(共57张PPT)
4.1.2
指数幂的拓展
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.能正确运用根式运算性质化简求值.
2.掌握并运用有理数指数幂的运算性质.
3.能结合教材探究了解无理数指数幂.
4.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
(一)分数指数幂的意义
正分数指数幂 规定:_______(a>0,m,n∈N*,n>1)
负分数指数幂 规定:_______(a>0,m,n∈N*,n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于____,
0的负分数指数幂___________
0
没有意义
|微|点|助|解|
(1)分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种新的写法.
(2)注意幂指数不能随意约分.
(3)负分数指数幂在有意义的情况下,总表示正数,而不是负数.
(二)有理数指数幂的运算性质与无理数指数幂
1.有理数指数幂的运算性质
(1)asat=______,
(2)(as)t=_____,
(3)(ab)t=_____,其中s,t∈Q,a>0,b>0.
as+t
ast
atbt
2.无理数指数幂
一般地,当a>0且x是一个无理数时,ax也是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用.
这样,指数幂的概念从有理指数幂推广到实数指数幂.
|微|点|助|解|
(1)有理数指数幂除上述运算性质外,还有如下性质:
①ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈Q);
②(a>0,b>0,r∈Q).
(2)有理数指数幂的几个常见结论:①当a>0时,ab>0;②当a≠0时,a0=1,而当a=0时,a0无意义;③若ar=as(a>0,且a≠1),则r=s;④乘法公式仍适用于分数指数幂,如:=a-b(a>0,b>0).
(3)有理数指数幂的运算性质均在有意义的条件下才能成立,否则,不一定成立.
基础落实训练
1.下列运算结果中,正确的是 ( )
A.a2·a3=a5 B.(-a2)3=(-a3)2
C.(-1)0=1 D.(-a2)3=a6
解析：a2·a3=a2+3=a5,故A正确;(-a2)3=-a6,(-a3)2=a6,故B、D错误;当a=1时无意义,故C错误.
√
2.计算的结果是( )
A.π B.
C.-π D.
√
3.下列关系式中,根式与分数指数幂的互化正确的是 (填序号).
①-=(-x(x>0);② (y<0);
③(x>0);④=-(x≠0);
⑤(a>0).
③⑤
4.若10x=3,10y=4,则1= .
解析：∵10x=3,∴102x=9.∴102x-y=.
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 根式与分数指数幂的互化
[例1] 将下列根式化成分数指数幂的形式.
(1)·;
解：··.
(2);
解：原式=··.
(3) ·;
解：原式=·.
(4)()2·.
解：原式=()2··.
|思|维|建|模| 根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数 分数指数的分母,被开方数(式)的指数 分数指数的分子.
(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质运算.
(3)当所求根式含有多重根号时,要搞清被开方数,由里向外用分数指数幂写出,然后再用性质进行化简.
针对训练
1.把根式化为分数指数幂,把分数指数幂化为根式(式中字母均为正实数).
(1);
解:.
(2);
解: =2.
(3)(a+b;
解: (a+b.
(4).
解: =(x3+y.
[例2] 化简求值:
(1)-3-1;
解：原式=(0.33+(44+43+2-.
题型(二) 利用指数幂的运算性质化简求值
(2)(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c);
解：原式=-4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)=-a-3-(-4)b-2-(-2)c-1=-ac-1=-.
(3)2÷4×3.
解：原式=2÷(·)·(3)=·3.
|思|维|建|模|
1.指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,以便于运用指数幂的运算性质.
2.化简指数幂常用技巧
(1)(ab≠0);
(2)a=(式子有意义);
(3)1的代换,如1=a-1a,1=等.
针对训练
2.化简(a,b为正数)的结果是( )
A. B.ab
C. D.a2b
解析：原式=·,故选C.
√
3.求下列各式的值:
(1);
解：原式==3.
(2)2;
解：原式=2××(3×22=2×3=6.
(3);
解：原式=-5.
(4)(a>0).
解：原式=(a>0).
题型(三) 指数幂运算中的条件求值
[例3] 已知=3,求下列各式的值:
(1)a+a-1;
解：将=3两边平方,
得a+a-1+2=9,即a+a-1=7.
(2)a2+a-2;
解：将a+a-1=7两边平方,
可得a2+a-2+2=49,
∴a2+a-2=47.
(3).
解：∵=()3+()3=()(a-·+a-1)
=3(a+a-1-1)=3(7-1)=18,
而a2+a-2=47,∴原式==3.
变式拓展
本例条件不变,求的值.
