(共55张PPT)
4.2.2
对数的运算性质
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.理解对数的运算性质,能熟练运用对数的运算性质化简求值.
2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
(一)对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么,
(1)loga(MN)=_______________;
(2)loga=______________;
(3)logaMn=_________ (n∈R).
恒等式:loMn=logaM(n∈R,m≠0).
logaM+logaN
logaM-logaN
nlogaM
|微|点|助|解|
1.对数的运算性质
(1)对数运算性质的语言表达:“积的对数=对数的和”,“商的对数=对数的差”.
(2)对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算.
(3)注意性质的使用条件:每一个对数都要有意义.
log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的,log10(-10)2=2log10(-10)是不成立的.
2.对数运算中的常用结论
已知a>0,且a≠1.
(1)loga=logaM-1=-logaM(M>0);
(2)loga=logalogaM(M>0,n,p∈N*,p,n>1);
(3)推广:logaN1+logaN2+…+logaNk=loga(N1·N2·…·Nk)(k∈N*,N1, N2,…,Nk均大于0).
(二)换底公式
1.对数换底公式
logaN=__________(其中a>0,a≠1,N>0,c>0,c≠1).
2.推论
(1)logab·logba=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1).
(2)logab·logbc·logca=1(a>0,b>0,c>0,且a,b,c≠1).
|微|点|助|解|
(1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义.
(2)运用换底公式可以改变对数式的底数,把不同底数问题转化为同底数问题来进行化简、计算和证明.
(3)实际应用换底公式时,底数究竟换成什么要由具体的已知条件来确定,一般换成以10为底的常用对数.
基础落实训练
1.计算log84+log82等于 ( )
A.log86 B.8
C.6 D.1
解析：log84+log82=log88=1.
√
2.计算log510-log52等于 ( )
A.log58 B.lg 5
C.1 D.2
√
3.计算log92×log43= ( )
A.4 B.2
C. D.
解析：log92×log43=.
√
4.若lg 3=a,lg 2=b,用a,b表示log43= .
解析：log43=.
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 对数运算性质的应用
[例1] 求下列各式的值.
(1);
解：原式==.
(2)(lg 5)2+lg 2×lg 50;
解：原式=(lg 5)2+lg 2(lg 5+1)=(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2=lg 5(lg 2+lg 5)+lg 2=lg 5+lg 2=1.
(3).
解：原式====-1.
|思|维|建|模| 对数式化简或求值的常用方法和技巧
(1)对于同底数的对数式,化简的常用方法是:
①“收”,即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数,即把多个对数式转化为一个对数式;
②“拆”,即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差).
(2)对含有多重对数符号的对数,应从内向外逐层化简.
(3)当真数是形如“”的式子时,常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”.
针对训练
1.(多选)若10a=4,10b=25,则 ( )
A.a+b=2 B.b-a=1
C.ab>8(lg 2)2 D.b-a解析：∵10a=4,10b=25,∴a=lg 4,b=lg 25,∴a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2,选项A正确;b-a=lg 25-lg 4=lg>lg 6,选项B、D错误;ab=2lg 2×2lg 5=4lg 2×lg 5>4lg 2×lg 4=8(lg 2)2,选项C正确.
√
√
2.计算:
(1)2(lg )2+lg ×lg 5+;
解：原式=lg ×(2lg +lg 5)+=lg ×(lg 2+lg 5)+(1-lg )=lg +1-lg =1.
(2)log535+2lo-log5-log514.
解：原式=log5+2lo=log553-1
=3-1=2.
题型(二) 对数换底公式的应用
[例2] 已知log37=a,2b=3,试用a,b表示log1456.
解：因为2b=3,所以b=log23,即log32=.
所以log1456==.
1.本例条件不变,试用a,b表示log2898.
解:log2898=.
变式拓展
2.若把本例中条件“2b=3”换为3b=2,其他条件不变,则结论又如何呢
解:因为3b=2,所以b=log32.又a=log37,
所以log1456=.
|思|维|建|模|
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
针对训练
3.求值:
(1)log23×log35×log516;
解：原式==4.
