(共50张PPT)
3.2.1
基本不等式的证明
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.掌握基本不等式≤ (a,b≥0),掌握基本不等式的变形及应用.
2.能熟练运用基本不等式来比较两个代数式的大小及证明不等式.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.算术平均数、几何平均数
对于正数a,b,我们把称为a,b的_______________,称为a,b的____________.
算术平均数
几何平均数
2.基本不等式
如果a,b是正数,那么 ≤______(当且仅当______时,等号成立).
我们把不等式______________(a,b≥0)称为基本不等式.
a=b
3.两个重要推论
当a,b∈R时,
(1)ab≤(当且仅当a=b时,等号成立);
(2)ab≤(当且仅当a=b时,等号成立).
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a>0,b>0且a≠b,则a+b>2 .( )
(2)6和8的几何平均数为2.( )
(3)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2 均成立.( )
(4)若a≠0,则a+≥2 =2.( )
×
√
×
×
2.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是 ( )
A.a=±1 B.a=1
C.a=-1 D.a=0
解析：当a2+1=2a,即(a-1)2=0,即a=1时,等号成立.
√
3.已知a,b∈R,则a2+b2与2|ab|的大小关系是 ( )
A.a2+b2≥2|ab| B.a2+b2=2|ab|
C.a2+b2≤2|ab| D.a2+b2>2|ab|
√
4.若x>0,则函数y=x+( )
A.有最大值-4 B.有最小值4
C.有最大值-2 D.有最小值2
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 利用基本不等式比较大小
[例1] 设0
A.aC.a<√
解析：法一:∵00,即>a,排除D项,故选B.
法二:取a=2,b=8,则=4,=5,
所以a<[例2] 已知m=a+(a>2),n=2-b2(b≠0),则m,n之间的大小关系是 .
解析：因为a>2,所以a-2>0,
又因为m=a+=(a-2)++2,所以m≥2+2=4,
当且仅当a-2=,即a=3时,等号成立.
由b≠0,得b2≠0,所以2-b2<2,n=2-b2<4,综上可知m>n.
m>n
|思|维|建|模|
利用基本不等式比较大小的注意事项
(1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积).
(2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a,b≥0.
针对训练
1.设0A. B.b C.2ab D.a2+b2
解析：∵ab<,∴ab<,∴2ab<.
∵>0,∴,∴a2+b2>.
∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0,∴b>a2+b2,∴b最大.
√
2.已知a,b,c是两两不等的实数,则a2+b2+c2与ab+bc+ac的大小关系是 .
解析：∵a,b,c互不相等,∴a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,a2+c2>2ac.∴2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),即a2+b2+c2>ab+bc+ac.
a2+b2+c2>ab+bc+ac
[例3] 已知a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1. 求证:>9.
证明: ∵a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1,
∴=3+
=3+>3+2+2+2=3+2+2+2=9.
∴>9.
题型(二) 利用基本不等式证明不等式
本例条件不变,求证:>8.
证明:∵a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1,
∴-1=>0,-1=>0,-1=>0,
∴··=8.
∴>8.
变式拓展
|思|维|建|模|
利用基本不等式证明不等式的两种题型及解题思路
无附加条件 观察要证不等式的结构特征,若不能直接使用基本不等式,则要结合左、右两边的结构特征,进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等,使之满足使用基本不等式的条件
有附加条件 观察已知条件与要证不等式之间的关系,条件的巧妙代换是一种较为重要的变形.另外,解题过程中要时刻注意等号能否取到
针对训练
3.已知a>0,b>0,求证:≥a+b.
证明:∵a>0,b>0,
∴+b≥2=2a,+a≥2=2b,∴+b++a≥2a+2b,
∴≥a+b,当且仅当a=b时,等号成立.
题型(三) 利用基本不等式求简单的最值问题
[例4] 已知x>0,则x-4+的最小值为( )
A.-2 B.0
C.1 D.2
解析：∵x>0,∴x+-4≥2-4=0,当且仅当x=,即x=2时,等号成立.
√
[例5] 已知x>2,则x+的最小值为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
解析： ∵x>2,∴x-2>0.∴x+=(x-2)++2≥2+2=6,当且仅当x-2=,即x=4时,等号成立.
√
|思|维|建|模|
拼凑法求解最值应注意的问题
(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形;
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标;
(3)拆项、添项时应注意检验利用基本不等式的条件.
针对训练
4.(多选)下列说法正确的是 ( )
A.x+的最小值为2 B.x2+1的最小值为1
C.x(2-x)的最大值为2 D.x2+的最小值为2-2
√
√
解析：当x<0时,x+无最小值,故A错误;因为x2≥0,所以x2+1≥1,故B正确;x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,所以x(2-x)的最大值为1,故C错误;x2+=x2+2+-2≥2 -2=2-2,当且仅当x2+2=,即x2=-2时,等号成立,故D正确.
