(共65张PPT)
指数函数图象与性质的应用
(教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学)
第2课时
课时目标
1.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,掌握与指数函数有关的图象变换.
2.掌握与指数函数有关的复合函数的单调性及其应用.
3.掌握指数函数的实际应用,能在实际应用问题中建立指数函数模型.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 指数函数的图象及应用
题型(二) 指数型复合函数的单调性
题型(三) 指数函数的实际应用
4
课时跟踪检测
题型(一) 指数函数的图象及应用
01
[例1] 函数y=2|x|-1的图象大致为 ( )
解析：由题知函数的定义域为R,当x∈(0,+∞)时,y=2x-1单调递增,故排除B、D选项,
当x=0时,y=20-1=0,过坐标原点,排除A.
√
[例2] 已知函数y=3x的图象,怎样变换得到y=x+1+2的图象 并画出相应图象.
解：y=x+1+2=3-(x+1)+2.作函数y=3x的图象关于y轴的对称图象得函数y=3-x的图象,
再向左平移1个单位长度就得到函数y=3-(x+1)的图象,最后再向上平移2个单位长度就得到函数y=3-(x+1)+2=+2
的图象,如图所示.
|思|维|建|模|
处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1),求指数型函数图象所过的定点时,只要令指数为0,求出对应的y的值,即可得函数图象所过的定点.
(2)巧用图象变换:函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).
(3)利用函数的性质:奇偶性确定函数的对称情况,单调性决定函数图象的走势.
1.若a>1,b<-1,则函数y=ax+b的图象一定经过 ( )
A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限
C.第二、三、四象限 D.第一、二、四象限
解析：因为a>1,且b<-1,所以作出其图象如图所示,
可知该函数图象经过第一、三、四象限.
针对训练
√
2.函数y=ax-(a>0,且a≠1)的图象可能是( )
√
解析：若a>1,则0<<1,所以y=ax-(a>0,且a≠1)在R上是增函数,且图象可以由y=ax的图象向下平移个单位长度得到,其中0<<1,因此选项A、B排除;若0
1,所以y=ax-(a>0,且a≠1)在R上是减函数,且图象可以由y=ax的图象向下平移个单位长度得到,其中>1,故排除选项C,选项D正确.
题型(二) 指数型复合函数的单调性
02
[例3] (1)求函数y=的单调区间;
解：易知函数y=的定义域为R,
且函数y=在R上单调递减.
∵在(-∞,3]上,y=x2-6x+17单调递减,
∴y=在(-∞,3]上单调递增.
∵在[3,+∞)上,y=x2-6x+17单调递增,
∴y=在[3,+∞)上单调递减.
∴y=的增区间是(-∞,3],减区间是[3,+∞).
(2)求函数y=-8·+17的单调区间.
解：函数y=-8·+17的定义域为R.
设t=>0,又y=t2-8t+17在(0,4]上单调递减,在[4,+∞)上单调递增.
令≤4,得x≥-2,∴当-2≤x1即4≥t1>t2.∴-8t1+17<-8t2+17.
∴y=-8·+17的增区间是[-2,+∞).
同理可得减区间是(-∞,-2].
|思|维|建|模|
函数y=af(x)(a>0,a≠1)的单调性的处理技巧
(1)关于指数型函数y=af(x)(a>0,a≠1)的单调性由两点决定,一是底数a>1还是0(2)求复合函数的单调区间时,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过考查f(u)和φ(x)的单调性,求出y=f(φ(x))的单调性.
针对训练
3.求下列函数的单调区间.
(1)y=;
解：设y=au,u=x2+2x-3.
由u=x2+2x-3=(x+1)2-4,得u在(-∞,-1]上单调递减,
在[-1,+∞)上单调递增.
当a>1时,y=au单调递增;当0∴当a>1时,原函数的增区间为[-1,+∞),减区间为(-∞,-1];
当0(2)y=.
解：由已知,得函数的定义域为{x|x≠0}.
设y=,u=0.2x,易知u=0.2x为减函数.
