(共54张PPT)
三角函数值的符号及三角函数线
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
第2课时
课时目标
掌握任意角三角函数值在各象限的符号.理解单位圆中的三角函数线,并能利用三角函数线解一些简单问题.
CONTENTS
目录
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3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
(一)三角函数值的符号
正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号如图所示.
|微|点|助|解|
(1)由三角函数的定义知,sin α=,cos α=,tan α=(x≠0,r>0),可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x,y)的坐标确定的,则准确确定角的终边位置是判断三角函数值符号的关键.
(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律,可简记为一全正、二正弦、三正切、四余弦.
(二)三角函数线
1.有向线段
(1)有向线段:规定了_____ (即规定了起点和终点)的线段称为有向线段.
(2)有向直线:类似地,可以把规定了_________的直线称为有向直线.
(3)有向线段的数量:根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反,分别把它的长度添上_____或_____,这样所得的数,叫作有向线段的数量.
方向
正方向
正号
负号
2.三角函数线
图示
正弦线 角α的终边与单位圆交于点P,过点P作PM垂直于x轴,有向线段_____即为正弦线
余弦线 有向线段______即为余弦线
正切线 过A(1,0)作x轴的垂线,交α的终边或其终边的反向延长线于T,有向线段_____即为正切线
MP
OM
AT
3.三角函数的定义域
正弦函数y=sin α的定义域是____;
余弦函数y=cos α的定义域是____;
正切函数y=tan α的定义域是_______________________.
R
R
基础落实训练
1.已知角α是第二象限的角,则cos α的值一定 ( )
A.小于零 B.大于零
C.等于零 D.不确定
√
2.若角α是第三象限角,则点P(2,sin α)所在象限为 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：由角α是第三象限角知,sin α<0,因此P(2,sin α)在第四象限,故选D.
√
3.角和角有相同的( )
A.正弦值 B.余弦值
C.正切线 D.不能确定
解析：因为角和角的终边互为反向延长线,因此,过点A(1,0)作单位圆的切线,与直线l有且只有一个交点T,即两角有相同的正切线.故选C.
√
4.已知的正弦线为MP,正切线为AT,则有( )
A.MP与AT的方向相同 B.MP=AT
C.MP>0,AT<0 D.MP<0,AT>0
解析：三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的,MP=sin>0,AT=tan<0.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 判断三角函数值的符号
[例1] (多选)下列选项中,符号为负的是 ( )
A.sin(-100°) B.cos(-220°)
C.tan 10 D.cos π
解析：-100°在第三象限,故sin(-100°)<0;-220°在第二象限,故cos(-220°)<0;10∈,在第三象限,故tan 10>0;cos π=-1<0.
√
√
√
|思|维|建|模| 判断三角函数值符号的两个步骤
定象限 确定角α所在的象限
定符号 利用三角函数值的符号规律,即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断
1.判断下列各式的符号.
(1)tan 191°-cos 191°;
解：∵191°是第三象限角,
∴tan 191°>0,cos 191°<0.
∴tan 191°-cos 191°>0.
针对训练
(2)sin 2cos 3tan 4.
解：∵<2<π,<3<π,π<4<,
∴2是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角.
∴sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0.
∴sin 2cos 3tan 4<0.
题型(二) 由三角函数值的符号判断角所在象限
[例2] 若sin α<0,cos α<0,则α是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析：因为sin α<0,所以α在第三象限或第四象限,或α终边为y轴非正半轴.因为cos α<0,所以α在第二象限或第三象限,或α终边为x轴非正半轴.所以α是第三象限角.
√
[例3] 点A(cos 2 023°,tan 8)在平面直角坐标系中位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：因为2 023°=360°×5+223°,180°<223°<270°,
所以2 023°为第三象限角,故cos 2 023°<0.
因为8与8-2π≈1.72终边相同,又<1.72<π,所以8是第二象限角,
故tan 8<0.则点A在第三象限.
√
|思|维|建|模|
对于确定角α是第几象限角的问题,应先确定题目中所有三角函数值的符号,然后依据三角函数值的符号来确定角α是第几象限角,则它们的公共部分即所求;对于已知角α的终边所在的象限来判断角α的三角函数值的符号问题,则常依据三角函数的定义,或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来解决.
针对训练
2.若α是第四象限角,则点P(cos α,tan α)在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：因为α是第四象限角,所以cos α>0,tan α<0,即点P(cos α,tan α)在第四象限.
