广东省深圳市坪山区2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（2025·坪山模拟）深圳地铁14号线及16号线开通后，极大方便了坪山人民的日常出行．下列地铁图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选C.
【分析】
根据轴对称图形的定义，进行判断即可．
2．（2025·坪山模拟）深圳坪山某车企第1000万辆新能源汽车下线，成为全球首家达成这一成就的车企，这既是坪山产业发展的高光时刻，也是深圳汽车工业发展史上新的里程碑．将1000万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1000万=10000000=1×107
故答案为：D.
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方式。科学记数法的标准形式为a×10n，其中1≤a<10，n为整数。本题首先将1000万展开转换为数字形式，然后确定a=1，1后面有7个0，因此n=7，代入即可表示出来。
3．（2025·坪山模拟）下列运算中结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】
依据同底数幂乘法计算，幂的乘方计算，单项式除以单项式和积的乘方进行计算即可．
4．（2025·坪山模拟）甲、乙、丙、丁四家配餐公司提供的卤鸡腿的质量平均数与方差如下表所示，若要选择鸡腿质量更大且出品更加稳定的配餐公司，则应选择的公司是（ ）
甲 乙 丙 丁
平均质量（克） 120 120 110 110
方差 18.2 4.9 20.1 12.7
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：比较平均质量，则甲=乙＞丙＝丁；比较方差，则丙＞甲＞丁＞乙，
其中平均质量最大的是甲和乙，方差最小的是乙。
因此乙公司提供的卤鸡腿质量更大且出品更加稳定。
故答案为：B.
【分析】本题首先从数据中对比平均质量，找出最大的平均质量对应的公司；然后找出方差最小的数据对应的公司，因为方差小的表明更加稳定，即可选出对应的公司。
5．（2025·坪山模拟）随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过E作，
∵，
∴，
∴，，
，
∴，
∵，，
∴．
故选：C．
【分析】
过E作，得到，推出，即可求出的度数．
6．（2025·坪山模拟）“科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九年一贯制学校2025年的科技节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒．水火箭从地面竖直向上弹出，其初始速度为20米／秒．水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（ ）
A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：函数关系式 ，
当t=时，h为最大值20×2-5×22=20米。
故答案为：B.
【分析】本题主要考查抛物线函数的最值问题。函数关系式，因为a=-5＜0，因此该函数开口向下，所以在对称轴处，该函数取得最大值。因此可以直接利用公式x=进行计算，其中a=-5，b=20，代入计算即可。
7．（2025·坪山模拟）在“书香随行，快乐过年”的寒假阅读活动中，小明每天实际阅读的页数比原计划多了30页，因此实际阅读160页书所用的时间与计划阅读100页书所用的时间相同．设小明每天原计划读的页数为x页，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据条件，小明每天原计划读的页数为x页，则每天实际阅读（x+30）页，
因此列式
故答案为：B.
【分析】本题找到等量关系列出方程等式即可。首先根据条件，小明每天原计划读的页数为x页，而“ 小明每天实际阅读的页数比原计划多了30页 ”，则每天实际阅读（x+30）页，这样实际阅读需要天，计划阅读需要天，而“ 实际阅读160页书所用的时间与计划阅读100页书所用的时间相同 ”，此时即可列出方程等式。
8．（2025·坪山模拟）如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：（ ）
求的值
解：令，
则
故，
因此
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：根据题意，
设，
∴，
得：，
∴，
故选：A．
【分析】
设，则，用即可求解．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025·坪山模拟）因式分解：a3－a= .
【答案】a（a－1）（a + 1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：a3-a，
=a（a2-1），
=a（a+1）（a-1）.
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
10．（2025·坪山模拟）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 方程有两个相等的实数根 ，
∴，
解得c=.
故答案为：.
【分析】由方程根情况直接利用判别式求出c即可.
11．（2025·坪山模拟）为了方便学生在校午休，某学校购入了一批可调节椅背且配备可折叠脚踏板的桌椅．若午休时椅背与椅座间的倾斜角达到，脚踏板拉起后与椅座在一条直线上，测量得到，，，则使用该椅子午休时方向的占地长度为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点作，交的延长线于H，
∵，
∴，
在中，
，，
则，
∴=，
故答案为：．
【分析】
过点作，交的延长线于H，根据余弦的定义求出，根据题意计算得到答案．
12．（2025·坪山模拟）如图，在反比例函数上有两点和，若在第二象限存在一点，使得四边形为平行四边形，且平行四边形的面积为8，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，如图所示：
则四边形是直角梯形，
∵四边形是平行四边形，且面积为8，
∴，
∵点和都在反比例函数的图象上，
∴，
∴点，点，
∴线段的中点坐标为，
设点，
∴线段的中点坐标为，
∵四边形是平行四边形，
∴线段的中点与线段的中点重合，
∴，，
∴，，
∴点，
∵轴，轴，
∴，，，，
∴，
∴，，
又∵，
∵，
∴，
整理：，
∴，
∵反比例函数的图象在第一象限，
∴，
∴，
∴点C的坐标为．
故答案为：．
【分析】 连接，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，利用平行四边形的性质及已知条件可求出△OBC的面积，利用点B、A的坐标，可得到k=a=b，同时可求出线段OA的中点坐标；设点，可得到线段BC的中点坐标，由此可推出线段的中点与线段的中点重合，可以分别表示出m、n的值，同时可得到线段CE，OE，OD，BD，DE的长，利用三角形的面积公式可表示出△OCE、△OBD的面积及梯形BCED的面积，然后根据，可得到关于k的方程，解方程求出符合题意的k的值，由此可得到点C的坐标.
