(共47张PPT)
4.2.1
对数的概念
(教学方式:基本概念课—逐点理清式教学)
课时目标
要准确把握对数的定义,以及ab=N(a>0,且a≠1) logaN=b的等价关系,学会将对数与幂进行相互转化.会进行对数式与指数式的互化,会求简单的对数值.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 对数的概念
逐点清(二) 对数与指数的关系
逐点清(三) 求数列的通项公式
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 对数的概念
01
多维理解
1.对数的概念
一般地,如果ab=N(a>0,a≠1),那么就称b是以a为底N的______,记作__________,其中,a叫作对数的______,N叫作______.
对数
logaN=b
底数
真数
2.常用对数与自然对数
名称 定义 记法
常用对数 以10为底的对数称为常用对数 ______
自然对数 以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数 ______
lg N
ln N
|微|点|助|解| 定义中规定a>0,且a≠1的理由
(1)当a<0且N为某些数值时,x不存在,如式子(-2)x=3没有实数解,所以log(-2)3不存在,因此,规定a不能小于0.由指数函数的定义也可知a不能小于0.
(2)当a=0,且N≠0时,logaN不存在;当a=0,且N=0时,x可取无数个值,因此规定a≠0.
(3)当a=1,且N不为1时,x不存在;而a=1且N=1时,x可以为任何实数,因此规定a≠1.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对数log39和log93的意义一样.( )
(2)(-2)3=-8可化为log(-2)(-8)=3.( )
(3)对数运算的实质是求幂指数.( )
(4)若ln N=2,则N =2e.( )
微点练明
×
×
√
×
2.lg 7与ln 8的底数分别是 ( )
A.10,10 B.e,e
C.10,e D.e,10
√
3.已知b=c,则有( )
A.a2b=c B.=b
C.bc=2a D.=b
解析：由题意得(a2)c=b,即=b.
√
4.在M=lo(x+1)中,要使式子有意义,x的取值范围为( )
A.(-∞,3] B.(3,4)∪(4,+∞)
C.(4,+∞) D.(3,4)
解析：由对数的概念可得解得34.
√
逐点清(二) 对数与指数的关系
02
多维理解
1.对数与指数的关系
当a>0,a≠1时,ax=N x=_________.
2.对数与指数的关系示意图
logaN
|微|点|助|解|
指数式ab=N,根式=a和对数式logaN=b(N>0,a>0,且a≠1)是同一种数量关系的三种不同表达形式.具体对应如下:
表达形式 a b N 对应的运算
ab=N 底数 指数 幂 乘方,由a,b求N
方根 根指数 被开方数 开方,由N,b求a
logaN=b 底数 对数 真数 对数,由N,a求b
由此可知:
①开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算;
②弄清对数式与指数式的互换规则是掌握对数意义及其运算的关键.
微点练明
1.已知loga9=-2,则a的值为 ( )
A.-3 B.-
C.3 D.
解析：∵loga9=-2,a>0,且a≠1,∴a-2=9.解得a=.故选D.
√
2.(多选)下列指数式与对数式互化正确的是 ( )
A.100=1与lg 1=0 B.2与log27=-3
C.log39=2与32=9 D.log55=1与51=5
√
√
√
解析：选项A中,指数式100=1化为对数式为lg 1=0,A正确;选项B中,指数式2化为对数式为log27=-,B不正确;选项C中,对数式log39=2化为指数式为32=9,C正确;选项D中,对数式log55=1化为指数式为51=5,D正确.
3.求下列各式的值.
(1)log981= ;
解析：设log981=x,所以9x=81=92.故x=2,即log981=2.
2
(2)log0.41= ;
解析：设log0.41=x,所以0.4x=1=0.40.故x=0,即log0.41=0.
(3)ln e2= .
解析：设ln e2=x,所以ex=e2.故x=2,即ln e2=2.
0
2
逐点清(三) 对数的性质及对数
恒等式的应用
03
多维理解
对数的性质 (1)loga1=____ (a>0,且a≠1);
(2)logaa=____ (a>0,且a≠1);
(3)零和负数___________
对数恒等式
0
1
没有对数
N(a>0,且a≠1,N>0)
|微|点|助|解|
1.利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外,如求loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)的值.
(2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log”后再求解.
2.对数恒等式的作用
(1)化简求值,如=x+2(a>0,且a≠1,x>-2).
(2)将有关数值转化成幂的形式,如3=.
1.已知log3(log2x)=0,那么x= ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：因为log3(log2x)=0,所以log2x=1.则x=2.
