4.1.1 根式(课件 学案 练习)高中数学 苏教版(2019)必修 第一册

文档属性

名称 4.1.1 根式(课件 学案 练习)高中数学 苏教版(2019)必修 第一册
格式 zip
文件大小 2.0MB
资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-07-27 12:44:14

文档简介

(共41张PPT)
4.1.1
根 式
(教学方式:基本概念课—逐点理清式教学)
课时目标
理解n次方根、根式的概念,明确正数的偶次方根有两个,偶次根式下被开方数必须非负.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) n次方根
逐点清(二) 根 式
逐点清(三) 根式的化简与求值
4
课时跟踪检测
逐点清(一) n次方根
01
多维理解
定义 一般地,如果_______ (n>1,n∈N*),那么称x为a的n次方根 个数 n为 奇数 a>0 x>0 x仅有一个值,记为x=______
a<0 x<0 n为 偶数 a>0 x有两个值,且互为相反数,记为x=______ a<0 x不存在 注意 0的n次方根等于_____ xn=a
±
0
|微|点|助|解|  
(1)在n次方根的概念中,关键是数a的n次方根x满足xn=a,因此求一个数a的n次方根,就是求一个数的n次方等于a.
(2)n次方根实际上就是立方根与平方根的推广.
(3)n次方根的概念表明,乘方与开方是互逆运算.
1.(多选)若xn=a(x≠0),则下列说法正确的是 (  )
A.当n为奇数时,x的n次方根为a
B.当n为奇数时,a的n次方根为x
C.当n为偶数时,x的n次方根为±a
D.当n为偶数时,a的n次方根为±x
微点练明


解析:当n为奇数时,a的n次方根只有1个,为x;当n为偶数时,由于(±x)n=xn=a,所以a的n次方根有2个,为±x.所以B、D的说法是正确的,故选B、D.
2.(多选)下列说法正确的是 (  )
A.=3 B.16的4次方根是±2
C.=±3 D.=|x+y|
解析:负数的3次方根是一个负数,=-3,故A错误;16的4次方根有两个,为±2,故B正确;=3,故C错误;是非负数,所以=|x+y|,故D正确.


逐点清(二) 根 式
02
多维理解
1.根式
式子叫作根式,其中n叫作__________,a叫作___________.
2.根式的性质(n>1,n∈N*)
(1)当n为奇数时,=____.
(2)当n为偶数时,=_____=
(3)=___. (4)负数没有_____方根.
根指数
被开方数
a
|a|
0
偶次
|微|点|助|解|   根式符号的注意点
(1)n>1,且n∈N*.
(2)当n为大于1的奇数时,对任意的实数a都有意义,它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根,从而有()n=a.
(3)当n为大于1的偶数时,只有当a≥0时才有意义;(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根,a的另一个n次方根是-,从而有(±)n=a.
(4)式子对任意a∈R都有意义.
微点练明
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)()5=-2.(  )
(2)()4=-2.(  )
(3)()4=2.(  )
(4)=-5.(  )
×
×


(5)=b.(  )
(6)=b2.(  )
(7)()n总有意义.(  )
(8) 总有意义.(  )

×
×

2.已知xy≠0,且=-2xy,则以下结论正确的是(  )
A.xy<0 B.xy>0
C.x>0,y>0 D.x<0,y<0
解析:由=|2xy|=-2xy,xy≠0知xy<0.所以x,y异号,A正确.

3.若x≠0,则|x|-的值为(  )
A.-1 B.0
C.1 D.2
解析:因为x≠0,所以|x|-=|x|-|x|+=1.

4.若,则实数a的取值范围是(  )
A.R B.{0}
C. D.
解析:由,可得2a-1≤0,即a≤.所以实数a的取值范围是.