√
3.若角α满足sin α·cos α<0,cos α-sin α<0,则α在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：∵sin α·cos α<0,∴α是第二或第四象限角.当α是第二象限角时,cos α<0,sin α>0,满足cos α-sin α<0;当α是第四象限角时,cos α>0,sin α<0,则cos α-sin α>0,不合题意.综上所述,α是第二象限角.
√
题型(三) 三角函数线及其应用
[例4] 若0<α<2π,且sin α<,cos α>,则角α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：如图,角α的取值范围为图中阴影部分,
即.
√
[例5] (多选)设MP,OM和AT分别是角的正弦、余弦和正切线,则以下不等式正确的是( )
A.MP
C.OM√
√
解析：分别作角的正弦、余弦和正切线,如图所示,
∵sin=MP>0,cos=OM<0,tan=AT<0.
∴MP>0>AT>OM.故选B、C.
|思|维|建|模|
三角函数线的4个注意点
(1)位置:三条有向线段中有两条在单位圆内,一条在单位圆外.
(2)方向:正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向垂足;正切线由切点指向切线与α的终边(或其反向延长线)的交点.
(3)正负:三条有向线段中与x轴或y轴同向的为正值,与x轴或y轴反向的为负值.
(4)书写:有向线段的始点字母在前,终点字母在后.
针对训练
4.已知点P(sin α-cos α,tan α)在第一象限,在[0,2π)内,
则α的取值范围为 .
解析：由题意知
如图,由三角函数线可得
∴<α<或π<α<π.
5.利用三角函数线比较下列各组数的大小.
(1)sinπ与sinπ;
(2)tanπ与tanπ;
(3)cosπ与cosπ.
解：如图所示,画出π与π的正弦线、余弦线、正切线,
由图观察可得M1P1>M2P2,AT1OM2,
又sinπ=M1P1,sinπ=M2P2,tanπ=AT1,tanπ=AT2,
cosπ=OM1,cosπ=OM2,
所以sinπ>sinπ,tanπcosπ.
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A级——达标评价
1.(多选)若sin θcos θ>0,则θ的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：因为sin θcos θ>0,所以sin θ<0,cos θ<0或sin θ>0,cos θ>0.所以θ的终边在第一象限或第三象限.
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2.若角α(0<α<2π)的正弦、余弦线的长度相等,且正弦、余弦符号相异,那么α的值为 ( )
A. B. C. D.或
解析：由角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段,得α的终边在第二、四象限的角平分线上.又0<α<2π,∴α=或α=.
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3.设a=sin 1,b=cos 1,c=tan 1,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.aC.b解析：由于<1<,结合三角函数线的定义有cos 1=OC,sin 1=CB,
tan 1=DA,结合几何关系可得cos 1√
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4.(多选)下列函数值的符号为正的是 ( )
A.sin 105° B.cos 325°
C.tan D.tan
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解析：∵105°为第二象限角,∴sin 105°>0.
∵325°为第四象限角,∴cos 325°>0.
∵∈,∴为第二象限角.
∴tan<0.∵∈,∴为第三象限角.∴tan>0.
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5.(多选)数学家高斯在19岁时,解决了困扰数学界达千年之久的圆内接正十七边形的尺规作图问题,并认为这是他最得意的作品之一.设α是圆内接正十七边形的一个内角,则 ( )
A.cos α<0 B.sin 2α>0
C.cos 2α>0 D.tan 2α>0
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解析：正十七边形内角和为(17-2)·π=15π,故α=.因为<α<π,所以cos α<0,故A正确.因为<α<π,所以<2α<2π.故sin 2α<0,cos 2α>0,tan 2α<0,故C正确,B、D均错误.
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6.若cos θ<0且sin θ<0,则θ在第 象限.
三
7.sin 105°cos 230° 0(填“>”“<”或“=”).
解析：因为105°为第二象限角,230°为第三象限角,
所以sin 105°>0,cos 230°<0,即sin 105°·cos 230°<0.
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8.不等式cos x>在区间[-π,π]上的解集为 .
解析：如图所示.
因为cos=cos,所以在[-π,π]上cos x>的解集为.
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9.(8分)分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线,并利用它们求出各角的正弦、余弦和正切.
(1)-;
解：如图所示,正弦线、余弦线和正切线分别为MP,OM,AT.
sin=-,cos=-,tan.
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(2)-.
解：sin=-,cos,tan=-.
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10.(10分)(1)确定的符号;
解：∵弧度数为-3,5,8的角分别是第三、第四、第二象限角,
∴tan(-3)>0,tan 5<0,cos 8<0.
