第 2 课时 函数概念的应用—— (教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
[课时目标] 进一步了解函数的概念，能求简单函数的定义域及值域．能求一些简单的抽象函数值及定义域．
题型(一) 已知解析式求函数的定义域
[例1] 函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，3] B．[0,3]
C．(0,2)∪(2,3) D．[0,2)∪(2,3]
听课记录：
[例2] 函数f(x)＝ －的定义域是________．
听课记录：
|思|维|建|模|
已知解析式求函数的定义域的步骤
[针对训练]
1．函数f(x)＝－(x－3)0的定义域为( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞) D．[3，＋∞)
2．函数f(x)＝－的定义域为_______．
题型(二) 求抽象函数的定义域
[例3] 已知函数y＝f(x)的定义域是[－1,3]，则f(2x＋1)的定义域为________．
听课记录：
[例4] 若函数y＝f(3x＋1)的定义域为[－2,4]，则y＝f(x)的定义域是________．
听课记录：
|思|维|建|模|
抽象函数的定义域的类型及解题策略
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域．
(2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]上的范围(值域)即定义域．
[针对训练]
3．若函数y＝f(x)的定义域是[0,3]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[0,1) B．(0,1)
C．[0,1] D．[0,1)∪(1,9]
4．已知f(x2－1)的定义域为[1,3]，则f(2x－1)的定义域为( )
A. B.
C. D.
题型(三) 求函数的值域
[例5] 求下列函数的值域：
(1)y＝x＋1；
(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
(3)y＝；
(4)y＝2x－.
听课记录：
|思|维|建|模|
求函数值域的方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
(4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．
[针对训练]
5．求下列函数的值域：
(1)y＝－1(x≥4)；
(2)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(3)y＝x＋；
(4)y＝x2－2x－3(x∈[－1,2])．
第2课时 函数概念的应用
[题型(一)]
[例1] 选D 由题设可得解得0≤x≤3，且x≠－，x≠2，故x∈[0,2)∪(2,3]．
[例2] 解析：由题意，得解得x≥－1且x≠0.故x∈[－1,0)∪(0，＋∞)．
答案：[－1,0)∪(0，＋∞)
[针对训练]
1．选C 由得x>2，且x≠3.
2．解析：要使f(x)有意义，则解得x≥1.所以f(x)的定义域为[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
[题型(二)]
[例3] 解析：令－1≤2x＋1≤3，解得－1≤x≤1.所以f(2x＋1)的定义域为[－1,1]．
答案：[－1,1]
[例4] 解析：由题意知，－2≤x≤4.
所以－5≤3x＋1≤13.
所以y＝f(x)的定义域是[－5,13]．
答案：[－5,13]
[针对训练]
3．选A 因为函数y＝f(x)的定义域是[0,3]，所以解得0≤x<1.所以函数g(x)＝的定义域是[0,1)．
4．选B 由f(x2－1)的定义域为[1,3]，得x∈[1,3]．所以x2∈[1,9]，即x2－1∈[0,8]．所以f(x)的定义域为[0,8]．令2x－1∈[0,8]，得2x∈[1,9]，即x∈.
所以f(2x－1)的定义域为.
[题型(三)]
[例5] 解：(1)(观察法)∵x∈R，
∴x＋1∈R，即函数值域是R.
(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．
(3)(分离常数法)y＝＝＝3－.
∵≠0，∴y≠3.
∴y＝的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)．
(4)(换元法)设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，∴y＝2(t2＋1)－t＝22＋.由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为.
[针对训练]
5．解：(1)因为x≥4，所以≥2.
所以－1≥1.
所以函数的值域为[1，＋∞)．
(2)因为x∈{1,2,3,4,5}，y＝2x＋1，
所以y＝{3,5,7,9,11}．
(3)设u＝，则u≥0，且x＝，于是y＝＋u＝(u＋1)2≥.
所以y＝x＋的值域为.
(4)因为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，x∈[－1，2]，
所以当x＝1时，ymin＝－4，
当x＝－1时，ymax＝0.
所以函数的值域为[－4,0]．(共43张PPT)
函数概念的应用
(教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
第2课时
课时目标
进一步了解函数的概念,能求简单函数的定义域及值域.能求一些简单的抽象函数值及定义域.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 已知解析式求函数的定义域
题型(二) 求抽象函数的定义域
题型(三) 求函数的值域
4
课时跟踪检测
题型(一) 已知解析式求函数的
定义域
01
[例1] 函数y=的定义域为( )
A.(-∞,3] B.[0,3]
C.(0,2)∪(2,3) D.[0,2)∪(2,3]
解析：由题设可得解得0≤x≤3,且x≠-,x≠2,
故x∈[0,2)∪(2,3].