(2)(log32+log92)(log43+log83).
解：原式=
=
=.
题型(三) 对数运算的实际应用
[例3] 在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:m/s)和燃料的质量M(单位:kg),火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)满足ev=(e为自然对数的底数)(ln 3≈1.099).当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时,求火箭的最大速度(单位:m/s).
解：因为v=ln=2 000ln,
所以v=2 000ln 3≈2 000×1.099=2 198(m/s).
故当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时,火箭的最大速度为2 198 m/s.
|思|维|建|模|
解决对数应用题的一般步骤
针对训练
4.每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬,科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以用函数v=log3-lg x0表示,v的单位是km/min,其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数,常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.
(1)若x0=4,候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为多少个单位 (结果保留到整数位,参考数据:lg 4≈0.60,31.2≈3.74)
解：将x0=4,v=0,代入v=log3-lg x0,得0=log3-lg 4,则log3=2lg 4≈1.2,即≈31.2≈3.74,解得x≈374,所以候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为374个单位.
(2)若雄鸟的飞行速度为1.3 km/min,雌鸟的飞行速度为0.8 km/min,问雄鸟每分钟耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍
解：设雄鸟每分钟的耗氧量为x1个单位,雌鸟每分钟的耗氧量为x2个单位,
由题意得两式相减得0.5=log3,解得=3.
所以雄鸟每分钟耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.
5.光线通过某种玻璃时,强度损失10%,要使光线强度减弱到原来的以下,求至少需要多少块这样的玻璃(参考数据lg 3≈0.477 1).
解:设需要n(n∈N*)块这样的玻璃,由题意可得,即n≥lo.
因为lo≈10.417,又n∈N*,
所以至少需要11块这样的玻璃.
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1.计算lg 2-lg-eln 2等于( )
A.-1 B.
C.3 D.-5
解析：原式=lg-2=-1.
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A级——达标评价
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2.化简log832的值为 ( )
A. B.2
C.4 D.
解析：log832=.
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3.已知10x=3,10y=5,则用x,y表示lg为( )
A. B.
C.2x+y-1 D.2x-y+1
解析：因为10x=3 x=lg 3,10y=5 y=lg 5,所以lg=lg 9-lg 2=2lg 3-(1-lg 5)=2lg 3+lg 5-1=2x+y-1.
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4.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48)( )
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
解析：由已知得,lg=lg M-lg N=361×lg 3-80×lg 10≈361×0.48-80=93.28=lg 1093.28.故与最接近的是1093.
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5.(多选)若a>1,b>1,且lg(a+b)=lg a+lg b,则 ( )
A.lg(a-1)+lg(b-1)=0 B.lg=0
C.lg(a-1)+lg(b-1)=1 D.lg=1
解析：依题意a>1,b>1,由lg(a+b)=lg a+lg b=lg(ab),得a+b=ab.所以(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=1,且=1,即lg(a-1)+lg(b-1)=lg[(a-1)(b-1)]=lg 1=0,lg=0.故选A、B.
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6.若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根,则ab的值等于 .
解析：∵lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根,∴lg a+lg b=-=2.∴ab=100.
100
7.求值:= .
解析：=1.
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8.已知log37=a,log74=b,用a,b表示log427为 .
解析：由log37=a,log74=b,可得ab=log37×log74=log34=2log32.则log427=.
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9.(8分)计算下列各式的值:
(1)log3+lg 25+lg 4+;
解：原式=log3+lg(25×4)+2=log3+lg 102+2=-+2+2=.
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(2)2log32-log3+log38-.
解：原式=2log32-(log325-log39)+3log32-=2log32-5log32+2log33+3log32-9=2-9=-7.
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10.(10分)抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽几次 (已知lg 2≈0.301 0)
解:设抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%,原先容器中的空气体积为a,则a(1-60%)n<0.1%a,即0.4n<0.001,两边取常用对数,
得n·lg 0.4≈7.5.故至少要抽8次才能使容器内的空气少于原来的0.1%.
