＝32，则a2＋a8的最小值为________.
[答案] 4
[解析] 依题意，等比数列{an}满足：
a1>0，q>0，a1a3a5a7a9＝32，
当且仅当a2＝a8＝2时等号成立，此时an＝2.
所以a2＋a8的最小值为4.
[引申]在本例1中若将a3，a15改为a2，a16，其他不变，该题应选( )
[答案] D
名师点拨：
1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N*，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
2．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
角度2 等比数列前n项和的性质
1．(2025·山西晋中模拟预测)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝t·3n－1－1，则t＝( )
A．－3 B．3
C．1 D．－1
[答案] B
[解析] 设公比为q，当q＝1时Sn＝na1，不符合题意；
[答案] A
[解析] 解法一：设等比数列的公比为q，显然q≠1，
∴S12＝15S3＝150.故选A．
解法二：∵S9＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋(a7＋a8＋a9)
＝S3＋q3S3＋q6S3＝S3(1＋q3＋q6)，
∴10(q6＋q3＋1)＝70，∴q3＝2或－3(舍去)，
∴S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150.故选A．
解法三：由等比数列的性质知S3、S6－S3、S9－S6、S12－S9是等比数列，∴(S6－10)2＝10(70－S6)，解得S6＝30或－20(舍去)，又(S9－S6)2＝(S6－S3)(S12－S9)，即402＝20(S12－70)，解得S12＝150.故选A．
解法四：设等比数列前n项和为Sn＝A－Aqn，
解得q3＝2或－3(舍去)，∴A＝－10.
∴S12＝－10(1－24)＝150.故选A．
[引申]本例2中若去掉条件“各项都是正数”，结果如何？
[答案] C
[解析] 由本例解法一知q3＝2或－3，
当q3＝2时，S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150；
当q3＝－3时，S12＝S9＋q9S3＝70－270＝－200.故选C．
名师点拨：
1．等比数列前n项和的性质主要是：若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列．
2．利用等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度．解题时，根据题目条件，分析具体的变化特征，即可找到解决问题的突破口.
4．S2n＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn(1＋qn＋q2n)，….
【变式训练】
1．(角度1)(2023·全国乙卷理，15，5分)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________.
[答案] －2
[解析] 由等比数列的性质得a4a5＝a3a6≠0，
∵a2a4a5＝a3a6，∴a2＝1.
∴q15＝－8，∴(q5)3＝－8，∴q5＝－2，
∴a7＝a2q5＝1×(－2)＝－2.
A．4 B．6
C．7 D．9
[答案] C
解法二：等比数列{an}的公比为q，由S6＝3S3，
得a4＋a5＋a6＝S6－S3＝2S3，
即a1q3＋a1q4＋a1q5＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
而a1≠0，1＋q＋q2≠0，则q3＝2，
因此S9＝S6＋a7＋a8＋a9＝3S3＋a1q6＋a1q7＋a1q8＝3S3＋q6S3＝7S3，
等比数列的判定与证明——师生共研
(2025·重庆期中)已知数列{an}满足：a1＝1，且an＋1－1＝2an＋n.
(1)求证：数列{an＋n＋2}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
[解析] (1)证明：由an＋1－1＝2an＋n
可得an＋1＋n＋1＋2＝2(an＋n＋2)，
又a1＋3＝4≠0，所以an＋n＋2≠0，
所以数列{an＋n＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)知，an＋n＋2＝4×2n－1＝2n＋1，
所以an＝2n＋1－n－2，
所以Sn＝(22－3)＋(23－4)＋…＋[2n＋1－(n＋2)]
＝(22＋23＋…＋2n＋1)－(3＋4＋…＋n＋2)
名师点拨：等比数列的判定方法
3．通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
提醒：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中．
[解析] (1)证明：由题设易知an≠0，
名师讲坛 · 素养提升
数列中的数学文化
纵观近几年高考，以数学文化为背景的数列问题层出不穷，让人耳目一新，同时它也使考生受困于背景陌生，无处着手．本专题就数列中的数学文化试题通过典型分析，让学生提高审题能力，增强对数学文化的认识，进而加深对数学文化的理解．
1．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
[答案] C
2．(2024·北京房山一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为( )
A．12里 B．24里
C．48里 D．96里
[答案] C
名师点拨：
以数学文化为背景的等差(比)数列问题的求解关键是：①会脱去数学文化的背景，读懂题意；②构建模型，即由题意构建等差(比)数列的模型；③解模，即把文字语言转化为求等差(比)数列的相关问题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前n项和等．
[答案] A
2．(2024·北京西城期中)《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰．全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升，上四节容量三升，问中间二节欲均容各多少？”其意思为：“今有竹9节，下3节容量4升，上4节容量3升使中间两节也均匀变化，每节容量是多少？”这一问题中从下部算起第5节容量是________升.(结果保留分数)(共67张PPT)
第六章
数列
第四讲 数列求和
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 公式法求和
1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式．
3．等比数列的前n项和公式：
注意等比数列公比q的取值情况，要分q＝1，q≠1.