而根据y=的图象可知在区间(-∞,1)和(1,+∞)上单调递减,
∴原函数的增区间为(-∞,0)和(0,+∞).
4.(1)已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,求m的取值范围;
解：令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在区间上单调递增,在区间上单调递减.而y=2t在R上单调递增,所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上单调递增,则有≤2,即m≤4,所以m的取值范围是(-∞,4].
(2)若函数f(x)=有最大值3,求a的值.
解：令h(x)=ax2-4x+3,y=,
由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1,
因此必有解得a=1,
即当f(x)有最大值3时,a的值为1.
题型(三) 指数函数的实际应用
03
[例4] 某林区2023年木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山育林、严禁采伐等措施,使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.
(1)若经过x年后,该林区的木材蓄积量为y万立方米,求y=f(x)的表达式,并求此函数的定义域;
解：现有木材蓄积量为200万立方米,经过1年后木材蓄积量为200+200×5%=200(1+5%).经过2年后木材蓄积量为:200(1+5%)+200(1+5%)×5%=200×(1+5%)2.
∴经过x年后木材蓄积量为200(1+5%)x.
∴y=f(x)=200(1+5%)x,函数的定义域为x∈N*.
(2)求经过多少年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米.
解：作函数y=f(x)=200(1+5%)x(x≥0)图象见下图.
x 0 1 2 3 …
y 200 210 220.5 231.525 …
作直线y=300与函数y=200(1+5%)x的图象交于A点,则A(x0,300),A点的横坐标x0的值就是函数值y=300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值.
∵8|思|维|建|模|
解决有关增长率问题的关键和措施
(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义:增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率,切记并不总是只和开始单位时间内的比较.
(2)分析具体问题时,应严格计算并写出前3,4个单位时间的具体值,通过观察、归纳出规律后,再概括为数学问题,最后求解数学问题即可.
(3)在实际问题中,有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示,通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.
5.某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若初始溶液含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少.
(1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式;
解：过滤1次后的杂质含量为;
针对训练
过滤2次后的杂质含量为;
过滤3次后的杂质含量为;
…
过滤n次后的杂质含量为(n∈N*).
故y与n的函数关系式为y=(n∈N*).
(2)过滤7次后的杂质含量是多少 过滤8次后的杂质含量是多少 至少应过滤几次才能使产品达到市场要求
解：由(1)知当n=7时,y=,当n=8时,y=,
所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.
课时跟踪检测
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1.函数①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx的图象如图所示,若a,b,c,d分别是中的一个,则a,b,c,d的值分别是( )
A级——达标评价
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A. B.
C. D.
解析：由题图,直线x=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c,d,a,b,而.故选C.
√
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2.函数y=的单调递增区间为( )
A.(-∞,+∞) B.(0,+∞)
C.(1,+∞) D.(0,1)
√
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解析：易知函数的定义域为R.设u=1-x,y=.
∵u=1-x在(-∞,+∞)上单调递减,
y=在(-∞,+∞)上单调递减,∴y=在(-∞,+∞)上是增函数,
∴选A.
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3.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 ( )
A.a>1,b<0 B.a>1,b>0
C.00 D.0√
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解析：由函数f(x)=ax-b的图象可知,
函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,∴00,即b<0.故D选项正确.
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4.(多选)设函数f(x)=2x-1+21-x,则 ( )
A.f(x)在(0,+∞)上单调递增
B.f(x)的最小值是2
C.f(x)的图象关于直线x=1对称
D.f(x)的图象关于点(1,0)对称
√
√
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解析：∵f(x)=2x-1+21-x,∴f(2-x)=2(2-x)-1+21-(2-x)=21-x+2x-1=f(x),
即f(x)的图象关于直线x=1对称,故C正确;
∵函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故A、D错误;∵2x-1>0,21-x>0,
∴f(x)=2x-1+21-x≥2=2,当且仅当2x-1=21-x,即x=1时取等号,故B正确.