解:==-(a+a-1)=-7.
|思|维|建|模|
(1)对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.但有时字母的取值不知道或不易求出,这时可将所求代数式进行适当变形,构造出能用已知条件表示的结构,从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.
(2)利用“整体代入法”求值常用的变形公式(其中a>0,b>0):
①a±2+b=()2;
②()()=a-b;
③=()(a-+b);
④=()(a++b).
4.已知10m=2,10n=4,则1的值为( )
A.2 B.
C. D.2
解析：1.
√
针对训练
5.已知a2x=+1,则=( )
A.2-1 B.2-2
C.2+1 D.+1
解析：令ax=t,则t2=+1,所以
=t2+t-2-1=+1+-1=+1+-1-1=2-1.
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1.把根式a化成分数指数幂是( )
A.(-a B.-(-a
C.- D.
解析：由题意可知a≥0,故排除A、B、C选项,选D.
√
A级——达标评价
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2.·=( )
A. B.5
C. D.25
解析：·=[()2.
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3.设a>0,则下列运算正确的是 ( )
A.=a B.=0
C.a÷ D.=a
解析：易知A正确;对于选项B,=a0=1,B错误;对于选项C,a÷,C错误;对于选项D,,D错误.
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4.化成分数指数幂为( )
A. B.
C. D.
解析：原式==(.
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5.若0
0,且ab+a-b=2,则ab-a-b等于( )
A. B.2或-2
C.-2 D.2
解析：由ab+a-b=2,得(ab+a-b)2=a2b+a-2b+2=8.因此a2b+a-2b=6,所以(ab-a-b)2=a2b+a-2b-2=4.由题意得01,故ab-a-b<0,所以ab-a-b=-2.故选C.
√
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6.设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,则2α·2β= ,(2α)β= .
解析：利用一元二次方程根与系数的关系,得α+β=-2,αβ=.则2α·2β==2-2=,(2α)β=2αβ=.
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7.计算:(0.008 1-
10×= .
解析：原式=-3×-3=-.
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8.碳14是一种著名的放射性物质,像铀235、锶90、碘131、铯137、镭226等也都是放射性物质.放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量,发出射线的物质.在一个给定的单位时间内,放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况,这个时间被称为半衰期.则在连续两个半衰期里,放射性物质将衰减为原有物质的 .
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解析：根据题意可知,一个半衰期里放射性物质衰减为原来的,则连续两个半衰期里,放射性物质将衰减为原来的.
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9.(8分)计算下列各式的值:
(1);
解:原式==29×32=4 608.
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(2)(a>0);
解: 原式==a0=1.
(3).
解:原式==π.
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10.(8分)化简求值:
(1)+0.1-2+-3π0+.
解：原式=-3+=+100+-3+=100.
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(2)+(-)().
解：原式=+(-)2-()2=a-1-b-1-a+b-1=-a=.
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11.设2a=5b=m,且=2,则m=( )
A. B.10 C.20 D.100
解析：∵2a=m,5b=m,∴2=,5=.∴2×5=·.又=2,∴m2=10.∴m=或m=-(舍去).
√
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B级——重点培优
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12.这三个数的大小关系为 ( )
A. B.
C. D.
解析：.因为,所以.
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13.已知正数a,b满足=3,则3a+2b的最小值为( )
A.10 B.12
C.18 D.24
√
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解析：因为=3,所以=1.因为a,b为正数,所以3a+2b=(3a+2b)·=12+≥12+2=24,当且仅当时,即a=4,b=6时,等号成立.所以3a+2b的最小值为24.
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14.已知a2m+n=2-2,am-n=28(a>0,且a≠1),则a4m+n的值为 .
解析：因为所以①×②得a3m=26.所以am=22.将am=22代入②得22·a-n=28,所以an=2-6.所以a4m+n=·an=(am)4·an=(22)4·2-6=22=4.
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15.(10分)对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和非零实数x,y,z,ω,有ax=by=cz=70ω,,求a,b,c的值.
解：∵ax=70ω,且x,ω为非零实数,∴=7.
同理可得.
∴··=7··7,即=7.
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又,a,b,c为正整数,
∴abc=70=2×5×7.
∵a≤b≤c,∴a=2,b=5,c=7.
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16.(10分)已知27x=67,81y=603.求证:4y-3x为定值.
证明:由题意27x=67,81y=603,∴27x=33x=67,81y=34y=603.
∴34y-3x==9=32.∴4y-3x=2.∴4y-3x为定值.