逐点清(三) 根式的化简与求值
03
[典例] 化简下列各式:
(1) (n>1,且n∈N*);
解:=|3-π|.当n为奇数时,=3-π;当n为偶数时,=|3-π|=π-3.
(2) .
解: =|x-y|.当x≥y时,=x-y;当x|思|维|建|模|
化简根式的注意点
(1)在根式计算中,含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0,而中a可以是任何实数.
(2)对于形如(m>0,n>0)的双重根式,当满足a>b>0,a+b=m,ab=n时,有.
针对训练
求下列各式的值:(1);
解:法一:原式=+1+-1=2.
法二:令x=,两边平方得x2=6+2=8.
因为x>0,所以x=2.
(2).
解: 原式=-(2-)+2-=2.
课时跟踪检测
04
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1.已知m10=2,则m= (  )
A. B.-
C. D.±
解析:因为m10=2,所以m是2的10次方根.又10是偶数,所以2的10次方根有两个,且互为相反数.所以m=±.
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2.若m3=64,则=(  )
A.±8 B.8
C.4 D.2
解析:因为m3=64,所以m=4.则=2,故选D.
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3.若a<,则化简的结果是(  )
A.4a-1 B.1-4a
C.- D.-
解析:∵a<,∴4a-1<0.∴=|4a-1|=-(4a-1)=1-4a.
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4.若m=,n=,则m+n的值为(  )
A.-7 B.-1
C.1 D.7
解析:m+n=|π-3|+|π-4|=π-3+4-π=1.
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5.化简等于(  )
A.π-π-1 B.π-1-π
C.π+π-1 D.0
解析:=|π-1-π|=π-π-1.
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6.当a>0时,等于(  )
A.x B.x
C.-x D.-x
解析:由题设得-ax3≥0,因为a>0,所以x≤0.故=-x.故选C.
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7.若=0,a≠0,且n∈N*,n≥2,则(  )
A.a>0,且n为偶数 B.a<0,且n为偶数
C.a>0,且n为奇数 D.a<0,且n为奇数
解析:依题意,+a=0,即=-a,而a≠0,且n∈N*,n≥2,若n为奇数,则=a,必有a=0,矛盾,于是得n为偶数,此时,-a=>0,即a<0.所以a<0,且n为偶数,B正确.
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8.已知a,b∈R,下列各式总能成立的有 (  )
A.()6=a-b B.=a2+b2
C.=a-b D.=a+b
解析:A显然错误;B中,∵a2+b2≥0,∴B一定成立;C和D中,
∵a,b∈R,∴=|a|,=|b|,=|a+b|.故C和D错误.
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9.下列式子成立的是  (  )
A.a B.a=-
C.a=- D.a
解析:要使a有意义,则a≤0,故a=-(-a)=-=-.
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10.镜片的厚度是由镜片的折射率决定,镜片的折射率越高,镜片越薄,同时镜片越轻,也就会带来更为舒适的佩戴体验.某次社会实践活动中,甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片,折射率分别为.则这三种镜片中,制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为(  )
A.甲同学和乙同学 B.丙同学和乙同学
C.乙同学和甲同学 D.丙同学和甲同学
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解析: ()10=52=25,()10=25=32.∵25<32,∴.又∵=32=9,=23=8,∴.∴.
又∵镜片折射率越高,镜片越薄,∴甲同学制作的镜片最厚,
乙同学制作的镜片最薄.
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11.若=m,则的结果是(  )
A.m2+2 B.m2-2
C.+2 D.-2
解析:因为m2==y+-2,所以+y=m2+2.
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12.等式=(5-x)成立的x取值范围是    .
解析:要使=|x-5|=(5-x)成立,则所以-5≤x≤5.
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[-5,5]
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13.化简:=  .
解析:=3++3-=6.
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14.(7分)已知x=,y=,求的值.
解:.将x=,y=代入上式,得原式==-24=-8.
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15.(8分)设f(x)=,若0解:f,
因为016
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16.(10分)求证:(其中A>0,B>0,A2-B>0).
证明:设=x,x>0,两边平方,
得x2=+2=A+.
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由x>0,得x=,
所以 .
同理可得.由此得证.
164.1.1 根式—— (教学方式:基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标] 
理解n次方根、根式的概念,明确正数的偶次方根有两个,偶次根式下被开方数必须非负.
逐点清(一) n次方根
[多维理解]
定义 一般地,如果________(n>1,n∈N*),那么称x为a的n次方根
个数 n为奇数 a>0 x>0 x仅有一个值,记为x= ________
a<0 x<0
n为偶数 a>0 x有两个值,且互为相反数,记为x=________
a<0 x不存在
注意 0的n次方根等于
|微|点|助|解| 
(1)在n次方根的概念中,关键是数a的n次方根x满足xn=a,因此求一个数a的n次方根,就是求一个数的n次方等于a.
(2)n次方根实际上就是立方根与平方根的推广.
(3)n次方根的概念表明,乘方与开方是互逆运算.
[微点练明]
1.(多选)若xn=a(x≠0),则下列说法正确的是(  )
A.当n为奇数时,x的n次方根为a
B.当n为奇数时,a的n次方根为x
C.当n为偶数时,x的n次方根为±a
D.当n为偶数时,a的n次方根为±x
2.(多选)下列说法正确的是(  )
A.=3 B.16的4次方根是±2
C.=±3 D.=|x+y|
逐点清(二) 根 式
[多维理解]
1.根式
式子叫作根式,其中n叫作__________,a叫作__________.
2.根式的性质(n>1,n∈N*)
(1)当n为奇数时, =.
(2)当n为偶数时,=____=
(3)=. (4)负数没有________方根.
|微|点|助|解| 
根式符号的注意点
(1)n>1,且n∈N*.
(2)当n为大于1的奇数时,对任意的实数a都有意义,它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根,从而有()n=a.
(3)当n为大于1的偶数时,只有当a≥0时才有意义;(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根,a的另一个n次方根是-,从而有(±)n=a.
(4)式子对任意a∈R都有意义.
[微点练明]
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)()5=-2.(  )
(2)()4=-2.(  )
(3)()4=2.(  )
(4)=-5.(  )
(5)=b.(  )
(6)=b2.(  )
(7)()n总有意义.(  )
(8) 总有意义.(  )
2.已知xy≠0,且=-2xy,则以下结论正确的是(  )
A.xy<0 B.xy>0
C.x>0,y>0 D.x<0,y<0
3.若x≠0,则|x|-+的值为(  )
A.-1 B.0
C.1 D.2
4.若=,则实数a的取值范围是(  )
A.R B.{0}
C. D.
逐点清(三) 根式的化简与求值
[典例] 化简下列各式:
(1) (n>1,且n∈N*);
(2) .
听课记录:
 |思|维|建|模|
化简根式的注意点
(1)在根式计算中,含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0,而中a可以是任何实数.
(2)对于形如(m>0,n>0)的双重根式,当满足a>b>0,a+b=m,ab=n时,有=±. 
[针对训练]
求下列各式的值:
(1)+;
(2)-+.
4.1.1 根 式
 [逐点清(一)]
[多维理解] xn=a  ± 0
[微点练明] 1.BD 2.BD
 [逐点清(二)]
[多维理解] 1.根指数 被开方数
2.(1)a (2)|a| a -a (3)0 (4)偶次
[微点练明] 1.(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)√ (7)× (8)√
2.A 3.C 4.D
 [逐点清(三)]
[典例] 解:(1)=|3-π|.当n为奇数时,=3-π;当n为偶数时,=|3-π|=π-3.
(2)=|x-y|.
当x≥y时,=x-y;
当x[针对训练]
解:(1)法一:原式=+=+=+1+-1=2.
法二:令x=+,两边平方得x2=6+2=8.
因为x>0,所以x=2.
(2)原式=-+=+-(2-)+2-=2.课时跟踪检测(十七) 根 式
(满分90分,选填小题每题5分)
1.已知m10=2,则m=(  )
A. B.-
C. D.±
2.若m3=64,则=(  )
A.±8 B.8
C.4 D.2
3.若a<,则化简的结果是(  )
A.4a-1 B.1-4a
C.- D.-
4.若m=,n=,则m+n的值为(  )
A.-7 B.-1
C.1 D.7
5.化简等于(  )
A.π-π-1 B.π-1-π
C.π+π-1 D.0
6.当a>0时,等于(  )
A.x B.x
C.-x D.-x
7.若+()n+1=0,a≠0,且n∈N*,n≥2,则(  )
A.a>0,且n为偶数 B.a<0,且n为偶数
C.a>0,且n为奇数 D.a<0,且n为奇数
8.已知a,b∈R,下列各式总能成立的有(  )
A.(-)6=a-b B.=a2+b2
C.-=a-b D.=a+b
9.下列式子成立的是(  )
A.a= B.a=-
C.a=- D.a=
10.镜片的厚度是由镜片的折射率决定,镜片的折射率越高,镜片越薄,同时镜片越轻,也就会带来更为舒适的佩戴体验.某次社会实践活动中,甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片,折射率分别为,,.则这三种镜片中,制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为(  )
A.甲同学和乙同学 B.丙同学和乙同学
C.乙同学和甲同学 D.丙同学和甲同学
11.若-=m,则的结果是(  )
A.m2+2 B.m2-2
C.+2 D.-2
12.等式=(5-x)成立的x取值范围是________.
13.化简:+=____________.
14.(7分)已知x=,y=,求-的值.
15.(8分)设f(x)=,若016.(10分)求证:=±(其中A>0,B>0,A2-B>0).
课时跟踪检测(十七)
1.选D 因为m10=2,所以m是2的10次方根.又10是偶数,所以2的10次方根有两个,且互为相反数.所以m=±.
2.选D 因为m3=64,所以m=4.则==2,故选D.
3.选B ∵a<,∴4a-1<0.
∴=|4a-1|=-(4a-1)=1-4a.
4.选C m+n=|π-3|+|π-4|=π-3+4-π=1.
5.选A 