√
微点练明
2.设=25,则x的值等于( )
A.10 B.13
C.100 D.±1 001
解析：由对数的性质,得=2x-1=25.所以x=13.
√
3.若log2(log0.5(log2x))=0,则x的值是 ( )
A. B.2
C. D.1
解析：因为log2(log0.5(log2x))=0,
所以log0.5(log2x)=1.所以log2x=0.5.所以x=.
√
4.已知2log2x=log7y,且x=14,则xy的值为 .
解析：由对数的性质,得log2x2=log7y,令z=log2x2=log7y,则x2=2z,y=7z.因为x=14,所以x2y=196,即2z·7z=(2×7)z=14z=196,解得z=2.所以x=2,y=49,从而xy=98.
98
课时跟踪检测
04
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1.下列选项中,可以求对数的是 ( )
A.0 B.-5
C.π D.-x2
解析：根据对数的定义,得0和负数没有对数,∴选项A、B不可以求对数.又-x2≤0,∴选项D没有对数.∵π>0,∴选项C可以求对数.
√
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2.已知81=x,则x等于( )
A.-8 B.8
C.4 D.-4
解析：由题意得()x=81,即=34,则x=8.
√
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2
3.使式子log(2x-1)有意义的x的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.
C.(-∞,2) D.∪(1,2)
解析：要使式子log(2x-1)有意义,则即
解得√
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4.方程的解是( )
A. B.
C. D.9
解析：∵=2-2,∴log3x=-2.∴x=3-2=.
√
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5.(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是 ( )
A.e0=1与ln 1=0 B.与log8=-
C.log39=2与=3 D.log77=1与71=7
解析：e0=1 ln 1=0,故A正确; log8=-,故B正确;log39=2 32=9,=3 log93=,故C不正确;log77=1 71=7,故D正确.
√
√
√
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6.对于a>0且a≠1,下列说法正确的是 ( )
A.若M=N,则logaM=logaN B.若logaM=logaN,则M=N
C.若logaM2=logaN2,则M=N D.若M=N,则logaM2=logaN2
解析：A中,若M, N小于或等于0时,logaM=logaN不成立;B正确;C中,M与N也可能互为相反数;D中,当M=N=0时不正确.
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7.若a>0,,则a等于( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析：因为,a>0,所以a=.设a=x,所以=a.
所以x=3.
√
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8.若logx=z,则x,y,z之间满足( )
A.y7=xz B.y=x7z
C.y=7xz D.y=z7x
解析：由题意得=xz,所以y=(xz)7=x7z.
√
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9.(多选)下列等式正确的有 ( )
A.lg(lg 10)=0 B.lg(ln e)=0
C.若lg x=10,则x=10 D.若ln x=e,则x=e2
解析：lg(lg 10)=lg 1=0,故A正确;lg(ln e)=lg 1=0,故B正确;若lg x=10,则x=1010,故C错误;若ln x=e,则x=ee,故D错误.
√
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10.声强是指声音在传播途径上每平方米面积上的声能流密度,用I表示.由于声强I的变化范围非常大,为方便起见,引入声强级的概念,规定声强级L=lg,其中I0=10-12 W/m2,称为基准声强,声强级的单位是Bel, Bel又称为1 dB,生活在30 dB左右的安静环境有利于人的睡眠,而长期生活在90 dB以上的噪音环境中会严重影响人的健康,根据所给信息,可得90 dB声强级的声强是30 dB声强级的声强的( )
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A.3倍 B.103倍
C.106倍 D.10500倍
解析：设90 dB和30 dB声强级的声强分别是I1,I2,由题意,得90=10lg,30=10lg.则I1=I0·109,I2=I0·103,所以=106.
√
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11.若log(x +1)(2x2+1)=2,则x= .
解析：依题意得解得x=2.
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12.已知log3(log5a)=log4(log5b)=0,则的值为 .
解析：由log3(log5a)=0得log5a=1,即a=5.同理b=5,故=1.
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13.若x>0,y>0,且log7x=log14y=log28(x+y),则= .
解析：令log7x=log14y=log28(x+y)=t,则x=7t,y=14t,x+y=28t,∴7t·28t=(14t)2.即x(x+y)=y2,则1+.∵>0,∴或(舍去).
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14.(12分)求下列各式中x的值.
(1)log3x=-3;
解：由题意得x=3-3=.
(2)logx49=4;
解：由x4=49,x>0且x≠1,得x=.
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(3)lg 0.000 01=x;
解：由10x=0.000 01=10-5,得x=-5.
(4)ln=-x.