√
[例2] 函数f(x)= 的定义域是 .
解析：由题意,得解得x≥-1且x≠0.故x∈[-1,0)∪(0,+∞).
[-1,0)∪(0,+∞)
|思|维|建|模|
已知解析式求函数的定义域的步骤
1.函数f(x)=-(x-3)0的定义域为( )
A.[2,+∞) B.(2,+∞)
C.(2,3)∪(3,+∞) D.[3,+∞)
解析：由得x>2,且x≠3.
针对训练
√
2.函数f(x)=的定义域为 .
解析：要使f(x)有意义,则解得x≥1.所以f(x)的定义域为[1,+∞).
[1,+∞)
题型(二) 求抽象函数的定义域
02
[例3] 已知函数y=f(x)的定义域是[-1,3],则f(2x+1)的定义域为 .
解析：令-1≤2x+1≤3,解得-1≤x≤1.
所以f(2x+1)的定义域为[-1,1].
[-1,1]
[例4] 若函数y=f(3x+1)的定义域为[-2,4],则y=f(x)的定义域是 .
解析：由题意知,-2≤x≤4.
所以-5≤3x+1≤13.
所以y=f(x)的定义域是[-5,13].
[-5,13]
|思|维|建|模|
抽象函数的定义域的类型及解题策略
(1)已知f(x)的定义域为[a,b],求f(g(x))的定义域时,不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域.
(2)已知f(g(x))的定义域为[c,d],求f(x)的定义域时,求出g(x)在[c,d]上的范围(值域)即定义域.
针对训练
3.若函数y=f(x)的定义域是[0,3],则函数g(x)=的定义域是( )
A.[0,1) B.(0,1)
C.[0,1] D.[0,1)∪(1,9]
解析：因为函数y=f(x)的定义域是[0,3],所以解得0≤x<1.所以函数g(x)=的定义域是[0,1).
√
4.已知f(x2-1)的定义域为[1,3],则f(2x-1)的定义域为 ( )
A. B.
C. D.
解析：由f(x2-1)的定义域为[1,3],得x∈[1,3].所以x2∈[1,9],即x2-1∈[0,8].所以f(x)的定义域为[0,8].令2x-1∈[0,8],得2x∈[1,9],即x∈.所以f(2x-1)的定义域为.
√
题型(三) 求函数的值域
03
[例5] 求下列函数的值域：
(1)y=x+1;
解： (观察法)∵x∈R,∴x+1∈R,即函数值域是R.
(2)y=x2-2x+3,x∈[0,3);
解： (配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),再结合函数的图象(如图),可得函数的值域为[2,6).
(3)y=;
解：(分离常数法)y==3-.∵≠0,∴y≠3.
∴y=的值域为(-∞,3)∪(3,+∞).
(4)y=2x-.
解：(换元法)设t=,则t≥0且x=t2+1,∴y=2(t2+1)-t=2.由t≥0,再结合函数的图象(如图),可得函数的值域为.
|思|维|建|模| 求函数值域的方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到.
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法,即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法.
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域.
(4)换元法：对于一些无理函数(如y=ax±b±),通过换元把它们转化为有理函数,然后利用有理函数求值域的方法,间接地求解原函数的值域.
针对训练
5.求下列函数的值域：
(1)y=-1(x≥4);
解：因为x≥4,所以≥2.所以-1≥1.所以函数的值域为[1,+∞).
(2)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5};
解：因为x∈{1,2,3,4,5},y=2x+1,所以y={3,5,7,9,11}.
(3)y=x+;
解：设u=,则u≥0,且x=,于是y=+u=(u+1)2≥.
所以y=x+的值域为.
(4)y=x2-2x-3(x∈[-1,2]).
解：因为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,x∈[-1,2],所以当x=1时,ymin=-4,
当x=-1时,ymax=0.所以函数的值域为[-4,0].
课时跟踪检测
04
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
1.函数f(x)=的定义域为( )
A. B.
C. D.
解析：要使f(x)有意义,只需满足即x≤且x≠0.
√
A级——达标评价
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
2.已知函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为 ( )
A.{-1,0,3} B.{0,1,2,3}
C.{y|-1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3}
解析：由题意,当x=0时,y=0;当x=1时,y=1-2=-1;当x=2时,y=4-2×2=0;当x=3时,y=9-2×3=3,所以函数y=x2-2x的值域为{-1,0,3}.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
3.函数f(x)=(x∈R)的值域是( )
A.(-∞,1] B.(0,1]
C.[0,1) D.[0,1]
解析：因为x2+1≥1,所以0<≤1.故函数f(x)=(x∈R)的值域为(0,1],故选B.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
4.(多选)下列函数中,定义域为{x|x>1}的是 ( )
A.y= B.y=
C.y=+(3x-3)0 D.y=(2x-2)0
解析：A选项,依题可知x-1≠0,且2x-2≥0,所以x>1,故A正确;B选项,依题可知x-1≥0,所以x≥1,故B错误;C选项,依题可知x-1≥0,且3x-3≠0,所以x>1,故C正确;D选项,依题可知2x-2≠0,所以x≠1,故D错误.
