(共81张PPT)
第十章
计数原理、概率、随机变量及其分布
考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养
2023新课标Ⅱ，3； 2023新课标Ⅰ，13； 2024新课标Ⅱ，14 两个计数原理、排列与组合 计数原理与组合的综合问题 运算求解 应用性 数学运算
2022新高考Ⅰ，13； 2024全国甲卷，13 二项式定理 求展开式中特定项的系数 运算求解 基础性 数学运算
考题 考点 考向 关键能力 考查 要求 核心素养
2022新高考Ⅱ，5； 2020新高考Ⅰ，3 两个计数原理、排列与组合 排列问题 分配问题 运算求解 应用性 数学运算
逻辑推理
2020新高考Ⅰ，3 两个计数原理、排列与组合 分配问题 逻辑思维 应用性 数学运算
逻辑推理
考题 考点 考向 关键能力 考查 要求 核心素养
2023新课标Ⅱ，12； 2024新课标Ⅰ，14 条件概率与全概率公式、相互独立事件 相互独立事件的概率 逻辑思维 应用性 数学运算
逻辑推理
2023新课标Ⅰ，21； 2024新课标Ⅱ，18 离散型随机变量及其分布列、均值与方差 求均值 决策问题 逻辑思维 应用性 数学运算
逻辑推理
考题 考点 考向 关键能力 考查 要求 核心素养
2022新课标Ⅰ，5 古典概型 求概率 运算求解 基础性 数学运算
2022新课标Ⅰ，20； 2022新课标Ⅱ，19； 2021新课标Ⅰ，8； 2024新课标Ⅱ，18 条件概率与全概率公式、相互独立事件 独立性检验、条件概率、判断事件的独立性 运算求解 逻辑思维 应用性 数学运算
数学建模
考题 考点 考向 关键能力 考查 要求 核心素养
2022新课标Ⅱ，13； 2024新课标Ⅰ，9 正态分布 概率问题 运算求解 基础性 综合性 数学运算
2021新课标Ⅰ，18 离散型随机变量及其分布列、均值与方差 离散型随机变量的分布列及期望 数学建模 应用性 数学运算
数学建模
【命题规律与备考策略】
本章内容在选择题、填空题中主要考查排列、组合、二项式定理、古典概型、正态分布等，排列、组合的考查方向：一是两个计数原理的应用；二是考查分组与分配问题；三是考查邻与不邻、在与不在等有限制条件的计数问题；二项式定理的考查方向：一是求二项或三项展开式中指定项的系数；二是求两个二项式之积的展开式中指定项的系数；三是已知展开式中项的系数求参数；四是项的系数与二项式系数性质的应用．概率问题是历年高考命题必考的内容，考查方向：一是实际背景下的古典概型求概率；二是求互斥、对立事件的概率、条件概率、相互独
立事件的概率、全概率公式及正态分布．解答题考查方向：一是求离散型随机变量的分布列(超几何分布、二项分布和正态分布等)及其数学期望与方差；二是分布列、期望与统计图表的综合应用；三是利用分布列、期望与方差进行决策或分析，此类试题的阅读量大，综合性较强．考查数据的收集与分析、数学运算、逻辑推理的核心素养．
备考时要熟练掌握各种题型的特点、计算公式及解题策略，如解决排列组合问题准确辨别限制条件，尤其是“至少”“至多”类型的条件，多从分类讨论或转化为对立事件求解，注意先组后排及分组中的“均分问题”，根据题设条件，准确分类是解决问题的关键！注意区分超几何分布与二项分布；灵活应用正态分布的对称性求值；熟练掌握离散型随机变量的取值，准确计算其对应的事件的概率，学会根据数据做出判断与决策．即过好“四关”：题目的理解关、随机变量的取值关、事件的类型关、概率的运算关！对有关函数、不等式、数列的概率综合题应加强关注．
第一讲 两个计数原理、排列、组合
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 两个计数原理
1．分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝_________________种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_________________种不同的方法．
m1＋m2＋…＋mn
m1×m2×…×mn
知识点二 排列与排列数
1．排列的定义：从n个______元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的______排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2．排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_______
_________的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号____表示．
不同
顺序
所有不
同排列
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，且m≤n)
n！
1
知识点三 组合与组合数
1．组合的定义：一般地，从n个______元素中取出m(m≤n)个元素__________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_______
_______的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号____表示．
不同
作为一组
所有不
同组合
1
归 纳 拓 展
1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别
分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( )
(3)4名同学分别报名参加学校的3个社团，每人限报一个，则不同的报法种数为43.( )
(4)正十二边形共有54条对角线．( )
(5)用0,1,2,3,4这5个数字可以组成30个无重复三位偶数．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√
题组二 走进教材
2．(选择性必修3P38T3(2)改编)某班一天上午有4节课，下午有2节课，安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术每科一节，要求数学排在上午，体育不排上午第一节和下午第二节，则不同的安排种数是____.
[答案] 312
3. (选择性必修3P23T17改编)(2025·河北部分学校摸底)如图所示，相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则涂满所有区域的不同的着色方法共有________种．(用数字填写答案)
[答案] 72
解法二：
区域 1 2 3 4 5
涂法 4 3 2 (与2同色)1 2
(与2不同色)1 1
∴不同的涂色方法共有4×3×2×1×(2＋1)＝72(种)．
题组三 走向高考
4．(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有( )
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
[答案] B
5．(2024·新课标Ⅱ卷)在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________.
11 21 31 40
12 22 33 42
13 22 33 43
15 24 34 44
[答案] 24 112
[解析] 由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有4×3×2×1＝24种选法；每种选法可标记为(a，b，c，d)，a，b，c，d分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：
(11,22,33,44)，(11,22,34,43)，(11,22,33,44)，
(11,22,34,42)，(11,24,33,43)，(11,24,33,42)，
(12,21,33,44)，(12,21,34,43)，(12,22,31,44)，
(12,22,34,40)，(12,24,31,43)，(12,24,33,40)，
(13,21,33,44)，(13,21,34,42)，(13,22,31,44)，
(13,22,34,40)，(13,24,31,42)，(13,24,33,40)，
(15,21,33,43)，(15,21,33,42)，(15,22,31,43)，
(15,22,33,40)，(15,22,31,42)，(15,22,33,40)，
所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15＋21＋33＋43＝112.
