第二十一章 一元二次方程
测试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．若方程x2＋8－6x＝0化成一般形式后，二次项系数为1，则一次项是( )
A．8 B．－6 C．－6x D．6x
2．以x＝为根的一元二次方程可能是( )
A．x2＋bx＋c＝0 B．x2－bx－c＝0
C．x2－bx＋c＝0 D．x2＋bx－c＝0
3．用因式分解法解一元二次方程x(x－1)－2(1－x)＝0，变形后正确的是( )
A．(x＋1)(x＋2)＝0 B．(x＋1)(x－2)＝0
C．(x－1)(x－2)＝0 D．(x－1)(x＋2)＝0
4．若一元二次方程x2－2kx＋k2＝0的一个根为x＝－1，则k的值为( )
A．－1 B．0 C．1或－1 D．2或0
5．下列对一元二次方程x2＋x－3＝0的根的情况的判断，正确的是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
6．若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是( )
A．a>1 B．a<1 C．a≤1 D．a≥1
7．如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是( )
A．－3，2 B．3，－2 C．2，－3 D．2，3
8．某企业因春节放假，二月份的产值比一月份下降20%，春节后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长15%，设三、四月份的月平均增长率为x，则下列方程正确的是( )
A．(1－20%)(1＋x)2＝1＋15% B．(1＋15%)(1＋x)2＝1－20%
C．2(1－20%)(1＋x)＝1＋15% D．2(1＋15%)(1＋x)＝1－20%
9．在直角坐标系xOy中，已知P(m，n)，m，n满足(m2＋1＋n2)(m2＋3＋n2)＝8，则OP的长为( )
A． B．1 C．5 D．或1
10．已知一元二次方程(a＋1)x2＋2bx＋(a＋1)＝0有两个相等的实数根，则下面选项正确的是( )
A．1一定不是方程x2＋bx＋a＝0的根 B．0一定不是方程x2＋bx＋a＝0的根
C．1和－1都是方程x2＋bx＋a＝0的根 D．1和－1不都是方程x2＋bx＋a＝0的根
二、填空题(每小题5分，共20分)
11．一元二次方程x2－ax＋6＝0配方后为(x－3)2＝3，则a＝ ．
12．李伟同学在解关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0时，误将－3x看作＋3x，结果解得x1＝1，x2＝－4，则原方程的解为 ．
13．对于实数p，q，我们用符号min｛p，q｝表示p，q两数中较小的数，如min｛1，2｝＝1，若min｛(x－1)2，x2｝＝1，则x＝ ．
14．观察下列一组方程：①x2－x＝0；②x2－3x＋2＝0；③x2－5x＋6＝0；④x2－7x＋12＝0；…，它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．
(1)若x2＋kx＋56＝0也是“连根一元二次方程”，则k的值为 ．
(2)第n个方程为 ．
三、解答题(共90分)
15．(8分)用适当的方法解下列方程：
(1)4(x＋1)2＝36；
(2)4y＝1－y2；
(3)2x2－5x－7＝0；
(4)(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝29．
16．(8分)已知关于x的方程(m2－1)x2－(m＋1)x＋m＝0．
(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
17．(8分)已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
18．(8分)已知一元二次方程x2－2x＋m＝0．
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且x1＋3x2＝3，求m的值．
19．(10分)如图，在长60 m、宽40 m的空地上修建一条水平方向和三条垂直方向的小路，并在剩余的地方种小草进行绿化，已知四条小路的宽度相等，且宽度均为x m．
(1)求x的取值范围；
(2)若绿化部分的面积为900 m2，求小路的宽度．
20．(10分)已知 ABCD的两边AB，AD的长度是关于x的方程x2－mx＋＝0的两个实数根．
(1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出此时菱形的边长；
(2)如果AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少？
21．(12分)已知关于x，y的方程组的解相同．
(1)求a，b的值；
(2)若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
22．(12分)为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如下：
