板块综合 指、对函数图象与性质的综合
(阶段小结课—习题讲评式教学)
[建构知识体系]
[融通学科素养]
1．浸润的核心素养
(1)通过指数、对数运算性质的学习与运用，重点提升数学运算素养．
(2)通过作指数函数、对数函数的图象以及简单图象的平移翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养．
(3)通过对指数函数、对数函数的图象及性质的运用，重点提升数学运算和逻辑推理素养．
2．渗透的数学思想
(1)涉及数形结合思想的题目类型有知式选图，图象变换和指数函数、对数函数图象的应用．函数图象形象地展示了函数的性质，为研究函数的性质提供了形象的直观性，它是探求解题路径，获得问题结果的重要工具．
(2)常见的分类讨论有两种：一是当指数函数、对数函数的底数为字母参数时，要确定它的单调性需要讨论；二是含参数的不等式、方程，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需要分类讨论．
题型(一) 指数、对数函数的图象及应用
[例1] 已知a>0，a≠1，则函数f(x)＝ax和g(x)＝loga的图象只可能是( )
听课记录：
[例2] 已知函数f(x)＝直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
听课记录：
|思|维|建|模|
指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换．
[针对训练]
1.若函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0，a≠1，b∈R)的大致图象如图，则函数g(x)＝a－x－b的大致图象是( )
2．当0
A. B.
C．(1，) D．(，2)
题型(二) 解不等式、比较大小问题
[例3] 已知a＝0.20.3,2b＝0.3，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是( )
A．c＞b＞a B．c＞a＞b
C．b＞a＞c D．a＞c＞b
[例4] 设0A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，loga3) D．(loga3，＋∞)
听课记录：
|思|维|建|模|
方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题要进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根；比较大小问题可直接利用单调性和中间值解决．
[针对训练]
3．若0A．3y<3x B．logx3C．log4x4．已知函数f(x)＝lg(2x－b)(b为常数)，若x∈[1，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，则b的取值范围是________．
题型(三) 指数、对数函数的综合问题
[例5] 设函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是增函数；②存在[m，n] D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，那么就称y＝f(x)是定义域为D的“成功函数”．若函数g(x)＝loga(a2x＋t)(a>0，a≠1)是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是( )
A. B.
C. D.
听课记录：
|思|维|建|模|
(1)研究函数的性质要树立定义域优先的原则．
(2)换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题，该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要注意换元后u的取值范围．
[针对训练]
5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝－，则函数y＝[f(x)]＋[f(－x)]的值域是( )
A．{1} B．{0,1}
C．{－1,0} D．{－1,0,1}
板块综合 指、对函数图象与性质的综合
[题型(一)]
[例1] 选C 函数g(x)的定义域是(－∞，0)，排除A、B；若01，则f(x)＝ax是增函数，此时g(x)＝loga是增函数，C满足．
[例2] 解析：根据指数函数和对数函数的图象，画出f(x)的图象如图所示，数形结合可知，要满足题意，只需a∈(0,1]．
答案：(0,1]
[针对训练]
1．选C 由题意，根据函数f(x)＝loga(x＋b)的图象，可得02.选B 易知04＝2即可，解得a>.所以 [题型(二)]
[例3] 选B 因为y＝0.2x在R上单调递减，所以0＜0.20.3＜0.20＝1.所以0＜a＜1.又2b＝0.3且y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以b＝log20.3＜log21＝0.所以b＜0.又y＝log0.3x在(0，＋∞)上单调递减，所以log0.30.2＞log0.30.3＝1.所以c＞1.综上可知，c＞a＞b.故选B.
[例4] 选C 由已知得f(x)＝loga(a2x－2ax－2)<0＝loga1.又当01，即a2x－2ax－3>0，(ax－3)·(ax＋1)>0.因为ax＋1>0，所以ax>3.又0[针对训练]
3．选C 对于A，函数y＝3x在R上单调递增，因为0logy3，B错误；对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4xy，D错误．
4．解析：因为要使f(x)＝lg(2x－b)在x∈[1，＋∞)时，恒有f(x)≥0，所以有2x－b≥1在x∈[1，＋∞)时恒成立，即2x≥b＋1在x∈[1，＋∞)上恒成立．又因为指数函数g(x)＝2x在定义域上是增函数．所以只需2≥b＋1成立即可，解得b≤1.
