(共56张PPT)
7.1.1
任意角
(教学方式:基本概念课—逐点理清式教学)
课时目标
1.了解任意角的概念,区分正角、负角与零角.了解象限角的概念.
2.理解并掌握终边相同的角的概念,能写出终边相同的角所组成的集合.
3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 任意角
逐点清(二) 象限角与终边相同的角
逐点清(三) 象限角与区间角的表示
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 任意角
01
多维理解
1.角的概念
一个角可以看作平面内__________绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.射线的端点称为角的________,射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和_____.
一条射线
顶点
始边
终边
2.角的分类
类型 定义 图示
正角 按_______方向旋转所形成的角
负角 按________方向旋转所形成的角
零角 射线没有作任何旋转所形成的角
逆时针
顺时针
3.角的加法与减法
对于两个任意角α,β,将角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角称为α与β的和,记作_______.射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为______角.角α的相反角记为_____,于是有α-β=α+_____.
α+β
相反
-α
(-β)
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)小于90°的角都是锐角.( )
(2)终边与始边重合的角为零角.( )
(3)大于90°的角都是钝角.( )
(4)相等的角终边相同.( )
(5)手表时针走过2小时,时针转过的角度为-60°.( )
微点练明
×
×
×
×
√
2.如图,圆O的圆周上一点P以A为起点按逆时针
方向旋转,10 min转一圈,24 min之后OP从起始
位置OA转过的角是 ( )
A.-864° B.432°
C.504° D.864°
√
解析：因为点P以A为起点按逆时针方向旋转,10 min转一圈,所以点P逆时针方向旋转1 min转的度数为=36°,
则24 min之后OP从起始位置OA转过的角为36°×24=864°.
3.在平面直角坐标系中,取角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴的非负半轴,下列说法正确的是 ( )
A.第一象限角一定不是负角
B.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
C.第一象限角一定是锐角
D.钝角的终边在第二象限
√
解析：三角形的内角可能为90°,90°角不是第一象限角或第二象限角,故B错误;令α=-300°=60°-360°,显然α是第一象限角,但不是锐角,故A、C错误;钝角是大于90°且小于180°的角,它的终边在第二象限,故D正确.
4.如图,射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°
到OB处,再按顺时针方向旋转820°至OC处,
则β= .
解析：因为∠AOC=60°+(-820°)=-760°,所以β=-(760°-720°)=-40°.
-40°
逐点清(二) 象限角与终边
相同的角
02
多维理解
1.象限角、轴线角
以角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴正半轴,建立平面直角坐标系.这样,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是______________.如果角的终边在坐标轴上,称这个角为__________.
第几象限角
轴线角
2.终边相同的角
一般地,与角α终边相同的角的集合为___________________________.
{β|β=k·360°+α,k∈Z}
|微|点|助|解|
(1)角α为任意角,“k∈Z”不能省略.
(2)k·360°与α中间要用“+”连接,k·360°-α可理解成k·360°+(-α).
(3)当角的始边相同时,相等的角的终边一定相同,而终边相同的角不一定相等;终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍;终边不同则表示的角一定不同.
3.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示
(1)象限角
象限角 集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°+90°<α第三象限角 {α|k·360°+180°<α第四象限角 {α|k·360°+270°<α(2)轴线角
角的终边的位置 集合表示
终边落在x轴的非负半轴上 {α|α=k·360°,k∈Z}
终边落在x轴的非正半轴上 {α|α=k·360°+180°,k∈Z}
终边落在y轴的非负半轴上 {α|α=k·360°+90°,k∈Z}
终边落在y轴的非正半轴上 {α|α=k·360°+270°,k∈Z}
终边落在y轴上 {α|α=k·180°+90°,k∈Z}
终边落在x轴上 {α|α=k·180°,k∈Z}
终边落在坐标轴上 {α|α=k·90°,k∈Z}
微点练明
1.将-885°化为α+k·360°(0≤α<360°,k∈Z)的形式是 ( )
A.-165°+(-2)·360° B.195°+(-3)·360°
C.195°+(-2)·360° D.-195°+(-3)·360°
解析：-885°+1 080°=195°,∴-885°=195°+(-1 080°)=195°+(-3)·360°.
√
2.(多选)在-360°~360°范围内,与-410°角终边相同的角是 ( )
A.-50° B.-40°
C.310° D.320°
解析：因为-50°=-410°+360°,310°=-410°+2×360°,所以与-410°角终边相同的角是-50°和310°.