==
=|π-1-π|=π-π-1.
6.选C 由题设得-ax3≥0,因为a>0,所以x≤0.故=-x.故选C.
7.选B 依题意,+()n+1=+a=0,即=-a,而a≠0,且n∈N*,n≥2,若n为奇数,则=a,必有a=0,矛盾,于是得n为偶数,此时,-a=>0,即a<0.所以a<0,且n为偶数,B正确.
8.选B A显然错误;B中,∵a2+b2≥0,∴B一定成立;C和D中,∵a,b∈R,
∴=|a|,=|b|,=|a+b|.故C和D错误.
9.选C 要使a有意义,则a≤0,
故a=-(-a)=-=-.
10.选C ()10=52=25,()10=25=32.∵25<32,∴<.又∵()6=32=9,()6=23=8,∴>.∴<<.又∵镜片折射率越高,镜片越薄,∴甲同学制作的镜片最厚,乙同学制作的镜片最薄.
11.选A 因为m2=2=y+-2,所以=+y=m2+2.
12.解析:要使==|x-5|=(5-x)·成立,
则所以-5≤x≤5.
答案:[-5,5]
13.解析:+=+ =3++3-=6.
答案:6
14.解析:-=-=.将x=,y=代入上式,得原式===-24=-8.
答案:-8
15.解:f=== =,
因为016.证明:设 +=x,x>0,两边平方,
得x2=++
2 =A+.
由x>0,得x=,
所以 +=.
同理可得 -=.由此得证.