知识点二 分组求和法
一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．如若一个数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则可用分组求和法求其前n项和．
知识点三 倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等且等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
知识点四 错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
知识点五 裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
知识点六 并项求和法
在一个数列的前n项和中，可两两合并求解，则称之为并项求和．如{an}是等差数列，求数列{(－1)nan}的前n项和，可用并项求和法求解．
形如an＝(－1)nf(n)类型，可考虑采用两项合并求解．
归 纳 拓 展
1．常见的裂项公式
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(2)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°可用倒序相加求和．( )
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√
A．2 023 B．2 024
C．2 025 D．2 026
[答案] C
[答案] B
解法二：此类问题可先考虑排除法，令n＝1即得B正确．
5．(2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，且4Sn＝3an＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)n－1nan，求数列{bn}的前n项和为Tn.
[解析] (1)当n＝1时，4S1＝4a1＝3a1＋4，
解得a1＝4.
当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4，
所以4Sn－4Sn－1＝4an＝3an－3an－1即an＝－3an－1，
∴数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列，
所以an＝4·(－3)n－1.
(2)bn＝(－1)n－1·n·4·(－3)n－1＝4n·3n－1，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝4·30＋8·31＋12·32＋…＋4n·3n－1，
故3Tn＝4·31＋8·32＋12·33＋…＋4n·3n，
所以－2Tn＝4＋4·31＋4·32＋…＋4·3n－1－4n·3n
＝4＋2·3·(3n－1－1)－4n·3n
＝(2－4n)·3n－2，
∴Tn＝(2n－1)·3n＋1.
考点突破 · 互动探究
分组求和法——师生共研
1．(2025·辽宁沈阳市郊联合体联考)已知数列{an}的前n项和为Sn.若an＋an＋1＝2n＋5，a1＝1，则S8＝( )
A．48 B．50
C．52 D．54
[答案] C
[解析] 解法一：∵an＋1＋an＝2n＋5①，
∴当n≥2时，an＋an－1＝2(n－1)＋5②，
①－②得当n≥2时，an＋1－an－1＝2，
∴{an}中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为2.
当n为偶数时，an＝2n＋5－an＋1＝n＋4.
所以S8＝(a1＋a3＋a5＋a7)＋(a2＋a4＋a6＋a8)
解法二：∵an＋an＋1＝2n＋5，
∴an＋2＋an＋3＝2(n＋2)＋5，a1＋a2＝7，
∴数列{a2n－1＋a2n}是以7为首项，4为公差的等差数列，
2．(2025·重庆名校联盟联考)已知各项均为正数的等差数列{an}的前三项和为12，等比数列{bn}的前三项和为7b1，且a1＝b1，a2＝b2.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
[解析] (1)设等差数列{an}的首项为a1、公差为d，等比数列{bn}的首项为b1、公比为q，
解得a1＝2，d＝2，b1＝2，q＝2，
所以an＝2n，bn＝2n.
(2)由题知{cn}的前20项和
名师点拨：分组转化法求和的常见类型
1．若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．
【变式训练】
(2025·广东揭阳两校联考)已知数列{an}满足a1＝1，前n项和为Sn， an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 024等于( )
A．22 024－1 B．3×21 012－1
C．3×21 012－2 D．3×21 012－3
[答案] D
裂项相消法——多维探究
[答案] C
[答案] D
名师点拨：
裂项相消法求和在历年高考中曾多次出现，命题角度凸显灵活多变．在解题中，要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列{an}的通项公式，达到求解的目的．
1．直接考查裂项相消法求和．解决此类问题应注意以下两点：
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；
2．与不等式相结合考查裂项相消法求和.解决此类问题应分两步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式．
【变式训练】
1．(角度1)(2024·福建泉州一模)记数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若{an}是等差数列，且S6＝S5＋25＝90，anbnan＋1＝1，则T10＝( )
[答案] A
[解析] 因为{an}是等差数列，可设公差为d，由S6＝S5＋25＝90，
则数列{bn}的前n项和为Tn，
A．5 B．4
C．10 D．9
[答案] A
[解析] 因为Sn＝2an－2，
所以Sn－1＝2an－1－2，n≥2，
故n≥2时，两式相减得，an＝2an－2an－1，
即an＝2an－1，n≥2，
因为S1＝2a1－2，即a1＝2，
所以数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以an＝2n，
错位相减法——师生共研
(2025·河南名校联盟联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＋9＝3an＋4n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{n(an－2)}的前n项和Tn.
