(共70张PPT)
第八章
平面解析几何
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2023新课标Ⅰ，6； 2023新课标Ⅱ，15 直线与圆、圆与圆的位置关系 直线与圆相切、相交 运算求解 基础性 数学运算
直观想象
2023新课标Ⅰ、Ⅱ，5 椭圆的几何性质 椭圆的焦点、离心率 运算求解 基础性 数学运算
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2023新课标Ⅰ，16； 2024新课标Ⅰ，12 双曲线的几何性质 求双曲线的离心率 运算求解 综合性 数学运算
2024新课标Ⅱ，10 抛物线的几何性质 抛物线与圆综合 运算求解 逻辑思维 综合性 数学运算
直观想象
2023新课标Ⅰ，22； 2024新课标Ⅰ，5 圆锥曲线中的轨迹方程问题 求轨迹方程 运算求解 逻辑思维 综合性 数学运算
直观想象
考题 考点 考向 关键能力 考查 要求 核心素养
2023新课标Ⅱ，21 圆锥曲线中的定点、定值问题 证明点在定直线上 运算求解 逻辑思维 综合性 数学运算
直观想象
2022新课标Ⅰ，14； 2022新课标Ⅱ，15； 2021新课标Ⅰ，11； 2021新课标Ⅱ，11 直线与圆、圆与圆的位置关系 求切线方程、求参数范围、判定直线与圆的位置关系 运算求解 综合性 数学运算
考题 考点 考向 关键能力 考查 要求 核心素养
2022新课标Ⅱ，10、16； 2024新课标Ⅰ，16 直线与圆锥曲线的位置关系 求直线的斜率、方程，求抛物线的准线(面积相关) 运算求解 综合性 数学运算
数学抽象
2021新课标Ⅱ，20 圆锥曲线中的证明与探究性问题 证明问题 运算求解 逻辑思维 综合性 直观想象
数学运算
【命题规律与备考策略】
本章内容命题形式多样，在选择题、填空题中主要考查圆锥曲线的定义、方程和几何性质，解答题中主要考查直线、圆的方程及位置关系；直线与圆锥曲线的位置关系，涉及弦长、弦中点、定点、定值和取值范围等问题，常与函数、不等式等知识综合考查．对于双曲线的有关性质考查多集中在双曲线的渐近线和离心率上，关于抛物线的有关性质考查多侧重于抛物线定义在求解与距离相关的最值问题中的转化．
结合本章的命题特点，复习过程中需注意以下几点：①求解直线与圆的问题时，要注意圆的性质的应用，常采用几何法求解，同时要注意与其他知识的交汇问题；②求解圆锥曲线方程时，需关注待定系数法与定义法的应用；③求解有关弦中点问题时，需关注点差法和根与系数的关系的应用；④求解定值、定点问题时，需注意求解思路与转化方法．
第一讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知识点一 直线的倾斜角
1．定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，把x轴_________与直线l_________方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_________.
2．倾斜角的取值范围为_________________.
正向
向上
0°
[0°，180°)
知识点二 直线的斜率
1．定义：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝___________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
2．过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝
_____________.
正切值
tan α
3．直线的方向向量与斜率的关系
(1，k)
知识点三 直线方程的五种形式
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
两点式
截距式
过原点的
A2＋B2≠0
归 纳 拓 展
1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0且α越大，k就越大 不存在 k<0且α越大，k就越大
口诀：斜率变化分两段，直角便是分界线；
小正大负皆递增，分类讨论记心中．
2．特殊直线的方程
(1)过点P1(x1，y1)垂直于x轴的直线方程为x＝x1；
(2)过点P1(x1，y1)垂直于y轴的直线方程为y＝y1；
(3)过原点的直线的方程为x＝my.
3．谨记以下几点
(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．求与截距有关的直线方程时应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
(2)当直线与x轴不垂直时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为x＝my＋b.
(3)A，B，C三点共线 kAB＝kAC(或kAB＝kBC，或kAC＝kBC)．
(4)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A)．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )
(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )
(3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．( )
(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．( )
(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)√
题组二 走进教材
A．－1 B．－3
C．0 D．2
[答案] B
3．(选择性必修1P67T7)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_____________________.
[答案] 3x－2y＝0或x＋y－5＝0
题组三 走向高考
4．(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝( )
[答案] A
5．(2021·山东卷)如下图，直线l的方程是( )
[答案] D
考点突破 · 互动探究
直线的倾斜角与斜率——自主练透
1．(2025·江苏南通统测)设直线l的方程为x－ysin θ＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是( )
[答案] C
[答案] B
3．已知曲线f(x)＝ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为( )
[答案] C
[引申]本例2中，直线l斜率的取值范围是____________.
名师点拨：
1．求倾斜角的取值范围的一般步骤：①求出斜率k＝tan α的取值范围，但需注意斜率不存在的情况；②利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆，数形结合确定倾斜角α的取值范围．
【变式训练】
A．(0,2] B．(0,4)
C．[2,4) D．(0,2)∪(2,4)
[答案] B
2．(2024·河南创新发展联盟联考)过点P(1,1)作直线l，若直线l与连接A(2,3)，B(3，－1)两点的线段总有交点，则直线l的斜率的取值范围为( )
[答案] A
直线的方程——师生共研
2．(多选题)(2024·陕西部分学校联考)直线l经过点P(3，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是( )
A．3x＋2y＝0 B．2x＋3y＝0
C．x－y－5＝0 D．x＋y－1＝0
[答案] BCD
3．(多选题)(2025·浙江数海漫游模拟)已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：2x－y＋1＝0，则直线AB的方程可能为( )
A．x＋3y＋1＝0 B．x－3y＋1＝0
C．3x＋y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0
[答案] BC
[引申]本例2中若去掉“绝对值”，则应选________.
[答案] BD
名师点拨：
1．求解直线方程的方法
(1)直接法——根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．
(2)待定系数法——①设所求直线方程的某种形式；
②由条件建立所求参数的方程(组)；
③解这个方程(组)求出参数；
④把参数的值代入所设直线方程．
2．谨防3个失误
(1)选用点斜式和斜截式时，注意讨论斜率是否存在．
(2)选用截距式时，注意讨论直线是否过原点，截距是否存在、是否为0.
(3)由一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时，要注意讨论B是否为0.求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0，且A>0.
【变式训练】
1．(2024·江西丰城中学月考)经过点P(1,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是____________.
[答案] 2x－y＝0和x＋2y－5＝0
2．(2025·河北衡水周测)若一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为_____________________.
