21.1 一元二次方程
知识点1 一元二次方程的概念
1．下列方程式属于一元二次方程的是( )
A．x2＋2x－1 B．x2＋＝2
C．x2＋2xy＋1＝0 D．x2＝2
2．若(m－2)x|m|＋(m－1)x－1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是 ．
知识点2 一元二次方程的一般形式
3．将一元二次方程(x＋3)(2x－1)＝－4化为一般形式，结果是( )
A．2x2＋5x－7＝0 B．2x2＋5x＋1＝0
C．2x2－5x＋1＝0 D．x2－7x－1＝0
4．关于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为( )
A．0 B．±3 C．3 D．－3
5．把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成ax2＋bx＋c＝0的形式，如果a＝1，则b＋c的值为 ．
知识点3 一元二次方程的根
6．x＝1是关于x的一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的解，则2a＋4b＝( )
A．－2 B．－3
C．－1 D．－6
7．［推理能力］已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝0，则a＝ ．
知识点4 从实际问题中抽象出一元二次方程
8．有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，并比赛了21场，则下列方程中符合题意的是( )
A．x(x－1)＝21 B．x(x－1)＝42
C．x(x＋1)＝21 D．x(x＋1)＝42
9．为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1 200 m2的矩形绿地，并且长比宽多40 m．设绿地宽为x m，根据题意，可列方程为 ．
10．［易错题］若一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)的二次项系数为1，一次项系数为－2，则m的值为 ．
11．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，a，b，c满足4a＋2b＋c＝0和4a－2b＋c＝0，则方程的根是( )
A．1，0 B．－1，0
C．1，－1 D．2，－2
12．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35 m、宽20 m的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600 m2，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x m，则根据题意，列方程为( )
A．35×20－35x－20x＋2x2＝600
B．35×20－35x－2×20x＝600
C．(35－2x)(20－x)＝600
D．(35－x)(20－2x)＝600
13．已知一元二次方程ax2＋ax－4＝0有一个根是－2，则一次函数y＝ax－3的图象经过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
14．［推理能力］若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0(a≠0)有一根为x＝2 024，则一元二次方程a(x－2)2＋bx－2b＝－2必有一根为( )
A．x＝2 024 B．x＝2 025
C．x＝2 026 D．x＝2 027
15．定义新运算：m，n是实数，m*n＝m(2n－1)．若m，n是方程2x2－x＋k＝0(k<0)的两根，则m*m－n*n＝ ．
16．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．若x＝－1是方程的根，则△ABC是 三角形．
17．形如x2＋ax＝b2的方程可用如图所示的图解法研究：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则可以发现该方程的一个正根是线段 的长．
18．如图，在某工厂直角墙角处，用可建60 m长围墙的建筑材料围成一个长方形堆货场地，中间用同样的材料分隔成两间，当所围成的长方形面积是450 m2时，求AB的长度x．请你列出方程并整理成一般形式(不必解答)．
19．若a是方程x2－2 026x＋1＝0的一个根，求代数式a2－2 025a＋的值．
20．阅读下列材料：
材料一：已知关于x的方程x2－3x＋1＝0(x≠0)，将方程两边同时乘得x－3＋＝0，即x＋＝3，x＋2＝x2＋＋2·x·＝x2＋＋2，x2＋＝x＋2－2＝32－2＝7．
材料二：a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)；a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)若x2－4x＋1＝0(x≠0)，则x＋＝ ，x2＋＝ ，x4＋＝ ；
(2)已知2x2－7x＋2＝0(x≠0)，求x3＋的值．21.1 一元二次方程
知识点1 一元二次方程的概念
1．下列方程式属于一元二次方程的是( D )
A．x2＋2x－1 B．x2＋＝2
C．x2＋2xy＋1＝0 D．x2＝2
2．若(m－2)x|m|＋(m－1)x－1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是 －2 ．