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
5.已知函数y=f(x)的定义域为[-8,1],则函数g(x)=的定义域是( )
A.(-∞,-2)∪(-2,3] B.[-8,-2)∪(-2,1]
C. D.∪(-2,0]
解析：因为函数y=f(x)的定义域为[-8,1],所以对于函数g(x)=有解得-≤x<-2或-2
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
6.函数y=x2-1的值域为 .
解析：易知y=x2-1的定义域为R.因为x2≥0,所以x2-1≥-1.所以函数y=x2-1的值域为[-1,+∞).
[-1,+∞)
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
7.已知函数f(x)的定义域为[-1,3],则g(x)=f(x-2)+的定义域为 .
解析：因为函数f(x)的定义域为[-1,3],所以f(x-2)中x-2∈[-1,3].所以g(x)的定义域满足解得1≤x≤3.
[1,3]
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
8.已知函数y=f(-2x+1)的定义域是[-1,2],则y=f(x)的定义域是 .
解析：由题意知-1≤x≤2,所以-3≤-2x+1≤3.所以y=f(x)的定义域为[-3,3].
[-3,3]
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9.(10分)求下列函数的定义域：
(1)f(x)=(x+2)0+;
解：由题意得解得x≤1且x≠-2.
所以函数f(x)的定义域是(-∞,-2)∪(-2,1].
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)g(x)=.
解：由题意得解得x≥0且x≠3.
所以函数g(x)的定义域是[0,3)∪(3,+∞).
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
10.(12分)求下列函数的值域：
(1)y=;
解：∵0≤16-x2≤16,∴0≤≤4,即函数y=的值域为[0,4].
(2)y=;
解：(分离常数法)∵y==1-,且定义域为{x|x≠-1},∴≠0,即y≠1.
∴函数y=的值域为{y|y∈R,且y≠1}.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(3)y=2x+4.
解：(换元法)令t=(t≥0),则x=1-t2,所以y=-2t2+4t+2=-2(t-1)2+4(t≥0),结合图象(图略)可得函数的值域为(-∞,4].
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
11.已知等腰三角形的周长为40 cm,底边长y(cm)是腰长x(cm)的函数,则函数的定义域为 ( )
A.(10,20) B.(0,10)
C.(5,10) D.[5,10)
解析：由题设有y=40-2x,由得10√
B级——重点培优
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
12.函数f(x)=的值域是( )
A.(-∞,-1) B.(1,+∞)
C.(-∞,1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞)
解析：∵f(x)==1-,又x+1≠0,即≠0,∴f(x)≠1.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
13.已知函数f(2x-1)的定义域为(0,1),则函数f(1-3x)的定义域是 ( )
A. B. C.(-1,1) D.
解析：因为函数f(2x-1)的定义域为(0,1),即x∈(0,1),所以-1<2x-1<1.所以函数f(x)的定义域为(-1,1).由-1<1-3x<1,得0√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
14.若函数y=的定义域为R,则a的取值范围为 .
解析：当a=0时,1≥0恒成立,所以a=0符合题意;当a≠0时,由题意知 0综上,a的取值范围为[0,4].
[0,4]
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
15.(14分)(1)已知函数f(x)的定义域为(1,2],值域为[-5,+∞),设g(x)=f(2x-1),求g(x)的定义域和值域;
解：因为1<2x-1≤2,所以11
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)已知g(x)=f(2x-1)+1,且g(x)的定义域为(1,2],值域为[-5,+∞),求函数f(x)的定义域和值域.
解：因为1因为g(x)≥-5,所以g(x)-1≥-6.
因为g(x)=f(2x-1)+1,所以f(2x-1)=g(x)-1≥-6,故f(x)≥-6.
因此函数f(x)的定义域为(1,3],值域为[-6,+∞).课时跟踪检测(二十二) 函数概念的应用
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．函数f(x)＝的定义域为( )
A. B.
C. D.
2．已知函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )
A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
3．函数f(x)＝(x∈R)的值域是( )
A．(－∞，1] B．(0,1]
C．[0,1) D．[0,1]
4．(多选)下列函数中，定义域为{x|x>1}的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝＋(3x－3)0 D．y＝(2x－2)0
5．已知函数y＝f(x)的定义域为[－8,1]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．(－∞，－2)∪(－2,3]
B．[－8，－2)∪(－2,1]
C.