[答案] x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0
直线方程的应用——多维探究
角度1 由直线方程判断直线位置
若AC<0，BC>0，则直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
角度2 直线与坐标轴围成三角形的最值问题
已知直线l过点M(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：
(1)当△AOB面积最小时，直线l的方程；
(2)当在两坐标轴上截距之和取得最小值时，直线l的方程；
(3)当|MA|·|MB|取最小值时，直线l的方程；
(4)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．
名师点拨：
求解与直线方程有关的最值问题，考查函数思想，即利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x或y的函数，借助函数性质求解．或利用直线过已知点，则点的坐标适合直线方程，借助基本不等式求解(注意取最值时等号成立的条件)．
【变式训练】
1．(角度1)若直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)不经过第三象限，则A，B，C应满足________________________.
2．(角度2)直线l过点M(1,2)，且分别与x，y轴正半轴交于A、B两点，O为原点．求|OA|＋2|OB|的最小值及此时直线l的方程．
名师讲坛 · 素养提升
定点问题
1．已知直线l：kx－y＋1＋3k＝0(k∈R)．
(1)直线l过定点____________.
(2)若直线l不过第一象限，则k的取值范围为____________.
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，则S△AOB最小时直线l的方程为____________.
2．(多选题)(2024·江西丰城中学月考)已知点A(－2，－1)，B(2,2)，直线l：2ax－2y＋3a－3＝0上存在点P满足|PA|＋|PB|＝5，则直线l的倾斜角可能为( )
[答案] BD
名师点拨：确定方程含参数的直线所过定点的方法
1．将直线方程写成点斜式y－y0＝f(λ)(x－x0)，从而确定定点(x0，y0)．
2．将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项系数及常数项为0确定定点．
3．给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程组，从而确定定点坐标．
解题时，若直线方程中含有参数，应考虑直线是否过定点．
【变式训练】
(2024·福建厦门外国语学校阶段测试、辽宁实验中学月考)已知直线l：(m＋2)x＋(m－1)y＋m－1＝0，若直线l与连接A(1，－2)、B(2,1)两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为( )
[答案] D
[解析] 直线(x＋y＋1)m＋(2x－y－1)＝0，(共72张PPT)
第八章
平面解析几何
第二讲 两条直线的位置关系
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 两条直线的位置关系
平面内两条直线的位置关系包括____________________三种情况．
1．两条直线平行
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2.
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
平行、相交、重合
2．两条直线垂直
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2 k1·k2＝－1.
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2 _____________________.
A1A2＋B1B2＝0
知识点二 两条直线的交点
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0当A1B2－A2B1≠0时，l1与l2相交．
相交 方程组有____________；
平行 方程组_________；
重合 方程组有_______________.
唯一解
无解
无数个解
知识点三 三种距离公式
归 纳 拓 展
1．与对称问题相关的常用结论
(1)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)；
(2)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
特别的：点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
2．谨防四个易错点
(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况．
(2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．
(3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(4)用公式法求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然．( )
(2)若直线l：mx＋ny＋3＝0平分圆C：x2－2x＋y2－1＝0，则2m－3n＝6.( )
(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
题组二 走进教材
2．(选择性必修1P67T8(1))过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
[答案] A
3．(选择性必修1P77T3)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
[答案] C
4．(选择性必修1P79T2)过两直线2x－3y＋10＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程为____________.
[答案] 2x＋3y－2＝0
题组三 走向高考
[答案] A
考点突破 · 互动探究
两条直线平行、垂直的关系——自主练透
1．(2024·福建三明一中月考)已知直线l1：(k－2)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－2)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )
A．1 B．2或5
C．5 D．1或2
[答案] B
2．(2025·安徽皖南名校联盟联考)已知直线l1：a2x＋y＋1＝0与直线l2：x－3ay＋7＝0，则“a＝3”是“l1⊥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 若l1⊥l2，则a2－3a＝0，解得a＝0或a＝3，所以“a＝3”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选A．
名师点拨：
1．当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
2．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1不同时为0；A2，B2不同时为0)，则l1∥l2 A1B2＝A2B1，且B1C2≠B2C1(或A1C2≠A2C1)；l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
【变式训练】
1．(2025·湖北“宜荆荆恩”联考)已知两条直线l1：ax＋4y－1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
距离问题——师生共研
1．(2024·高考北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到x－y＋2＝0的距离为( )
[答案] C
2．(2024·河南豫南名校质检、河北金科联考)若直线l1：x＋ay－2＝0与l2：2x＋(a2＋1)y－2＝0平行，则两直线之间的距离为( )
[答案] C
3．(多选题)(2024·河南部分学校联考)已知点A(1,3)，B(－5,1)到直线l的距离相等，则直线l的方程可以是( )
A．x－3y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 D．2x＋y＋2＝0
[答案] ABD
[解析] 解法一：设直线方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，则|A＋3B＋C|＝|－5A＋B＋C|，即3A＋B＝0①或2A－2B－C＝0②，检验知A满足①，B、D满足②.故选ABD.
名师点拨：距离的求法
1．点到直线的距离
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
2．两平行直线间的距离
(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
(2)利用两平行线间的距离公式．
提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x、y的系数分别相等．
【变式训练】
1．点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
[答案] B
[答案] 2或－6
对称问题——多维探究
角度1 线关于点的对称
(2025·河北五校联考)直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为( )
A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
[答案] D
[解析] 由ax＋y＋3a－1＝0，可得y－1＝－a(x＋3)，所以M(－3, 1)，(M不在直线2x＋3y－6＝0上)
解法一：设点N(x，y)为所求方程直线上一点，则点(－6－x,2－y)在直线2x＋3y－6＝0上，∴2(－6－x)＋3(2－y)－6＝0，即所求直线方程为2x＋3y＋12＝0.故选D.
角度2 点关于线的对称
(2024·山东济南中学月考)一入射光线经过点M(2,6)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(－3,4)，则反射光线所在直线方程为( )
A．2x－y＋13＝0 B．6x－y＋22＝0
C．x－3y＋15＝0 D．x－6y＋27＝0
[答案] D
[引申]本例中入射光线所在直线的方程为____________.
[答案] 6x－y－6＝0
角度3 线关于线的对称
(2025·合肥模拟)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )
A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0
[答案] B
名师点拨：对称问题的解法
以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有：
1．中心对称：转化为中点问题处理
(2)直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
有两种解法：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程．
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
2．轴对称：转化为垂直平分线问题处理
(2)直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
分两种情况：①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．
②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解．
【变式训练】
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)(角度2)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)(角度3)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)(角度1)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′(a，b)，则
又∵m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)设P(x，y)在l′上任意一点，
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，
∵点P′在直线l上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
直线的交点、直线系方程——师生共研
2．(2024·四川凉山期末)经过两条直线l1：2x－3y＋10＝0和l2：3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线l：2x－y－1＝0的直线方程( )
A．x－2y－6＝0 B．x＋2y－2＝0
C．2x－y－3＝0 D．2x＋y－2＝0
[答案] B
[引申]将例2中的“垂直”改为“平行”，则所求直线方程为____________.