√
√
3.若角α,β的终边相同,则α-β的终边落在 ( )
A.x轴的非负半轴上 B.x轴的非正半轴上
C.x轴上 D.y轴的非负半轴上
解析：因为角α,β的终边相同,故α-β=k·360°,k∈Z.所以α-β的终边落在x轴的非负半轴上.
√
4.已知角α=2 023°,则α的终边在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：因为α=2 023°=360°×5+223°,而180°<223°<270°,所以α的终边在第三象限.
√
5.若角α满足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边与终边,求角α的值.
解：∵角5α与α具有相同的始边与终边,∴5α=k·360°+α,k∈Z,得4α=k·360°,k∈Z,∴α=k·90°,k∈Z,又180°<α<360°,∴180°逐点清(三) 象限角与区间角的表示
03
[典例] (1)若α=k·360°+24°,k∈Z,试确定2α,分别是第几象限角.
解：由α=k·360°+24°,k∈Z,得2α=2k·360°+48°(k∈Z).故2α为第一象限角.由α=k·360°+24°,k∈Z,得+12°(k∈Z).
当k=2n(n∈Z)时,=n·360°+12°(n∈Z),则为第一象限角;当k=2n+1(n∈Z)时,=n·360°+192°(n∈Z),则为第三象限角.
综上所述,2α为第一象限角,为第一或第三象限角.
(2)写出如图所示阴影部分的角α的范围.
解：①因为与45°角终边相同的角可写成45°+k·360°,k∈Z的形式,与-180°+30°=-150°角终边相同的角可写成-150°+k·360°,k∈Z的形式,所以图(1)阴影部分的角α的范围为{α|-150°+k·360°<α≤45°+k·360°,k∈Z}.
②因为与45°角终边相同的角可写成45°+k·360°,k∈Z的形式,与-60°+360°=300°角终边相同的角可写成300°+k·360°,k∈Z的形式,所以图(2)中角α的范围为{α|45°+k·360°≤α≤300°+k·360°,k∈Z}.
|思|维|建|模|
1.关于角nα或象限的确定
(1)由α的范围,表示出nα,的范围,由n的取值确定象限.
(2)特别地,求所在象限时,可以把每个象限等分为n份,在每一份中按顺序标记一、二、三、四,找到原象限数字即可.
2.表示区域角的三个步骤
(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α(3)起始、终止边界对应的角α,β再加上360°的整数倍,即得区域角集合.
针对训练
1.已知α∈{α|45°+k·360°≤α≤90°+ k·360°,k∈Z },则角α的终边落在的阴影部分是 ( )
解析：令k=0,得45°≤α≤90°.则B选项中的阴影部分区域符合题意.
√
2.已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是 ( )
A.第一象限角 B.第一或第二象限角
C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角
√
解析：由题意知k·360°<2α<180°+k·360°(k∈Z),故k·180°<α<90°+k·180°(k∈Z),按照k的奇偶性进行讨论.当k=2n(n∈Z)时,n·360°<α<90°+n·360°(n∈Z),所以α在第一象限;当k=2n+1(n∈Z)时,180°+n·360°<α<270°+n·360°(n∈Z),所以α在第三象限.故α是第一或第三象限角.
3.终边落在直线y=x上的角α的集合为( )
A. {α|α=k·180°+30°,k∈Z}
B. {α|α=k·180°+60°,k∈Z}
C. {α|α=k·360°+30°,k∈Z}
D. {α|α=k·360°+60°,k∈Z}
√
解析：易得y=x的倾斜角为60°.当终边在第一象限时,α=60°+k·360°,k∈Z;当终边在第三象限时,α=240°+k·360°,k∈Z.所以角α的集合为{α|α=k·180°+60°,k∈Z}.
课时跟踪检测
04
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1.下列说法正确的是 ( )
A.最大的角是180° B.最大的角是360°
C.角不可以是负的 D.角可以是任意大小
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2.“α是锐角”是“α是第一象限角”的 ( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
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解析：因为“α是锐角”能推出“α是第一象限角”,但是反之不成立,例如400°是第一象限角,但不是锐角,所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分且不必要条件.
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3.已知角α在直角坐标系中,如图所示,其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°,则α的值为 ( )
A.-480° B.-240°
C.150° D.480°
解析：由角α的终边绕原点O按逆时针方向旋转,可知α为正角.又旋转量为480°,∴α=480°.
