21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播问题、数字问题与平均变化率问题
知识点1 传播问题
1．某种病毒传染力超强，如果一人被感染，经过两轮传染后共有144人被感染．设每轮传染中平均一人会传染给x人，则可列方程为( D )
A．1＋x＝144 B．1＋x2＝144
C．x2＝144 D．(1＋x)2＝144
2．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出多少个小分支？
解：设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意，得1＋x＋x2＝43，解得x1＝－7(舍去)，x2＝6，∴这种植物每个支干长出的小分支个数是6．
知识点2 数字问题
3．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 84 ．
4．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为9，且这两个数字之积等于这两个数字和的2倍，求这个两位数．
解：设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为9－x，由题意，得(9－x)x＝9×2，故x2－9x＋18＝0，解得x1＝3，x2＝6，故这个两位数为63或36．
知识点3 平均变化率问题
5．某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是( A )
A．20% B．11% C．22% D．44%
6．某公司今年1月的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月的生产成本是361万元，假设该公司2月、3月、4月每个月生产成本的下降率都相同．
(1)求每个月生产成本的下降率；
(2)请你预测该公司4月的生产成本．
解：(1)设每个月生产成本的下降率为x．根据题意，得400(1－x)2＝361．解得x1＝0.05＝5%．x2＝1.95(不合题意，舍去)．∴每个月生产成本的下降率为5%．
(2)∵361×(1－5%)＝342.95(万元)，∴预测该公司4月的生产成本为342.95万元．
7．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛21场，则参加此次比赛的球队数是( B )
A．6 B．7 C．8 D．9
8．某热门电影上映的第一天票房约3.3亿元，第二天、第三天持续增长，三天累计票房约10.923亿元，若第二天、第三天按相同的增长率增长，则平均每天票房的增长率为( B )
A．5% B．10% C．15% D．20%
9．如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的周长为 24 ．
10．学校秋季运动会上，九年级准备队列表演，一开始排成8行12列，后来又有84 名同学积极参加，使得队列增加的行数比增加的列数多1．现在队列表演时的列数是 15 ．
11．某班有一人患了流感，经过两轮传染后，有36人患上了该流感．按照这种传染速度，另一班同时有3人患了该流感，则该班第一轮传染后患上流感的人数共计有多少？
解：设每一轮平均一人传染x人，
根据题意，得1＋x＋x(1＋x)＝36，
解得x1＝5，x2＝－7(舍去)．因此，3人患上流感，第一轮传染后的人数为3＋3×5＝18(人)．
12．随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份最后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
解：(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x．根据题意，得1.6(1＋x)2＝2.5，解得x＝0.25＝25%，x＝－2.25(不符合题意，舍去)．故这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%．
(2)设5月份最后10天日均接待游客人数是a万人．根据题意，得2.125＋10a≤2.5×(1＋25%)，解得a≤0.1．故5月份最后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
13．阅读材料，并解答问题：
我们知道，计算n(n≥3且n为整数)边形的对角线条数的公式为n(n－3)．若一个n边形共有20条对角线，则可以得到方程n(n－3)＝20．整理，得n2－3n－40＝0，解得n1＝8，n2＝－5．∵n≥3且n为整数，∴n＝8，即该多边形是八边形．
(1)若一个多边形共有14条对角线，则这个多边形的边数是多少？
(2)A同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线．”A同学的说法正确吗？为什么？
解：(1)设这个多边形的边数是n(n≥3且n为整数)．根据题意，得n(n－3)＝14．整理，得n2－3n－28＝0．解得n1＝7，n2＝－4．∵n≥3且n为整数，∴n＝7，即这个多边形的边数是7．
(2)设这个多边形的边数为m(m≥3且m为整数)．则m·(m－3)＝10．整理，得m2－3m－20＝0，解得m＝，∴方程m2－3m－20＝0不存在正整数解．∴多边形的对角线不可能有10条，即A同学的说法不正确．
14．在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)到x轴、y轴的垂线段PM，PN与坐标轴围成长方形OMPN，当这个长方形的周长数值(即不含长度单位)是面积数值(即不含面积单位)的2倍时，称点P是“幸福点”，长方形称为“幸福长方形”．
(1)点P1(1，2)，P2(2，－2)，P3，－1中，是“幸福点”的为 P2(2，－2) ；
(2)若“幸福长方形”的面积是，且“幸福点”位于第二象限，请写出满足条件的“幸福点”的坐标： －4，或－，4 ．
第2课时 图形面积问题与销售利润问题
知识点1 图形面积问题
1．如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40 m，边BC的长为25 m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200 m2，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．设人行通道的宽度为x m，则可列方程为( B )
A．(40－3x)(25－2x)＝200
B．(40－4x)(25－2x)＝200×3
C．40×25－80x－100x＋8x2＝200
D．40×25－80x－100x＝200×3
第1题图
第2题图
2．如图，将一块正方形空地划出部分区域(阴影部分)进行绿化，原空地变为面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( A )
A．7 m B．8 m C．9 m D．10 m