[答案] 2x－y＋6＝0
名师点拨：直线系方程的常见类型
1．过定点P(x0，y0)的直线系方程是y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)；
2．平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；
3．垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；
4．过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．
【变式训练】
设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为____________________.
[答案] x－y－4＝0或x＋y－24＝0
所以两条直线的交点坐标为(14,10)，
由题意可得直线l的斜率为1或－1，
所以直线l的方程为y－10＝x－14或y－10＝－(x－14)，
即x－y－4＝0或x＋y－24＝0.
名师讲坛 · 素养提升
与距离有关的最值问题
1．(2025·江苏南通如皋调研)直线l1：x＋(m＋1)y－2m－2＝0与直线l2：(m＋1)x－y－2m－2＝0相交于点P，对任意实数m，直线l1，l2分别恒过定点A，B，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
[答案] A
2．(多选题)(2024·江西梧州一中月考)2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A(2,4)，军营所在位置为B(6,2)，河岸线所在直线的方程为x＋y－3＝0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营(“将军饮马”)的总路程最短，则( )
[答案] BD
[解析] 由题可知A，B在x＋y－3＝0的同侧，设点B关于直线x＋y－3＝0的对称点为B′(a，b)，如图所示：
又A(2,4)，所以直线AB′的方程为7x－y－10＝0，故A错误；
[答案] D
名师点拨：
有关角平分线、直线上动点到两定点距离和的最小值(或差的最大值)问题，转化为对称问题解决．
技巧：数形结合，利用距离的几何意义进行转化．
【变式训练】
(2024·江苏苏州三校阶段测试)已知两定点A(－3,5)、B(2,8)，动点P在直线x－y＋1＝0上，则|PA|＋|PB|的最小值为( )
[答案] D
[解析] 如下图所示：
由图形可知，点A、B在直线x－y＋1＝0的同侧，且直线x－y＋1＝0的斜率为1，设点B关于直线x－y＋1＝0的对称点为点B′(a，b)，则(共74张PPT)
第八章
平面解析几何
第三讲 圆的方程 直线与圆的位置关系
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 圆的定义及方程
定点
定长
(a，b)
r
知识点二 点与圆的位置关系
1．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，
(1)(x0－a)2＋(y0－b)2______r2 点在圆上；
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2______r2 点在圆外；
(3)(x0－a)2＋(y0－b)2______r2 点在圆内．
2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，点M(x0，y0)．
＝
>
<
>
<
知识点三 直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
方法 位置关系 几何法 代数法
相交 d______r Δ______0
相切 d______r Δ______0
相离 d______r Δ______0
<
>
＝
＝
>
<
归 纳 拓 展
1．圆心在过切点且垂直于切线的直线上．
2．圆心在任一弦的垂直平分线上．
3．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
注：几类特殊位置的圆的方程
5．(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2.
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )
(2)圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.( )
(3)若A(2,0)，B(0，－4)，则以AB为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5.( )
(4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．( )
(5)已知方程x2＋y2－2mx＋4y＋5＝0表示圆，则m的取值范围是(1，＋∞)．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)×
题组二 走进教材
2．(选择性必修1P88T4)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1,3)，则圆C的方程为____________.
[答案] (x－2)2＋y2＝10
3．(选择性必修1P98T2(1))以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9
[答案] C
题组三 走向高考
4．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________.
[答案] (x－1)2＋(y＋1)2＝5
[解析] 解法一：∵点M在直线2x＋y－1＝0上，
∴设点M为(a,1－2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
5．(2023·高考全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是( )
[答案] C
考点突破 · 互动探究
圆的方程——自主练透
1．圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2－4x＝0
C．x2＋y2＋4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
[答案] B
2．(2022·高考全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为________________.
3．(2024·湖北武汉部分学校调研)圆心在直线x＋y－1＝0上且与直线2x－y－1＝0相切于点(1,1)的圆的方程是________________.
[答案] (x＋1)2＋(y－2)2＝5
名师点拨：求圆的方程的两种方法
1．直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
2．待定系数法
根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般的，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
【变式训练】
[答案] (x－2)2＋y2＝9
2．(2025·河南安阳调研)过点(0,2)且与直线y＝x－2相切，圆心在x轴上的圆的方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝3 B．(x＋1)2＋y2＝5
C．(x＋2)2＋y2＝4 D．(x＋2)2＋y2＝8
[答案] D
直线与圆的位置关系——自主练透
1．(2024·河北沧州二模)若点A(2,1)在圆x2＋y2－2mx－2y＋5＝0(m为常数)外，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
[答案] C
[解析] 由题意知22＋12－4m－2＋5>0，故m<2，又由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，可得D2＋E2－4F>0，即(－2m)2＋(－2)2－4×5>0，即m<－2或m>2，所以实数m的范围为m<－2.故选C．
2．(多选题)(2025·河南濮阳质检)已知直线y＝x与圆D：x2＋y2－2my＝4－m2有两个交点，则整数m的可能取值有( )
A．0 B．－3
C．1 D．3
[答案] AC
[答案] B
4．(2025·湖北部分学校质检)若圆C：x2＋y2－2x－6y＋1＝0上恰有三点到直线l：y＝kx的距离为2，则k的值为( )
[答案] C
[引申1](1)本例3中若直线l与圆C只有一个公共点，则k的取值范围为____________；
(2)本例4中，若圆C上到直线l距离为2的点只有两个，则k的取值范围为____________；若有四个，则k的取值范围为____________.
[引申2]本例4中，若圆C上到直线m：x－2y＋c＝0的距离为2的点至少有三个，则c的取值范围为____________.
名师点拨：判断直线与圆的位置关系的常见方法
1．几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的关系．
2．代数法：利用直线方程与圆的方程联立得一元二次方程利用Δ判断．
3．点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
4．判断圆上到定直线的距离为定值的点的个数问题的关键是比较定值、圆心到直线的距离、半径的大小．
【变式训练】
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
[答案] ABD
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] 圆心C(0,2)到直线的距离为2，∴|R－2|<1，即1圆的切线——师生共研
2．(2024·四川达州外国语学校测试)已知圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4，则过点P(1,3)与圆C相切的直线l的方程为__________________.
[答案] x＝1或3x＋4y－15＝0
[引申]本例2中过两切点的直线方程为____________.