考点突破 · 互动探究
两个计数原理——自主练透
1．(2025·山西大同开学联考)某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”(如2024是“幸运数”)，并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有( )
A．32个 B．28个
C．27个 D．24个
[答案] B
2．(2024·河北邢台质检联盟联考)某迷宫隧道猫爬架如图所示，B，C为一个长方体的两个顶点，A，B是边长为3米的大正方形的两个顶点，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成．若小猫从A点沿着图中的线段爬到B点，再从B点沿着长方体的棱爬到C点，则小猫从A点爬到C点可以选择的最短路径共有________条．
[答案] 120
3．(2025·四川成都七中测试)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法共有________种．
[答案] 72
[解析] 解法一：依次涂染各顶点，不同的涂法如下表：
顶点 P A B D C
涂法 4 3 2 与B同色1 2
与B不同色1 1
故不同的染色方法有4×3×2×(2＋1)＝72(种)．
解法二：若AC同色，BD同色，共4×3×2＝24种，
若AC同色，BD不同色，共4×3×2×1＝24种，
若AC不同色，BD同色，共4×3×2×1＝24种，
故共有24＋24＋24＝72种不同染色方法．
[引申1]若本例2中迷宫隧道猫爬架改为如图，则小猫从A点爬到C点的最短路径有________条．
[答案] 84
[引申2]若给本例3中四棱锥各面染上一种颜色，且相邻面(有公共棱的面)不同色，则不同的染色方法有________种．
[答案] 72
[解析] 依次涂色，底面ABCD的染色有4种选择，侧面PAB的染色有3种选择，侧面PBC的染色有2种选择．①若侧面PCD与侧面PAB所染颜色相同，则侧面PAD的染色有2种选择；②若侧面PCD与侧面PAB所染颜色不同，则侧面PCD的染色有1种选择，侧面PAD的染色有1种选择．综上，不同的染色种数为4×3×2×(1×2＋1×1)＝72.
[引申3]本例3中若将“每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色”改为“每条棱染上一种颜色且相交棱不同色”，则不同染色方法有________种．
[答案] 48
棱 AB BC CD DA
染色 3 4 1 2
4 1 2 3
知共有24×2＝48种染法．
[引申4]本例3若改为“只有五种颜色可供选用”，则不同的染色方法共有_____种．
[答案] 420
名师点拨：两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算完成一件事的方法种数 不同点 分类、相加 分步、相乘
每一类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每一步依次完成才算完成这件事情(每一步中的每一种方法不能独立完成这件事)
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，缺一不可
利用两个计数原理解题时的注意点
(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事．
(2)对于复杂问题，一般是先分类再分步．当元素个数不多时，可尝试列举法求解．
【变式训练】
1．(2025·山东部分学校质检)某班有4名同学报名参加校运会的六个比赛项目，若每项至多报一人，且每人只报一项，则报名方法的种数为( )
A．240 B．360
C．480 D．640
[答案] B
[解析] 每项限报一人，且每人只报一项，因此可由人选项目．第一个人有6种不同的选法，第二个人有5种不同的选法，第三个人有4种不同的选法，第四个人有3种不同的选法，由分步计数原理得报名方法共有6×5×4×3＝360种．故选B.
2．(多选题)(2024·辽宁实验中学适应性考试)如图，小明、小红分别从街道的E、F处出发，到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则( )
A．小红到老年公寓可以选择的最短路径条数为3
B．小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为35
C．若小明不经过F处，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为32
D．若小明先到F处与小红会合，再与小红一起到老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为18
[答案] ABD
排列问题——师生共研
1．3名男生4名女生站成一排，在下列条件下的不同排法分别为：
(1)选其中5人排成一排；________
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；________
(3)全体排一排，排头只能站甲或乙，排尾不能站甲；________
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；________
(5)全体排成一排，男生互不相邻；________
(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；________
(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；________
(8)全体排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．________
[答案] (1)2 520 (2)5 040 (3)1 320
(4)576 (5)1 440 (6)720 (7)2 520 (8)3 720
2．(2025·江苏启东中学月考)中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型．现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为( )
A．216 B．228
C．384 D．486
[答案] A
[引申]本例1中7人排一排，(1)甲站中间的站法有________种；(2)甲、乙相邻且丙不站排头和排尾的站法有________种；(3)甲、乙相邻且都与丙不相邻的站法有________种；(4)3名男生相邻，4名女生相邻的站法有________种；(5)4名女生不全相邻的站法有________种．
[答案] (1)720 (2)960 (3)960 (4)288 (5)4 464
名师点拨：求解排列应用问题的常用方法
【变式训练】
1．(2024·九省联考试题)甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有( )
A．20种 B．16种
C．12种 D．8种
[答案] B
2．(2025·山东齐鲁名师联盟诊断)小明将1,4,0,3,2,2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为( )
A．48 B．32
C．24 D．16
[答案] C
组合问题——师生共研
1．(多选题)(2023·吉林东北师大附中开学考)某学生在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )
[答案] ABC
2．(2025·湖南长沙雅礼中学开学考)以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是( )
A．70 B．64
C．60 D．58
[答案] D
名师点拨：组合问题常有以下两类题型变化：
1．“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
2．“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
【变式训练】
1．(2024·山西三重教育联盟联考)从3位女生，4位男生中选3人参加垃圾分类宣传活动，且至少有1位男生入选，则不同的选法共有______种(用数字填写)．
[答案] 34
2．(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
[答案] 64
排列、组合的综合应用——多维探究
角度1 数字问题
在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数为( )
A．512 B．192
C．240 D．108
[答案] D
[引申](1)若将本例中“没有”改为“有”，则结果为________；
(2)本例中将“能被5整除”去掉组成的四位数中偶数的个数为________个，其中比2 310大的四位偶数的个数为________个．
(3)本例组成的四位数中1和3相邻的个数为________.
[答案] (1)252 (2)156 109 (3)60
角度2 分组、分配问题
如图，“天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有( )
A．450种
B．360种
C．90种
D．70种
[答案] A
名师点拨：
1．数字问题注意“0”不能排在首位．
2．分组、分配问题的解题策略是先分组后分配．
(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
【变式训练】
1．(角度1)(2024·四川达州诊断)从0,1,2,3,4,5这6个数中任选2个偶数和1个奇数，组成没有重复数字的三位数的个数为( )
A．36 B．42
C．45 D．54
[答案] B
2．(角度2)(2025·山西大同调研)五一小长假期间，某旅游公司为助力大同旅游事业的发展，计划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往云冈石窟、古城华严寺、北岳恒山三个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有银牌导游前往，则不同的分配方法种数有( )
A．360 B．640
C．1 350 D．1 440
[答案] C
名师讲坛 · 素养提升
不宜用排列、组合公式的计数问题
1．(多选题)(原创)下列说法正确的是( )
A．将4封信投入3个信箱中，共有64种不同的投法
B．4只相同的小球放入3个不同的盒子，共有12种不同放法
C．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有54种
D．8个相同的小球放入5个不同盒子中，每盒不空的放法共有35种
[答案] CD
2．(2023·浙江名校协作体联考)用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为________(用数字作答)．
[答案] 20
[解析] 解法一：可用树状图求解(用1表示黑，用0表示白)
名师点拨：
1．当问题中涉及的元素个数较少时，可通过图表将各种情况一一列出求解计数问题；
2．当要求计数的情况较复杂，而其反面情况简单易求时，可采用间接法求解．即问题所有情况种数减去不合题意的情况种数；
3．“圆排”问题“剪断”处理；
4．“元素”相同(如指标分配)问题，“隔板”处理．
隔板法的解题步骤
(1)定个数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量．
(2)定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数．
(3)插隔板：确定需要的隔板个数，根据组数要求，插入隔板，利用组合数求解不同的分法种数．
(4)回顾反思：隔板法的关键在于准确确定空位个数以及需要的隔板个数，使用这种方法需要注意两个方面的问题：一是要根据题意确定能否转化为“每组至少一个”的问题，以便确定能否利用隔板法；二是要注意准确确定空位数以及需要的隔板数，一般来说，两端不能插隔板．
【变式训练】
(2025·广东深圳中学摸底)三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练(不能传给自己)，由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有( )
A．6种 B．10种
C．11种 D．12种
[答案] B
[解析] 画树状图求解：
不同传球方式共10种，故选B.(共55张PPT)
第十章
计数原理、概率、随机变量及其分布
第二讲 二项式定理
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
二项式系数
通项
k＋1
知识点二 二项展开式形式上的特点
1．项数为______.