3．［新考向·真实情景］如图，这是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为34 m，宽为20 m．停车场内车道的宽都相等．若停车位的总占地面积为392 m2，求车道的宽度．
解：设车道的宽度为x m，则停车位可合成长为(34－x)m，宽为(20－x)m的矩形，根据题意，得(34－x)(20－x)＝392，解得x1＝6，x2＝48(不符合题意，舍去)．故车道的宽度为6 m．
知识点2 销售利润问题
4．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是( A )
A．(x＋3)(5－0.5x)＝20
B．(x－3)(5＋0.5x)＝20
C．(x－3)(5－0.5x)＝20
D．(x＋3)(5＋0.5x)＝20
5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：如果这种衬衫的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件．设每件衬衫降价x元．
(1)降价后，每件衬衫的利润为 (40－x) 元，销量为 (20＋2x) 件；(用含x的式子表示)
(2)为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施，但需要平均每天盈利1 200元，求每件衬衫应降价多少元？
解：依题意，得(40－x)(20＋2x)＝1 200，整理，得x2－30x＋200＝0，解得x1＝10，x2＝20．∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，∴x＝20，故每件衬衫应降价20元．
6．如图所示，要建一个面积为130 m2的矩形仓库，仓库有一边靠墙(墙长16 m)，且与墙平行的一边开了一道宽1 m的门，围建仓库的材料(不包括门的材料)共有32 m长，则仓库的长是( C )
A．10 m B．20 m
C．13 m D．6.5 m或10 m
第6题图 第7题图
7．如图，现要在一个长为40 m、宽为26 m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示．要使种植花草的面积为864 m2，那么小道的宽度应是( B )
A．1 m B．2 m C．2.5 m D．3 m
8．某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．当x>4时，完成以下两个问题：
(1)请补全下面的表格：
A型 B型
车床数量/台 14－x x
每台车床获利/万元 10 21－x
(2)若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
解：由题意得10(14－x)＋70＝x(21－x)，解得x1＝10，x2＝21(舍去)，∴生产并销售B型车床10台．
9．如图，用同样规格的灰白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形，并解答问题．
(1)在第n个图形中，第一横行共有 (n＋3) 块瓷砖，第一竖列共有 (n＋2) 块瓷砖，铺设地面所用瓷砖的总块数为 (n＋3)(n＋2) (用含n的式子表示)；
(2)根据上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
(3)灰瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在(2)中，共需要多少元购买瓷砖？
解：(2)根据题意，得(n＋3)(n＋2)＝506．整理，得n2＋5n－500＝0．解得n1＝20．n2＝－25(不合题意，舍去)．∴此时n＝20．
(3)由题意，可知第n个图形中共有n(n＋1)块白瓷砖，当n＝20时，有20×21＝420(块)白瓷砖，则灰瓷砖有506－420＝86(块)．∴总钱数为420×3＋86×4＝1 604(元)，∴共需要1 604 元购买瓷砖．
10．［模型观念］某食品加工厂计划在端午节前用21天的时间生产袋装粽子进行销售，已知每袋粽子需要0.3 kg馅料和0.5 kg糯米，而工厂设备每天能生产馅料450 kg或糯米300 kg，但因人手有限，工厂每天只生产馅料或糯米这两种原料中的一种．
(1)若这21天生产的馅料和糯米刚好配套，且全部及时加工成袋装粽子，则总共生产这种粽子多少袋？
(2)为保证粽子的最佳风味，工厂原计划把生产的粽子在10天内全部售完．据统计，每袋粽子的成本为13元．当售价为25元时，每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．工厂按售价25元销售了2天，余下8天进行降价促销，第10天结束后仍有未售出的粽子若干，工厂以15元/袋的价格将余下粽子打包卖给了市区某大型超市，最终获利40 500元，则工厂促销时每袋应降价多少元？
解：(1)设总共生产这种粽子a袋．由题意，得＝21．解得a＝9 000．故总共生产这种粽子9 000袋．
(2)设工厂促销时每袋降价x元．
前10天的利润为225×2×(25－13)＋8(25－13－x)225＋x．
第10天结束后工厂以15元/袋的价格将余下粽子打包卖给了市区某大型超市的利润为(15－13)．由题意，得225×2×(25－13)＋8(25－13－x)225＋x＋(15－13)＝40 500．解得x1＝4，x2＝0(不符合题意，舍去)．故工厂促销时每袋应降价4元． 21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播问题、数字问题与平均变化率问题
知识点1 传播问题
1．某种病毒传染力超强，如果一人被感染，经过两轮传染后共有144人被感染．设每轮传染中平均一人会传染给x人，则可列方程为( )
A．1＋x＝144 B．1＋x2＝144
C．x2＝144 D．(1＋x)2＝144
2．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出多少个小分支？
知识点2 数字问题
3．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 ．
4．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为9，且这两个数字之积等于这两个数字和的2倍，求这个两位数．
知识点3 平均变化率问题
5．某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是( )
A．20% B．11% C．22% D．44%
6．某公司今年1月的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月的生产成本是361万元，假设该公司2月、3月、4月每个月生产成本的下降率都相同．
(1)求每个月生产成本的下降率；
(2)请你预测该公司4月的生产成本．