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5.(2023·全国甲卷)已知函数f(x)=.记a=f,b=f,c=f,则( )
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
√
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解析：函数f(x)=是由函数y=eu和u=-(x-1)2复合而成的复合函数,y=eu为R上的增函数,u=-(x-1)2在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以由复合函数的单调性可知,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.易知f(x)的图象关于直线x=1对称,所以c=f=f,又<2-<1,所以fc>a,故选A.
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6.已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a= .
解析：设g(x)=a·2x-2-x.因为f(x)为偶函数,所以g(x)是奇函数,所以g(0)=0,解得a=1.
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7.某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒,根据药学原理,从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为y=据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室学习.那么从药物释放开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室.
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解析：当0≤t≤0.1时,y=10t=0.25时,t=0.025,但是随着时间的增加,室内的含药量也在增加,所以此时学生不能回到教室.当t>0.1时,,所以t-0.1≥,解得t≥0.6,所以至少需0.6小时后,学生才能回到教室.
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8.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)= .
①定义域为R;②值域为(-∞,1);③对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,均有>0.
1-(答案不唯一)
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解析：令f(x)=1-,定义域为R;>0,f(x)=1-<1,值域为(-∞,1);是增函数,满足对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,均有>0.
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9.(8分)有一种树栽植5年后可成材.在栽植后5年内,该种树的产量年增长率为20%,如果不砍伐,从第6年到第10年,该种树的产量年增长率为10%,现有两种砍伐方案:
甲方案:栽植5年后不砍伐,等到10年后砍伐.
乙方案:栽植5年后砍伐重栽,然后过5年再砍伐一次.
请计算后回答:10年内哪一个方案可以得到更多的木材
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解：设该种树的最初栽植量为a,甲方案在10年后的木材产量为y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a(1.2×1.1)5≈4.01a.乙方案在10年后的木材产量为y2=2a(1+20%)5=2a·1.25≈4.98a.
y1-y2=4.01a-4.98a<0,因此,乙方案能获得更多的木材.
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10.(10分)已知函数f(x)=a+.
(1)求f(x)的定义域;
解：由2x-1≠0,可得x≠0,
∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
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(2)若f(x)为奇函数,求a的值,并求f(x)的值域.
解：∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
又f(-x)=a+=a+
=a-=(a-2)-,
-f(x)=-a-,
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∴a-2=-a,解得a=1.因此f(x)=1+.
当x>0时,2x-1>0,∴f(x)>1;
当x<0时,-1<2x-1<0,∴f(x)<-1.
∴f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
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11.(2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数,则a=( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
√
B级——重点培优
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解析：法一:f(x)的定义域为{x|x≠0},因为f(x)是偶函数,所以f(x)-f(-x)==0.因为x不恒为0,所以ex-e(a-1)x=0.所以a-1=1,a=2.
法二:因为f(x)=,f(x)是偶函数,且y=x是奇函数,所以y=e(a-1)x-e-x是奇函数,故a-1=1,即a=2,故选D.
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12.若函数f(x)=(a>0且a≠1)在区间(1,3)上单调递增,则实数a的取值范围为( )
A.(1,2) B.(0,1)
C.(1,4] D.(-∞,4]
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解析：令t=2x2-ax+1,则y=at,t=2x2-ax+1的对称轴为x=,
则t=2x2-ax+1在上单调递减,在上单调递增.
当01
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因为f(x)在(1,3)上单调递增,所以不等式无解.
当a>1时,y=at在定义域内单调递增,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.
因为f(x)在(1,3)上单调递增,所以解得11
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13.已知函数f(x)=,若f(a)+f(a-2)>0,则实数a的取值范围是 .
解析：函数f(x)=,定义域为R,那么f(-x)==-=-f(x),∴f(x)是奇函数.
(1,+∞)
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又f(x)==1-=1-=1-,
∵函数y=在R上单调递减,∴函数f(x)=在R上为单调递增函数.由f(a)+f(a-2)>0,即f(a)>-f(a-2)=f(2-a),
∴a>2-a,得a>1.
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14.(12分)已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数.
(1)求a,b的值;
解：由题意知:f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f=0,∴a=-1,即f=-,
∴ex+1+b-bex-e=0,即=0对任意的x∈R恒成立,
∴b=e.故a=-1,b=e.