解：由e-x=,得x=-.
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15.(13分)若log2[lo(log2x)]=log3[lo(log3y)]=log5[lo(log5z)]=0,试确定x,y,z的大小关系.
解:由log3[lo(log3y)]=0,
得lo(log3y)=1,log3y=,y==(310.
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由log2[lo(log2x)]=0,
得lo(log2x)=1,log2x=,x==(215.
由log5[lo(log5z)]=0,
得lo(log5z)=1,log5z=,z==(56,∵310>215>56,∴y>x>z.4．2.1 对数的概念—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
要准确把握对数的定义，以及ab＝N a>0，且a≠1 logaN＝b的等价关系，学会将对数与幂进行相互转化.会进行对数式与指数式的互化，会求简单的对数值.
逐点清(一) 对数的概念
[多维理解]
1．对数的概念
一般地，如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的______，记作____________，其中，a叫作对数的______，N叫作______．
2．常用对数与自然对数
名称 定义 记法
常用对数 以10为底的对数称为常用对数 _____
自然对数 以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数 _____
|微|点|助|解|
定义中规定a＞0，且a≠1的理由
(1)当a＜0且N为某些数值时，x不存在，如式子(－2)x＝3没有实数解，所以log(－2)3不存在，因此，规定a不能小于0.由指数函数的定义也可知a不能小于0.
(2)当a＝0，且N≠0时，logaN不存在；当a＝0，且N＝0时，x可取无数个值，因此规定a≠0.
(3)当a＝1，且N不为1时，x不存在；而a＝1且N＝1时，x可以为任何实数，因此规定a≠1.
[微点练明]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对数log39和log93的意义一样．( )
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.( )
(3)对数运算的实质是求幂指数．( )
(4)若ln N＝2，则N＝2e.( )
2．lg 7与ln 8的底数分别是( )
A．10,10 B．e，e
C．10，e D．e,10
3．已知loga2b＝c，则有( )
A．a2b＝c B．a2c＝b
C．bc＝2a D．c2a＝b
4．在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为( )
A．(－∞，3] B．(3,4)∪(4，＋∞)
C．(4，＋∞) D．(3,4)
逐点清(二) 对数与指数的关系
[多维理解]
1．对数与指数的关系
当a>0，a≠1时，ax＝N x＝________.
2．对数与指数的关系示意图
|微|点|助|解|
指数式ab＝N，根式＝a和对数式logaN＝b(N＞0，a＞0，且a≠1)是同一种数量关系的三种不同表达形式．具体对应如下：
表达形式 a b N 对应的运算
ab＝N 底数 指数 幂 乘方，由a，b求N
＝a 方根 根指数 被开方数 开方，由N，b求a
logaN＝b 底数 对数 真数 对数，由N，a求b
由此可知：
①开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算；
②弄清对数式与指数式的互换规则是掌握对数意义及其运算的关键．
[微点练明]
1．已知loga9＝－2，则a的值为( )
A．－3 B．－
C．3 D.
2．(多选)下列指数式与对数式互化正确的是( )
A．100＝1与lg 1＝0 B．27－＝与log27＝－3
C．log39＝2与32＝9 D．log55＝1与51＝5
3．求下列各式的值．
(1)log981＝________；(2)log0.41＝________；(3)ln e2＝________.
逐点清(三) 对数的性质及对数恒等式的应用
[多维理解]
对数的性质 (1)loga1＝______(a>0，且a≠1)；(2)logaa＝______(a>0，且a≠1)；(3)零和负数__________
对数恒等式 alogaN＝________________
|微|点|助|解|
1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．对数恒等式的作用
(1)化简求值，如aloga(x＋2)＝x＋2(a＞0，且a≠1，x＞－2)．
(2)将有关数值转化成幂的形式，如3＝2log23.
[微点练明]
1．已知log3(log2x)＝0，那么x＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于( )
A．10 B．13
C．100 D．±1 001
3．若log2(log0.5(log2x))＝0，则x的值是( )
A. B．2
C. D．1
4．已知2log2x＝log7y，且x＝14，则xy的值为________．
4．2.1 对数的概念
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.对数 logaN＝b 底数 真数 2.lg N ln N
[微点练明] 1.(1)× (2)× (3)√ (4)× 2.C 3.B 4.B
[逐点清(二)]
[多维理解] 1.logaN
[微点练明] 1.D 2.ACD
3．(1)2 (2)0 (3)2
[逐点清(三)]
[多维理解] (1)0 (2)1
(3)没有对数 N(a＞0，且a≠1，N＞0)
[微点练明] 1.B 2.B 3.A 4.98课时跟踪检测(十九) 对数的概念
(满分90分，选填小题每题5分)
1．下列选项中，可以求对数的是( )
A．0 B．－5
C．π D．－x2
2．已知log81＝x，则x等于( )
A．－8 B．8
C．4 D．－4
3．使式子log(2x－1)有意义的x的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B.