5.已知a>0,b>0,且ab=9a+b,则ab的最小值为 .
解析：因为a>0,b>0,所以ab=9a+b≥2=6,即ab≥6,解得ab≥36,当且仅当9a=b,即a=2,b=18时,等号成立.
36
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
1.(多选)下列条件可使≥2成立的有( )
A.ab>0 B.ab<0
C.a>0,b>0 D.a<0,b<0
解析：根据基本不等式的条件,a,b同号,则>0,>0.
√
A级——达标评价
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
2.下列不等式中正确的是 ( )
A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab
C. D.x2+≥2
解析：若a<0,则a+≥4不成立,故A错误; 若a=1,b=1,则a2+b2<4ab,故B错误;若a=4,b=16,则,故C错误;由基本不等式可知D正确.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
3.当x>0时,x+的最小值为( )
A.3 B.
C.2 D.3
解析：x+≥2=3(当且仅当x=时等号成立).
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
4.设m>1,P=m+,Q=5,则P, Q的大小关系为( )
A.P< Q B.P= Q
C.P≥Q D.P≤Q
解析：因为m>1,所以P=m+=m-1++1≥2+1=5= Q.
当且仅当m-1=,即m=3时,等号成立,故选C.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
5.设M=, N =n3++6,对于任意的n>0,M, N的大小关系为( )
A.M≥N B.M>N
C.M≤N D.不能确定
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析：M- N =-n3--6=n3++3n-n3--6=3-6,∵n>0,∴n+≥2=2,当且仅当n=1时,等号成立,∴3-6≥0,∴M≥N.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
6.不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是 .
解析：当x>2时,+(x-2)≥2=6,等号成立的条件是 =x-2,即(x-2)2=9,解得x=5(x=-1舍去).
x=5
7.已知a>b>c,则与的大小关系为 .
解析：因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,
所以,当且仅当a-b=b-c时,等号成立.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
8.设x>0,则3-3x-的最大值是 .
解析：∵x>0,∴3x+≥2=2,当且仅当x=时,等号成立.
∴-≤-2,则3-3x-≤3-2.
3-2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
9.(8分)已知a,b,c都是非负实数,试比较与(a+b+c)的大小.
解:由,得(a+b).
同理得(b+c),(a+c).
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
所以
[(a+b)+(b+c)+(c+a)]=(a+b+c).
故(a+b+c),当且仅当a=b=c时,等号成立.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
10.(10分)已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>.
证明:∵a>0,b>0,c>0,∴.∴,即a+b+c≥.由于a,b,c不全相等,∴等号不成立,∴a+b+c>.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
11.某工厂第一年产量为A,第二年产量的增长率为a,第三年产量的增长率为b,这两年产量的平均增长率为x,则 ( )
A.x= B.x≤
C.x> D.x≥
√
B级——重点培优
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析：∵这两年产量的平均增长率为x,
∴A(1+x)2=A(1+a)(1+b).
∴(1+x)2=(1+a)(1+b),a>0,b>0.
∴1+x==1+.
∴x≤,当且仅当1+a=1+b,即a=b时,等号成立.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
12.(多选)设a>0,b>0,则下列不等式一定成立的是 ( )
A.a+b+≥2 B.
C. D.(a+b)≥4
解析：因为a>0,b>0,所以a+b+≥2 ≥2,当且仅当a=b且2,即a=b=时,等号成立,故A一定成立.
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
由作差比较法,≥0,可知,故B一定成立.因为a+b≥2 >0, 所以,当且仅当a=b时,等号成立,故C不一定成立.因为(a+b)·=2+≥4,当且仅当a=b时,等号成立,故D一定成立.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
13.(10分)已知a>b>c,你能比较出4与·(a-c)的大小吗
解:(a-c)≥4,理由如下:
因为a-c=(a-b)+(b-c),
所以[(a-b)+(b-c)]=2+,
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
又a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,
所以≥2,当且仅当,
即b-c=a-b时,等号成立.
则2+≥4.故(a-c)≥4.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
14.(10分)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
(1)a2+b2+c2≥;
证明:(1)由a+b+c=1,得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1,
又由基本不等式可知当a,b,c均为正数时,2ab≤a2+b2,2ac≤a2+c2,2bc≤b2+c2,
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
当且仅当a=b=c=时,上述不等式等号均成立,
所以a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3a2+3b2+3c2,即3(a2+b2+c2)≥1,
所以a2+b2+c2≥,当且仅当a=b=c=时,等号成立.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)≥1.
证明: 因为a,b,c均为正数,所以+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,当且仅当a=b=c=时,不等式等号均成立,则+b+c+a≥2a+2b+2c,
即≥a+b+c=1,当且仅当a=b=c=时,等号成立.