7．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛21场，则参加此次比赛的球队数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
8．某热门电影上映的第一天票房约3.3亿元，第二天、第三天持续增长，三天累计票房约10.923亿元，若第二天、第三天按相同的增长率增长，则平均每天票房的增长率为( )
A．5% B．10% C．15% D．20%
9．如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的周长为 ．
10．学校秋季运动会上，九年级准备队列表演，一开始排成8行12列，后来又有84 名同学积极参加，使得队列增加的行数比增加的列数多1．现在队列表演时的列数是 ．
11．某班有一人患了流感，经过两轮传染后，有36人患上了该流感．按照这种传染速度，另一班同时有3人患了该流感，则该班第一轮传染后患上流感的人数共计有多少？
12．随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份最后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
≤
13．阅读材料，并解答问题：
我们知道，计算n(n≥3且n为整数)边形的对角线条数的公式为n(n－3)．若一个n边形共有20条对角线，则可以得到方程n(n－3)＝20．整理，得n2－3n－40＝0，解得n1＝8，n2＝－5．∵n≥3且n为整数，∴n＝8，即该多边形是八边形．
(1)若一个多边形共有14条对角线，则这个多边形的边数是多少？
(2)A同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线．”A同学的说法正确吗？为什么？
14．在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)到x轴、y轴的垂线段PM，PN与坐标轴围成长方形OMPN，当这个长方形的周长数值(即不含长度单位)是面积数值(即不含面积单位)的2倍时，称点P是“幸福点”，长方形称为“幸福长方形”．
(1)点P1(1，2)，P2(2，－2)，P3，－1中，是“幸福点”的为 ；
(2)若“幸福长方形”的面积是，且“幸福点”位于第二象限，请写出满足条件的“幸福点”的坐标： ．
第2课时 图形面积问题与销售利润问题
知识点1 图形面积问题
1．如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40 m，边BC的长为25 m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200 m2，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．设人行通道的宽度为x m，则可列方程为( )
A．(40－3x)(25－2x)＝200
B．(40－4x)(25－2x)＝200×3
C．40×25－80x－100x＋8x2＝200
D．40×25－80x－100x＝200×3
第1题图
第2题图
2．如图，将一块正方形空地划出部分区域(阴影部分)进行绿化，原空地变为面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )
A．7 m B．8 m C．9 m D．10 m
3．［新考向·真实情景］如图，这是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为34 m，宽为20 m．停车场内车道的宽都相等．若停车位的总占地面积为392 m2，求车道的宽度．
知识点2 销售利润问题
4．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是( )
A．(x＋3)(5－0.5x)＝20
B．(x－3)(5＋0.5x)＝20
C．(x－3)(5－0.5x)＝20
D．(x＋3)(5＋0.5x)＝20
5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：如果这种衬衫的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件．设每件衬衫降价x元．
(1)降价后，每件衬衫的利润为 元，销量为 件；(用含x的式子表示)
(2)为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施，但需要平均每天盈利1 200元，求每件衬衫应降价多少元？
6．如图所示，要建一个面积为130 m2的矩形仓库，仓库有一边靠墙(墙长16 m)，且与墙平行的一边开了一道宽1 m的门，围建仓库的材料(不包括门的材料)共有32 m长，则仓库的长是( )
A．10 m B．20 m
C．13 m D．6.5 m或10 m
第6题图 第7题图
7．如图，现要在一个长为40 m、宽为26 m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示．要使种植花草的面积为864 m2，那么小道的宽度应是( )
A．1 m B．2 m C．2.5 m D．3 m
8．某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．当x>4时，完成以下两个问题：
(1)请补全下面的表格：
A型 B型
车床数量/台 x
每台车床获利/万元 10
(2)若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
9．如图，用同样规格的灰白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形，并解答问题．
(1)在第n个图形中，第一横行共有 块瓷砖，第一竖列共有 块瓷砖，铺设地面所用瓷砖的总块数为 (用含n的式子表示)；
(2)根据上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
(3)灰瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在(2)中，共需要多少元购买瓷砖？
10．［模型观念］某食品加工厂计划在端午节前用21天的时间生产袋装粽子进行销售，已知每袋粽子需要0.3 kg馅料和0.5 kg糯米，而工厂设备每天能生产馅料450 kg或糯米300 kg，但因人手有限，工厂每天只生产馅料或糯米这两种原料中的一种．
(1)若这21天生产的馅料和糯米刚好配套，且全部及时加工成袋装粽子，则总共生产这种粽子多少袋？
(2)为保证粽子的最佳风味，工厂原计划把生产的粽子在10天内全部售完．据统计，每袋粽子的成本为13元．当售价为25元时，每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．工厂按售价25元销售了2天，余下8天进行降价促销，第10天结束后仍有未售出的粽子若干，工厂以15元/袋的价格将余下粽子打包卖给了市区某大型超市，最终获利40 500元，则工厂促销时每袋应降价多少元？