[解析] (1)当n＝1时，2a1＋9＝3a1＋4，即a1＝5，
当n≥2时，2Sn＋9＝3an＋4n①，
2Sn－1＋9＝3an－1＋4(n－1)②，
①－②得：2an＝3an－3an－1＋4，即an＝3an－1－4，
所以an－2＝3(an－1－2)．
因为a1－2＝5－2＝3，
所以数列{an－2}是首项为3，公比为3的等比数列，则an－2＝3n，即an＝3n＋2.
(2)由(1)得n(an－2)＝n·3n，
所以Tn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，
3Tn＝1×32＋2×33＋…＋(n－1)×3n＋n×3n＋1，
故2Tn＝n×3n＋1－(3＋32＋…＋3n)
名师点拨：用错位相减法解决数列求和的模板
第一步：(判断结构)若数列{an·bn}是由等差数列{an}与等比数列{bn}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和．
第二步：(乘公比)设{an·bn}的前n项和为Tn，然后两边同乘以q.
第三步：(错位相减)乘以公比q后，向后错开一位，使含有qk(k∈N*)的项对齐，然后两边同时作差．
第四步：(求和)将作差后的结果求和化简，从而表示出Tn.
用错位相减法求和应注意的问题
1．如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法．
2．在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
3．“Sn－qSn”化简的关键是化为等比数列求和，一定要明确求和的是n项还是(n－1)项，一般是(n－1)项．
4．在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论求解．
【变式训练】
(2025·湖北模拟预测)在公差不为0的等差数列{an}中，a1＝1，且a5是a2与a14的等比中项．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝2an，cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn.
[解析] (1)设{an}的公差为d(d≠0)，
因为a5是a2与a14的等比中项，
整理得d2＝2a1d.
又a1＝1，d≠0，所以d＝2，
则an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
(2)由(1)可得bn＝2an＝22n－1，cn＝anbn＝(2n－1)·22n－1，
则Sn＝1×21＋3×23＋5×25＋…＋(2n－1)·22n－1①，
4Sn＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n－1)·22n＋1②，
①－②得－3Sn＝2＋2×(23＋25＋…＋22n－1)－(2n－1)·22n＋1
名师讲坛 · 素养提升
[解析] 由题意知f(x)＝f(1－x)，
所以f′(x)＝－f′(1－x)，即f′(x)＋f′(1－x)＝0，
名师点拨：倒序相加法应用的条件
与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和相加的方法求解．(共12张PPT)
第六章
数列
高考大题规范解答——数列
1．(15分)(2025·湖南沅澧共同体联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋3n，数列{bn}满足an＝4log3bn＋1.
(1)求an，bn；
(2)设cn＝an·bn，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.
[解析] (1)由Sn＝2n2＋3n，
当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1.(3分)
当n＝1时，a1＝S1＝5，也适合an＝4n＋1.(5分)
综上可得，an＝4n＋1.(6分)
由an＝4log3bn＋1＝4n＋1，所以bn＝3n.(8分)
(2)由(1)知anbn＝(4n＋1)·3n，(9分)
Tn＝5×31＋9×32＋…＋(4n＋1)3n，①(11分)
3Tn＝5×32＋9×33＋…＋(4n－3)·3n＋(4n＋1)·3n＋1②(12分)
①－②得－2Tn＝15＋4×32＋…＋4×3n－(4n＋1)·3n＋1(13分)
2．(15分)(2025·湖南部分校期中联考)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝8，Sn＋1－4Sn＝8.
(1)求{an}的通项公式；
[解析] (1)由Sn＋1－4Sn＝8，得Sn－4Sn－1＝8(n≥2)，(1分)
所以{an}是首项为8，公比为4的等比数列，
an＝8×4n－1＝22n＋1.(8分)
(2)因为an＝22n＋1，
3．(15分)(2025·福建龙岩一级校联盟期中联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋Sn＋1＝3an＋1－4，等差数列{bn}的前n项和为Tn，b2＋b4＝6，T4＝10.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
[解析] (1)因为Sn＋Sn＋1＝3an＋1－4，①
所以当n＝1时，a1＋a1＋a2＝3a2－4，
又a1＝2，所以a2＝4.(1分)
当n≥2时，Sn－1＋Sn＝3an－4，②
①式减去②式得an＋an＋1＝3an＋1－3an，
所以an＋1＝2an.(3分)
又a1＝2，a2＝4＝2a1，
所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an＝2n.(5分)
设等差数列{bn}的公差为d，
所以bn＝1＋(n－1)×1＝n，即{bn}的通项公式为bn＝n.(7分)
Bn＝2·22＋4·24＋…＋2n·22n＝1·23＋2·25＋…＋n·22n＋1，①
22·Bn＝1·25＋2·27＋…＋n·22n＋3，②