[答案] 2x＋y－4＝0
名师点拨：解决直线与圆相切问题的策略
1．过圆C1(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程，利用“切线垂直于过切点的半径”求解．
注：切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
2．过圆外一点或与定直线平行的切线方程，“利用”圆心到直线的距离等于半径求解，此时切线有两条，谨防丢解．
注：若过点P(x0，y0)的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线的切点分别为A、B，则直线AB的方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
【变式训练】
(2025·河南郑州阶段测试)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
[答案] A
与圆有关的最值问题——多维探究
角度1 直线型、距离型最值
(多选题)(2025·湖北武汉江夏一中、汉阳一中联考)已知实数x，y满足曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0，则下列选项正确的是( )
[答案] BD
角度2 线段和、差的最值
(2024·江苏镇江二模)已知⊙C：(x－1)2＋(y－1)2＝3，点A为直线l：y＝－1上的动点，过点A作直线与⊙C相切于点P，若Q(－2,0)，则|AP|＋|AQ|的最小值为____________.
角度3 面积型最值
(2025·云南昆明一中双基检测)已知圆O：x2＋y2＝2，点Q为直线l：x＋y－4＝0上的一个动点，QE，QF是圆C的两条切线，E，F是切点，当四边形OEQF面积最小时，直线EF的方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋2y－1＝0 D．x－2y＋1＝0
[答案] A
名师点拨：与圆有关最值问题的解法
(2)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
(3)圆上的点到定点(定直线)距离的最大值与最小值可转化为圆心到定点(定直线)距离与半径的和与差．
(4)折线段的最值问题的基本思路：
①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
【变式训练】
2．(角度2)(2024·江苏徐州铜山区调研)已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4，M，N分别是圆C1，C2上两个动点，P是x轴上动点，则|PN|－|PM|的最大值是( )
[答案] A
3．(角度3)(2024·湖南“一起考”大联考)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
[答案] A
名师讲坛 · 素养提升
(2025·河北保定部分学校月考)圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为____________.
[分析] 此题若求两圆交点坐标，运算繁琐，注意到两圆交点坐标满足方程x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，故只需根据题意求出λ，并判断其为圆的方程即可．
[答案] (x－3)2＋(y＋1)2＝16
名师点拨：两个圆系方程
(1)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
【变式训练】
经过直线x－2y＝0与圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的交点，且过点(1,0)的圆的方程为__________________.
[答案] x2＋y2＋3x－12y－4＝0
[解析] 设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：x2＋y2－4x＋2y－4＋λ(x－2y)＝0，∵所求圆过点(1,0)，∴－7＋λ＝0，解得λ＝7，所以圆的方程为x2＋y2－4x＋2y－4＋7(x－2y)＝0，即x2＋y2＋3x－12y－4＝0.(共67张PPT)
第八章
平面解析几何
第四讲 圆与圆的位置关系 圆的综合应用
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点 圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．
方法 位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 公切线条数
外离 __________________ ___________ 4
外切 __________________ 一组实数解 3
d>r1＋r2
无解
d＝r1＋r2
方法 位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 公切线条数
相交 _____________________ 两组不同的实数解 2
内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) _________________ 1
内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) _________ 0
|r1－r2|一组实数解
无解
归 纳 拓 展
1．当两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，相交(切)时，两圆方程相减可得公共弦(内公切线)所在的直线方程．(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0；
两圆相交时，两圆连心线垂直平分公共弦；两圆相切时，两圆连心线必过切点．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )
(2)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )
(3)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )
(4)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
题组二 走进教材
2．(选择性必修1P98T3)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.
3．(选择性必修1P98T10)经过点M(3，－1)，且与圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点N(1,2)的圆的方程为____________.
题组三 走向高考
5．(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
[答案] C
[解析] 因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，c＝2b－a，代入直线方程ax＋by＋c＝0，
得ax＋by＋2b－a＝0，
即a(x－1)＋b(y＋2)＝0，
设圆心为C，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，
考点突破 · 互动探究
圆与圆的位置关系——自主练透
1．(2024·广东广州二模)若直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝与圆O( )
A．外切 B．相交
C．内切 D．没有公共点
[答案] B
2．(多选题)(2024·湖北A9高中联盟期中联考)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，下列说法正确的是( )
A．两圆有两条公切线
B．两圆的公共弦所在的直线方程为y＝2x＋2
[答案] ACD
3．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________.
[引申1]本例2中两圆的公共弦长为________.
名师点拨：如何处理两圆的位置关系
判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心距与两圆半径和、差之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交(内切、外切)，则两圆公共弦(外公切线、内公切线)所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．公共弦长问题在一个圆中求解．
【变式训练】
(多选题)(2024·广东六校联考)已知圆O：x2＋y2＝4和圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4，P，Q分别是圆O，圆C上的动点，则下列说法错误的是( )
[答案] AC
弦长、弦的中点问题——多维探究
角度1 弦长问题
1．(2025·河南郑州阶段测试)已知圆C的圆心是直线x＋y＋1＝0与直线x－y－1＝0的交点，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为( )
[答案] A
2．(2024·江苏南京六校联合调研)已知直线l：λx－y－λ＋1＝0和圆C：x2＋y2－4y＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
[答案] D
[引申]本例中|AB|最小时AB的方程为________.
[答案] x－y＝0
角度2 弦的中点问题
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
名师点拨：弦长的求法
【变式训练】
A．4 B．－4
C．2 D．－2
[答案] D
与圆有关的轨迹问题——师生共研
1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )
[答案] A
2．已知点P(4,0)，A，B是圆x2＋y2＝36上两动点，且满足∠APB＝90°，则矩形APBQ顶点Q的轨迹方程为____________.
[答案] x2＋y2＝56
[解析] 连接AB，PQ，设AB与PQ交于点M，
如图所示．因为四边形APBQ为矩形，所以M为AB，
PQ的中点，连接OM.则OM⊥AB，
名师点拨：求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)代入法(相关点法)：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
【变式训练】
[答案] x2＋y2－6x＋1＝0
2．如图所示，已知圆O：x2＋y2＝4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y＝2上运动，过点B作圆O的切线，切点为C，则AC的中点P的轨迹方程为____________；△ABC的垂心H的轨迹方程为____________.