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11.17世纪初,苏格兰数学家纳皮尔发明了对数,在此基础上,布里格斯制作了第一个常用对数表,在科学技术中,还常使用以无理数e为底数的自然对数,其中e=2.718 28…,对数是简化运算的有效工具,依据下表数据,计算ln的结果约为( )
B级——重点培优
x 1.310 2 3.190 3.797 4.715 5 7.397 …
ln x 0.270 0 0.693 1 1.160 0 1.334 2 1.550 7 1.609 4 2.001 0 …
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A.1.334 B.1.244
C.2.747 D.3.733
解析：lnln(31.9×1.312)=[ln(31.9)+ln(1.312)]
=(ln 3.19+ln 2+ln 5+2ln 1.31)=4.002 5÷3≈1.334.
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12.(多选)若实数a,b满足2a=5b=10,则下列关系正确的有 ( )
A.=1 B.=lg 20
C.=2 D.
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解析：由已知,得a=log210,b=log510,=lg 2+lg 5=1,故A正确;=lg 4+lg 5=lg 20,故B正确;=lg 2+lg 25=lg 50,故C、D不正确.
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13.十六、十七世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数,直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,即ab=N b=logaN,现在已知a=log48,
b=log24,则4a= ,a+b= .(用最简结果作答)
解析：已知a=log48,b=log24,所以4a==8,a+b=+2=+2=.
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14.(12分)设xa=yb=zc,且,求证:z=xy.
证明:设xa=yb=zc=k,k>0,且k≠1,则a=logxk,b=logyk,c=logzk.因为,所以,即logkx+logky=logkz.所以logk(xy)=logkz,即z=xy.
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15.(12分)解答下列问题:
(1)用ln x,ln y,ln z表示ln;
解：ln=lny4-ln=ln+ln y4-lnln x+4ln y-ln z.
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(2)已知2x=3y=M,且=1,求M的值.
解：因为2x=3y=M,所以x=log2M,y=log3M.所以=logM2,=logM3.又因为=1,即=1,所以2logM3+3logM2=logM72=1,即M=72.4．2.2 对数的运算性质—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
(一)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么，
(1)loga(MN)＝________________；
(2)loga＝____________；
(3)logaMn＝________(n∈R)．
恒等式：logamMn＝logaM(n∈R，m≠0)．
|微|点|助|解|
1．对数的运算性质
(1)对数运算性质的语言表达：“积的对数＝对数的和”，“商的对数＝对数的差”．
(2)对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．
(3)注意性质的使用条件：每一个对数都要有意义．
log2(－3)(－5)＝log2(－3)＋log2(－5)是不成立的，log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的．
2．对数运算中的常用结论
已知a＞0，且a≠1.
(1)loga＝logaM－1＝－logaM(M＞0)；
(2)loga＝logaM＝logaM(M＞0，n，p∈N*，p，n＞1)；
(3)推广：logaN1＋logaN2＋…＋logaNk＝loga(N1·N2·…·Nk)(k∈N*，N1，N2，…，Nk均大于0)．
(二)换底公式
1．对数换底公式
logaN＝________(其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1)．
2．推论
(1)logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．
(2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)．
|微|点|助|解|
(1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义．
(2)运用换底公式可以改变对数式的底数，把不同底数问题转化为同底数问题来进行化简、计算和证明．
(3)实际应用换底公式时，底数究竟换成什么要由具体的已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数．
1．计算log84＋log82等于( )
A．log86 B．8
C．6 D．1
2．计算log510－log52等于( )
A．log58 B．lg 5
C．1 D．2
3．计算log92×log43＝( )
A．4 B．2
C. D.
4．若lg 3＝a，lg 2＝b，用a，b表示log43＝________.
题型(一) 对数运算性质的应用
[例1] 求下列各式的值．
(1)；
(2)(lg 5)2＋lg 2×lg 50；
(3).
听课记录：
|思|维|建|模|
对数式化简或求值的常用方法和技巧
(1)对于同底数的对数式，化简的常用方法是：
①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式；
②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差)．
(2)对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简．
(3)当真数是形如“±”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”．
[针对训练]
1．(多选)若10a＝4,10b＝25，则( )
A．a＋b＝2 B．b－a＝1
C．ab＞8(lg 2)2 D．b－a＜lg 6
2．计算：
(1)2(lg )2＋lg ×lg 5＋；
(2)log535＋2log－log5－log514.