所以≥1.3．2.1 基本不等式的证明—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．掌握基本不等式≤(a，b≥0)，掌握基本不等式的变形及应用．
2．能熟练运用基本不等式来比较两个代数式的大小及证明不等式．
1．算术平均数、几何平均数
对于正数a，b，我们把称为a，b的____________， 称为a，b的____________．
2．基本不等式
如果a，b是正数，那么≤________(当且仅当________时，等号成立)．
我们把不等式____________(a，b≥0)称为基本不等式．
3．两个重要推论
当a，b∈R时，
(1)ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)；
(2)ab≤2(当且仅当a＝b时，等号成立)．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2.( )
(2)6和8的几何平均数为2.( )
(3)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立．( )
(4)若a≠0，则a＋≥2 ＝2.( )
2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
3．已知a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )
A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab|
4．若x＞0，则函数y＝x＋( )
A．有最大值－4 B．有最小值4
C．有最大值－2 D．有最小值2
题型(一) 利用基本不等式比较大小
[例1] 设0A．aB．a<<C．a<D.听课记录：
[例2] 已知m＝a＋(a>2)，n＝2－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________．
听课记录：
|思|维|建|模|
利用基本不等式比较大小的注意事项
(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)．
(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a，b≥0.
[针对训练]
1．设0A. B．b
C．2ab D．a2＋b2
2．已知a，b，c是两两不等的实数，则a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ac的大小关系是________________．
题型(二) 利用基本不等式证明不等式
[例3] 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1. 求证：＋＋>9.
听课记录：
[变式拓展]
本例条件不变，求证：>8.
|思|维|建|模|
利用基本不等式证明不等式的两种题型及解题思路
无附加条件 观察要证不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式，则要结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等，使之满足使用基本不等式的条件
有附加条件 观察已知条件与要证不等式之间的关系，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到
[针对训练]
3．已知a>0，b>0，求证：＋≥a＋b.
题型(三) 利用基本不等式求简单的最值问题
[例4] 已知x>0，则x－4＋的最小值为( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
听课记录：
[例5] 已知x>2，则x＋的最小值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
听课记录：
|思|维|建|模|
拼凑法求解最值应注意的问题
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项时应注意检验利用基本不等式的条件．
[针对训练]
4.(多选)下列说法正确的是( )
A．x＋的最小值为2
B．x2＋1的最小值为1
C．x(2－x)的最大值为2
D．x2＋的最小值为2－2
5．已知a>0，b>0，且ab＝9a＋b，则ab的最小值为________．
3．2.1 基本不等式的证明
?课前预知教材
1．算术平均数 几何平均数
2. a＝b ≤
[基础落实训练] 1.(1)√ (2)× (3)× (4)× 2.B 3.A 4.B
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 选B 法一：∵0∴a<又－a＝(－)>0，
即>a，排除D项，故选B.
法二：取a＝2，b＝8，
则＝4，＝5，
所以a＜＜＜b. 故选B.
[例2] 解析：因为a>2，所以a－2>0，
又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，
所以m≥2＋2＝4，当且仅当a－2＝，即a＝3时，等号成立．由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝2－b2<4，综上可知m>n.
答案：m>n
[针对训练]
1．选B ∵ab<2，∴ab<，
∴2ab<.
∵ >>0，∴ >，
∴a2＋b2>.
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，
∴b>a2＋b2，∴b最大．
2．解析：∵a，b，c互不相等，∴a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac.
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.
答案：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac
[题型(二)]
[例3] 证明：∵a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋>3＋2 ＋2 ＋2＝3＋2＋2＋2＝9.
∴＋＋>9.
[变式拓展]
证明：∵a，b，c是互不相等的正数，
且a＋b＋c＝1，
∴－1＝>0，－1＝>0，
－1＝>0，
∴＝··>＝8.
∴>8.
[针对训练]
3．证明：∵a>0，b>0，
∴＋b≥2＝2a，＋a≥2 ＝2b，
∴＋b＋＋a≥2a＋2b，
∴＋≥a＋b，当且仅当a＝b时，等号成立．
[题型(三)]
[例4] 选B ∵x>0，∴x＋－4≥2 －4＝0，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立．
[例5] 选D ∵x>2，∴x－2>0.∴x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．
[针对训练]
4．选BD 当x<0时，x＋无最小值，故A错误；因为x2≥0，所以x2＋1≥1，故B正确；x(2－x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，所以x(2－x)的最大值为1，故C错误；x2＋＝x2＋2＋－2≥2 －2＝2－2，当且仅当x2＋2＝，即x2＝－2时，等号成立，故D正确．
5．解析：因为a>0，b>0，所以ab＝9a＋b≥2＝6，即ab≥6，
解得ab≥36，当且仅当9a＝b，即a＝2，b＝18时，等号成立．
答案：36课时跟踪检测(十二) 基本不等式的证明
(满分90分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．(多选)下列条件可使＋≥2成立的有( )
A．ab>0 B．ab<0
C．a>0，b>0 D．a<0，b<0
2．下列不等式中正确的是( )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C.≥ D．x2＋≥2
3．当x>0时，x＋的最小值为( )
A．3 B.