[答案] x2＋(y－1)2＝1(x≠0) x2＋(y－2)2＝4(x≠0)
[解析] 由P为AC的中点知OP⊥AC，∴点P的轨迹是以OA为直径的圆(去掉A、O两点)，其方程为x2＋(y－1)2＝1(x≠0)．
设H(x，y)，C(x′，y′)，连接AH，CH，
则AH⊥BC，CH⊥AB，BC是圆O切线，OC⊥BC，
∴OC∥AH，CH∥OA，OA＝OC，
∴四边形AOCH是菱形．
又C(x′，y′)，满足(x′)2＋(y′)2＝4，
所以x2＋(y－2)2＝4(x≠0)，即为点H的轨迹方程．
圆的综合应用——师生共研
【变式训练】
(2024·辽宁辽东南适应性联考)已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线3x＋4y－8＝0相切．
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线l：y＝kx＋2与圆C交于A，B两点．
①求k的取值范围；
②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．
[解析] (1)由题意，设圆心为C(a,0)(a>0)，因为圆C过原点，所以半径r＝a，
名师讲坛 · 素养提升
“隐形圆”问题
1．(2024·云南联考)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，若直线l：y＝kx＋3上存在点M，使得|MA|＝2|MO|，则k的取值范围为( )
[答案] B
2．(2025·江苏南京外国语学校调研)已知M是圆C：x2＋y2＝1上一个动点，且直线l1：mx－ny－3m＋n＝0与直线l2：nx＋my－3m－n＝0(m，n∈R，m2＋n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是( )
[答案] B
名师点拨：
有些题中没有明确给出圆，而是隐藏在题设中，可通过分析、转化发现圆——隐形圆，从而利用圆的性质求解，以简化运算，常见的“隐形圆”类型：
(1)利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆；
(2)动点P对两定点A，B张角是90°(kPA·kPB＝－1)确定隐形圆；
(5)两定点A，B，动点P满足|PA|＝λ|PB|(λ>0，λ≠1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆)；
(6)由圆周角的性质确定隐形圆．
【变式训练】
(2025·江苏盐城调研)已知点P(2，t)，Q(2，－t)(t>0)，若圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1上存在点M，使得∠PMQ＝90°，则实数t的取值范围是( )
A．[4,6] B．(4,6)
C．(0,4]∪[6，＋∞) D．(0,4)∪(6，＋∞)
[答案] A(共76张PPT)
第八章
平面解析几何
第五讲 椭圆
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的__________________________________ 的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的_________，两焦点间的距离叫做椭圆的_________.
注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：
(1)若a＞c，则集合P为_________；
(2)若a＝c，则集合P为_____________；
(3)若a＜c，则集合P为_________.
距离的和等于常数(大于|F1F2|)
焦点
焦距
椭圆
线段F1F2
空集
知识点二 椭圆的标准方程和几何性质
2a
2a
2a
c2＝a2－b2
归 纳 拓 展
1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值；a与b分别为椭圆上的点到原点距离的最大值和最小值．
5．椭圆的焦点在x轴上 标准方程中x2项的分母较大，椭圆的焦点在y轴上 标准方程中y2项的分母较大．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
题组二 走进教材
2．(选择性必修1P115T6)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
[答案] B
[解析] 由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r为圆的半径)且r> |OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆，故选B.
3．(多选题)(选择性必修1P115T4)长轴长是短轴长的3倍；且经过点P(3,0)的椭圆的标准方程为( )
[答案] AD
题组三 走向高考
[答案] A
[答案] C
第一课时
考点突破 · 互动探究
椭圆的定义及应用——自主练透
1．过点A(2,0)且与圆x2＋y2＋4x－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程为____________.
[解析] 将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2
＋y2＝36，圆心B(－2,0)，r＝6，设动圆圆心M的
坐标为(x，y)，动圆与已知圆的切点为C．
则|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，
∴|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝6>4＝|AB|，
∴点M的轨迹是以点B(－2,0)，A(2,0)为焦点、线段AB中点O为中心的椭圆，且a＝3，c＝2，
∴b2＝a2－c2＝5，
[引申]本例2中，若F1为椭圆的左焦点，则|PA|＋|PF1|的最大值为________，|PF1|·|PF|的最大值为________，若直线PF交椭圆于另一点Q，则△F1PQ的周长为_______，若∠F1PF＝60°，则S△PFF1＝_______.
名师点拨：椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
注：求两线段和、差的最值或范围问题，常借助“三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边”求解．一般两线段共线时取得最值．
【变式训练】
(2024·吉林省吉林地区模拟)已知复数z满足|z＋2|＋|z－2|＝6，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹为( )
A．线段 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
[答案] C
椭圆的标准方程——师生共研
1．短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为的椭圆的标准方程为____________.
[答案] BD
[引申]若将本例3中“离心率”改为“焦点”，则椭圆的标准方程为____________.
名师点拨：
1．求椭圆标准的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．
2．用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：
(1)作判断：根据条件判断焦点的位置；
(2)设方程：根据焦点位置，设相应的椭圆标准方程．焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；
(3)找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；
(4)求解，得方程．
可概括为先“定位”，再“定量”．
3．椭圆系方程的应用
【变式训练】
A．若1B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2C．曲线C可能是圆
D．若C为双曲线，则t<1
[答案] BC
若C为焦点在y轴上的椭圆则t－1>3－t>0，
则2∴C对；若C为双曲线，则(3－t)(t－1)<0，则t>3或t<1.∴D错．故选BC．
[答案] B
椭圆的几何性质——多维探究
角度1 椭圆焦点、顶点、焦距、长轴、短轴
[答案] D
名师点拨：研究椭圆几何性质的步骤
(1)将所给方程化成椭圆的标准形式．
(2)根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上．
(3)准确求出a，b进而求出椭圆的其他特征值．
角度2 求椭圆的离心率
[答案] D
[答案] A
名师点拨：求椭圆离心率的方法
角度3 求椭圆离心率的取值范围
[答案] C
名师点拨：求椭圆离心率取值范围的方法
一般借助几何量的取值范围(如|x|≤a，|y|≤b，0【变式训练】
[答案] D
[答案] B
[答案] D
名师讲坛 · 素养提升
与椭圆有关的最值问题
[答案] B
[答案] A
名师点拨：与椭圆有关的最值问题的解法
1．利用数形结合，利用椭圆的性质或直线与椭圆的位置关系求解．
2．利用基本不等式求解．
3．构造函数，利用椭圆方程消元，化为二次函数求解．注意自变量的取值范围．
【变式训练】
[答案] D(共46张PPT)
第八章
平面解析几何
第五讲 椭圆
第二课时
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
考点突破 · 互动探究
直线与椭圆的位置关系——自主练透
A．m>1 B．m>0
C．0[答案] D
名师点拨：
1．判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．
其步骤为：
2．对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
【变式训练】
椭圆弦的问题——多维探究
角度1 弦长问题
[引申]本例中|AB|的最小值为________.
[答案] 3
名师点拨：直线被圆锥曲线截得弦长的求法
1．当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
2．“设而不求”，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．
【变式训练】
(2024·陕西宝鸡二模)已知点B是圆C：(x－1)2＋y2＝16上的任意一点，点F(－1,0)，线段BF的垂直平分线交BC于点P.
(1)求动点P的轨迹E的方程；
角度2 中点弦问题
(2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为____________.
(3)过点M(2,1)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程为________.
