阶段质量评价(四) 幂函数、指数函数和对数函数(含解析)高中数学 苏教版(2019)必修 第一册

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名称 阶段质量评价(四) 幂函数、指数函数和对数函数(含解析)高中数学 苏教版(2019)必修 第一册
格式 DOC
文件大小 180.5KB
资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-07-27 12:55:01

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文档简介

阶段质量评价(四) 幂函数、指数函数和对数函数
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.)
1.已知幂函数y=f(x)的图象过点2,,则f(16)=(  )
A.- B.
C.-4 D.4
2.已知3x=2,log3=y,则2x+y的值为(  )
A.1 B.2
C.3 D.9
3.已知a=log3,b=,c=log,则a,b,c的大小关系为(  )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
4.下列函数为偶函数,且在(-∞,0)上单调递增的函数是(  )
A.f(x)=x B.f(x)=x-3
C.f(x)=|x| D.f(x)=|ln x|
5.若函数y=|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是(  )
A.(-∞,-1] B.[-1,0)
C.[1,+∞) D.(0,1]
6.函数f(x)=ln(+x)的图象可能为(  )
7.(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是(  )
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
8.设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)(  )
A.是偶函数,且在上单调递增
B.是奇函数,且在上单调递增
C.是偶函数,且在上单调递增
D.是奇函数,且在上单调递增
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.)
9.已知函数f(x)=ln(2x-x2),则(  )
A.f(x)的定义域为(0,2)
B.f(x)是奇函数
C.f(x)的单调递减区间是(1,2)
D.f(x)的值域为R
10.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=ex,则下列说法正确的是(  )
A.g(0)=1
B.f2(x)-g2(x)=1
C.f(2x)=2f(x)·g(x)
D.若f(m+2)+f(m)>0,则m>-1
11.已知2x=3y=36,则下列说法正确的是(  )
A.xy=2(x+y) B.xy>16
C.x+y<9 D.x2+y2<32
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.)
12.若x∈(0,+∞),幂函数y=(a2-a-1)xa-1单调递减,则实数a的值为________.
13.函数f(x)=log2(4x)·log2(2x),x∈的值域为________.
14.已知函数f(x)=ax2-(a-2)x+1(a>0且a≠1)在区间上单调递减,则实数a的取值范围是________.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.)
15.(13分)设函数f(x)=10-ax,其中a为常数,且f(3)=.
(1)求a的值;
(2)若f(x)≥4,求x的取值范围.
16.(15分)一般地,海面上的大气压强是760 mmHg,高空中因空气稀薄,大气压强就小于760 mmHg,高度越高,大气压强越低,大气压强p(单位:mmHg)和高度h(单位:m)之间的关系为p=760e-hk,其中e是自然对数的底数,k是常数.根据实验,已知500 m高空处的大气压强是700 mmHg.
(1)确定关系式中的常数k;
(2)求1 000 m高空处的大气压强;
(3)如果高空某处的大气压强是560 mmHg,那么该处的高度是多少?
17.(15分)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+a(a∈R).
(1)求函数f(x)在R上的解析式;
(2)若 x∈R,f(x2-x)+f(4-mx)>0恒成立,求实数m的取值范围.
18.(17分)已知y=f(x)(x∈D,D为此函数的定义域)同时满足下列两个条件:①函数f(x)在D内单调递增或单调递减;②如果存在区间[a,b] D,使函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[a,b],那么称y=f(x),x∈D为闭函数.
(1)判断函数f(x)=1+x-x2(x∈(0,+∞))是否为闭函数?并说明理由;
(2)求证:函数y=-x3(x∈[-1,1])为闭函数;
(3)若y=k+(k<0)是闭函数,求实数k的取值范围.
19.(17分)给出下面两个条件:①函数f(x)的图象与直线y=-1只有一个交点;②函数f(x)的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个,将下面问题补充完整.
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x+1)-f(x)=2x-1,且__________.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对任意x∈,2f(log2x)+m≤0恒成立,求实数m的取值范围.
注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
阶段质量评价(四)
1.选B 设f(x)=xα,依题意f(2)=2α==2-,所以α=-.所以f(x)=x-.所以f(16)=16-=(42)-=.