2．各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为____.
3．字母a按______排列，从第一项开始，次数由n逐项减小1直到零；字母b按______排列，从第一项起，次数由零逐项增加1直到n.
n＋1
n
降幂
升幂
知识点三 二项式系数的性质
(5)(x－1)n的展开式二项式系数和为－2n.( )
(6)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)×
[答案] 18 564
3．(选择性必修3P38T5(1))(1－2x)5(1＋3x)4的展开式中按x的升幂排列的第3项为________.
[答案] －26x2
A．15 B．6
C．－4 D．－13
[答案] B
[答案] －28
考点突破 · 互动探究
二项展开式的通项公式的应用——多维探究
角度1 求二项展开式中的特定项或特定项的系数
[答案] 240
[引申]展开式中有理项有________项，第四项是________.
角度2 二项展开式中的含参问题
[答案] 2
角度3 二项展开式中系数最大项问题
[答案] 5
名师点拨：
1．求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤：
第二步：根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；
第三步：把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量．
[答案] 240
[答案] 135
[答案] 60 240x6
二项式系数的性质与各项系数的和——师生共研
A．n＝7
B．展开式的各项系数之和是－1
C．展开式中第4项和第5项的二项式系数最大
D．展开式中无常数项
[答案] ACD
2．(2024·湖南师大附中月考)若(1－2x)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5，则下列结论中正确的是( )
A．a0＝1
B．a4＝80
C．|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝35
[答案] C
[引申]在本例2中
(1)a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝________；
[答案] (1)－810 (2)－1
[解析] 令x－1＝y，则f(y)＝－(1＋2y)5＝a0＋a1y＋a2y2＋a3y3＋a4y4＋a5y5.
(1)a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝f′(1)＝－10×34＝－810.
名师点拨：赋值法的应用
1．形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b、c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
2．对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
3．若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
A．8 B．28
C．70 D．252
[答案] D
二项式定理的应用——多维探究
角度1 整除问题
1．(2025·河南濮阳质检)320被10除的余数为________.
[答案] 1
[引申]若330＋a(0≤a≤7)被7整除，则a＝______.
[答案] 6
[答案] 8
角度2 近似计算
1．028的近似值是________.(精确到小数点后三位)
[答案] 1.172
角度3 证明不等式
求证：n∈N且n≥3时，2n－1≥n＋1.
名师点拨：
1．整除问题的解题思路
利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断．解题时要注意二项展开式的逆用．
2．求近似值的基本方法
利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
3．由于(a＋b)n的展开式共有n＋1项，故可以通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的．
A．－1 B．－87
C．1 D．87
[答案] C
2．(角度2)0.9986的近似值为________.(精确到0.001)
[答案] 0.988
名师讲坛 · 素养提升
多项展开式中特定项、系数问题
一、几个多项式积的展开式中特定项(系数)问题
[答案] 182
名师点拨：
对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
二、几个多项式和的展开式中特定项(系数)问题
(2024·江西新余实验中学月考)(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)8的展开式中x3的系数是________.
[答案] 126
名师点拨：
对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项再求和．或将和式化简后转化为二项展开式问题处理．
三、三项展开式中特定项(系数)问题
[答案] －960
名师点拨：(a＋b＋c)n展开式中特定项系数的求解方法
[答案] －23
2．(2024·福建百校联盟联考)(x2－x－2)3的展开式中，x2的系数为________.(用数字作答)
[答案] 6(共62张PPT)
第十章
计数原理、概率、随机变量及其分布
第三讲 随机事件的概率与古典概型
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 随机事件的有关概念
1．随机试验——对随机现象的实现和对它的观察．常用E表示．
样本点——随机试验的每个可能的__________.常用w表示．
样本空间——全体样本点的集合，常用Ω表示．
2．随机事件——样本空间Ω的子集，简称事件，常用A，B，…表示．
基本事件——__________________的事件．
在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时称为事件A发生，Ω______发生，称Ω为必然事件， 在每次试验中都______发生，称 为不可能事件．
基本结果
只包含一个样本点
总会
不会
知识点二 事件的关系与运算
定义 符号表示
包含 关系 若事件A______，则事件B__________，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) ____________
相等 关系 若B A，且________，则称事件A与事件B相等 ________
并事件 (和事件) 若某事件发生_____________________________ _______，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) ____________
发生
一定发生
B A(或A B)
A B
A＝B
当且仅当事件A与事件B至少有一
个发生
A∪B(或A＋B)
定义 符号表示
交事件 (积事件) 若某事件发生___________________________ ____，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) _______________
互斥 事件 若A∩B为________事件，则称事件A与事件B互斥 ____________
对立 事件 若A∩B为________事件，A∪B为_________，则称事件A与事件B互为对立事件 ________，
________________________________
当且仅当事件A与事件B同时发
生
A∩B(或AB)
不可能
A∩B＝
不可能
必然事件
A∩B＝ ，且A∪
B＝Ω
知识点三 古典概型
1．概率——对随机事件发生可能性大小的度量(数值)．
2．具有以下两个特征的试验称为古典试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)有限性：样本空间的样本点____________.
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性______.
只有有限个
相等
3．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)P(Ω)＝____，P( )＝____.
(3)如果事件A与事件B互斥，那么P(A＋B)＝__________.P(AB)＝___.
(4)如果事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝________.
(5)如果A B，那么P(A)____P(B)．
(6)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．
1
0
P(A)＋P(B)
0
1－P(B)
≤
知识点四 频率与概率
在任何确定次数的随机试验中，随机事件A发生的频率具有随机性．随着试验次数n的增大，事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．称频率的这个性质为频率的稳定性，因此，可用频率fn(A)估计概率P(A)．
归 纳 拓 展
1．频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数．
2．对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
3．求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数常用两个计数原理及排列、组合知识，另外还有列举法、列表法、树状图法等．
4．当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )
(3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．( )
(5)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
题组二 走进教材
2．(必修2P235例8)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为_____.
题组三 走向高考
3．(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( )
[答案] D
4．(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )
[答案] D
5．(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( )
[答案] B
考点突破 · 互动探究
随机事件的关系——自主练透
1．(多选题)(2025·湖北部分学校开学考)某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有8个大小形状相同的小球，并标注1～8这八个数字，抽奖者从中任取一个球，事件A表示“取出球的编号为奇数”，事件B表示“取出球的编号为偶数”，事件C表示“取出球的编号大于5”，事件D表示“取出球的编号小于5”，则( )
A．事件A与事件C不互斥
B．事件A与事件B互为对立事件
C．事件B与事件C互斥
D．事件C与事件D互为对立事件
[答案] AB
[解析] 由题意抽奖者从中任取一个球的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，事件A表示{1,3,5,7}，事件B表示{2,4,6,8}，事件C表示{6,7,8}，事件D表示{1,2,3,4}，所以A∩C＝{7}≠ ，A∪B＝Ω且A∩B＝ ，B∩C＝{6,8}≠ ，C∩D＝ 且C∪D＝{1,2,3,4,6,7,8} Ω，所以事件A与事件C不互斥，事件A与事件B为对立事件，事件B与事件C不互斥，事件C与事件D互斥但不对立，故A、B正确，C、D错误．故选AB.