∴>0.
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(2)已知α∈(0,π),且sin α+cos α=m(0解：若0<α<,如图所示,在单位圆中,OM=cos α,MP=sin α,
∴sin α+cos α=MP+OM>OP=1.若α=,则sin α+cos α=1.
由已知0∴sin α>0,cos α<0.于是有sin α-cos α>0.
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B级——重点培优
11.(多选)已知α是锐角,则( )
A.2α是第二象限角 B.sin 2α>0
C.是第一象限角 D.tan<1
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解析：因为α为锐角,所以0<α<,则有0<2α<π,所以sin 2α>0成立.但2α的终边可能在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上,故选项A错误,选项B正确.因为0<,所以是第一象限角,且tan<1,故选项C和D正确.
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12.在△ABC中,若sin Acos Btan C<0,则△ABC是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形
解析：在△ABC中,A,B,C∈(0,π),
∵sin A>0,∴cos B·tan C<0.
∴B,C一个为锐角,另一个为钝角.∴△ABC为钝角三角形.
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13.已知α∈,则sin α+cos α的取值范围是 .
解析：如图,作出单位圆中的三角函数线,则有cos α=OM,
sin α=MP,OP=1.
在Rt△OPM中,OM+MP>OP,∴sin α+cos α>1,
又OM2+MP2=OP2=1,∴(OM+MP)2≤2(OM2+MP2)=2,
即OM+MP≤,当且仅当OM=MP时取等号.∴1(1,]
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14.(12分)设α是第一象限角,作α的正弦线、余弦线和正切线,由图证明下列各等式.
(1)sin2α+cos2α=1;
证明:如图,α是第一象限角,其正弦线、
余弦线、正切线分别是MP,OM,AT.
在Rt△PMO中,MP2+OM2=1,即sin2α+cos2α=1.
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(2)tan α=.
如果α是第二、三、四象限角,以上等式仍然成立吗
证明: ∵△PMO∽△TAO,∴,即tan α=.
若α是第二、三、四象限角,以上等式仍成立.
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15.(12分)已知=-,且lg(cos α)有意义.
(1)试判断角α所在的象限;
解：由=-,可知sin α<0.
由lg(cos α)有意义,可知cos α>0.
∴角α是第四象限角.
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(2)若角α的终边上一点是M,且OM=1(O为坐标原点),求m的值及sin α的值.
解：∵OM=1,∴+m2=1,解得m=±.
又α是第四象限角,∴m<0,从而m=-.
由正弦函数的定义可知sin α==-.第 2 课时 三角函数值的符号及三角函数线 (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
掌握任意角三角函数值在各象限的符号．理解单位圆中的三角函数线，并能利用三角函数线解一些简单问题．
(一)三角函数值的符号
正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号如图所示．
|微|点|助|解|
(1)由三角函数的定义知，sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0，r>0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x，y)的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断三角函数值符号的关键．
(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律，可简记为一全正、二正弦、三正切、四余弦．
(二)三角函数线
1．有向线段
(1)有向线段：规定了______(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段．
(2)有向直线：类似地，可以把规定了________的直线称为有向直线．
(3)有向线段的数量：根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上______或______，这样所得的数，叫作有向线段的数量．
2．三角函数线
图示
正弦线 角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段______即为正弦线
余弦线 有向线段______即为余弦线
正切线 过A(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或其终边的反向延长线于T，有向线段______即为正切线
3．三角函数的定义域
正弦函数y＝sin α的定义域是________________；
余弦函数y＝cos α的定义域是________________；
正切函数y＝tan α的定义域是________________．
1．已知角α是第二象限的角，则cos α的值一定( )
A．小于零 B．大于零
C．等于零 D．不确定
2．若角α是第三象限角，则点P(2，sin α)所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．角和角有相同的( )
A．正弦值 B．余弦值
C．正切线 D．不能确定
4．已知的正弦线为MP，正切线为AT，则有( )
A．MP与AT的方向相同 B．MP＝AT
C．MP>0，AT<0 D．MP<0，AT>0
题型(一) 判断三角函数值的符号
[例1] (多选)下列选项中，符号为负的是( )
A．sin(－100°) B．cos(－220°)
C．tan 10 D．cos π
听课记录：
|思|维|建|模| 判断三角函数值符号的两个步骤
定象限 确定角α所在的象限
定符号 利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断
[针对训练]
1．判断下列各式的符号．
(1)tan 191°－cos 191°；(2)sin 2cos 3tan 4.
