上海市大同中学2024-2025学年高二下学期5月学情调研数学试题(图片版,含部分答案)

上海市大同中学 2024-2025 学年高二下学期 5 月学
情调研数学试题
一、填空题
1. 已知某随机变量 ，则 __________．
2. 设某中学的女生体重 （单位： kg ）与身高 （单位： cm） 具有线性相关
关系，根据一组样本数据 ，用最小二乘法建立的经验
回归方程为 ．若该中学女生的平均身高为 160cm，则该中学女生
的平均体重的估计值是__________kg．
3. 集合 ，则 __________．
4. 方程 表示焦点在 轴上的双曲线，则 的取值范围是
__________．
5. 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
______．
6. 在南开中学建校 120 周年即将到来之际，我校举办校史知识竞答活动，每班
各选派两名同学代表共回答 4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答．甲、
乙两位同学代表高二 1班答题，假设每道题甲答对的概率为 ，乙答对的概率为
，且每道题是否答对相互独立．记高二 1班答对题目的数量为随机变量 ，则
的数学期望为______．
7. 甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的
球.甲盒装有 4个白球，8个黑球，乙盒装有 1个白球，5个黑球，丙盒装有 3
个白球，3个黑球.随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出 1个球，求摸出
的球是黑球的概率为__________.
8. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．通过 且倾斜
角为 的直线与双曲线交于第一象限的点 A，延长 至 B 使得 ．若
的面积为 ，则 a 的值为__________．
9. 若函数 存在单调递减区间 ， 则实数 的取值范围是
__________．
10. 已知函数 ，则 的最小值为__________．
11. 已知函数 ．若 只
有 2个零点，则 的取值范围是__________．
12. 已知 ，则
的最大值为__________．
二、单选题
13. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
14. 若 且 、 都不为 0，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
15. 函数 的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数 的取值范
围 是 （ ）
A． B． C． D．
16. 设函数 （其中 e 为自然对数的底数），若
存在实数 a 使得 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
17. 已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 对任意 恒成立，求正实数 的取值范围．
18. “总要来趟南京吧!”今年一季度南京接待游客 4千多万，居全省第一.南京
的旅游资源十分丰富，既有中山陵 夫子庙 玄武湖 南京博物院等传统景区，又
有科巷 三七八巷 德基广场等新晋网红景点.
(1)如果随机访问了 50 名外地游客，所得结果如下表所示：
首选传统景区首选网红景点总计
男性20 30
女性 12 20
试判断是否有 的把握认为是否首选网红景点与性别有关；
(2)根据互联网调查数据显示，外地游客来南京旅游首选传统景区的概率是 0.6，
首选网红景点的概率是 0.4.如果随机访问 3名外地游客，他们中首选网红景点
的人数记为 ，求 的分布列和期望.
附： （其中 .
0.05 0.10 0.001
3.8412.70610.828
19. 已知椭圆 的右焦点为 F，点 在椭圆 C 上．且
离心率为 ．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)直线 l 斜率存在，交椭圆 C 于 A，B 两点，A，B，F 三点不共线，且直线
和直线 关于 PF 对称．
（i）证明：直线 l 过定点；
（ⅱ）求 面积的最大值．
20. 已知函数 ，取 ；过点 作曲线 的切线，
该切线与 轴的交点记作 ．若 ，则过点 作曲线 的
切线，该切线与 轴的交点记作 ．以此类推得 ，直至
停止，由这些数构成数列 ．
(1)若正整数 ，证明： ；
(2)若正整数 ，证明： ；
(3)若正整数 ，是否存在 使得 依次成等差数列？若存在，求
出 的所有取值；若不存在，请说明理由．
上海市大同中学 2024-2025 学年高二下学期 5 月学情调研数学试题
整体难度：适中
考试范围：计数原理与概率统计、集合与常用逻辑用语、平面解析几何、函数与导数、平面
向量、三角函数与解三角形、等式与不等式、数列
试卷题型
题型 数量
填空题 12
单选题 4
解答题 4
试卷难度
难度 题数
容易 2
较易 5
适中 8
较难 5
细目表分析
题号 难度系数 详细知识点
一、填空题
1 0.85 方差的性质
2 0.94 计算样本的中心点
3 0.85 并集的概念及运算；列举法表示集合
4 0.85 根据方程表示双曲线求参数的范围
5 0.85 指定区间的概率
6 0.65 二项分布的均值
7 0.85 利用全概率公式求概率
8 0.65 求双曲线的焦点坐标；直线的点斜式方程及辨析；双曲线定义的理解
9 0.65 由函数在区间上的单调性求参数
由导数求函数的最值（不含参）；利用函数单调性求最值或值域；根据解析式直
10 0.65
接判断函数的单调性
11 0.65 根据函数零点的个数求参数范围
向量与几何最值；求含 sinx(型)函数的值域和最值；数量积的坐标表示；轨迹问
12 0.4
题——椭圆
二、单选题
13 0.94 相关系数的意义及辨析
14 0.65 由已知条件判断所给不等式是否正确
15 0.4 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题；已知切线（斜率）求参数
16 0.4 利用导数研究不等式恒成立问题
三、解答题
利用导数研究不等式恒成立问题；函数不等式恒成立问题；利用导数求函数的单
17 0.65
调区间（不含参）
18 0.65 卡方的计算；二项分布的均值；完善列联表；写出简单离散型随机变量分布列
根据椭圆过的点求标准方程；求椭圆中的最值问题；根据离心率求椭圆的标准方
19 0.4
程；椭圆中的直线过定点问题
20 0.4 利用导数证明不等式；利用导数研究函数的零点；求在曲线上一点处的切线方程
（斜率）；等差中项的应用
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 计数原理与概率统计 1,2,5,6,7,13,18
2 集合与常用逻辑用语 3
3 平面解析几何 4,8,12,19
4 函数与导数 9,10,11,15,16,17,20
5 平面向量 12
6 三角函数与解三角形 12
7 等式与不等式 14
8 数列 20
试题答案解析
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）