2．(2024·浙江温州三模)设A，B为同一试验中的两个随机事件，则“P(A)＋P(B)＝1”是“事件A，B互为对立事件”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 因为P(A)>0，P(B)>0，所以若事件A，B为对立事件，则P(A)＋P(B)＝1，但P(A)＋P(B)＝1推不出两个事件A，B对立，如掷一颗骰子，事件A为出现1点、2点、3点，事件B为出现3点、4点、5点，此时P(A)＋P(B)＝1，但两个事件不对立，所以“P(A)＋P(B)＝1”是“事件A，B互为对立事件”的必要不充分条件．故选B.
[引申]本例1中若抽奖者从中任取三个球，则事件E：“取出球的编号至少两个为偶数”的对立事件是____________________________；事件F：“取出球的编号积为奇数”与E的关系为__________；事件G：“取出球的编号至多两个小于4”与事件H：“取出球的编号至少一个大于4”互斥吗？__________.
[答案] “取出球的编号至多有一个为偶数” 互斥 不互斥
名师点拨：
1．准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．
2．判断互斥、对立事件的两种方法
【变式训练】
(多选题)(2024·河北沧州市质监)某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A：只参加科技游艺活动；事件B：至少参加两种科普活动；事件C：只参加一种科普活动；事件D：一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是( )
A．A与D是互斥事件 B．B与E是对立事件
C．E＝C∪D D．A＝C∩E
[答案] ABC
[解析] C∩E＝C≠A，故D错误，A，B，C显然正确.
古典概型——师生共研
1．(2024·浙江金华一中月考)奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结．五个奥林匹克环总共有8个交点，从中任取3个点，则这3个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率为( )
[答案] A
2．(2024·江西五市九校联考)将1个0,2个1,2个2随机排成一行，则2个1不相邻的概率为( )
[答案] A
3．(2025·河北大数据应用调研)现从环保公益演讲团的6名教师中选出3名，分别到A，B，C三所学校参加公益演讲活动，则甲、乙2名教师不能到A学校，且丙教师不能到B学校的概率为( )
[答案] D
[引申]本例2中，相同数字都不相邻的概率P1＝________，相同数字不都相邻的概率P2＝________.
名师点拨：
求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，较复杂事件的基本事件数可用排列、组合知识求得，具体应用时可根据需要灵活选择．
【变式训练】
1．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲、乙两人中至少有一人站在两端的概率为( )
[答案] A
2．(2025·江西部分学校月考)甲、乙等四个人一起随机手牵手围成一圈做游戏，甲与乙牵手的概率是( )
[答案] D
古典概型的综合问题——多维探究
角度1 古典概型与函数交汇
[答案] D
角度2 古典概型与几何交汇
1．(2024·河北唐山模拟)从正方体的8个顶点中任取3个连接构成三角形，则能构成正三角形的概率为( )
[答案] A
[引申]本例条件下能构成直角三角形的概率为________.
[答案] D
角度3 古典概型与统计交汇
为了解学生课外使用手机的情况，某学校收集了本校500名学生2024年12月课余使用手机的总时间(单位：小时)的情况．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50名学生中，恰有3名女生课余使用手机的总时间在[10,12]，现在从课余使用手机总时间在[10,12]的样本对应的学生中随机抽取3名，则至少抽到2名女生的概率为( )
[答案] C
[引申]本例中(1)“至少抽到1名女生”的概率为________；(2)“至多抽到1名女生”的概率为________.
名师点拨：求复杂互斥事件概率的方法
1．直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和．
【变式训练】
1．(角度1)若a，b∈{－1,0,1,2}，则函数f(x)＝ax2＋2x＋b有零点的概率为( )
[答案] A
[解析] a，b∈{－1,0,1,2}，(a，b)的取法有16种，函数y＝f(x)有零点，即4－4ab≥0，∴ab≤1，当a＝－1或0时，b可取－1,0,1,2；
当a＝1时，b可取－1,0,1；
当a＝2时，b可取－1,0.共13种．
2．(角度2)(2023·广西南宁摸底)从正方体的顶点及其中心共9个点中任选4个点，则这4个点在同一个平面的概率为__________.
3．(角度3)(2024·辽宁六校协作体期中联考)已知2,4,6,8，x这5个数的标准差为2，若在－2,0,5，2x－1，x－2中随机取出3个不同的数，则5为这3个数的中位数的概率是________.
名师讲坛 · 素养提升
有放回抽样与无放回抽样
1．在一个坛子中装有16个除颜色之外完全相同的玻璃球，其中有2个红的，3个蓝的，5个绿的，6个黄的，从中任取一球，放回后，再取一球，则第一次取出红球且第二次取出黄球的概率为( )
[答案] A
2．(2025·广西名校模拟)甲、乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5,6的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜．甲获得3分的概率为_______.
[引申]若将本例1中“放回”改为“不放回”，则所求概率为_____.
名师点拨：
“放回”是指上一轮取到的元素，下一轮仍在其中可再次选取；“不放回”是指上一轮取到的元素，下一轮不可再次选取．
【变式训练】
袋中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”“谐”“校”“园”，每次从中任意摸出一个小球，直到“和”“谐”两个小球都摸到就停止摸球．
(1)若有放回地摸球，则恰好在第三次停止摸球的概率为________；
(2)若无放回地摸球，则恰好在第三次停止摸球的概率为________.(共64张PPT)
第十章
计数原理、概率、随机变量及其分布
第四讲 事件的独立性、条件概率与全概率公式
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 事件的相互独立性
设A、B为两个事件，如果P(AB)＝__________，则称事件A与事件B相互独立．
注：“相互独立”与“事件互斥”的区别．两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响．两事件相互独立不一定互斥．
P(A)P(B)
3．乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．
4．性质
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)若B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
归 纳 拓 展
1．事件的表示
(1)A、B中至少有一个发生的事件为A∪B.
(2)A、B都发生的事件为AB.