名师点拨：圆锥曲线“中点弦”问题的解法
1．点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和直线l斜率的关系求得．
2．根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．注意不要忽略对判别式的讨论．
【变式训练】
[答案] B
直线与椭圆的综合问题
(1)求C的方程；
(2)记O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．
名师点拨：
题目给出直线l过定点P，一般设出直线l的方程，利用弦长公式求出|AB|，利用点到直线的距离公式求三角形AB边上的高，从而可求得三角形面积，建立函数模型求最值．
注意到|OP|为定值，用“割补法”表示三角形面积可简化运算．
【变式训练】
(2)由题意可知：A(－2,0)，B(2,0)，
则M(－1,0)，且直线OQ与椭圆必相交，
①若直线PQ的斜率不存在，
可知PQ：x＝－1，
名师讲坛 · 素养提升
与椭圆相关的创新应用问题
(2024·江西九校联考)如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P(当成质点)篮球的影子是椭圆，篮球的接触点(切点)就是影子椭圆的焦点，点P到桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，影子椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e＝________.
[解析] 以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
【变式训练】
(2025·河南鹤壁高中月考)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则e2＝( )
[答案] D(共83张PPT)
第八章
平面解析几何
第六讲 双曲线
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 双曲线的定义
平面内与两个定点F1、F2的___________________________________ 的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的_________，两焦点间的距离叫做双曲线的_________.
注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；
(1)当a＜c时，P点的轨迹是____________；
(2)当a＝c时，P点的轨迹是_______________；
(3)当a＞c时，集合P是_________.
距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)
焦点
焦点
双曲线
两条射线
空集
知识点二 双曲线的标准方程和几何性质
(－a,0)
(a,0)
(0，－a)
(0，a)
实轴
2a
虚轴
2b
a
实半轴长
虚半轴长
归 纳 拓 展
双曲线中的几个常用结论
(1)焦点到渐近线的距离为b.
(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
题组二 走进教材
[答案] 3x±4y＝0
3．(多选题)(选择性必修1P146T11)已知常数a>0，点A(－a,0)，B(a,0)，动点M(不与A，B重合)满足：直线AM与直线BM的斜率之积为m(m≠0)，动点M的轨迹与点A，B共同构成曲线C，则关于曲线C的下列说法正确的是( )
A．当m<0时，曲线C表示椭圆
B．当m<－1时，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆
[答案] BCD
题组三 走向高考
第一课时
考点突破 · 互动探究
双曲线的定义及应用——自主练透
1．已知两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
[答案] D
[解析] 设动圆M的半径为r，则|C1M|＝r＋1，
|C2M|＝3＋r，
∴|C2M|－|C1M|＝2<6＝|C1C2|.
∴动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲
线左支，且c＝3，a＝1，
[答案] 3
[引申1]本例1中，若动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.
[引申2]本例1中，若动圆M与圆C1外切，与圆C2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.
[引申3]本例1中，若动圆M与圆C1、圆C2都内切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.
[引申4]本例1中，若动圆M与圆C1、圆C2中一个内切一个外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.
[引申5]本例2中|PF|－|PA|的最小值为____________.
名师点拨：
1．利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．
2．在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
【变式训练】
A．既不充分也不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．充分不必要条件
[答案] D
当点P在左支时，|PF1|的最小值为c－a＝1，
当点P在右支时，|PF1|的最小值为a＋c＝9，
因为|PF1|＝8，则点P在双曲线的左支上，
由双曲线的定义|PF2|－|PF1|＝|PF2|－8＝2a＝8，
解得|PF2|＝16；
当|PF2|＝16，点P在左支时，|PF1|＝8；在右支时，|PF1|＝24；推不出|PF1|＝8；
故为充分不必要条件，故选D.
双曲线的标准方程——师生共研
[答案] B
[答案] A
名师点拨：求双曲线的标准方程的方法
1．定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．
【变式训练】
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
双曲线的几何性质——多维探究
角度1 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点、范围
[答案] D
[解析] 由题意可知双曲线的焦点在y轴上，c2＝1＋3＝4，故焦点为(0，±2)，故选D.
[答案] 2
角度2 双曲线的渐近线
[答案] C
[引申]本例1中双曲线的两条渐近线的夹角为________.
名师点拨：求双曲线的渐近线方程的方法
提醒：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数．两条渐近线关于坐标轴对称．
角度3 双曲线的离心率
[答案] B
名师点拨：求双曲线离心率或其范围的方法
1．直接法：由题设条件求出a，c，从而得e.
3．列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．解题时要特别注意几何特点，以简化运算或寻求不等关系．
【变式训练】
[答案] A
[答案] B
名师讲坛 · 素养提升
圆锥曲线中的光性质
[答案] ABD
[答案] D
【变式训练】
2．(2024·云南曲靖二模)抛物线有如下光学性质：
过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物
线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线
经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝
4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，
经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B
射出，则△ABM的周长为( )
[答案] B
[解析] 如图所示：因为M(3,1)，所以yA＝yM＝1，(共55张PPT)
第八章
平面解析几何
第六讲 双曲线
第二课时
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
考点突破 · 互动探究
直线与双曲线的位置关系——自主练透
A．0 B．2
C．4 D．无数
[答案] C
[解析] 通解：由题意可得直线的斜率一定存在，
设为k，则直线方程为y＝kx＋1，
代入双曲线方程整理得
(9－k2)x2－2kx－10＝0①
当k＝±3时，方程①有一解，直线与双曲线只有
一个公共点；
优解：由图形可知，过点A(0,1)作与双曲线渐近线平行的直线有2条，作与双曲线相切的直线也有两条，则与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条，选项C正确．
[引申1]本例中，若过点A的直线与双曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为________________.
[引申2]本例中，若将“A(0,1)”改为“A(1,0)”，则符合条件的直线有________条．
[答案] 3
[引申3]本例中，若将“A(0,1)”改为“A(2,0)”，则符合条件的直线有________条．
[答案] 2
[引申4]本例中，过点A与双曲线的左支有两个交点的直线斜率的取值范围为________.
[引申5]本例中，过双曲线左焦点且与左支有两个不同交点的直线斜率的取值范围为________________.