2.选B 由3x=2,得log32=x.又因为log3=y,所以2x+y=2log32+log3=log3=log39=2.
3.选D 由题意可知,log33log3,即c>a.综上可得c>a>b.
4.选C 函数f(x)=x-3是奇函数,不符合题意;
函数f(x)=|ln x|是非奇非偶函数,不符合题意;
f(x)=x为偶函数且在(-∞,0)上单调递减,不符合题意;
f(x)=|x|为偶函数且在(-∞,0)上单调递增.
5.选B 由y=|1-x|+m与x轴有公共点,知y=|1-x|与y=-m有公共点,y=|1-x|的图象如图所示.
由图可知0<-m≤1 -1≤m<0.
6.选A 因为f(-x)=ln(-x),所以f(x)+f(-x)=ln(+x)+ln(-x)=ln 1=0.所以f(x)为奇函数.所以选项C错误.根据解析式可以发现,当x>0时,随着x的增大,f(x)一定是增大的,所以B、D错误.
7.选D 由题意得y=x(x-a)在区间(0,1)单调递减,所以x=≥1,解得a≥2.故选D.
8.选B 由得x≠±.
又f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=-(ln|2x+1|-ln|2x-1|)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.由f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|=ln,又=1+=1+,可得内层函数t=的图象如图所示,
在,上单调递减,在上单调递增.
又y=ln t是定义域内的增函数,由复合函数的单调性可得,f(x)在上单调递增,在,上单调递减.
9.选AC 对于A,由2x-x2>0,得0对于B,∵定义域不关于原点对称,∴f(x)不是奇函数,故B错误;
对于C,∵u=2x-x2在(1,2)上单调递减,而y=ln u在u>0时单调递增,∴f(x)=ln(2x-x2)在(1,2)上单调递减,故C正确;
对于D,∵0<2x-x2=-(x-1)2+1≤1,
∴f(x)≤f(1)=0,故D错误.
10.选ACD 由函数f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且满足f(x)+g(x)=ex,可得f(-x)+g(-x)=e-x,即-f(x)+g(x)=e-x,与f(x)+g(x)=ex联立,
可得g(x)=,f(x)=,
g(0)===1,A选项正确;
f2(x)-g2(x)=2-2==-1,B选项错误;
f(2x)=,2f(x)·g(x)=2×·=,f(2x)=2f(x)·g(x),C选项正确;
函数f(x)=是定义在R上的奇函数,且在R上单调递增,若f(m+2)+f(m)>0,则f(m+2)>-f(m)=f(-m),有m+2>-m,所以m>-1,D选项正确.
11.选ABC 由2x=3y=36可得x=log236,y=log336.
对于A,=+=log363+log362=log366=,所以xy=2(x+y),故选项A正确.
对于B,x=log236=log24+log29=2+log29,log28即3y=log336=log39+log34=2+log34,log33所以y=2+log34∈(3,4).所以x+y>8,xy=2(x+y)>16,故选项B正确.
对于C,x=log236=2+2log23,y=log336=2+2log32,
所以x+y=4+2(log23+log32)=4+2.
令log23=t∈(1,2),
则x+y=4+2,在t∈(1,2)上单调递增,
所以x+y=4+2<4+2×=9,故选项C正确.
对于D,x=2+log29∈(5,6),y=2+log34∈(3,4),所以x2>52=25,y2>32=9.
所以x2+y2>34,故选项D不正确.故选A、B、C.
12.解析:因为函数y=(a2-a-1)xa-1是幂函数,
所以a2-a-1=1,解得a=-1或a=2.
当a=-1时,y=x-2,满足在区间(0,+∞)上单调递减;当a=2时,y=x,不满足在区间(0,+∞)上单调递减.
答案:-1
13.解析:令t=log2x,由于函数t=log2x在上单调递增,
当x∈时,log2≤log2x≤log24,即-2≤log2x≤2,则-2≤t≤2.
所以f(x)=log2(4x)·log2(2x)=(log2x+log24)(log2x+log22)=(t+2)(t+1).