164．1.2 指数幂的拓展—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．能正确运用根式运算性质化简求值．
2．掌握并运用有理数指数幂的运算性质．
3．能结合教材探究了解无理数指数幂．
4．结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算．
(一)分数指数幂的意义
正分数指数幂 规定：a＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)
负分数指数幂 规定：a－＝＝____________(a>0，m，n∈N*，n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂__________
|微|点|助|解|
(1)分数指数幂a不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．
(2)注意幂指数不能随意约分．
(3)负分数指数幂在有意义的情况下，总表示正数，而不是负数．
(二)有理数指数幂的运算性质与无理数指数幂
1．有理数指数幂的运算性质
(1)asat＝______，
(2)(as)t＝______，
(3)(ab)t＝______，其中s，t∈Q，a>0，b>0.
2．无理数指数幂
一般地，当a>0且x是一个无理数时，ax也是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用．
这样，指数幂的概念从有理指数幂推广到实数指数幂．
|微|点|助|解|
(1)有理数指数幂除上述运算性质外，还有如下性质：
①ar÷as＝ar－s(a＞0，r，s∈Q)；②r＝(a＞0，b＞0，r∈Q)．
(2)有理数指数幂的几个常见结论：①当a＞0时，ab＞0；②当a≠0时，a0＝1，而当a＝0时，a0无意义；③若ar＝as(a＞0，且a≠1)，则r＝s；④乘法公式仍适用于分数指数幂，如：＝＝a－b(a＞0，b＞0)．
(3)有理数指数幂的运算性质均在有意义的条件下才能成立，否则，不一定成立．
1．下列运算结果中，正确的是( )
A．a2·a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6
2．计算－的结果是( )
A．π B.
C．－π D.
3．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是________(填序号)．
①－＝(－x)(x>0)；② ＝y(y<0)；
③x－＝(x>0)；④x－＝－(x≠0)；
⑤＝a(a>0)．
4．若10x＝3,10y＝4，则102x－y＝________.
题型(一) 根式与分数指数幂的互化
[例1] 将下列根式化成分数指数幂的形式．
(1)·；(2) ；
(3) ·；
(4)()2·.
听课记录：
|思|维|建|模|
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质运算．
(3)当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
[针对训练]
1．把根式化为分数指数幂，把分数指数幂化为根式(式中字母均为正实数)．
(1)b－；(2)；(3)(a＋b)；(4).
题型(二) 利用指数幂的运算性质化简求值
[例2] 化简求值：
(1) ；
(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
(3)2÷4×3.
听课记录：
|思|维|建|模|
1．指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，以便于运用指数幂的运算性质．
2．化简指数幂常用技巧
(1)－p＝p(ab≠0)；
(2)a＝m，a＝n(式子有意义)；
(3)1的代换，如1＝a－1a,1＝a－a等．
[针对训练]
2．化简(a，b为正数)的结果是( )
A. B．Ab
C. D．a2b
3．求下列各式的值：
(1) ；(2)2××；
(3)；(4)(a>0)．
题型(三) 指数幂运算中的条件求值
[例3] 已知a＋a－＝3，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
(3) .
听课记录：
[变式拓展]
本例条件不变，求的值．
|思|维|建|模|
(1)对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式进行适当变形，构造出能用已知条件表示的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．
(2)利用“整体代入法”求值常用的变形公式(其中a＞0，b＞0)：
[针对训练]
4．已知10m＝2,10n＝4，则的值为( )
A．2 B.
C. D．2
5．已知a2x＝＋1，则＝( )
A．2－1 B．2－2
C．2＋1 D.＋1
4．1.2 指数幂的拓展
?课前预知教材
(一) 0 没有意义
(二)1.(1)as＋t (2)ast (3)atbt
[基础落实训练] 1.A 2.D 3.③⑤ 4.
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：(1) .
(2)原式＝.
(3)原式＝.
(4)原式＝.
[针对训练]
1．解：(1) ＝.
(2)＝.
(3)(a＋b)＝.
(4)＝(x3＋y)－.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)原式＝(0.33)－＋(44)＋－＝－＋43＋2－＝.
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)
＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1
＝－ac－1＝－.
(3)原式＝
＝.
[针对训练]
2．选C 原式＝＝＝，故选C.
3．解：(1)原式＝＝3.
(2)原式＝2××＝2×3＝6.
(3)原式＝＝－5.
(4)原式＝＝(a>0)．
[题型(三)]
[例3] 解：(1)将a＋a－＝3两边平方，
得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.