春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2 800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？
23．(14分)如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2－6x＋8＝0的两个根是2和4，则方程x2－6x＋8＝0就是“倍根方程”．
(1)若一元二次方程x2－3x＋c＝0是“倍根方程”，则c＝ ；
(2)若＝0是“倍根方程”，求代数式4m2－5mn＋n2的值；
(3)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是“倍根方程”，求a，b，c之间的关系．第二十一章 一元二次方程
测试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．若方程x2＋8－6x＝0化成一般形式后，二次项系数为1，则一次项是( C )
A．8 B．－6 C．－6x D．6x
2．以x＝为根的一元二次方程可能是( B )
A．x2＋bx＋c＝0 B．x2－bx－c＝0
C．x2－bx＋c＝0 D．x2＋bx－c＝0
3．用因式分解法解一元二次方程x(x－1)－2(1－x)＝0，变形后正确的是( D )
A．(x＋1)(x＋2)＝0 B．(x＋1)(x－2)＝0
C．(x－1)(x－2)＝0 D．(x－1)(x＋2)＝0
4．若一元二次方程x2－2kx＋k2＝0的一个根为x＝－1，则k的值为( A )
A．－1 B．0 C．1或－1 D．2或0
5．下列对一元二次方程x2＋x－3＝0的根的情况的判断，正确的是( A )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
6．若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是( A )
A．a>1 B．a<1 C．a≤1 D．a≥1
7．如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是( A )
A．－3，2 B．3，－2 C．2，－3 D．2，3
8．某企业因春节放假，二月份的产值比一月份下降20%，春节后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长15%，设三、四月份的月平均增长率为x，则下列方程正确的是( A )
A．(1－20%)(1＋x)2＝1＋15% B．(1＋15%)(1＋x)2＝1－20%
C．2(1－20%)(1＋x)＝1＋15% D．2(1＋15%)(1＋x)＝1－20%
9．在直角坐标系xOy中，已知P(m，n)，m，n满足(m2＋1＋n2)(m2＋3＋n2)＝8，则OP的长为( B )
A． B．1 C．5 D．或1
10．已知一元二次方程(a＋1)x2＋2bx＋(a＋1)＝0有两个相等的实数根，则下面选项正确的是( D )
A．1一定不是方程x2＋bx＋a＝0的根 B．0一定不是方程x2＋bx＋a＝0的根
C．1和－1都是方程x2＋bx＋a＝0的根 D．1和－1不都是方程x2＋bx＋a＝0的根
二、填空题(每小题5分，共20分)
11．一元二次方程x2－ax＋6＝0配方后为(x－3)2＝3，则a＝ 6 ．
12．李伟同学在解关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0时，误将－3x看作＋3x，结果解得x1＝1，x2＝－4，则原方程的解为 x1＝4，x2＝－1 ．
13．对于实数p，q，我们用符号min｛p，q｝表示p，q两数中较小的数，如min｛1，2｝＝1，若min｛(x－1)2，x2｝＝1，则x＝ 2或－1 ．
14．观察下列一组方程：①x2－x＝0；②x2－3x＋2＝0；③x2－5x＋6＝0；④x2－7x＋12＝0；…，它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．
(1)若x2＋kx＋56＝0也是“连根一元二次方程”，则k的值为 －15 ．
(2)第n个方程为 x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0 ．
三、解答题(共90分)
15．(8分)用适当的方法解下列方程：
(1)4(x＋1)2＝36；
(2)4y＝1－y2；
(3)2x2－5x－7＝0；
(4)(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝29．
(1)x1＝－4，x2＝2
(2)y1＝，y2＝
(3)x1＝－1，x2＝
(4)x1＝4，x2＝－6
16．(8分)已知关于x的方程(m2－1)x2－(m＋1)x＋m＝0．
(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
解：(1)由题意，得即m＝1时，方程(m2－1)x2－(m＋1)x＋m＝0是一元一次方程．