题型(二) 对数换底公式的应用
[例2] 已知log37＝a,2b＝3，试用a，b表示log1456.
听课记录：
[变式拓展]
1．本例条件不变，试用a，b表示log2898.
2．若把本例中条件“2b＝3”换为3b＝2，其他条件不变，则结论又如何呢？
|思|维|建|模|
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
[针对训练]
3．求值：
(1)log23×log35×log516；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
题型(三) 对数运算的实际应用
[例3] 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝2 000(e为自然对数的底数)(ln 3≈1.099)．当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．
听课记录：
|思|维|建|模| 解决对数应用题的一般步骤
[针对训练]
4．每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以用函数v＝log3－lg x0表示，v的单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．
(1)若x0＝4，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？(结果保留到整数位，参考数据：lg 4≈0.60,31.2≈3.74)
(2)若雄鸟的飞行速度为1.3 km/min，雌鸟的飞行速度为0.8 km/min，问雄鸟每分钟耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？
5．光线通过某种玻璃时，强度损失10%，要使光线强度减弱到原来的以下，求至少需要多少块这样的玻璃(参考数据lg 3≈0.477 1)．
4．2.2 对数的运算性质
?课前预知教材
(一)(1)logaM＋logaN (2)logaM－logaN (3)nlogaM
(二)1.
[基础落实训练] 1.D 2.C 3.D 4.
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＝(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 2＋lg 5)＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.
(3)原式＝
＝
＝＝＝＝－1.
[针对训练]
1．选AC ∵10a＝4,10b＝25，∴a＝lg 4，b＝lg 25，∴a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，选项A正确；b－a＝lg 25－lg 4＝lg>lg 6，选项B、D错误；ab＝2lg 2×2lg 5＝4lg 2×lg 5>4lg 2×lg 4＝8(lg 2)2，选项C正确．
2．解：(1)原式＝lg ×(2lg ＋lg 5)＋＝lg ×(lg 2＋lg 5)＋(1－lg )＝lg ＋1－lg ＝1.
(2)原式＝log5＋2log2＝log553－1＝3－1＝2.
[题型(二)]
[例2] 解：因为2b＝3，所以b＝log23，
即log32＝.
所以log1456＝＝＝＝＝.
[变式拓展]
1．解：log2898＝＝＝＝＝.
2．解：因为3b＝2，所以b＝log32.又a＝log37，
所以log1456＝＝＝.
[针对训练]
3．解：(1)原式＝××＝＝＝4.
(2)原式＝
＝
＝×＝.
[题型(三)]
[例3] 解：因为v＝ln2 000＝2 000ln，所以v＝2 000ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)．
故当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.
[针对训练]
4．解：(1)将x0＝4，v＝0，代入v＝log3－lg x0，得0＝log3－lg 4，则log3＝2lg 4≈1.2，即≈31.2≈3.74，解得x≈374，所以候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为374个单位．
(2)设雄鸟每分钟的耗氧量为x1个单位，雌鸟每分钟的耗氧量为x2个单位，
由题意得两式相减得0.5＝log3，解得＝3.所以雄鸟每分钟耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．
5．解：设需要n(n∈N*)块这样的玻璃，由题意可得n≤，即n≥log.因为log＝＝≈10.417，
又n∈N*，所以至少需要11块这样的玻璃．课时跟踪检测(二十) 对数的运算性质
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．计算lg 2－lg－eln 2等于( )
A．－1 B.
C．3 D．－5
2．化简log832的值为( )
A. B．2
C．4 D.
3．已知10x＝3,10y＝5，则用x，y表示lg为( )
A. B.
C．2x＋y－1 D．2x－y＋1
4．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)( )
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
5．(多选)若a>1，b>1，且lg(a＋b)＝lg a＋lg b，则( )
A．lg(a－1)＋lg(b－1)＝0
B．lg＝0
C．lg(a－1)＋lg(b－1)＝1
D．lg＝1
6．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于________．
7．求值：＝________.