(2)将a＋a－1＝7两边平方，可得a2＋a－2＋2＝49，∴a2＋a－2＝47.
(3)∵
＝
＝3(a＋a－1－1)
＝3(7－1)＝18，
而a2＋a－2＝47，
∴原式＝＝＝3.
[变式拓展]
解：
＝＝－(a＋a－1)＝－7.
[针对训练]
4．选B ＝.
5．选A 令ax＝t，则t2＝＋1，
所以＝＝＝t2＋t－2－1＝＋1＋－1＝＋1＋－1－1＝2－1.课时跟踪检测(十八) 指数幂的拓展
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．把根式a化成分数指数幂是( )
A．(－a) B．－(－a)
C．－a D．a
2. · ＝( )
A. B．5
C．5 D．25
3．设a>0，则下列运算正确的是( )
A. 4＝a B．＝0
C．a÷ D．＝a
4. 化成分数指数幂为( )
A．x B．x
C．x－ D．x
5．若0＜a＜1，b＞0，且ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于( )
A. B．2或－2
C．－2 D．2
6．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
7．计算：＝________.
8．碳14是一种著名的放射性物质，像铀235、锶90、碘131、铯137、镭226等也都是放射性物质．放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质．在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减．一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称为半衰期．则在连续两个半衰期里，放射性物质将衰减为原有物质的________．
9．(8分)计算下列各式的值：
(1)(×)2；
(2) (a>0)；
(3) .
10．(8分)化简求值：
(1)0.5＋0.1－2＋－3π0＋.
(2)＋．
B级——重点培优
11．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A. B．10
C．20 D．100
12．2，3，6这三个数的大小关系为 ( )
A．6<3<2 B．6<2<3
C．2<3<6 D．3<2<6
13．已知正数a，b满足×＝3，则3a＋2b的最小值为( )
A．10 B．12
C．18 D．24
14．已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28(a＞0，且a≠1)，则a4m＋n的值为________．
15．(10分)对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，＝＋＋，求a，b，c的值．
16．(10分)已知27x＝67，81y＝603.求证：4y－3x为定值．
课时跟踪检测(十八)
1．选D 由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.
2．选C · ＝ 2＝[()2]＝5.
3．选A 易知A正确；对于选项B，＝a0＝1，B错误；对于选项C，a÷＝，C错误；对于选项D，，D错误．
4．选B 原式＝＝＝.
5．选C 由ab＋a－b＝2，得(ab＋a－b)2＝a2b＋a－2b＋2＝8.因此a2b＋a－2b＝6，所以(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4.由题意得0＜ab＜1，a－b＞1，故ab－a－b＜0，所以ab－a－b＝－2.故选C.
6．解析：利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2.
答案： 2
7．解析：原式＝－3×－3＝－.
答案：－
8．解析：根据题意可知，一个半衰期里放射性物质衰减为原来的，则连续两个半衰期里，放射性物质将衰减为原来的2＝.
答案：
9．解：(1)原式＝＝29×32＝4 608.
(2)原式＝＝a0＝1.
(3)原式＝＝＝π.
10．解：(1)原式＝0.5＋＋－3＋
＝＋100＋－3＋＝100.
(2)原式＝＋＝a－1－b－1－a＋b－1＝－a＝.
11．选A ∵2a＝m,5b＝m，∴2＝m，5＝m.
∴2×5＝m·m＝.又＋＝2，∴m2＝10.
∴m＝或m＝－(舍去)．
12．选B 2＝2＝＝，3＝3＝＝，6＝.因为<<，所以6<2<3.
13．选D 因为×＝3×3＝3＋＝3，所以＋＝1.因为a，b为正数，所以3a＋2b＝(3a＋2b)·＝12＋＋≥12＋2＝24，当且仅当＝时，即a＝4，b＝6时，等号成立．所以3a＋2b的最小值为24.
14．解析：因为所以①×②得a3m＝26.所以am＝22.将am＝22代入②得22·a－n＝28，所以an＝2－6.所以a4m＋n＝a4m·an＝(am)4·an＝(22)4·2－6＝22＝4.
答案：4
15．解：∵ax＝70ω，且x，ω为非零实数，
∴a＝70.
同理可得b＝70，c＝70.
∴，
即(abc)＝.
又＋＋＝，a，b，c为正整数，
∴abc＝70＝2×5×7.
∵a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7.
16．证明：由题意27x＝67，81y＝603，∴27x＝33x＝67，81y＝34y＝603.
∴34y－3x＝＝＝9＝32.
∴4y－3x＝2.∴4y－3x为定值．