北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试卷(图片版,含部分答案)

北京市北京师范大学附属实验中学 2024-2025 学年
高二下学期 5 月月考数学试卷
一、单选题
1. 设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2. 记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3. 设 是公差不为 0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整
数 ，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 某项羽毛球单打比赛规则是 3局 2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单
打决赛，假设甲每局获胜的概率为 ，则由此估计甲获得冠军的概率为（ ）
A． B． C． D．
5. 离散型随机变量 X 的分布列如下：
X 1 2 3 4
P m 0.3 n 0.2
若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6. 某企业今年年初有资金 1000 万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增
长率可达到 ，每年年底需要扣除下一年的消费基金 50 万元，剩余资金投入
再生产，设该企业从今年起每年年初拥有的资金数依次为 则表示
与 之间关系的递推公式为（ ）
A． B．
C． D．
7. 已知 为定义在 上的奇函数，且 也为奇函数，若 ，则
的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
8. 若函数 有大于零的极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9. 若 ，则 ( )
A． B．
C． D．
10. 定义在 R上的函数 和 的导函数分别为 ， ，则下面结论正
确的是
①若 ，则函数 的图象在函数 的图象上方；
②若函数 与 的图象关于直线 对称，则函数 与 的图象关于
点（ ，0）对称；
③函数 ，则 ；
④若 是增函数，则 .
A．①② B．①②③ C．③④ D．②③④
二、填空题
11. 一个袋子中装有 5个大小相同的球，其中 2个红球，3个白球，从中依次摸
出 2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到白球的概率是______.
12. 已知函数 在 上是单调函数，则实数 的取值范围是
_________．
13. 已知函数 ，当 时， 有极小值．写出
符合上述要求的一组 a，b 的值为 a= _______ ，b=_______ ．
n＋1 *
14. 设曲线 y＝x （n∈N）在点（1,1）处的切线与 x轴的交点的横坐标为 xn
则 x1·x2·…·xn等于_________
15. 已知数列 满足 ，给出下列四个结论：
①存在唯一的正实数 ，使得 是常数列；
②当 时， 是等比数列；
③若 是递增数列，则 ；
④若对任意的正整数 ，都有 ，则 ．
其中所有正确结论的序号为_____．
三、解答题
16. 已知函数 在 时取得极大值 4.
(1)求实数 a，b 的值；
(2)求函数 在区间 上的最值.
17. 某移动通讯公司为答谢用户，在其 APP 上设置了签到翻牌子赢流量活动.现
收集了甲、乙、丙 3位该公司用户 2023 年 12 月 1 日至 7日获得的流量（单位：
MB）数据，如图所示.
(1)从 2023 年 12 月 1 日至 7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量
的概率；
(2)从 2023 年 12 月 1 日至 7日中任选两天，设 是选出的两天中乙获得流量大
于丙获得流量的天数，求 的分布列及数学期望 ；
(3)将甲、乙、丙 3位该公司用户在 2023 年 12 月 1 日至 7日获得流量的方差分
别记为 ， ， ，试比较 ， ， 的大小（只需写出结论）.
18. 已知数列 中， ， .
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)设 ， 为数列 的前 n 项和，证明： .
19. 某运动品牌拟推出一款青少年新品跑鞋．在前期市场调研时，从某市随机调
查了 200 名中小学生对黑、白两种颜色的新品跑鞋的购买意愿，统计数据如下（单
位：人）：
小学生 初中生 高中生
颜色
愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意
黑色 80 20 40 20 20 20
白色 60 40 30 30 30 10
假设所有中小学生的购买意愿相互独立，用频率估计概率．
(1)从该市全体中小学生中随机抽取 1人，估计其愿意购买黑色新品跑鞋的概率 ；
(2)从该市的初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取 1人，记 为这 2人
中愿意购买白色新品跑鞋的人数，求 的分布列和数学期望 ；
(3)假设该市 学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为 ，从 学校
的全体中小学生中随机抽取 1人，将其愿意购买黑色新品跑鞋的概率估计值记为
，试比较 与（1）中的 的大小．（结论不要求证明）
20. 已知函数 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)若曲线 与 x 轴交于 A，B 两点，AB 的中点横坐标为 ，证明： .
21. 有限数列 ： ， ，…， ．（ ）同时满足下列两个条件：
①对于任意的 ， （ ）， ；
②对于任意的 ， ， （ ）， ， ， ，三个数中至少有一个
数是数列 中的项．
(1)若 ，且 ， ， ， ，求 的值；
(2)证明： ， ， 不可能是数列 中的项；
(3)求 的最大值．
北京市北京师范大学附属实验中学 2024-2025 学年高二下学期 5 月月考数学试
卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、数列、计数原理与概率统计、推理与证明
试卷题型
题型 数量
单选题 10
填空题 5
解答题 6
试卷难度
难度 题数
容易 4
较易 6
适中 9
较难 2
细目表分析
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
交集的概念及运算；列举法表示集合；由指数函数的单调性解不等式；比较对数
1 0.85
式的大小
2 0.94 利用等差数列的性质计算；求等差数列前 n 项和
3 0.65 探求命题为真的充要条件；等差数列的单调性
4 0.85 独立重复试验的概率问题；利用二项分布求分布列；独立事件的乘法公式
概率的基本性质；利用随机变量分布列的性质解题；均值的性质；离散型随机变
5 0.65
量的方差与标准差
6 0.85 递推数列的实际应用
7 0.85 函数奇偶性的应用；由函数的周期性求函数值
8 0.65 根据极值点求参数；简单复合函数的导数
9 0.94 利用导数证明不等式
10 0.65 函数的图象；利用导数研究函数图象及性质
二、填空题
11 0.85 计算条件概率
12 0.94 由函数在区间上的单调性求参数
13 0.65 根据极值求参数；根据极值点求参数
14 0.64 导数在函数中的其他应用
15 0.65 由递推数列研究数列的有关性质；由定义判定等比数列；等比数列的单调性
三、解答题
16 0.94 由导数求函数的最值（不含参）；根据极值点求参数
计算古典概型问题的概率；写出简单离散型随机变量分布列；估计总体的方差、
17 0.85
标准差；求离散型随机变量的均值
由递推关系证明数列是等差数列；裂项相消法求和；利用定义求等差数列通项公
18 0.65
式
写出简单离散型随机变量分布列；求离散型随机变量的均值；用频率估计概率；
19 0.65
计算古典概型问题的概率
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数证明不等式；含参分类讨论求
20 0.4
函数的单调区间
21 0.4 数列新定义；数列综合；反证法证明
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 集合与常用逻辑用语 1,3
2 函数与导数 1,7,8,9,10,12,13,14,16,20
3 数列 2,3,6,15,18,21
4 计数原理与概率统计 4,5,11,17,19
5 推理与证明 21
试题答案解析
（1）
（2）
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（4）
（5）
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