答案：(－∞，1]
[题型(三)]
[例5] 选A 依题意，函数g(x)＝loga(a2x＋t)的定义域为R，令u＝a2x＋t，显然u>0，函数y＝logau在(0，＋∞)上单调性与u＝a2x＋t在R上单调性相同，则函数g(x)在R上单调递增，显然t≥0，而当t＝0时，函数
g(x)＝2x不满足条件②，因此t>0，由于函数g(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，则即于是m，n是方程(ax)2－ax＋t＝0的两个不等实根，令z＝ax，则方程z2－z＋t＝0有两个不等的正实根，因此解得0[针对训练]
5．选C ∵f(x)＝－＝，f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．易知f(x)＝－＝－，∵1＋ex>1，∴0<<1，则－<－<.∴当f(x)∈时，[f(x)]＝－1，[f(－x)]＝0；当f(x)∈时，[f(x)]＝0，[f(－x)]＝－1；当f(x)＝0时，[f(x)]＝[f(－x)]＝0.∴函数y＝[f(x)]＋[f(－x)]的值域是{－1,0}．(共53张PPT)
板块综合 指、对函数图象与性质的综合
(阶段小结课—习题讲评式教学)
建构知识体系
1.浸润的核心素养
(1)通过指数、对数运算性质的学习与运用,重点提升数学运算素养.
(2)通过作指数函数、对数函数的图象以及简单图象的平移翻折变换,提升直观想象和逻辑推理素养.
(3)通过对指数函数、对数函数的图象及性质的运用,重点提升数学运算和逻辑推理素养.
融通学科素养
2.渗透的数学思想
(1)涉及数形结合思想的题目类型有知式选图,图象变换和指数函数、对数函数图象的应用.函数图象形象地展示了函数的性质,为研究函数的性质提供了形象的直观性,它是探求解题路径,获得问题结果的重要工具.
(2)常见的分类讨论有两种:一是当指数函数、对数函数的底数为字母参数时,要确定它的单调性需要讨论;二是含参数的不等式、方程,由于参数的取值不同会导致所得的结果不同,需要分类讨论.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 指数、对数函数的图象及应用
题型(二) 解不等式、比较大小问题
题型(三) 指数、对数函数的综合问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 指数、对数函数的
图象及应用
01
[例1] 已知a>0,a≠1,则函数f(x)=ax和g(x)=loga的图象只可能是( )
√
解析：函数g(x)的定义域是(-∞,0),排除A、B;若01,则f(x)=ax是增函数,此时g(x)=loga是增函数,C满足.
[例2] 已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是 .
解析：根据指数函数和对数函数的图象,
画出f(x)的图象如图所示,
数形结合可知,要满足题意,只需a∈(0,1].
(0,1]
|思|维|建|模|
指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象,又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具,所以要能熟练画出这两类函数图象,并会进行平移、对称、翻折等变换.
1.若函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1,b∈R)的大致图象如图,则函数g(x)=a-x-b的大致图象是 ( )
针对训练
√
解析：由题意,根据函数f(x)=loga(x+b)的图象,可得02.当0A. B.
C.(1,) D.(,2)
√
解析：易知0只需满足loga=2即可,解得a>.所以题型(二) 解不等式、
比较大小问题
02
[例3] 已知a=0.20.3,2b=0.3,c=log0.30.2,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.c>b>a B.c>a>b
C.b>a>c D.a>c>b
√
解析：因为y=0.2x在R上单调递减,所以0<0.20.3<0.20=1.所以0log0.30.3=1.所以c>1.综上可知,c>a>b.故选B.
[例4] 设0A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.(-∞,loga3) D.(loga3,+∞)
√
解析：由已知得f(x)=loga(a2x-2ax-2)<0=loga1.又当01,即a2x-2ax-3>0,(ax-3)(ax+1)>0.因为ax+1>0,所以ax>3.又0 |思|维|建|模|
方程、不等式的求解可利用单调性进行转化,对含参数的问题要进行分类讨论,同时还要注意变量本身的取值范围,以免出现增根;比较大小问题可直接利用单调性和中间值解决.
针对训练
√
3.若0A.3y<3x B.logx3C.log4x解析：对于A,函数y=3x在R上单调递增,因为0logy3,B错误;对于C,函数y=log4x在(0,+∞)上单调递增,故log4x4.已知函数f(x)=lg(2x-b)(b为常数),若x∈[1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则b的取值范围是 .