知识点2 一元二次方程的一般形式
3．将一元二次方程(x＋3)(2x－1)＝－4化为一般形式，结果是( B )
A．2x2＋5x－7＝0 B．2x2＋5x＋1＝0
C．2x2－5x＋1＝0 D．x2－7x－1＝0
4．关于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为( D )
A．0 B．±3 C．3 D．－3
5．把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成ax2＋bx＋c＝0的形式，如果a＝1，则b＋c的值为 7 ．
知识点3 一元二次方程的根
6．x＝1是关于x的一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的解，则2a＋4b＝( A )
A．－2 B．－3
C．－1 D．－6
7．［推理能力］已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝0，则a＝ －1 ．
知识点4 从实际问题中抽象出一元二次方程
8．有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，并比赛了21场，则下列方程中符合题意的是( B )
A．x(x－1)＝21 B．x(x－1)＝42
C．x(x＋1)＝21 D．x(x＋1)＝42
9．为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1 200 m2的矩形绿地，并且长比宽多40 m．设绿地宽为x m，根据题意，可列方程为 x(x＋40)＝1 200 ．
10．［易错题］若一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)的二次项系数为1，一次项系数为－2，则m的值为 2 ．
11．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，a，b，c满足4a＋2b＋c＝0和4a－2b＋c＝0，则方程的根是( D )
A．1，0 B．－1，0
C．1，－1 D．2，－2
12．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35 m、宽20 m的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600 m2，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x m，则根据题意，列方程为( C )
A．35×20－35x－20x＋2x2＝600
B．35×20－35x－2×20x＝600
C．(35－2x)(20－x)＝600
D．(35－x)(20－2x)＝600
13．已知一元二次方程ax2＋ax－4＝0有一个根是－2，则一次函数y＝ax－3的图象经过( D )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
14．［推理能力］若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0(a≠0)有一根为x＝2 024，则一元二次方程a(x－2)2＋bx－2b＝－2必有一根为( C )
A．x＝2 024 B．x＝2 025
C．x＝2 026 D．x＝2 027
15．定义新运算：m，n是实数，m*n＝m(2n－1)．若m，n是方程2x2－x＋k＝0(k<0)的两根，则m*m－n*n＝ 0 ．
16．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．若x＝－1是方程的根，则△ABC是 等腰 三角形．
17．形如x2＋ax＝b2的方程可用如图所示的图解法研究：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则可以发现该方程的一个正根是线段 AD 的长．
18．如图，在某工厂直角墙角处，用可建60 m长围墙的建筑材料围成一个长方形堆货场地，中间用同样的材料分隔成两间，当所围成的长方形面积是450 m2时，求AB的长度x．请你列出方程并整理成一般形式(不必解答)．
解：∵AB的长为x m，∴BC＝(60－2x)m．根据题意，得x(60－2x)＝450．一般形式为x2－30x＋225＝0．
19．若a是方程x2－2 026x＋1＝0的一个根，求代数式a2－2 025a＋的值．
解：∵a是方程x2－2 026x＋1＝0的一个根，∴a2－2 026a＋1＝0，∴a2＝2 026a－1．∵a≠0，∴a－2 026＋＝0，即a＋＝2 026，∴原式＝2 026a－1－2 025a＋＝a－1＋＝2 026－1＝2 025．
20．阅读下列材料：
材料一：已知关于x的方程x2－3x＋1＝0(x≠0)，将方程两边同时乘得x－3＋＝0，即x＋＝3，x＋2＝x2＋＋2·x·＝x2＋＋2，x2＋＝x＋2－2＝32－2＝7．
材料二：a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)；a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)若x2－4x＋1＝0(x≠0)，则x＋＝ 4 ，x2＋＝ 14 ，x4＋＝ 194 ；
(2)已知2x2－7x＋2＝0(x≠0)，求x3＋的值．
解：∵2x2－7x＋2＝0，∴x＋，x2＋，∴x3＋＝x＋x2－1＋＝×－1＝．