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(2)对任意的t∈R,都有f+f>0恒成立,求k的取值范围.
解：由(1)知f(x)=·,
因此f(x)在R上是增函数,对任意的t∈R,f+f>0恒成立,
可转化为f>-f,
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根据f(x)在R上是奇函数可知f>f恒成立.
∴t2-2t>k-1恒成立,即t2-2t+1-k>0恒成立,
∴Δ=4-4=4k<0,解得k<0.
因此,实数k的取值范围是.
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15.(12分)设函数f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数,f.
(1)求函数f(x)的解析式;
解：由题意知,f=0,即ka0-=k-1=0,解得k=1,∴f(x)=ax-a-x,
由f,得a-a-1=,即2a2-3a-2=0,解得a=2或a=-(舍去),
∴f(x)=2x-2-x.
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(2)若g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在上的最小值为-2,求m的值.
解：由(1)得,g(x)=22x+2-2x-2m-2m+2,
令t=2x-2-x,易知t=2x-2-x在上单调递增,故当x≥1时,t≥21-2-1=,
∴函数g(x)转化为h(t)=t2-2mt+2,对称轴为t=m,
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①当m≥时,h(t)min=h(m)=m2-2m2+2=-2,即m2=4,
解得m=2,或m=-2(舍去).
②当m<时,h(t)min=h-3m+2=-2,解得m=(舍去).
综上所述,m=2.第 2 课时 指数函数图象与性质的应用 (教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
题型(一) 指数函数的图象及应用
[例1] 函数y＝2|x|－1的图象大致为( )
听课记录：
[例2] 已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝x＋1＋2的图象？并画出相应图象．
听课记录：
|思|维|建|模|
处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．
[针对训练]
1．若a>1，b<－1，则函数y＝ax＋b的图象一定经过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
2．函数y＝ax－(a＞0，且a≠1)的图象可能是( )
题型(二) 指数型复合函数的单调性
[例3] (1)求函数y＝x2－6x＋17的单调区间；
(2)求函数y＝2x－8·x＋17的单调区间．
听课记录：
|思|维|建|模|
函数y＝af(x)(a＞0，a≠1)的单调性的处理技巧
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．
(2)求复合函数的单调区间时，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．
[针对训练]
3．求下列函数的单调区间．
(1)y＝ax2＋2x－3；
(2)y＝.
4．(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，求m的取值范围；
(2)若函数f(x)＝有最大值3，求a的值．
题型(三) 指数函数的实际应用
[例4] 某林区2023年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
听课记录：
|思|维|建|模|
解决有关增长率问题的关键和措施
(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较．
(2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3,4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可．
(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
[针对训练]
5．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少.
(1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式；
(2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？
第2课时 指数函数图象与性质的应用
[题型(一)]
[例1] 选C 由题知函数的定义域为R，当x∈(0，＋∞)时，y＝2x－1单调递增，故排除B、D选项，
当x＝0时，y＝20－1＝0，过坐标原点，排除A.
[例2] 解：y＝x＋1＋2＝3－(x＋1)＋2.作函数y＝3x的图象关于y轴的对称图象得函数y＝3－x的图象，
再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝x＋1＋2的图象，如图所示．
[针对训练]
1.选B 因为a>1，且b<－1，所以作出其图象如图所示，可知该函数图象经过第一、三、四象限．
2．选D 若a＞1，则0＜＜1，所以y＝ax－(a＞0，且a≠1)在R上是增函数，且图象可以由y＝ax的图象向下平移个单位长度得到，其中0＜＜1，因此选项A、B排除；若0＜a＜1，则＞1，所以y＝ax－(a＞0，且a≠1)在R上是减函数，且图象可以由y＝ax的图象向下平移个单位长度得到，其中＞1，故排除选项C，选项D正确．
[题型(二)]
[例3] 解：(1)易知函数y＝x2－6x＋17的定义域为R，且函数y＝x在R上单调递减．∵在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17单调递减，∴y＝x2－6x＋17在(－∞，3]上单调递增．∵在[3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17单调递增，
∴y＝x2－6x＋17在[3，＋∞)上单调递减．
∴y＝x2－6x＋17的增区间是(－∞，3]，减区间是[3，＋∞)．
(2)函数y＝2x－8·x＋17的定义域为R.