解析：因为要使f(x)=lg(2x-b)在x∈[1,+∞)时,恒有f(x)≥0,所以有2x-b≥1在x∈[1,+∞)时恒成立,即2x≥b+1在x∈[1,+∞)上恒成立.又因为指数函数g(x)=2x在定义域上是增函数.所以只需2≥b+1成立即可,解得b≤1.
(-∞,1]
题型(三) 指数、对数函数的
综合问题
03
[例5] 设函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D内是增函数;②存在[m,n] D(n>m),使得f(x)在[m,n]上的值域为[m,n],那么就称y=f(x)是定义域为D的“成功函数”.若函数g(x)=loga(a2x+t)(a>0,a≠1)是定义域为R的“成功函数”,则t的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
√
解析：依题意,函数g(x)=loga(a2x+t)的定义域为R,令u=a2x+t,显然u>0,函数y=logau在(0,+∞)上单调性与u=a2x+t在R上单调性相同,则函数g(x)在R上单调递增,显然t≥0,而当t=0时,函数g(x)=2x不满足条件②,因此t>0,由于函数g(x)在[m,n]上的值域为[m,n],
则即于是m,n是方程(ax)2-ax+t=0的两个不等实根,令z=ax,则方程z2-z+t=0有两个不等的正实根,因此解得0 |思|维|建|模|
(1)研究函数的性质要树立定义域优先的原则.
(2)换元法的作用是利用整体代换,将问题转化为常见问题,该类问题中,常设u=logax或u=ax,转化为一元二次方程、二次函数等问题.要注意换元后u的取值范围.
针对训练
5.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=,则函数y=[f(x)]+[f(-x)]的值域是( )
A.{1} B.{0,1} C.{-1,0} D.{-1,0,1}
√
解析：∵f(x)=,f(-x)==-f(x),
∴f(x)为奇函数.易知f(x)=,∵1+ex>1,∴0<<1,则-.∴当f(x)∈时,[f(x)]=-1,[f(-x)]=0;当f(x)∈时,[f(x)]=0,[f(-x)]=-1;当f(x)=0时,[f(x)]=[f(-x)]=0.
∴函数y=[f(x)]+[f(-x)]的值域是{-1,0}.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
√
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2
解析：因为f(x)=1+log2x的图象是由y=log2x的图象向上平移一个单位长度得到的,过定点(1,1).g(x)=2-x+1=的图象是由y=的图象向右平移一个单位长度得到的.过定点(0,2).故只有C项中的图象符合.
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2.已知a=40.6,b=log38,c=ln 2,则 ( )
A.cC.b解析：因为a=40.6>40.5=2,所以a>2.因为log33√
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3.已知0A.2 B.3
C.4 D.与a的值有关
解析：设y1=a|x|,y2=|logax|,分别作出它们的图象,
如图.由图可知,有两个交点,故方程a|x|=|logax|
有两个实根.故选A.
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4.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则 ( )
A.3y<2x<5z B.2x<3y<5z
C.3y<5z<2x D.5z<2x<3y
解析：令2x=3y=5z=k(k>1),则x=log2k,y=log3k,z=log5k.∴·>1,则2x>3y,·<1,则2x<5z.故选A.
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5.已知定义在R上的函数f(x)=e-x-mex(m∈R)是奇函数,设a=f(log32),b=f(log53),c=-f,则有( )
A.aC.a√
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解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=e-0-me0=0,解得m=1.所以f(x)=e-x-ex,所以f(x)在R上单调递减.又因为log323log525=,所以b1
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6.甲、乙两人解关于x的方程2x+b·2-x+c=0,甲写错了常数b,得到的根为x=-2或x=log2,乙写错了常数c,得到的根为x=0或x=1,则原方程所有根的和是 .
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解析：设t=2x,由2x+b·2-x+c=0可得t++c=0,则t2+ct+b=0.对于甲,由于甲写错常数b,则常数c是正确的,由根与系数的关系可得-c=2-2+,即c=-;对于乙,由于乙写错了常数c,则常数b是正确的,由根与系数的关系可得b=20·21=2.所以关于t的方程为t2-t+2=0,解得t=或t=4,即2x=或2x=4,解得x=-1或2.所以原方程所有根的和是-1+2=1.