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4.若手表时针走过4小时,则时针转过的角度为 ( )
A.120° B.-120°
C.-60° D.60°
解析：由于时针是顺时针旋转,故时针转过的角度为负数,
即为-×360°=-120°.
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5.与-460°角终边相同的角可以表示成 ( )
A.460°+k·360°,k∈Z B.100°+k·360°,k∈Z
C.260°+k·360°,k∈Z D.-260°+k·360°,k∈Z
解析：因为-460°=260°+(-2)×360°,所以与-460°角终边相同的角可以表示成260°+k·360°,k∈Z.
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6.(多选)下列四个角为第二象限角的是 ( )
A.-200° B.100°
C.220° D.420°
解析：-200°=-360°+160°,在0°~360°范围内,与-200°终边相同的角为160°,它是第二象限角,同理100°为第二象限角,220°为第三象限角,420°为第一象限角.
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7.如图是清代的时辰醒钟,此醒钟直径12.5厘米,
厚7.5厘米,由清朝宫廷钟表处制造,以中国传统的
一日十二个时辰为表盘显示,其内部结构与普通机
械钟表的内部结构相似.则丑时与午时的夹角是 ( )
A.120° B.135°
C.150° D.165°
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解析：一日十二个时辰,则一个时辰所对应的圆心角为=30°,丑时与午时相差5个时辰,故丑时与午时的夹角为30°×5=150°.
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8.若角2α与240°角的终边相同,则α等于 ( )
A.120°+k·360°,k∈Z B.120°+k·180°,k∈Z
C.240°+k·360°,k∈Z D.240°+k·180°,k∈Z
解析：因为角2α与240°角的终边相同,所以2α=240°+k·360°,k∈Z,即α=120°+k·180°,k∈Z.
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9.在直角坐标系中,若α与β的终边互相垂直,那么α与β的关系式为 ( )
A.β=α+90°
B.β=α±90°
C.β=α+90°+k·360°(k∈Z)
D.β=α±90°+k·360°(k∈Z)
解析：∵α与β的终边互相垂直,∴β=α±90°+k·360°(k∈Z).
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10.(多选)角α=45°+k·180°(k∈Z)的终边落在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：当k=2m+1(m∈Z)时,α=2m·180°+225°=m·360°+225°,故α为第三象限角;当k=2m(m∈Z)时,α=m·360°+45°,故α为第一象限角.故α的终边在第一或第三象限.
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11.下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是 ( )
A.-37° B.143°
C.379° D.-143°
解析：与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°+k·180°,k∈Z,当k=-1时,37°-180°=-143°,故选D.
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12.如果角α与角x+45°具有相同的终边,角β与角x-45°具有相同的终边,那么α与β之间的关系是 ( )
A.α+β=0°
B.α-β=90°
C.α+β=k·360°(k∈Z)
D.α-β=k·360°+90°(k∈Z)
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解析：利用终边相同的角的关系,得α=n·360°+x+45°(n∈Z),β=m·360°+x-45°(m∈Z).则α+β=(m+n)·360°+2x(n∈Z,m∈Z),与x有关,故A、C错误.因为α-β=(n-m)·360°+90°(n∈Z,m∈Z),又m,n是整数,所以n-m也是整数,用k(k∈Z)表示,所以α-β=k·360°+90°(k∈Z).故B错误,D正确.
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13.若α=2 023°,则与α有相同终边的最小正角β= .
解析：因为2 023°=360°×5+223°,所以与2 023°终边相同的最小正角是223°.
223°
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14.(7分)已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界),求角α的集合.
解：观察题图可知,角α的集合是{α|k·360°+45°<α1
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15.(8分)如图,一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动,若两只蚂蚁同时从点A(1,0)按逆时针方向匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),
如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点,并且在第2秒
时均位于第二象限,求α,β的值.
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解：根据题意可知14α,14β均为360°的整数倍,故可设14α=m·360°,m∈Z,14β=n·360°,n∈Z.
由0°<α<β<180°,知0°<2α<2β<360°,
又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限,
∴2α,2β都是钝角,即90°<2α<2β<180°,
即45°<α<β<90°,
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∴45°<α=·180°<90°,45°<β=·180°<90°,
∴∵α<β,∴m∴α=°,β=°.7．1.1 任意角—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．了解任意角的概念，区分正角、负角与零角．了解象限角的概念．
2．理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合．
3．利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题．
逐点清(一) 任意角
[多维理解]
1．角的概念
一个角可以看作平面内____________绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______．
2．角的分类
类型 定义 图示
正角 按________方向旋转所形成的角
负角 按________方向旋转所形成的角
零角 射线没有作任何旋转所形成的角
3．角的加法与减法
对于两个任意角α，β，将角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角称为α与β的和，记作______．射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为______角．角α的相反角记为______，于是有α－β＝α＋______.