设t＝x>0，又y＝t2－8t＋17在(0,4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增．
令x≤4，得x≥－2，
∴当－2≤x1x2，
即4≥t1>t2.
∴t12－8t1＋17∴y＝2x－8·x＋17的增区间是[－2，＋∞)．同理可得减区间是(－∞，－2]．
[针对训练]
3．解：(1)设y＝au，u＝x2＋2x－3.
由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上单调递减，在[－1，＋∞)上单调递增．
当a>1时，y＝au单调递增；
当0∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；
当0(2)由已知，得函数的定义域为{x|x≠0}．
设y＝，u＝0.2x，易知u＝0.2x为减函数．
而根据y＝的图象可知在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减，
∴原函数的增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
4．解：(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
[题型(三)]
[例4] 解：(1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)．经过2年后木材蓄积量为：200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2.
∴经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.
∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x，函数的定义域为x∈N*.
(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图象见下图.
x 0 1 2 3 …
y 200 210 220.5 231.525 …
作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值．
∵8[针对训练]
5．解：(1)过滤1次后的杂质含量为
×＝×；
过滤2次后的杂质含量为
×＝×2；
过滤3次后的杂质含量为×＝×3；
…
过滤n次后的杂质含量为
×n(n∈N*)．
故y与n的函数关系式为
y＝×n(n∈N*)．
(2)由(1)知当n＝7时，
y＝×7＝>，
当n＝8时，y＝×8＝<，所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．课时跟踪检测(三十二) 指数函数图象与性质的应用
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象如图所示，若a，b，c，d分别是，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是( )
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
2．函数y＝1－x的单调递增区间为( )
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
3．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．04．(多选)设函数f(x)＝2x－1＋21－x，则( )
A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
B．f(x)的最小值是2
C．f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．f(x)的图象关于点(1,0)对称
5．(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝f，b＝f，c＝f，则( )
A．b>c>a B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
6．已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.
7．某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，根据药学原理，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为y＝据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习．那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
8．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝________.
①定义域为R；②值域为(－∞，1)；③对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，均有>0.
9．(8分)有一种树栽植5年后可成材．在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐．
乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次．
请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到更多的木材？
10．(10分)已知函数f(x)＝a＋.
(1)求f(x)的定义域；
(2)若f(x)为奇函数，求a的值，并求f(x)的值域．
B级——重点培优
11．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
12．若函数f(x)＝a2x2－ax＋1(a>0且a≠1)在区间(1,3)上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．(1,2) B．(0,1)
C．(1,4] D．(－∞，4]
13．已知函数f(x)＝，若f(a)＋f(a－2)>0，则实数a的取值范围是________．
14．(12分)已知函数f(x)＝是定义在R上的奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)对任意的t∈R，都有f＋f>0恒成立，求k的取值范围．
15．(12分)设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数，f＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)在上的最小值为－2，求m的值．
课时跟踪检测(三十二)
1．选C 由题图，直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而>>>.故选C.
2．选A 易知函数的定义域为R.设u＝1－x，y＝u.∵u＝1－x在(－∞，＋∞)上为减函数，
y＝u在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴y＝1－x在(－∞，＋∞)上是增函数，∴选A.
3．选D 由函数f(x)＝ax－b的图象可知，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，∴00，即b<0.故D选项正确．
4．选BC ∵f(x)＝2x－1＋21－x，∴f(2－x)＝2(2－x)－1＋21－(2－x)＝21－x＋2x－1＝f(x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确；
∵函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A、D错误；∵2x－1>0,21－x>0，
∴f(x)＝2x－1＋21－x≥2＝2，当且仅当2x－1＝21－x，即x＝1时取等号，故B正确．
5．选A 函数f(x)＝e－(x－1)2是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f＝f，又<2－<<1，所以fc>a，故选A.