D.∪(－2,0]
6．函数y＝x2－1的值域为________．
7．已知函数f(x)的定义域为[－1,3]，则g(x)＝f(x－2)＋的定义域为________．
8．已知函数y＝f(－2x＋1)的定义域是[－1,2]，则y＝f(x)的定义域是__________．
9．(10分)求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝(x＋2)0＋；
(2)g(x)＝.
10．(12分)求下列函数的值域：
(1)y＝；(2)y＝；
(3)y＝2x＋4.
B级——重点培优
11．已知等腰三角形的周长为40 cm，底边长y(cm)是腰长x(cm)的函数，则函数的定义域为( )
A．(10,20) B．(0,10)
C．(5,10) D．[5,10)
12．函数f(x)＝的值域是( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
13．已知函数f(2x－1)的定义域为(0,1)，则函数f(1－3x)的定义域是( )
A. B.
C．(－1,1) D.
14．若函数y＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
15．(14分)(1)已知函数f(x)的定义域为(1,2]，值域为[－5，＋∞)，设g(x)＝f(2x－1)，求g(x)的定义域和值域；
(2)已知g(x)＝f(2x－1)＋1，且g(x)的定义域为(1,2]，值域为[－5，＋∞)，求函数f(x)的定义域和值域．
课时跟踪检测(二十二)
1．选D 要使f(x)有意义，只需满足即x≤且x≠0.
2．选A 由题意，当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，所以函数y＝x2－2x的值域为{－1,0,3}．
3．选B 因为x2＋1≥1，所以0<≤1.故函数f(x)＝(x∈R)的值域为(0,1]，故选B.
4．选AC A选项，依题可知x－1≠0，且2x－2≥0，所以x>1，故A正确；B选项，依题可知x－1≥0，所以x≥1，故B错误；C选项，依题可知x－1≥0，且3x－3≠0，所以x>1，故C正确；D选项，依题可知2x－2≠0，所以x≠1，故D错误．
5．选D 因为函数y＝f(x)的定义域为[－8,1]，所以对于函数g(x)＝有解得－≤x<－2或－2所以函数g(x)的定义域为∪(－2,0]．
6．解析：易知y＝x2－1的定义域为R.因为x2≥0，所以x2－1≥－1.所以函数y＝x2－1的值域为[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
7．解析：因为函数f(x)的定义域为[－1,3]，所以f(x－2)中x－2∈[－1,3]．所以g(x)的定义域满足解得1≤x≤3.
答案：[1,3]
8．解析：由题意知－1≤x≤2，所以－3≤－2x＋1≤3.所以y＝f(x)的定义域为[－3,3]．
答案：[－3,3]
9．解：(1)由题意得解得x≤1且x≠－2.
所以函数f(x)的定义域是(－∞，－2)∪(－2,1]．
(2)由题意得解得x≥0且x≠3.
所以函数g(x)的定义域是[0,3)∪(3，＋∞)．
10．解：(1)∵0≤16－x2≤16，∴0≤≤4，即函数y＝的值域为[0,4]．
(2)(分离常数法)∵y＝＝1－，且定义域为{x|x≠－1}，∴≠0，即y≠1.
∴函数y＝的值域为{y|y∈R，且y≠1}．
(3)(换元法)令t＝(t≥0)，则x＝1－t2，所以y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，结合图象(图略)可得函数的值域为(－∞，4]．
11．选A 由题设有y＝40－2x，由得1012．选C ∵f(x)＝＝1－，又x＋1≠0，即≠0，∴f(x)≠1.
13．选D 因为函数f(2x－1)的定义域为(0,1)，即x∈(0,1)，所以－1<2x－1<1.所以函数f(x)的定义域为(－1,1)．由－1<1－3x<1，得014．解析：当a＝0时，1≥0恒成立，所以a＝0符合题意；当a≠0时，由题意知 0综上，a的取值范围为[0,4]．
答案：[0,4]
15．解：(1)因为1＜2x－1≤2，所以1＜x≤.又f(x)的值域为[－5，＋∞)，所以函数g(x)的定义域为，值域为[－5，＋∞)．
(2)因为1＜x≤2，所以1＜2x－1≤3.
因为g(x)≥－5，所以g(x)－1≥－6.
因为g(x)＝f(2x－1)＋1，
所以f(2x－1)＝g(x)－1≥－6，故f(x)≥－6.
因此函数f(x)的定义域为(1,3]，值域为[－6，＋∞)．