C．(－∞，2) D.∪(1,2)
4．方程2log3x＝的解是( )
A. B.
C. D．9
5．(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是( )
A．e0＝1与ln 1＝0
B．8－＝与log8＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log77＝1与71＝7
6．对于a>0且a≠1，下列说法正确的是( )
A．若M＝N，则logaM＝logaN
B．若logaM＝logaN，则M＝N
C．若logaM2＝logaN2，则M＝N
D．若M＝N，则logaM2＝logaN2
7．若a>0，a＝，则loga等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
8．若logx＝z，则x，y，z之间满足( )
A．y7＝xz B．y＝x7z
C．y＝7xz D．y＝z7x
9．(多选)下列等式正确的有( )
A．lg(lg 10)＝0
B．lg(ln e)＝0
C．若lg x＝10，则x＝10
D．若ln x＝e，则x＝e2
10．声强是指声音在传播途径上每平方米面积上的声能流密度，用I表示．由于声强I的变化范围非常大，为方便起见，引入声强级的概念，规定声强级L＝lg，其中I0＝10－12 W/m2，称为基准声强，声强级的单位是Bel， Bel又称为1 dB，生活在30 dB左右的安静环境有利于人的睡眠，而长期生活在90 dB以上的噪音环境中会严重影响人的健康，根据所给信息，可得90 dB声强级的声强是30 dB声强级的声强的( )
A．3倍 B．103倍
C．106倍 D．10500倍
11．若log(x＋1)(2x2＋1)＝2，则x＝________.
12．已知log3(log5a)＝log4(log5b)＝0，则的值为________．
13．若x>0，y>0，且log7x＝log14y＝log28(x＋y)，则＝________.
14．(12分)求下列各式中x的值．
(1)log3x＝－3；(2)logx49＝4；
(3)lg 0.000 01＝x；(4)ln＝－x.
15．(13分)若log2[log(log2x)]＝log3[log(log3y)]＝log5[log(log5z)]＝0，试确定x，y，z的大小关系．
课时跟踪检测(十九)
1．选C 根据对数的定义，得0和负数没有对数，∴选项A、B不可以求对数．又－x2≤0，∴选项D没有对数．∵π>0，∴选项C可以求对数．
2．选B 由题意得()x＝81，即3＝34，则x＝8.
3．选D 要使式子log(2x－1)有意义，则即解得4．选A ∵2log3x＝＝2－2，∴log3x＝－2.∴x＝3－2＝.
5．选ABD e0＝1 ln 1＝0，故A正确；8－＝ log8＝－，故B正确；log39＝2 32＝9,9＝3 log93＝，故C不正确；log77＝1 71＝7，故D正确．
6．选B A中，若M，N小于或等于0时，logaM＝logaN不成立；B正确；C中，M与N也可能互为相反数；D中，当M＝N＝0时不正确．
7．选B 因为a＝，a>0，所以a＝＝3.设loga＝x，所以x＝a.所以x＝3.
8．选B 由题意得＝xz，所以y＝(xz)7＝x7z.
9．选AB lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A正确；lg(ln e)＝lg 1＝0，故B正确；若lg x＝10，则x＝1010，故C错误；若ln x＝e，则x＝ee，故D错误．
10．选C 设90 dB和30 dB声强级的声强分别是I1，I2，由题意，得90＝10lg，30＝10lg.则I1＝I0·109，I2＝I0·103，所以＝＝106.
11．解析：依题意得
解得x＝2.
答案：2
12．解析：由log3(log5a)＝0得log5a＝1，
即a＝5.同理b＝5，故＝1.
答案：1
13．解析：令log7x＝log14y＝log28(x＋y)＝t，则x＝7t，y＝14t，x＋y＝28t，∴7t·28t＝(14t)2.即x(x＋y)＝y2，则1＋＝2.∵>0，∴＝或＝(舍去)．
答案：
14．解：(1)由题意得x＝3－3＝.
(2)由x4＝49，x>0且x≠1，得x＝.
(3)由10x＝0.000 01＝10－5，得x＝－5.
(4)由e－x＝＝e，得x＝－.
15．
∵310>215>56，∴y>x>z.