8．已知log37＝a，log74＝b，用a，b表示log427为________．
9．(8分)计算下列各式的值：
(1)log3＋lg 25＋lg 4＋7log72；
(2)2log32－log3＋log38－52log53.
10．(10分)抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(已知lg 2≈0.301 0)
B级——重点培优
11．17世纪初，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，在此基础上，布里格斯制作了第一个常用对数表，在科学技术中，还常使用以无理数e为底数的自然对数，其中e＝2.718 28…，对数是简化运算的有效工具，依据下表数据，计算ln的结果约为( )
x 1.310 2 3.190 3.797 4.715 5 7.397 …
ln x 0.270 0 0.693 1 1.160 0 1.334 2 1.550 7 1.609 4 2.001 0 …
A.1.334 B．1.244
C．2.747 D．3.733
12．(多选)若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系正确的有( )
A.＋＝1 B.＋＝lg 20
C.＋＝2 D.＋＝
13．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数，直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即ab＝N b＝logaN，现在已知a＝log48，b＝log24，则4a＝________，a＋b＝________.(用最简结果作答)
14．(12分)设xa＝yb＝zc，且＋＝，求证：z＝xy.
15．(12分)解答下列问题：
(1)用ln x，ln y，ln z表示ln；
(2)已知2x＝3y＝M，且＝1，求M的值．
课时跟踪检测(二十)
1．选A 原式＝lg－2＝－1.
2．选D log832＝＝＝.
3．选C 因为10x＝3 x＝lg 3,10y＝5 y＝lg 5，所以lg＝lg 9－lg 2＝2lg 3－(1－lg 5)＝2lg 3＋lg 5－1＝2x＋y－1.
4．选D 由已知得，lg＝lg M－lg N＝361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.故与最接近的是1093.
5．选AB 依题意a>1，b>1，由lg(a＋b)＝lg a＋lg b＝lg(ab)，得a＋b＝ab.所以(a－1)·(b－1)＝ab－(a＋b)＋1＝1，且＝＋＝1，即lg(a－1)＋lg(b－1)＝lg[(a－1)·(b－1)]＝lg 1＝0，lg＝0.故选A、B.
6．解析：∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴lg a＋lg b＝－＝2.
∴ab＝100.
答案：100
7．解析：＝＝＝＝＝1.
答案：1
8．解析：由log37＝a，log74＝b，可得ab＝log37×log74＝log34＝2log32.则log427＝
＝＝＝.
答案：
9．解：(1)原式＝＋lg(25×4)＋2＝＋lg 102＋2＝－＋2＋2＝.
(2)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－5log532＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.
10．解：设抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%，原先容器中的空气体积为a，则a(1－60%)n＜0.1%a，即0.4n＜0.001，两边取常用对数，得n·lg 0.4＜lg 0.001，∴n＞＝≈7.5.故至少要抽8次才能使容器内的空气少于原来的0.1%.
11．选A ln＝ln(31.9×1.312)＝[ln(31.9)＋ln(1.312)]＝(ln 3.19＋ln 2＋ln 5＋2ln 1.31)＝4.002 5÷3≈1.334.
12．选AB 由已知，得a＝log210，b＝log510，＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝1，故A正确；＋＝＋＝lg 4＋lg 5＝lg 20，故B正确；＋＝＋＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故C、D不正确．
13．解析：已知a＝log48，b＝log24，所以4a＝4log48＝8，a＋b＝＋2＝＋2＝.
答案：8
14．证明：设xa＝yb＝zc＝k，k＞0，且k≠1，则a＝logxk，b＝logyk，c＝logzk.因为＋＝，所以＋＝，即logkx＋logky＝logkz.所以logk(xy)＝logkz，即z＝xy.
15．解：(1)ln＝lny4－ln＝ln＋ln y4－ln＝ln x＋4ln y－ln z.
(2)因为2x＝3y＝M，所以x＝log2M，y＝log3M.
所以＝logM2，＝logM3.
又因为＝1，即＋＝1，
所以2logM3＋3logM2＝logM72＝1，即M＝72.