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．( )
(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(BA)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．( )
(3)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5.( )
(4)抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件A＝“第一枚骰子奇数面朝上”，事件B＝“两枚骰子向上点数之和为7”，则A与B独立．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
题组二 走进教材
2．(多选题)(选择性必修3P48T3)一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是( )
[答案] BCD
[答案] A
题组三 走向高考
4．(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为( )
A．0.8 B.0.6
C．0.5 D.0.4
[答案] A
5．(多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1，则译码为1)( )
A．采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1－α)(1－β)2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3
D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
[答案] ABD
考点突破 · 互动探究
相互独立事件的概率——多维探究
角度1 判断事件的独立性
(2024·河南商丘模拟)盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回．设事件A＝“两次均未摸出红球”，事件B＝“两次均未摸出白球”，事件C＝“第一次摸出的两个球中有红球”，事件D＝“第二次摸出的两个球中有白球”，则( )
A．A与B相互独立 B．A与C相互独立
C．B与C相互独立 D．C与D相互独立
[答案] D
【变式训练】
(多选题)(2024·湖北A9高中联盟期中联考)甲、乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是( )
A．事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不是互斥事件
B．事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件
C．事件“甲、乙都投得6点”与事件“甲、乙不全投得6点”是对立事件
D．事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件
[答案] BC
[解析] 事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不可能同时发生，二者是互斥事件，A错误；事件“甲投得6点”发生与否对事件“乙投得5点”没有影响，二者是相互独立事件，B正确；事件“甲、乙都投得6点”的反面为“至少有1人没有投得6点”，也即“甲、乙不全投得6点”，故事件“甲、乙都投得6点”与事件“甲、乙不全投得6点”是对立事件，C正确；事件“至少有1人投得6点”包含“甲投得6点且乙没投得6点”的情况，故事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”不是相互独立事件，D错误，故选BC.
角度2 相互独立事件的概率
1．(多选题)(2024·河北重点高中模拟)甲袋中有20个红球，10个白球，乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别．现在从两袋中各取出1个球，下列结论正确的是( )
[答案] ABC
2．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____.
[答案] 0.18
[解析] 前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4∶1获胜的概率是
0.63×0.5×0.5×2＝0.108，
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2＝0.072，
综上所述，甲队以4∶1获胜的概率是
P＝0.108＋0.072＝0.18.
[答案] B
[引申1]本例2中乙以4∶0获胜的概率为______，甲以4∶2获胜的概率为________.
[答案] 0.04 0.171
[解析] P1＝0.42×0.52＝0.04；
[引申2]本例3中至少有一个队完成任务的概率为________.
名师点拨：判断两个事件是否相互独立的方法
1．直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率．
2．定义法：判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．
求相互独立事件概率的主要方法
1．利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
2．正面计算较繁琐(如求用“至少”“至多”等表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
A．B和C互为对立事件 B．事件A和C不互斥
C．事件A和B相互独立 D．事件B和C相互独立
[答案] BC
条件概率——自主练透
1．(2024·广东惠州调研)甲、乙两位游客慕名来到赣州旅游，准备分别从大余丫山、崇义齐云山、全南天龙山、龙南九连山和安远三百山5个景点中随机选择其中一个，记事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好一人选择崇义齐云山，则条件概率P(B|A)＝( )
[答案] B
[答案] ABD
3．缩样法：就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型的概率公式求解．
【变式训练】
1．(2025·湖北腾云联盟联考)从有5个红球和4个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．那么，在第3次摸到红球的条件下第4次摸到红球的概率为________.
全概率公式——师生共研
[答案] C
2．(2025·北京二中开学测试)已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球．若从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是________；若从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取一球，则取到的球是白球的概率是________.
[引申]本例1条件下P(A|B)＝________.
名师点拨：利用全概率公式的策略
1．根据题意，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)．
2．求P(Ai)及事件B在各互斥事件Ai发生的条件下的概率P(B|Ai)；
【变式训练】
(2025·江苏常州质检)在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5∶7∶8，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为( )
A．0.515 B．0.05
C．0.049 5 D．0.048 5
[答案] D
名师讲坛 · 素养提升
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率；
②将首次试验摸出的白球放回原来的袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来的袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．
[解析] 设试验一次，“取到甲袋”为事件A1，“取到乙袋”为事件A2，“试验结果为红球”为事件B1，“试验结果为白球”为事件B2.
【变式训练】
(2025·江苏常州教科院附中调研)第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT中．某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子(如图)，其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球．
(1)求摸出的球是黑球的概率；
(2)若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断
该球取自哪个箱子的可能性更大．
(2)该球取自乙箱的可能性更大，理由如下：
该球是取自甲箱的概率(共68张PPT)
第十章
计数原理、概率、随机变量及其分布
第五讲 离散型随机变量及其分布列、均值、方差
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 离散型随机变量
对随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，称为__________，通常用大写英文字母X，Y，…表示随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量，称为________随机变量．
随机变量
离散型
知识点二 离散型随机变量的分布列及性质
1．一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，称X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi为X的分布列，可用表格表示为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
2．离散型随机变量的分布列的性质
(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；
3．两点分布或0－1分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为
X 0 1
P 1－p p
其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
p1＋p2＋…＋pn
标准差
3．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝__________.
(2)D(aX＋b)＝________.
(3)D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.
aE(X)＋b
a2D(X)
归 纳 拓 展
1．若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b是常数)也是随机变量．
2．随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的．
3．随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．
4．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( )
(2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( )
(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )
(4)由下列给出的随机变量X的分布列服从两点分布．( )
X 2 5
P 0.3 0.7
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
3．(选择性必修3P69例6)A、B两种股票，每股收益分布列如表
股票A收益分布列
收益X/元 －1 0 2
概率 a 0.3 0.6
股票B收益分布列
收益Y/元 0 1 2
概率 0.3 0.4 b
则投资________股票期望大，投资________股票风险高．
[答案] A A
[解析] 由分布列的性质易知a＝0.1，b＝0.3，
从而E(X)＝1.1，E(Y)＝1，D(X)＝1.29，D(Y)＝0.6，
∴E(X)>E(Y)，投资A股票期望大，
D(X)>D(Y)投资A股票风险高．
题组三 走向高考
4．(2022·浙江卷)现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝______，E(ξ)＝________.
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
[答案] B
由此可知选项B对应样本的标准差最大，故选B.
选项 均值E(X) 方差D(X)
A 2.5 0.65
B 2.5 1.85
C 2.5 1.05
D 2.5 1.45
考点突破 · 互动探究
离散型随机变量分布列的性质——自主练透
1．随机变量X的概率分布列如下：
X －1 0 1
p a b c
2．(多选题)(2025·贵州联考)离散型随机变量X的分布列如下表所示，m，n是非零实数，则下列说法正确的是( )
X 2 024 2 025
P m n
A．m＋n＝1
B．X服从两点分布
C．2 024
D．D(X)＝mn
[答案] ACD
[解析] 由分布列的性质知m＋n＝1，所以A正确；根据二点分布知，随机变量X的取值为0和1，所以B不正确；E(X)＝2 024m＋2 025n＝2 024(1－n)＋2 025n＝2 024＋n，因为0[引申]本例1中，(1)P(|X|＝1)＝________；
名师点拨：离散型随机变量分布列的性质的应用
1．利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．
2．利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．
3．可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
【变式训练】
(2025·四川成都石室中学模拟)若随机变量X的可能取值为1,2,3,4，且P(X＝k)＝λk(k＝1,2,3,4)，则D(X)＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
离散型随机变量的均值与方差——多维探究
角度1 均值、方差的性质
(多选题)(2025·江苏如皋诊断)已知随机变量X，Y，其中Y＝3X＋1，已知随机变量X的分布列如下表
[答案] AC
角度2 均值、方差与函数性质
A．D(X)增大 B．D(X)减小
C．D(X)先增大后减小 D．D(X)先减小后增大
[答案] C
角度3 离散型随机变量的分布列、均值、方差
1．(2025·江西抚州联考)已知三个正整数的和为8，用X表示这三个数中最小的数，则E(X)＝________.