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7.(8分)比较三个数0.32,log20.3,20.3的大小.
解：法一:∵0<0.32<12=1,log20.320=1,
∴log20.3<0.32<20.3.
法二:作出函数y=x2,y=log2x,y=2x的大致图象,
如图所示,画出直线x=0.3,根据直线与三个函
数图象的交点位置,即可看出log20.3<0.32<20.3.
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8.(12分)设函数f(x)=log2(2x)·log2.
(1)解方程f(x)+6=0;
解：f(x)=(log22+log2x)(log2x-log216)=(1+log2x)(log2x-4)=(log2x)2-3log2x-4.
由f(x)+6=0得(log2x)2-3log2x+2=0,解得log2x=1或log2x=2.所以x=2或x=4.所以方程f(x)+6=0的解是x=2或x=4.
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(2)设不等式≤43x-2的解集为M,求函数f(x)(x∈M)的值域.
解：由≤43x-2得≤26x-4,即x2+x≤6x-4,解得1≤x≤4,即M={x|1≤x≤4}.
又f(x)=(log2x)2-3log2x-4,令t=log2x,所以0≤t≤2,则g(t)=t2-3t-4=(t-)2-为开口向上、对称轴为t=的抛物线.
因为0≤t≤2,所以-≤g(t)≤-4.所以函数f(x)(x∈M)的值域为.
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B级——重点培优
9.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A.[-1,2] B.[0,2]
C.[1,+∞) D.[0,+∞)
解析：f(x)≤2 或 0≤x≤1或x>1,故选D.
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10.(多选)已知logb3>loga3>0,则下列不等式一定成立的是 ( )
A. B.
C.log2(a-b)>0 D.2a-b>1
解析：logb3>loga3>0,由换底公式,有0b>1,∴,A错误;函数f(x)=为减函数,∴,B正确;a-b>0,但a-b>1不一定成立, 不能得到log2(a-b)>0,C错误;2a-b>20=1,D正确.
√
√
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11.若m=log56·log67·log78·log89·log910,则m的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
解析：依题意, m=log56····=log510.
而对数函数y=log5x在(0,+∞)上单调递增,又5<10<25,
所以log55√
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12.已知函数y=f(x)与y=ex的图象关于直线y=x对称,则f(x2-2x-8)的单调递增区间为 .
解析：由已知,得f(x)=ln x,所以f(x2-2x-8)的单调递增区间满足解得x>4.
(4,+∞)
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13.(12分)我们知道当a>0时,am+n=am·an对一切m,n∈R恒成立,某同学在进一步研究指数幂运算时,发现有这么一个等式21+1=21+21,带着好奇,他进一步对2m+n=2m+2n进行深入研究.
(1)当m=2时,求n的值;
解：当m=2时,22+n=22+2n,即3·2n=4,所以n=log2.
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(2)当m≤0时,求证:n是不存在的;
解：证明:设t=2m,因为m≤0,所以t=2m∈(0,1].又t·2n=t+2n,
当m=0时,t=1,t·2n=t+2n不成立;
当m≠0时,t<1,由t·2n=t+2n可得2n=.因为2n>0,t>0,t-1<0,
所以2n=不成立.综上所述,当m≤0时,n是不存在的.
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(3)求证:只有一对正整数对(m,n)使得等式成立.
解：证明:由2m+n=2m+2n可得2n=.
当m,n均为正整数时,等号左侧为2的指数幂,故右侧也是2的指数幂,
所以2m-1=1,即m=1时符合题意,此时n=1.
所以只有一对正整数对(1,1)使得等式成立.
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14.(14分)已知函数y=g(x)为偶函数,函数y=h(x)为奇函数,g(x)+h(x)=3x对任意实数x恒成立.
(1)计算g(log32),h的值;
解：由g(x)+h(x)=3x得g(-x)+h(-x)=3-x,
因为y=g(x)为偶函数,y=h(x)为奇函数,则g(x)-h(x)=3-x,
即
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解得g(x)=,h(x)=,
所以g(log32)=,
h=h.
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(2)试探究g(2x)与h(x)的关系,并证明你的结论.
解：由(1)可知g(x)=,h(x)=,
探究结果:g(2x)=2h2(x)+1.
证明如下:因为g(2x)=,h2(x)=,
所以g(2x)=2h2(x)+1.