[微点练明]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)小于90°的角都是锐角．( )
(2)终边与始边重合的角为零角．( )
(3)大于90°的角都是钝角．( )
(4)相等的角终边相同．( )
(5)手表时针走过2小时，时针转过的角度为－60°.( )
2.如图，圆O的圆周上一点P以A为起点按逆时针方向旋转，10 min转一圈，24 min之后OP从起始位置OA转过的角是( )
A．－864° B．432°
C．504° D．864°
3．在平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，下列说法正确的是( )
A．第一象限角一定不是负角
B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
C．第一象限角一定是锐角
D．钝角的终边在第二象限
4.如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________.
逐点清(二) 象限角与终边相同的角
[多维理解]
1．象限角、轴线角
以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是____________．如果角的终边在坐标轴上，称这个角为________．
2．终边相同的角
一般地，与角α终边相同的角的集合为____________________．
|微|点|助|解|
(1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略．
(2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．
(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍；终边不同则表示的角一定不同．
3．象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示
(1)象限角
象限角 集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°＋90°<α第三象限角 {α|k·360°＋180°<α第四象限角 {α|k·360°＋270°<α(2)轴线角
角的终边的位置 集合表示
终边落在x轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z }
终边落在x轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z }
终边落在y轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z }
终边落在y轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z }
终边落在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z }
终边落在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z }
终边落在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z }
[微点练明]
1．将－885°化为α＋k·360°(0≤α<360°，k∈Z)的形式是( )
A．－165°＋(－2)·360° B．195°＋(－3)·360°
C．195°＋(－2)·360° D．－195°＋(－3)·360°
2．(多选)在－360°～360°范围内，与－410°角终边相同的角是( )
A．－50° B．－40°
C．310° D．320°
3．若角α，β的终边相同，则α－β的终边落在( )
A．x轴的非负半轴上 B．x轴的非正半轴上
C．x轴上 D．y轴的非负半轴上
4．已知角α＝2 023°，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边与终边，求角α的值．
逐点清(三) 象限角与区间角的表示
[典例] (1)若α＝k·360°＋24°，k∈Z，试确定2α，分别是第几象限角．
(2)写出如图所示阴影部分的角α的范围．
听课记录：
|思|维|建|模|
1．关于角nα或象限的确定
(1)由α的范围，表示出nα，的范围，由n的取值确定象限．
(2)特别地，求所在象限时，可以把每个象限等分为n份，在每一份中按顺序标记一、二、三、四，找到原象限数字即可．
2．表示区域角的三个步骤
(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α(3)起始、终止边界对应的角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．
[针对训练]
1．已知α∈，则角α的终边落在的阴影部分是( )
2．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是( )
A．第一象限角 B．第一或第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第一或第四象限角
3．终边落在直线y＝x上的角α的集合为( )
A.
B.
C.
D.
7．1.1 任意角
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.一条射线 顶点 始边 终边 2.逆时针 顺时针 3.α＋β 相反 －α (－β)
[微点练明] 1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.D 3.D 4.－40°
[逐点清(二)]
[多维理解] 1.第几象限角 轴线角
2．{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}
[微点练明] 1.B 2.AC 3.A 4.C 5.270°
[逐点清(三)]
[典例] 解：(1)由α＝k·360°＋24°，k∈Z，得2α＝2k·360°＋48°(k∈Z)．故2α为第一象限角．由α＝k·360°＋24°，k∈Z，得＝＋12°(k∈Z)．当k＝2n(n∈Z)时，＝n·360°＋12°(n∈Z)，则为第一象限角；当k＝2n＋1(n∈Z)时，＝n·360°＋192°(n∈Z)，则为第三象限角．综上所述，2α为第一象限角，为第一或第三象限角．
(2)①因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式，所以图(1)阴影部分的角α的范围为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}．
②因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－60°＋360°＝300°角终边相同的角可写成300°＋k·360°，k∈Z的形式，所以图(2)中角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．
[针对训练]
1．选B 令k＝0，得45°≤α≤90°.则B选项中的阴影部分区域符合题意．
2．选C 由题意知k·360°＜2α＜180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°＜α＜90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＜α＜90°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°＜α＜270°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第三象限．故α是第一或第三象限角．
3．选B 易得y＝x的倾斜角为60°.当终边在第一象限时，α＝60°＋k·360°，k∈Z；当终边在第三象限时，α＝240°＋k·360°，k∈Z.所以角α的集合为{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z}．课时跟踪检测(三十六) 任意角
(满分80分，选填小题每题5分)
1．下列说法正确的是( )
A．最大的角是180° B．最大的角是360°
C．角不可以是负的 D．角可以是任意大小
2．“α是锐角”是“α是第一象限角”的( )
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3.