2．(2025·江苏镇江期初测试)某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算．
(1)求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率；
(2)若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
名师点拨：
求离散型随机变量的分布列、期望与方差的步骤
注：求离散型随机变量X的分布列，首先要理解X的意义，准确写出X的所有可能值，其次要准确求出X取各个值时的概率．
[答案] ABC
[答案] D
3．(角度3)(2025·重庆南开中学质检)掷两颗骰子，观察掷得的点数．
(1)设A：掷得的两个点数之和为偶数，B：掷得的两个点数之积为偶数，判断A、B是否相互独立．并说明理由；
(2)已知甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有2个白球，3个黑球．若掷骰子所得到的两个点数奇偶性不同，则从甲箱中任取两个球；若所得到的两个点数奇偶性相同，则从乙箱中任取两个球，求取出白球个数的分布列和期望．
均值、方差在决策问题中的应用——师生共研
(2024·河南高三起点考试)某考生在做高考数学模拟题第12题时发现不会做．已知该题有四个选项，为多选题，至少有两项正确，至多有3个选项正确．评分标准为：全部选对得5分，部分选对得2分，选到错误选项得0分．设此题正确答案为2个选项的概率为p0(0(2)为使此题得分数学期望最高，请你帮他从以下二种方案中选一种，并说明理由．
方案一：随机选择一个选项
方案二：随机选择两个选项
[解析] (1)设多选题正确答案是“选两项”为事件A2，正确答案是“选三项”为事件A3，
则Ω＝A2∪A3，P(A2)＝p0，P(A3)＝1－p0；
分别记考生得0分，2分，5分为事件B0，B2，B5，
∵B0＝A2B0∪A3B0，B2＝A2B2∪A3B2，
(2)方案一：随机选择一个选项
正确答案是“选两项”时，考生选1项，选对得2分，选错得0分；
正确答案是“选三项”时，考生选1项，选对得2分，选错得0分．
∵B0＝A2B0∪A3B0，B2＝A2B2∪A3B2，
∴P(B0)＝P(B0|A2)P(A2)＋P(B0|A3)P(A3)
名师点拨：
随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
有时也通过比较事件发生概率的值进行决策．
【变式训练】
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
[解析] (1)由已知可得，X的所有可能取值为0,20,100，
则P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)由(1)可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4，
若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0,80,100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
则Y的期望为
E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6，
因为E(Y)>E(X)，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．
名师讲坛 · 素养提升
概率中的“停止型”问题
(2025·云南德宏州监测)在刚刚结束的巴黎奥运会中，国球选手再创辉煌，包揽全部5枚金牌，其中最惊险激烈的就是男单1/4决赛，中国选手樊振东对战日本选手张本智和．比赛采取7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得一分．
(1)樊振东首局失利，第二局比赛双方打到8∶8平，此时张本智和连续发球2次，然后樊振东连续发球2次．根据以往比赛结果统计，樊振东发球时他自己得分的概率为0.6，张本智和发球时樊振东得分的概率为0.5，每次发球的结果相互独立，令人遗憾的是该局比赛结果，樊振东最终以9∶11落败，求其以该比分落败的概率；
[解析] (1)在比分为8∶8后张本智和先发球的情况下，樊振东以9∶11落败的情况分三种：
第一种：后四球樊振东依次为胜败败败，概率为P1＝0.5×0.5×0.4×0.4＝0.04，
第二种：后四球樊振东依次为败胜败败，概率为P2＝0.5×0.5×0.4×0.4＝0.04，
第三种：后四球樊振东依次为败败胜败，概率为P3＝0.5×0.5×0.6×0.4＝0.06，
所以所求事件的概率为P1＋P2＋P3＝0.14.
名师点拨：
解决这类终止型问题，一定要弄清终止的条件，根据终止的条件确定各种可能结果，再计算相应概率求解问题．
(1)求他前两发子弹只命中一发的概率；
(2)求他所耗用的子弹数X的分布列和数学期望．(共60张PPT)
第十章
计数原理、概率、随机变量及其分布
第六讲 二项分布与超几何分布
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理
知识点一 二项分布
1．n重伯努利试验
只包含______可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
特征：①同一个伯努利试验重复做n次；②各次试验的结果_________.
两个
相互独立
np
np(1－p)
归 纳 拓 展
1．二项分布的适用范围及本质
(1)适用范围
①各次试验中的事件是相互独立的；
②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
③随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．
(2)本质：二项分布是有放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．
2．超几何分布的适用范围及本质
(1)适用范围
①考察对象分两类；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数Y的概率分布．
(2)本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( )
(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
题组二 走进教材
2．(选择性必修3P76T1改编)将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，X表示“正面向上”出现的次数，则P(X＝2)＝_______，E(X)＝________.
3．(选择性必修3P79T6改编)某小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则P(X≥2)( )
[答案] C
题组三 走向高考
4．(2018·课标Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
[答案] B
考点突破 · 互动探究
n重伯努利试验——自主练透
(2024·浙江金华十校模拟)一次掷两枚骰子，若两枚骰子点数之和为4或5或6，则称这是一次成功试验．现进行四次试验，则恰出现一次成功试验的概率为________.
名师点拨：n重伯努利试验的判断及相应概率的求解策略
1．符合n重伯努利试验必须满足的两个特征
(1)每次试验的条件完全相同，有关事件的概率保持不变；
(2)各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立．
【变式训练】
(2025·江苏镇江期初测试)某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格．若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为________.
二项分布——多维探究
角度1 二项分布列的性质
[答案] BCD
[答案] 8
[引申]本例1中P(X≥2)＝________.
角度2 二项分布的实际应用
(2025·福建连城一中月考)为鼓励消费，某商场开展积分奖励活动，消费满100元的顾客可拋掷骰子两次，若两次点数之和等于7，则获得5个积分；若点数之和不等于7，则获得2个积分．
(1)记两次点数之和等于7为事件A，第一次点数是奇数为事件B，证明：事件A，B是独立事件；
(2)现有3位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和X的分布列和期望．
名师点拨：
1．二项分布问题的解题关键
(1)定型
①在每一次试验中，事件发生的概率相同．
②各次试验中的事件是相互独立的．
③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
(2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．
注：有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np，求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．
[答案] AD
超几何分布——师生共研
(2025·江苏苏州开学测试)2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行，以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名志愿者可服务多个项目.8月7日100米跨栏、200米、400米、800米、1 500米、5 000米比赛在法兰西体育场举行．
(1)志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件下，选择1 500米服务的概率；
(2)为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其中6名参加5 000米服务，4名参加800米服务．现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中参加800米服务的人数记作X，求随机变量X的分布列和数学期望．
[解析] (1)设“汤姆选择中有200米服务”为事件A；“汤姆选择中有1 500米服务”为事件B，
名师点拨：
1．超几何分布的特点
(1)考察对象分两类；
(2)已知各类对象的个数；
(3)超几何分布是不放回抽样问题；
(4)随机变量为抽取的某类个体的个数．
(5)考查某类个体抽取个数X的概率分布．
3．超几何分布的应用
超几何分布是一个重要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于随机变量正品与次品，白球与黑球，男生与女生等实践中的由差别明显的两部分组成的问题．
【变式训练】
(2025·四川摸底)某农场收获的苹果按A，B，C三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且A，B，C三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1.