6．解析：设g(x)＝a·2x－2－x.因为f(x)为偶函数，所以g(x)是奇函数，所以g(0)＝0，解得a＝1.
答案：1
7．解析：当0≤t≤0.1时，y＝10t＝0.25时，t＝0.025，但是随着时间的增加，室内的含药量也在增加，所以此时学生不能回到教室．当t＞0.1时，t－0.1≤，所以t－0.1≥，解得t≥0.6，所以至少需0.6小时后，学生才能回到教室．
答案：0.6
8．解析：令f(x)＝1－，定义域为R；>0，f(x)＝1－<1，值域为(－∞，1)；是增函数，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，均有>0.
答案：1－(答案不唯一)
9．解：设该种树的最初栽植量为a，甲方案在10年后的木材产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4.01a.乙方案在10年后的木材产量为y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.
y1－y2＝4.01a－4.98a<0，因此，乙方案能获得更多的木材．
10．解：(1)由2x－1≠0，可得x≠0，
∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．
(2)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
又f(－x)＝a＋＝a＋
＝a－＝(a－2)－，
－f(x)＝－a－，
∴a－2＝－a，解得a＝1.
因此f(x)＝1＋.
当x＞0时，2x－1＞0，∴f(x)＞1；
当x＜0时，－1＜2x－1＜0，∴f(x)＜－1.
∴f(x)的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
11．选D 法一：f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)－f(－x)＝－＝＝0.因为x不恒为0，所以ex－e(a－1)x＝0.
所以a－1＝1，a＝2.
法二：因为f(x)＝＝，f(x)是偶函数，且y＝x是奇函数，所以y＝e(a－1)x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2，故选D.
12．选C 令t＝2x2－ax＋1，则y＝at，t＝2x2－ax＋1的对称轴为x＝，
则t＝2x2－ax＋1在上单调递减，在上单调递增．
当0因为f(x)在(1,3)上单调递增，所以不等式无解．
当a>1时，y＝at在定义域内单调递增，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．
因为f(x)在(1,3)上单调递增，所以解得113．解析：函数f(x)＝，定义域为R，那么f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
又f(x)＝＝＝1－＝1－＝1－，
∵函数y＝在R上单调递减，∴函数f(x)＝在R上为单调递增函数．由f(a)＋f(a－2)>0，即f(a)>－f(a－2)＝f(2－a)，
∴a>2－a，得a>1.
答案：(1，＋∞)
14．解：(1)由题意知：f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f＝＝0，∴a＝－1，即f＝＝＝＝－，
∴ex＋1＋b－bex－e＝0，
即＝0对任意的x∈R恒成立，
∴b＝e.故a＝－1，b＝e.
(2)由(1)知f(x)＝＝＝·＝，
因此f(x)在R上是增函数，对任意的t∈R，f＋f>0恒成立，
可转化为f>－f，
根据f(x)在R上是奇函数可知f(t2－2t)>f恒成立．
∴t2－2t>k－1恒成立，即t2－2t＋1－k>0恒成立，
∴Δ＝4－4＝4k<0，解得k<0.
因此，实数k的取值范围是.
15．解：(1)由题意知，f＝0，即ka0－0＝k－1＝0，解得k＝1，
∴f(x)＝ax－a－x，
由f＝，得a－a－1＝，
即2a2－3a－2＝0，解得a＝2或a＝－(舍去)，
∴f(x)＝2x－2－x.
(2)由(1)得，g(x)＝22x＋2－2x－2m＝2－2m(2x－2－x)＋2，
令t＝2x－2－x，易知t＝2x－2－x在上单调递增，故当x≥1时，t≥21－2－1＝，∴函数g(x)转化为h(t)＝t2－2mt＋2，对称轴为t＝m，
①当m≥时，h(t)min＝h(m)＝m2－2m2＋2＝－2，即m2＝4，解得m＝2，或m＝－2(舍去)．
②当m<时，h(t)min＝h＝－3m＋2＝－2，解得m＝(舍去)．综上所述，m＝2.