[答案] (－∞，－3)∪(3，＋∞)
名师点拨：直线与双曲线位置关系的判断方法
1．将直线方程与双曲线方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，以ax2＋bx＋c＝0为例：
(1)若a≠0且Δ>0，直线与双曲线相交，有两个公共点；
(2)若a≠0且Δ＝0，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；
(3)若a≠0且Δ<0，直线与双曲线相离，没有公共点；
(4)若a＝0，直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点；
(5)若a＝0且b＝0，直线为双曲线的渐近线，与双曲线相离，没有公共点．
2．有时利用数形结合思想，根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷．
【变式训练】
双曲线的弦——多维探究
角度1 弦长问题
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
[答案] B
名师点拨：
双曲线弦长的求法：联立直线与双曲线方程，求得交点坐标，或写出根与系数的关系，利用弦长公式求解．
注意“焦点弦”的弦长与通径(过焦点且垂直实轴的弦)、实轴长间关系(焦点弦长的最小值是通径与实轴长二者的最小值)的应用．
如本例中双曲线实轴长为2，通径长为6，则满足|AB|＝m的直线①当26时有4条；③当m＝2时有1条；④当0角度2 中点弦问题
[答案] B
A．(1,1) B．(－1,2)
C．(1,3) D．(－1，－4)
[答案] D
名师点拨：
“中点弦”问题常用“点差法”求解，但求弦所在直线方程后应代回检验．
利用“根与系数关系法”解决直线与双曲线位置关系问题，“联立，消元”后，需讨论所得二次方程二次项系数等于0和不等于0两种情况．
【变式训练】
A．8条 B．4条
C．2条 D．1条
[答案] B
[答案] 6x－y－11＝0
直线与双曲线的综合问题——师生共研
(1)求C的方程；
(2)已知直线l的斜率存在且不经过原点，l与C交于A，B两点，AB的中点在直线y＝2x上．
①证明：l的斜率为定值．
名师点拨：解决直线与圆锥曲线相交问题的策略
解答直线与圆锥曲线相交的题目时，常联立直线和圆锥曲线的方程，消去y(或x)得一元二次方程，结合题设条件，利用根与系数的关系建立有关参变量的等量关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法．
设直线方程时一定要关注直线的斜率是否存在，若不能确定，应分类求解，当过点P(a，b)的直线不与x轴垂直时，可设其方程为y＝k(x－a)＋b；当过点P(a，b)的直线不与y轴垂直时，可设其方程为x＝m(y－b)＋a.
【变式训练】
名师讲坛 · 素养提升
高考中的离心率问题
1．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4)，(0，－4)，点(－6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
[答案] C
[答案] 2
[答案] A
[答案] AC
[解析] 依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D的切线切点为G，
[答案] C
名师点拨：
求离心率的取值范围需构造a、b、c间的不等关系，一般从以下几方面入手：①曲线的范围；②构造方程，借助判别式；③数形结合．
【变式训练】
[答案] 2(共85张PPT)
第八章
平面解析几何
第七讲 抛物线
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 抛物线的定义
平面内______________________________________________的点的轨迹叫抛物线．点____叫抛物线的______，直线____叫抛物线的_____.
注：l经过F时，与定点F和定直线l距离相等的点的轨迹为过F与l垂直的一条直线．
与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等
F
焦点
l
准线
知识点二 抛物线的标准方程与几何性质
对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F________ F_________ F________
F_________
离心率 e＝____ 准线 方程 ________ ________ ________ ______
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
1
开口 方向 向右 向左 向上 向下
焦半径 (其中P (x0，y0)) |PF|＝______ |PF|＝________ |PF|＝______ |PF|＝_______
归 纳 拓 展
抛物线焦点弦的处理规律
如图，直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，CA⊥l于C，BD⊥l于D，BM⊥AC于M，交OF于N(l为抛物线的准线)．
则△HBD∽△HFQ∽△HAC∽△BFN∽△BAM等，且
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )
(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
A．9 B．8
C．7 D．6
[答案] B
[答案] BC
题组三 走向高考
4．(2023·高考北京卷)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝( )
A．7 B．6
C．5 D．4
[答案] D
[解析] 因为抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2，点M在C上，所以M到准线x＝－2的距离为|MF|，又M到直线x＝－3的距离为5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.故选D.
5．(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则( )
A．l与⊙A相切
[答案] ABD
考点突破 · 互动探究
抛物线的定义及应用——多维探究
角度1 轨迹问题
动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案] D
[解析] 设动圆的圆心为C半径为r，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆到直线x＝2距离为r＋1，即动圆圆心到定点(－2,0)和定直线x＝2的距离相等，根据抛物线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线，所以答案为D.
角度2 到焦点(或准线)与定点距离之和(或差)的最值问题
1．(2024·江西五市九校联考)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为抛物线上任意一点，点A(1,3)，则|PF|＋|PA|的最小值为________.
[答案] 4
[解析] 由题意可知抛物线x2＝4y的焦点坐标为F(0,1)，准线l的方程为y＝－1，过P作PQ⊥l于Q由抛物线定义可知|PF|＝|PQ|，所以|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|，则当A，P，Q共线时|PQ|＋|PA|取得最小值，所以|PF|＋|PA|最小值为：3－(－1)＝4.
2．(2023·四川大学附中期中)设点P是抛物线C1：x2＝4y上的动点，点M是圆C2：(x－5)2＋(y＋4)2＝4上的动点，d是点P到直线y＝－2的距离，则d＋|PM|的最小值是( )
[答案] B
[引申]本例1中，|PF|－|PA|的最大值为_______，最小值为________.
角度3 到准线与定直线距离之和(或差)的最值问题
(2024·陕西西安质检)已知直线l：4x－3y＋6＝0，抛物线y2＝8x上一动点P(x0，y0)到直线l的距离为d，则d＋|x0|的最小值是________.
[解析] 如图所示：若PC⊥直线l，PB⊥抛物线准线且交y轴于A点，则d＝|PC|，|x0|＝|PA|，
[引申]本例中d的最小值为________.
名师点拨：利用抛物线的定义可解决的常见问题
1．轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．
2．距离问题：利用抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离进行转化，把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题．
注：看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
【变式训练】
1．(角度1)(2024·陕西西安一模)平面上动点M到定点F(3,0)的距离比M到y轴的距离大3，则动点M满足的方程为____________.
[答案] y2＝12x或y＝0(x<0)
[解析] 当x≥0时，动点M到定点F(3,0)的距离等于到x＝－3的距离，轨迹为抛物线，且p＝6，所以y2＝12x；当x<0时，y＝0满足条件．综上所述：动点M的轨迹方程为：x≥0时，y2＝12x；x<0时，y＝0.
2．(角度2)(2024·江苏无锡等四地模拟)已知P(3,3)，M是抛物线y2＝4x上的动点(异于顶点)，过M作圆C：(x－2)2＋y2＝4的切线，切点为A，则|MA|＋|MP|的最小值为________.
[答案] 3
3．(角度3)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为( )
[答案] C
抛物线的标准方程——自主练透
1．过点P(－3,2)的抛物线的标准方程为____________.
2．焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程为___________，准线方程为____________.
[答案] y2＝16x或x2＝－8y x＝－4或y＝2
[解析] 令x＝0，得y＝－2，令y＝0，得x＝4.