(1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率；
(2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望．
(2)因为用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，
所以A级苹果有6箱，B，C级苹果共有4箱，
随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
名师讲坛 · 素养提升
二项分布与超几何分布的综合应用
(2025·广东揭阳月考)某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1 000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．
方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元；
方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元．
(1)设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；
(2)设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差；
(3)如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．
(3)因为E(X)＝E(Y)，D(X)即两种方案抽取的红球个数的数学期望一样，但方案一更稳定，
所以应选择方案一的抽奖方式．
名师点拨：二项分布、超几何分布的区别与联系
区别 二项分布 超几何分布
①有放回抽取(总体不改变)； ②随机变量为n次试验中“抽到红球”的次数，其取值为0到n； ③每一次试验是独立重复试验．概率运算依据的是n重伯努利试验的概率运算，只需要知道p即可. ①不放回抽样(总体在变化)；
②随机变量为抽取n个个体中含“红球”的个数，其取值要由具体问题定；
③考察对象分为两类，且已知各类对象的个数．概率运算依据计数原理与古典概型的概率运算，且需知道N和M.
联系 当总体容量很大而抽取数很小时超几何分布可近似看作二项分布. (1)求甲、乙共答对2道题目的概率；
(2)设甲答对的题目个数为X，求X的分布列及数学期望；
(3)从期望和方差的角度进行分析，红星中学应选拔哪个学生代表学校参加体验活动？(共82张PPT)
第十章
计数原理、概率、随机变量及其分布
第七讲 正态分布
知识梳理·双基自测
名师讲坛·素养提升
考点突破·互动探究
知识梳理 · 双基自测
X～N(μ，σ2)
上方
x＝μ
x＝μ
1
集中
分散
2．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(3σ原则)：
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈_______.
σ原则：主要用于判定产品质量是否合格，机器运行是否正常等，也就是说3σ之外的概率是小概率事件，如果发生了说明产品不合格、机器运行不正常等．
0.682 7
0.954 5
0.997 3
归 纳 拓 展
对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知
(1)P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5；
(2)对任意的a有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；
(3)P(X(4)P(a注：在X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)时，要充分利用正态曲线解题．关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1.
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．
( )
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( )
(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
题组二 走进教材
2．(选择性必修3P87T2)某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170,52)，则P(165[答案] 0.818 6
题组三 走向高考
3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(22.5)＝________.
[答案] 0.14
[解析] 因为X～N(2，σ2)，所以P(X<2)＝P(X>2)＝0.5，因此P(X>2.5)＝P(X>2)－P(24．(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是( )
A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
[答案] D
[解析] 对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．故选D.
A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5
C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8
[答案] BC
考点突破 · 互动探究
正态密度函数——自主练透
A．600 B．800
C．1 200 D．1 400
[答案] B
[解析] 依题意可知，μ＝78，又因为P(78≤X≤120)＝0.42，所以P(X>120)＝0.5－0.42＝0.08，所以数学成绩超过120分的人数约为0.08×10 000＝800，故选B.
2．(多选题)(2024·湖北省十一校联考)若X～N(100，1.52)，则下列说法正确的有( )
B．E(X)＝1.5
C．P(X<101.5)＝P(X>98.5)
D．P(97[答案] ACD
A．P(X1≤μ2)B．P(X2≥μ2)>P(X3≥μ3)
C．P(X1≤μ2)D．P(μi－2σi≤Xi≤μi＋2σi)＝P(μi＋1－2σi＋1
≤Xi＋1≤μi＋1＋2σi＋1)(i＝1,2)
[答案] D
【变式训练】
1．(2024·江西新余模拟)已知随机变量X服从正态分布N(3,22)，则D(3X＋2)的值为________.
[答案] 36
[解析] 由题意可得D(X)＝22＝4，则D(3X＋2)＝32D(X)＝9×4＝36.
2．(2025·湖北部分州市联测)已知随机变量X～N(μ，σ2)，若P(X<2)＝0.2，P(X<3)＝0.5，则P(X<4)的值为________.
[答案] 0.8
[解析] 因为X～N(μ，σ2)，P(X<3)＝0.5，所以μ＝3，所以P(X>4)＝P(X<2)＝0.2，所以P(X<4)＝0.8.
正态分布——多维探究
角度1 正态曲线的对称性
(2025·山东部分学校质检)已知随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≥3)＝P(X≤7)，则P(X≥5)＝( )
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.6
[答案] C
角度2 服从正态分布的概率计算
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
[答案] A
2．(2024·东北三省三校模拟)某种酸奶每罐净重X(单位：g)服从正态分布N(184,2.52)．随机抽取1罐，其净重在179 g与186.5 g之间的概率为( )
(注：若X～N(μ，σ2)，P(|X－μ|<σ)＝0.682 7，P(|X－μ|<2σ)＝0.954 5，P(|X－μ|<3σ)＝0.997 3)
A．0.818 6 B．0.841 35
C．0.954 5 D．0.682 7
[答案] A
3．(多选题)(2025·湖南长沙六校联考)某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为[30,100]，若等级分X～N(80,25)，则( )
参考数据：P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σA．这次考试等级分的标准差为5
B．这次考试等级分超过80分的约有45人
C．这次考试等级分在[70,80]内的人数约为48人
D．P(65[答案] ACD
名师点拨：关于正态总体在某个区间内取值的概率求法
1．熟记P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的值．
2．充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等；②P(X【变式训练】
1．(角度1)设随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，若P(X>m)＝0.2，则P(X>8－m)＝( )
A．0.8 B．0.7
C．0.9 D．0.2
[答案] A
2．(角度2)(2024·湖南湘潭质检)已知随机变量X服从N(0.5，σ2)，若P(X≤0.3)＝0.3，则P(0.3≤X≤0.7)＝( )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
[答案] C
[解析] 由题意，P(0.3≤X≤0.5)＝0.5－0.3＝0.2，所以P(0.3≤X≤
0.7)＝2P(0.3≤X≤0.5)＝0.4.故选C.
正态分布的综合应用
1．(2024·重庆部分学校联考)已知某果园中猕猴桃单果的质量M(单位：g)服从正态分布N(100，σ2)，若从该果园中随机挑选4个猕猴桃，则恰有2个单果的质量均不低于100 g的概率为________.
2．(2024·四川成都二诊)某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10 000名学生参考．根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩(满分100分)都近似服从正态分布N(μ，σ2)．
(1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次；
(2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记X表示在本次考试中化学成绩在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的人数，求P(X≥1)的概率及X的数学期望．
参考数据：0.997 340≈0.901 1
参考公式：若X～N(μ，σ2)，有
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(2)在本次考试中，抽取1名化学成绩在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 3.
∴抽取1名化学成绩在(μ－3σ，μ＋3α)之外的概率为0.002 7.