已知角α在直角坐标系中，如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则α的值为( )
A．－480° B．－240°
C．150° D．480°
4．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为( )
A．120° B．－120°
C．－60° D．60°
5．与－460°角终边相同的角可以表示成( )
A．460°＋k·360°，k∈Z
B．100°＋k·360°，k∈Z
C．260°＋k·360°，k∈Z
D．－260°＋k·360°，k∈Z
6．(多选)下列四个角为第二象限角的是( )
A．－200° B．100°
C．220° D．420°
7.如图是清代的时辰醒钟，此醒钟直径12.5厘米，厚7.5厘米，由清朝宫廷钟表处制造，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似．则丑时与午时的夹角是( )
A．120° B．135°
C．150° D．165°
8．若角2α与240°角的终边相同，则α等于( )
A．120°＋k·360°，k∈Z
B．120°＋k·180°，k∈Z
C．240°＋k·360°，k∈Z
D．240°＋k·180°，k∈Z
9．在直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系式为( )
A．β＝α＋90°
B．β＝α±90°
C．β＝α＋90°＋k·360°(k∈Z)
D．β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)
10．(多选)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的终边落在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
11．下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是( )
A．－37° B．143°
C．379° D．－143°
12．如果角α与角x＋45°具有相同的终边，角β与角x－45°具有相同的终边，那么α与β之间的关系是( )
A．α＋β＝0°
B．α－β＝90°
C．α＋β＝k·360°(k∈Z)
D．α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)
13．若α＝2 023°，则与α有相同终边的最小正角β＝________.
14.(7分)已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，求角α的集合．
15.(8分)如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A(1,0)按逆时针方向匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．
课时跟踪检测(三十六)
1．D
2．选A 因为“α是锐角”能推出“α是第一象限角”，但是反之不成立，例如400°是第一象限角，但不是锐角，所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分且不必要条件．
3．选D 由角α的终边绕原点O按逆时针方向旋转，可知α为正角．又旋转量为480°，∴α＝480°.
4．选B 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－×360°＝－120°.
5．选C 因为－460°＝260°＋(－2)×360°，所以与－460°角终边相同的角可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.
6．选AB －200°＝－360°＋160°，在0°～360°范围内，与－200°终边相同的角为160°，它是第二象限角，同理100°为第二象限角，220°为第三象限角，420°为第一象限角．
7．选C 一日十二个时辰，则一个时辰所对应的圆心角为＝30°，丑时与午时相差5个时辰，故丑时与午时的夹角为30°×5＝150°.
8．选B 因为角2α与240°角的终边相同，所以2α＝240°＋k·360°，k∈Z，即α＝120°＋k·180°，k∈Z.
9．选D ∵α与β的终边互相垂直，∴β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)．
10．选AC 当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．故α的终边在第一或第三象限．
11．选D 与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°，故选D.
12．选D 利用终边相同的角的关系，得α＝n·360°＋x＋45°(n∈Z)，β＝m·360°＋x－45°(m∈Z)．则α＋β＝(m＋n)·360°＋2x(n∈Z，m∈Z)，与x有关，故A、C错误．因为α－β＝(n－m)·360°＋90°(n∈Z，m∈Z)，又m，n是整数，所以n－m也是整数，用k(k∈Z)表示，所以α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)．故B错误，D正确．
13．解析：因为2 023°＝360°×5＋223°，所以与2 023°终边相同的最小正角是223°.
答案：223°
14．解：观察题图可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α15．解：根据题意可知14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m·360°，m∈Z,14β＝n·360°，n∈Z.
由0°<α<β<180°，知0°<2α<2β<360°，
又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，
∴2α，2β都是钝角，即90°<2α<2β<180°，
即45°<α<β<90°，∴45°<α＝·180°<90°，45°<β＝·180°<90°，
∴∵α<β，∴m∴m＝2，n＝3，
∴α＝°，β＝°.