题型(二) 由三角函数值的符号判断角所在象限
[例2] 若sin α<0，cos α<0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
听课记录：
[例3] 点A(cos 2 023°，tan 8)在平面直角坐标系中位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
听课记录：
|思|维|建|模|
对于确定角α是第几象限角的问题，应先确定题目中所有三角函数值的符号，然后依据三角函数值的符号来确定角α是第几象限角，则它们的公共部分即所求；对于已知角α的终边所在的象限来判断角α的三角函数值的符号问题，则常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来解决．
[针对训练]
2．若α是第四象限角，则点P(cos α，tan α)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．若角α满足sin α·cos α<0，cos α－sin α<0，则α在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题型(三) 三角函数线及其应用
[例4] 若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是( )
A. B.
C. D.∪
听课记录：
[例5] (多选)设MP，OM和AT分别是角的正弦、余弦和正切线，则以下不等式正确的是( )
A．MPC．OM听课记录：
|思|维|建|模|
三角函数线的4个注意点
(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外．
(2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或其反向延长线)的交点．
(3)正负：三条有向线段中与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值．
(4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后．
[针对训练]
4．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，在[0,2π)内，则α的取值范围为________．
5．利用三角函数线比较下列各组数的大小．
(1)sinπ与sinπ；
(2)tanπ与tanπ；
(3)cosπ与cosπ.
第2课时 三角函数值的符号及三角函数线
?课前预知教材
(二)1.(1)方向 (2)正方向 (3)正号 负号 2.MP OM AT
3．R R
[基础落实训练] 1.A 2.D 3.C 4.C
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 选ABD －100°在第三象限，故sin(－100°)<0；－220°在第二象限，故cos(－220°)<0；10∈，在第三象限，故tan 10>0；cos π＝－1<0.
[针对训练]
1．解：(1)∵191°是第三象限角，
∴tan 191°>0，cos 191°<0.
∴tan 191°－cos 191°>0.
(2)∵<2<π，<3<π，π<4<，
∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角．
∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0.
∴sin 2cos 3tan 4<0.
[题型(二)]
[例2] 选C 因为sin α<0，所以α在第三象限或第四象限，或α终边为y轴非正半轴．因为cos α<0，所以α在第二象限或第三象限，或α终边为x轴非正半轴．所以α是第三象限角．
[例3] 选C 因为2 023°＝360°×5＋223°，180°<223°<270°，所以2 023°为第三象限角，故cos 2 023°<0.因为8与8－2π≈1.72终边相同，又<1.72<π，所以8是第二象限角，故tan 8<0.则点A在第三象限．
[针对训练]
2．选D 因为α是第四象限角，所以cos α>0，tan α<0，即点P(cos α，tan α)在第四象限．
3．选B ∵sin α·cos α<0，∴α是第二或第四象限角．当α是第二象限角时，cos α<0，sin α>0，满足cos α－sin α<0；当α是第四象限角时，cos α>0，sin α<0，则cos α－sin α>0，不合题意．综上所述，α是第二象限角．
[题型(三)]
[例4] 选D 如图，角α的取值范围为图中阴影部分，
即∪.
[例5] 选BC 分别作角的正弦、余弦和正切线，如图所示，
∵sin＝MP>0，cos＝OM<0，tan＝AT<0.
∴MP>0>AT>OM.故选B、C.
[针对训练]
4.解析：由题意知
如图，
由三角函数线可得
∴<α<或π<α<π.
答案：∪
5．解：如图所示，画出π与π的正弦线、余弦线、正切线，由图观察可得M1P1＞M2P2，AT1＜AT2，OM1＞OM2，又sinπ＝M1P1，sinπ＝M2P2，tanπ＝AT1，tanπ＝AT2，cosπ＝OM1，cosπ＝OM2，
所以sinπ＞sinπ，tanπ＜tanπ，cosπ＞cosπ.课时跟踪检测(三十九) 三角函数值的符号及三角函数线
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．(多选)若sin θcos θ>0，则θ的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若角α(0<α<2π)的正弦、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么α的值为( )
A. B.
C. D.或
3．设a＝sin 1，b＝cos 1，c＝tan 1，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．b4．(多选)下列函数值的符号为正的是( )
A．sin 105° B．cos 325°
C．tan D．tan
5．(多选)数学家高斯在19岁时，解决了困扰数学界达千年之久的圆内接正十七边形的尺规作图问题，并认为这是他最得意的作品之一．设α是圆内接正十七边形的一个内角，则( )
A．cos α<0 B．sin 2α>0
C．cos 2α>0 D．tan 2α>0
6．若cos θ<0且sin θ<0，则θ在第________象限．
7．sin 105°cos 230°________0(填“>”“<”或“＝”)．
8．不等式cos x>在区间[－π，π]上的解集为________．
9．(8分)分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线，并利用它们求出各角的正弦、余弦和正切．
(1)－；(2)－.