C．2 D．3
4．设m＞1，P＝m＋，Q＝5，则P，Q的大小关系为( )
A．P＜Q B．P＝Q
C．P≥Q D．P≤Q
5．设M＝3，N＝n3＋＋6，对于任意的n>0，M，N的大小关系为( )
A．M≥N B．M>N
C．M≤N D．不能确定
6．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是__________.
7．已知a＞b＞c，则 与的大小关系为________________．
8．设x＞0，则3－3x－的最大值是________．
9．(8分)已知a，b，c都是非负实数，试比较 ＋＋与(a＋b＋c)的大小．
10．(10分)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋.
B级——重点培优
11．某工厂第一年产量为A，第二年产量的增长率为a，第三年产量的增长率为b，这两年产量的平均增长率为x，则( )
A．x＝ B．x≤
C．x> D．x≥
12．(多选)设a>0，b>0，则下列不等式一定成立的是( )
A．a＋b＋≥2 B.2≤
C.≥ D．(a＋b)≥4
13．(10分)已知a>b>c，你能比较出4与＋·(a－c)的大小吗？
14．(10分)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)a2＋b2＋c2≥；
(2)＋＋≥1.
课时跟踪检测(十二)
1．选ACD 根据基本不等式的条件，a，b同号，则>0，>0.
2．选D 若a<0，则a＋≥4不成立，故A错误；
若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误；若a＝4，b＝16，则<，故C错误；由基本不等式可知D正确．
3．选D x＋≥2＝3(当且仅当x＝时等号成立)．
4．选C 因为m＞1，所以P＝m＋＝m－1＋＋1≥2＋1＝5＝Q.当且仅当m－1＝，即m＝3时，等号成立，故选C.
5．选A M－N＝3－n3－－6＝n3＋＋＋3n－n3－－6＝3－6，
∵n>0，∴n＋≥2 ＝2，当且仅当n＝1时，等号成立，∴3－6≥0，∴M≥N.
6．解析：当x>2时，＋(x－2)≥2 ＝6，等号成立的条件是 ＝x－2，即(x－2)2＝9，解得x＝5(x＝－1舍去)．
答案：x＝5
7．解析：因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，
所以＝≥，当且仅当a－b＝b－c时，等号成立．
答案：≤
8．解析：∵x＞0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立．
∴－≤－2，则3－3x－≤3－2.
答案：3－2
9．解：由≤ ，
得 ≥(a＋b)．
同理得 ≥(b＋c), ≥(a＋c)．
所以＋＋≥[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]＝(a＋b＋c)．
故＋＋≥(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
10．证明：∵a>0，b>0，c>0，∴≥，≥，≥.∴＋＋≥＋＋，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c不全相等，∴等号不成立，∴a＋b＋c>＋＋.
11．选B ∵这两年产量的平均增长率为x，
∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)．
∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，a>0，b>0.
∴1＋x＝≤＝1＋.
∴x≤，当且仅当1＋a＝1＋b，即a＝b时，等号成立．
12．选ABD 因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥2 ＋≥2，当且仅当a＝b且2＝，即a＝b＝时，等号成立，故A一定成立．由作差比较法，－＝≥0，可知2≤，故B一定成立．因为a＋b≥2 >0, 所以≤＝，当且仅当a＝b时，等号成立，故C不一定成立．因为(a＋b)·＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故D一定成立．
13．解：(a－c)≥4，理由如下：
因为a－c＝(a－b)＋(b－c)，
所以[(a－b)＋(b－c)]＝2＋＋，
又a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，
所以＋≥2，当且仅当＝，
即b－c＝a－b时，等号成立．
则2＋＋≥4.
故(a－c)≥4.
14．证明：(1)由a＋b＋c＝1，得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝1，
又由基本不等式可知当a，b，c均为正数时，2ab≤a2＋b2,2ac≤a2＋c2,2bc≤b2＋c2，
当且仅当a＝b＝c＝时，上述不等式等号均成立，所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤3a2＋3b2＋3c2，即3(a2＋b2＋c2)≥1，
所以a2＋b2＋c2≥，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
(2)因为a，b，c均为正数，
所以＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，当且仅当a＝b＝c＝时，不等式等号均成立，
则＋＋＋b＋c＋a≥2a＋2b＋2c，
即＋＋≥a＋b＋c＝1，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
所以＋＋≥1.