(2)由题意，得(m2－1)≠0，即m≠±1时，方程(m2－1)x2－(m＋1)x＋m＝0是一元二次方程．此方程的二次项系数是m2－1、一次项系数是－(m＋1)、常数项是m．
17．(8分)已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
解：设方程的另一个根是x1，根据一元二次方程根与系数的关系，有2x1＝－，x1＋2＝－，解得x1＝－，k＝－7，故另一个根为－，k的值为－7．
18．(8分)已知一元二次方程x2－2x＋m＝0．
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且x1＋3x2＝3，求m的值．
解：(1)∵方程x2－2x＋m＝0有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4m≥0，解得m≤1．
(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝2，x1x2＝m，解方程组解得∴m＝x1x2＝．
19．(10分)如图，在长60 m、宽40 m的空地上修建一条水平方向和三条垂直方向的小路，并在剩余的地方种小草进行绿化，已知四条小路的宽度相等，且宽度均为x m．
(1)求x的取值范围；
(2)若绿化部分的面积为900 m2，求小路的宽度．
解：(1)根据题意，得解得x<20．又∵x>0，
∴x的取值范围是0(2)根据题意，得(40－x)·(60－3x)＝900，即x2－60x＋500＝0，解得x1＝10，x2＝50．由(1)得020．(10分)已知 ABCD的两边AB，AD的长度是关于x的方程x2－mx＋＝0的两个实数根．
(1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出此时菱形的边长；
(2)如果AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少？
解：(1)当四边形ABCD是菱形时，AB＝AD，∴Δ＝(－m)2－4×1×＝0，即(m－1)2＝0，解得m1＝m2＝1．当m＝1时，原方程为x2－x＋＝0，解得x1＝x2＝，∴此时菱形的边长是．
(2)∵AB＝2，∴把x＝2代入原方程，得4－2m＋＝0，解得m＝，把m＝代入原方程，得x2－x＋1＝0，解得x1＝2，x2＝，∴AD＝，∴ ABCD的周长是2×2＋＝5．
21．(12分)已知关于x，y的方程组的解相同．
(1)求a，b的值；
(2)若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
解：(1)由题意，得解得再将代入原方程组，得a＝－4，b＝12．
(2)该三角形是等腰直角三角形．理由：当a＝－4，b＝12时，关于x的方程x2＋ax＋b＝0就变为x2－4x＋12＝0，解得x1＝x2＝2．又∵(2)2＋(2)2＝(2)2，∴以2，2，2为边的三角形是等腰直角三角形．
22．(12分)为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如下：
春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2 800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？
解：∵25人的费用2 500元<2 800元，∴参加这次春游活动的人数超过25人．设该班参加这次春游活动的人数为x人．根据题意，得［100－2(x－25)］x＝2 800，整理，得x2－75x＋1 400＝0，解得x1＝40，x2＝35．当x＝40时，100－2(x－25)＝70<75，不合题意，舍去；当x＝35时，100－2(x－25)＝80>75．该班共有35人参加这次春游活动．
23．(14分)如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2－6x＋8＝0的两个根是2和4，则方程x2－6x＋8＝0就是“倍根方程”．
(1)若一元二次方程x2－3x＋c＝0是“倍根方程”，则c＝ 2 ；
(2)若＝0是“倍根方程”，求代数式4m2－5mn＋n2的值；
(3)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是“倍根方程”，求a，b，c之间的关系．
解：(2)解方程x－2mx－n＝0m≠0，得x1＝2，x2＝．∵方程两根是2倍关系，∴x2＝1或4．当x2＝1时，x2＝＝1，即m＝n，代入代数式4m2－5mn＋n2中，得4m2－5m2＋m2＝0．当x2＝4时，x2＝＝4，即n＝4m，代入代数式4m2－5mn＋n2中，得4m2－5m×4m＋(4m)2＝0．综上所述，4m2－5mn＋n2＝0．
(3)根据“倍根方程”的概念，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0的两个根为t和2t，∴原方程可以改写为ax－tx－2t＝0，∴ax2＋bx＋c＝ax2－3atx＋2at2，∴解得2b2－9ac＝0，∴a，b，c之间的关系是2b2－9ac＝0．