令g(t)=(t+2)(t+1)=t2+3t+2=2-,
因为函数g(t)在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以g(t)min=-.
又g(-2)=0,g(2)=12,
所以g(t)max=g(2)=12,即-≤g(t)≤12.
因此函数f(x)的值域为.
答案:
14.解析:复合函数f(x)=ax2-(a-2)x+1可以看作y=at,t=x2-(a-2)x+1.
当a>1时,外函数y=at单调递增,所以内函数t=x2-(a-2)x+1在上单调递减,则≥1,解得a≥4.
当0综上所述,a≥4或0答案:∪[4,+∞)
15.解:(1)由f(3)=,得10-3a=,得3a-10=-4,解得a=2.
(2)由(1)知f(x)=22x-10.
由f(x)≥4,得22x-10≥22,
故2x-10≥2,解得x≥6.
故x的取值范围为[6,+∞).
16.解:(1)由题设,760e-500k=700,
则-500k=ln,故k=-ln.
(2)由(1)知p=760e,∴当h=1 000时,p=760e2ln =760×2≈644.74 mmHg.故1 000 m高空处的大气压强约为644.74 mmHg.
(3)由(1)知760e=560,则h=≈1 856.69 m.
故大约1 856.69 m高空处的大气压强是560 mmHg.
17.解:(1)由题意知f(0)=0,解得a=-1.所以当x≥0时,f(x)=3x-1.
当x<0时,则-x>0,
所以f(-x)=3-x-1.
又f(x)为奇函数,
所以f(x)=-f(-x).
故当x<0时,f(x)=-3-x+1.
综上,f(x)=
(2)由f(x2-x)+f(4-mx)>0,得f(x2-x)>-f(4-mx).
因为y=f(x)是奇函数,所以f(x2-x)>f(mx-4).
当x≥0时,f(x)=3x-1,所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.
又f(x)是定义在R上的奇函数,
所以y=f(x)在R上单调递增.
可得 x∈R,x2-(m+1)x+4>0恒成立,
故Δ=[-(m+1)]2-16<0,解得-518.解:(1)函数f(x)在区间上单调递增,在上单调递减.
所以该函数不在定义域内单调递增或单调递减,从而该函数不是闭函数.
(2)证明:对于任意x1,x2∈[-1,1],且x1<x2,
有y1-y2=x-x=(x2-x1)(x+x1x2+x)=(x2-x1)·>0,
即y1>y2,故y=-x3是[-1,1]上的减函数.又因为y=-x3在[-1,1]上的值域是[-1,1],
所以函数y=-x3(x∈[-1,1])为闭函数.
(3)易知y=k+是[0,+∞)上的增函数,符合条件①;
设函数符合条件②的区间为[a,b],则有
故a,b是x=k+的两个不等的实数根,即方程组有两个不等非负实数根;
设x1,x2为方程x2-(2k+1)x+k2=0的两根,

解得-故k的取值范围为.
19.解:(1)∵二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x+1)-f(x)=2x-1,
又f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-ax2-bx-c=2ax+a+b,
∴2ax+a+b=2x-1.
∴解得
∴二次函数f(x)=x2-2x+c.
若选①
∵函数f(x)的图象与直线y=-1只有一个交点,
∴交点为函数f(x)的顶点,即f(1)=1-2+c=-1,解得c=0.
∴f(x)的解析式为f(x)=x2-2x.
若选②
设x1,x2是函数f(x)的两个零点,则|x1-x2|=2.由根与系数的关系可知x1+x2=2,x1x2=c,
∴|x1-x2|===2,解得c=0.
∴f(x)的解析式为f(x)=x2-2x.
(2)由2f(log2x)+m≤0,得m≤-2f(log2x).
当x∈时,log2x∈[-2,3],
令h=log2x,则h∈[-2,3],
∴对任意x∈,2f(log2x)+m≤0恒成立,等价于m≤-2f(h)在h∈[-2,3]上恒成立.
∴m≤[-2f(h)]min.
又f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,当x∈[-2,3]时,f(x)max=f(-2)=8,
∴m≤[-2f(h)]min=-2f(-2)=-16,
即实数m的取值范围为(-∞,-16].