∴随机变量X服从二项分布，即X～B(40,0.002 7)，
∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 340≈0.098 9.
X的数学期望为E(X)＝np＝40×0.002 7＝0.108.
名师点拨：解决正态分布问题的三个关键点
若随机变量X～N(μ，σ2)，则
(1)对称轴x＝μ；
(2)标准差σ；
(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．
【变式训练】
1．(多选题)(2025·湖北武汉东西湖区适应性考试)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交水稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高ξ(单位：cm)近似服从正态分布N(100,102)．已知X～N(μ，σ2)时，有P(|X－μ|≤σ)≈0.682 7，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 5，P(|X－μ|≤3σ)≈0.997 3.下列说法正确的是( )
A．该地水稻的平均株高约为100 cm
B．该地水稻株高的方差约为100
C．该地株高超过110 cm的水稻约占68.27%
D．该地株高低于130 cm的水稻约占99.87%
[答案] ABD
2．(2025·江苏扬州中学月考)为了提高学生的法律意识，某校组织全校学生参与答题闯关活动，共两关．现随机抽取100人，对第一关答题情况进行调查.
分数 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
人数 10 15 45 20 10
(2)分数Z近似服从正态分布N(51,212)，
即μ＝51，σ＝21，可得μ－σ＝30，μ＋σ＝72，
所以P(30所以分数在(30,72)内的学生数约为4 000×0.682 6≈2 730(人)．
名师讲坛 · 素养提升
概率统计的综合应用
题型一 概率与统计图表的综合应用
(2025·宁夏调研)某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]．根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X服从正态分布N(μ，σ2)，
并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，其
他产品称为B等品．现从该品牌芯片的生产线中
随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的
频率分布直方图．
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)≈0.997 3)
(2)从样本的质量指标值在[45,55)和[85,95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85,95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望．
题型二 概率与回归分析的综合应用
(2024·辽宁丹东阶段测试)哈尔滨冰雪大世界于2022年9月投入使用，总投资高达25亿元，号称“永不落幕”的冰雪游乐场，从“一季繁荣”到“四季绽放”2023年1月至5月的游客数以及对游客填写满意与否的调查表，统计如下：
月份x 1 2 3 4 5
游客人数y(万人) 130 m n 90 80
满意率 0.5 0.4 0.4 0.3 0.35
题型三 概率与独立性检验的综合应用
(2025·重庆一中适应性考试)某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的2×2列联表：
产品 合格 不合格 合计
调试前 45 15 60
调试后 35 5 40
合计 80 20 100
(1)根据表中数据，依据α＝0.01的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联；
(2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1 000件，记其中合格的件数为Y，求使事件“Y＝k”的概率最大时k的取值．
α 0.025 0.01 0.005 0.001
χα 5.024 6.635 7.879 10.828
题型四 概率、统计与函数、数列的综合应用
(2024·湖北荆州中学月考)某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为Pn，若P1＝1.
①求P2，P3；
[解析] (1)设该选手答对的题目个数为ξ，该选手在第一轮的得分为η，则η＝10ξ，
易知ξ的所有可能取值为0,1,2，
【变式训练】
1．(2024·北京高三定位考)为了解员工每日健步走的情况，某单位工会随机抽取了300名员工，借助计步小程序统计了他们每日健步走的步数(均不低于4千步，不超过20千步)，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示．
(1)试估计该单位全体员工日行步数(单位：千步)
的平均数(每组数据以该组区间的中点值为代表)；
(2)单位工会从全体员工中随机选取3人，记ξ表
示3人中每日健步数在14千步以上的人数，求随机变
量ξ的分布列和期望．
[解析] (1)根据题意，该单位工会日行的人均健步步数估计为：5×0.01＋7×0.01＋9×0.08＋11×0.58＋13×0.22＋15×0.06＋17×0.03＋19×0.01＝11.68(千步)．
(2)每日健步数在14千步以上的概率为0.03×2＋0.015×2＋0.005×2＝0.1，
则每日健步数在14千步以下的概率为1－0.1＝0.9，则ξ～B(3,0.1)，
ξ的所有可能值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝0.93＝0.729，
2．(2024·江苏南通质检)“五一”假期期间是旅游的旺季，某旅游景区为了解不同年龄游客对景区的总体满意度，随机抽取了“五一”当天进入景区的青、老年游客各120名进行调查，得到下表：
满意 不满意
青年 80 40
老年 100 20
(1)依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为“是否满意”与“游客年龄”有关联；
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)若将该部门获得决赛资格的小组数记为X，求X的分布列与数学期望；
(2)比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次(与答题顺序无关)，若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组”，该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为p(0第十章
计数原理、概率、随机变量及其分布
高考大题规范解答——概率统计
1．(15分)(2025·河南濮阳质检)交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l上有自东向西依次编号为1,2，…，21的21个车站．
(1)为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车P的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据(不完整)如下表所示：
车站编号 满意 不满意 合计
10 28 40
11 3
合计 85
完善表格数据并计算分析：依据小概率值α＝0.001的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？
[解析] (1)补充列联表如下：
车站编号 满意 不满意 合计
10 28 12 40
11 57 3 60
合计 85 15 100
(3分)
零假设为H0：旅客满意程度与车站编号无关，
所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断H0不成立，
即认为旅客满意程度与车站编号有关联．(7分)
(2)经分析，X的可能取值为8,10,12,14.(8分)
(1)若甲游客在三个抽奖机中各抽奖一次，设X表示甲获得免费票景点个数，求X的分布列和数学期望；
(2)乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖，已知乙抽中(至少抽中一个)，求乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率．
(2)设“乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖，并抽中”为事件A；“乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖，在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中”为事件B，(9分)
AB表示：①三个抽奖机中选取自然风光类、历史文化类，其中自然风光类中奖；
②三个抽奖机中选取自然风光类、特色体验类中奖；
③三个抽奖机中选取历史文化类、特色体验类，其中特色体验类中奖．
3．(17分)(2025·广东佛山S6高质量发展联盟联考)水污染现状与工业废水排放密切相关．某工厂深入贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水(A级水)达到环保标准(简称达标)的概率为p(0方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；
方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；
方案四：四个样本混在一起化验．
若化验次数的期望值越小，则方案越“优”．
(1)若“方案三”比“方案四”更“优”，求p的取值范围；
[解析] (1)方案三：设化验次数为η3，η3可取2,5，则P(η3＝2)＝p3，p(η3＝5)＝1－p3.(1分)
其分布列如下
η3 2 5
P p3 1－p3
(2分)
E(η3)＝2p3＋5(1－p3)＝5－3p3，(3分)
方案四：设化验次数为η4，η4可取1,5，
其分布列如下
η4 1 5
P p4 1－p4
4．(17分)(2025·广东八校检测)马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n＋1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n－1，n－2，n－3，…次状态无关．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．现有A，B两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行n(n∈N*)次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为Xn，恰有1个红球的概率为pn.
(1)求p1，p2的值；
(2)求pn的值(用n表示)；
(3)求证：Xn的数学期望E(Xn)为定值．
[解析] (1)设第n(n∈N*)次操作后A盒子中恰有2个红球的概率为qn，则没有红球的概率为1－pn－qn.(1分)