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．
∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y.
∴所求的抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y，
对应的准线方程分别是x＝－4，y＝2.
A．y2＝8x
B．y2＝16x
C．y2＝24x
D．y2＝32x
[答案] C
[引申](1)本例3中若直线FA交抛物线于另一点B，则|AB|＝________.
名师点拨：求抛物线的标准方程的方法
1．求抛物线的标准方程常用待定系数法，若焦点位置确定，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．
2．因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．一般焦点在x轴上的抛物线的方程可设为y2＝ax(a≠0)；焦点在y轴上的抛物线的方程可设为x2＝ay(a≠0)．
注：数形结合解题时，注意图形的对称性，不要丢解．
已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定．
【变式训练】
1．(2025·山东青岛调研)设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，M(x,4)在C上，|MF|＝5，则C的方程为( )
A．x2＝4y B．x2＝－4y
C．x2＝－2y D．x2＝2y
[答案] A
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝6x
[答案] B
抛物线的几何性质——师生共研
1．(2025·河南名校联盟摸底)抛物线y＝4x2的焦点坐标为( )
C．(0,1) D．(1,0)
[答案] B
2．(2025·贵州贵阳阶段练习)已知点A是抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，若A到抛物线焦点的距离为5，且A到x轴的距离为4，则p＝( )
A．1或2 B．2或4
C．2或8 D．4或8
[答案] C
3．(2024·广东广州南沙区期中)直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则|AB|＝( )
[答案] C
[解析] 解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
∵|AF|＝3|BF|，∴x1＋1＝3(x2＋1)．即x1＝3x2＋2，①
且|y1|＝3|y2|，从而x1＝9x2，②
名师点拨：
1．求抛物线的焦点及准线方程的步骤
(1)把抛物线解析式化为标准方程形式；
(2)明确抛物线开口方向；
(3)求出抛物线标准方程中参数p的值；
(4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程．
2．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义的应用，通过定义将焦点弦长转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
3．在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．注意抛物线上点到焦点距离与到准线距离的转化，关注图中的直角梯形(直角三角形)．
【变式训练】
1．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
C．(1,0) D．(2,0)
[答案] B
直线与抛物线的综合问题——师生共研
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
[答案] AC
[答案] 1
2．(2024·辽宁名校联盟联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，抛物线上一点A(m,2)(m>0)到F的距离为3.
(1)求抛物线C的方程和点A的坐标；
(2)直线l：y＝k(x－2)与抛物线C：x2＝4y联立，消去y得x2－4kx＋8k＝0，Δ＝16k2－32k>0，
解得k<0或k>2.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝4k，x1x2＝8k，
名师点拨：
1．直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要将两方程联立，消元，用根与系数的关系“整体代入”求解．注意根据抛物线方程确定消x还是消y，一般消一次项变量．
2．求解抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
3．“中点弦”问题的处理方法
【变式训练】
1．(2025·云南昆明摸底)过抛物线C：y2＝3x的焦点作直线l交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于M，N两点，若|AB|＝12，则|MN|＝________.
2．(2025·广东部分学校入学考试)已知A(6，m＋2)，B(24，m＋8)是抛物线C：y2＝2px(p>1)上的两点．
(1)求C的准线方程；
(2)若直线y＝kx＋t(k≠0)经过C的焦点，且与C交于P，Q两点，求|PQ|＋k2的最小值．
[解析] (1)因为A(6，m＋2)，B(24，m＋8)是抛物线C：y2＝2px(p>1)上的两点，
名师讲坛 · 素养提升
巧解抛物线的切线问题
1．(2025·江苏南通如皋调研)过点P(m，－2)向抛物线x2＝4y引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，直线AB恒过的定点为________.
[答案] (0,2)
2．(多选题)(2024·湖北九师联盟联考)已知抛物线C：x2＝－8y的焦点为F，过F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，分别过A，B两点作C的切线l1，l2，且l1，l2相交于点P，则( )
A．|PF|＝4
B．点P在直线y＝2上
C．△PAB为直角三角形
D．△PAB面积的最小值为16
[答案] BCD
[解析] 由题可知，抛物线C：x2＝－8y的焦点F(0，－2)，
显然直线l的斜率存在，设直线方程为y＝kx－2，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
名师点拨：
利用导数工具解决抛物线的切线问题，使问题变得巧妙而简单，若用判别式解决抛物线的切线问题，计算量大，易出错．
注意：(1)过抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＝p(y＋y0)；过抛物线C：x2＝2py(p>0)外一点P(x0，y0)引抛物线的两条切线，切点分别为A、B，则AB：x0x＝p(y0＋y)．
(2)直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件，过抛物线外一点与抛物线只有一个公共点的直线有0条或3条；过抛物线上一点和抛物线只有一个公共点的直线有2条．
[答案] D(共30张PPT)
第八章
平面解析几何
第八讲 圆锥曲线——求值、证明问题
求值问题
2．(2025·安徽部分学校联考)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且互相垂直的两条动直线分别与E交于点A，B和点C，D，当|AB|＝|CD|时，|AB|＝8.
(1)求E的方程；
名师点拨：
解析几何中，离不开求“角度、距离、面积、比值”等量，最直接的办法就是把这些量表示出来，这就常常需要将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，用韦达定理将所求问题或题中的关系转化为x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)的形式求解．
证明问题
名师点拨：证明问题的解题策略
1．圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．
2．解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．
解决证明问题的答题模板
y
A
P
Q
0
X
y
A
C
M
F
X
B
N
D
C
F
X
0
D
例
(2024·湖北部分学校期中联考)已知双曲
线C:号-若1a0.0的左点为2
O),过F且斜率为k(K≠O)的直线交C于A,B两点，且
当k=2时，A的横坐标为3，
(1)求C的方程；
(2)设O为坐标原点，过A且平行于x轴的直线与
直线OB交于点D,P为线段AD的中点，直线OP交于
点Q.证明：1OPI·BQ=PQ1·IBF.
分析：
10+6=4(1)
3-2
=k=2→YA二2
9〔9音=0)(1X河东9.
(2)设1：y=Mx-2),
Ax,y)、B,y),
→10PL·1BQ=Pq·1BFH
←→
I0P1_
IBA_IA日
IPOI
1B0I 1AQI
-y2
←→
y1-Yo
Yz-Yo
需求y,仁需直线0P的方程仁需D点坐标
←仁需0B的方程
直线方程与圆锥曲线方程联立，得一
联立方程
元二次方程，涉及中点弦问题可用点
差法
借助根与系数的关系、点差法等把所
坐标表示
涉及的量用动点坐标表示出来.
根据条件及证明方向进行转化并运
证明结论
算，直到俯合所证结论