10．(10分)(1)确定的符号；
(2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m(0＜m＜1)，试判断式子sin α－cos α的符号．
B级——重点培优
11．(多选)已知α是锐角，则( )
A．2α是第二象限角 B．sin 2α>0
C.是第一象限角 D．tan<1
12．在△ABC中，若sin Acos Btan C<0，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
13．已知α∈，则sin α＋cos α的取值范围是________．
14．(12分)设α是第一象限角，作α的正弦线、余弦线和正切线，由图证明下列各等式．
(1)sin2α＋cos2α＝1；
(2)tan α＝.
如果α是第二、三、四象限角，以上等式仍然成立吗？
15．(12分)已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M，且OM＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
课时跟踪检测(三十九)
1．选AC 因为sin θcos θ>0，所以sin θ<0，cos θ<0或sin θ>0，cos θ>0.所以θ的终边在第一象限或第三象限．
2．选D 由角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，得α的终边在第二、四象限的角平分线上．又0<α<2π，
∴α＝或α＝.
3．选C 由于<1<，结合三角函数线的定义有cos 1＝OC，sin 1＝CB，tan 1＝DA，
结合几何关系可得cos 1即b4．选ABD ∵105°为第二象限角，
∴sin 105°>0.
∵325°为第四象限角，∴cos 325°>0.
∵∈，∴为第二象限角．
∴tan<0.∵∈，
∴为第三象限角．
∴tan>0.
5．选AC 正十七边形内角和为(17－2)·π＝15π，故α＝.因为<α<π，所以cos α<0，故A正确．因为<α<π，所以<2α<2π.故sin 2α<0，cos 2α>0，tan 2α<0，故C正确，B、D均错误．
6．三
7．解析：因为105°为第二象限角，230°为第三象限角，所以sin 105°>0，cos 230°<0，
即sin 105°·cos 230°<0.
答案：<
8.解析：如图所示．因为cos＝cos＝，所以在[－π，π]上cos x>的解集为.
答案：
9．解：如图所示，正弦线、余弦线和正切线分别为MP，OM，AT.
(1)sin＝－，cos＝－，tan＝.
(2)sin＝－，cos＝，tan＝－.
10．解：(1)∵弧度数为－3,5,8的角分别是第三、第四、第二象限角，∴tan(－3)＞0，tan 5＜0，cos 8＜0.
∴＞0.
(2)若0＜α＜，如图所示，
在单位圆中，OM＝cos α，MP＝sin α，
∴sin α＋cos α＝MP＋OM＞OP＝1.若α＝，则sin α＋cos α＝1.
由已知0＜m＜1，得α∈.
∴sin α＞0，cos α＜0.
于是有sin α－cos α＞0.
11．选BCD 因为α为锐角，所以0<α<，则有0<2α<π，所以sin 2α>0成立．但2α的终边可能在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上，故选项A错误，选项B正确．因为0<<，所以是第一象限角，且tan<1，故选项C和D正确．
12．选C 在△ABC中，A，B，C∈(0，π)，
∵sin A>0，∴cos B·tan C<0.
∴B，C一个为锐角，另一个为钝角．
∴△ABC为钝角三角形．
13．解析：如图，作出单位圆中的三角函数线，
则有cos α＝OM，sin α＝MP，OP＝1.
在Rt△OPM中，OM＋MP>OP，
∴sin α＋cos α>1，
又OM2＋MP2＝OP2＝1，
∴(OM＋MP)2≤2(OM2＋MP2)＝2，
即OM＋MP≤，当且仅当OM＝MP时取等号．
∴1答案：(1，]
14．证明：如图，α是第一象限角，其正弦线、余弦线、正切线分别是MP，OM，AT.
(1)在Rt△PMO中，MP2＋OM2＝1，
即sin2α＋cos2α＝1.
(2)∵△PMO∽△TAO，∴＝，
即tan α＝.
若α是第二、三、四象限角，以上等式仍成立．
15．解：(1)由＝－，可知sin α<0.
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0.
∴角α是第四象限角．
(2)∵OM＝1，∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，
∴m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin α＝＝＝－.