13．（2025·坪山模拟）如图，在中，，，，点在线段上且满足，与交于点，若，则 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；四点共圆模型；求正弦值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，即，
∴点A、B、C、F四点共圆，
连接，
∴，，
∴，
∴，
∴平分，
∴到、的距离相等，
∵，
∴，
设，则，
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴；
故答案为：．
【分析】由C可知点A、B、C、F四点共圆，进而利用圆周角定理导角可得，，所以，进而利用角平分线性质定理结合面积可得，据此设参，利用勾股定理求解即可．
三、解答题（本大题共7个小题，满分61分）
14．（2025·坪山模拟）（1）计算：；
（2）在解分式方程时，小亮的解法如下：
第一步：方程两边都乘，得．
第二步：解这个方程，得．
第三步：经检验，为原方程的解．
①在上述解方程过程中，从第______________步开始错误；
②错误的原因是____________________．
【答案】（1）
；
（2）①一；②方程右边的这一项漏乘了
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解分式方程；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】（2）观察可知，上述解方程过程中，从第一步开始错误，错误原因是方程右边的这一项漏乘了．
故答案为：一；方程右边的这一项漏乘了．
【分析】（1）先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案；
（2）观察解题过程可知，第一步在去分母时，方程右边的这一项漏乘了，据此可得答案．
15．（2025·坪山模拟）先化简，再求值：，再从，0，1，2中，选个合适的值作为代入求值．
【答案】解：原式
，
∵，
∴，0，1，2中，只有符合题意，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将括号里的分式通分计算，同时将分式除法转化为乘法运算，约分化简；然后从，0，1，2中，选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
16．（2025·坪山模拟）坪山大剧院位于坪山文化聚落，是一个戏剧文化的综合空间、一个先锋戏剧的原创基地、一个品质引领的文化地标．为了加深对于戏剧文化的了解，小坪同学和小山同学准备组织一次到坪山大剧院的观剧活动．他们对同班同学发放了调查问卷，统计同学们最喜欢的戏剧种类，其调查结果如下：
（1）班级总人数为_______________人，__________________°；
（2）补全条形统计图；
（3）若小坪和小山所在的年级有800人，估计该年级喜欢舞剧的人数是多少？
（4）坪山大剧院周五，周六和周日将推出同一场音乐剧，假设小坪和小山分别打算去看这场音乐剧，且每一天去看音乐剧的可能性相同，那么在事先没有约好的情况下，小坪和小山选择同一日期看音乐剧的概率是多少？（请用画树状图或列表等方法说明理由）．
【答案】（1）50，144
（2）解：喜欢话剧的人数为（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：（人），
答：估计该年级喜欢舞剧的人数为128人
（4）解：列表如下：
小山 小坪 五 六 日
五 （五，五） （五，六） （五，日）
六 （六，五） （六，六） （六，日）
日 （日，五） （日，六） （日，日）
共有9种等可能的结果，其中小坪和小山选择同一日期看音乐剧的结果有（五，五），（六，六），（日，日）共3种，（没有列出情况不得分）
两人同一日期看音乐剧的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：班级总人数为（人），
喜欢音乐剧的人数所对应的圆心角的度数为，
故答案为：50，144；
分析】（1）利用喜欢戏曲的人数除以喜欢戏曲的人所占的比，可以求出总人数，再用乘以喜欢音乐剧的学生所占的比，可以求出圆心角度数；
（2）用总人数减去喜欢戏曲、音乐剧、舞蹈的人数可以求出喜欢话剧的人数，补全条形统计图即可；
（3）用800乘以喜欢舞剧的学生所占的比即可；
（4）利用列表法可得出所有等可能的结果数以及小坪和小山选择同一日期的情况数，再利用概率公式可得出答案．
（1）解：班级总人数为（人），
喜欢音乐剧的人数所对应的圆心角的度数为，
故答案为：50，144；
（2）解：喜欢话剧的人数为（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：（人），
答：估计该年级喜欢舞剧的人数为128人．
（4）解：列表如下：
小山 小坪 五 六 日
五 （五，五） （五，六） （五，日）
六 （六，五） （六，六） （六，日）
日 （日，五） （日，六） （日，日）
共有9种等可能的结果，其中小坪和小山选择同一日期看音乐剧的结果有（五，五），（六，六），（日，日）共3种，（没有列出情况不得分）
两人同一日期看音乐剧的概率为．
17．（2025·坪山模拟）如图，在中，，，．
（1）请用圆规和没有刻度的直尺作出，使圆心在边上，且与，两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，求的半径长．
【答案】（1）解：如图所示，作的角平分线交于P，再以点P为圆心，的长画圆，则即为所求；
由角平分线的性质可得点P到的距离相等，由，可得点P到的距离都等于的半径，即与都相切；
（2）解：设与相切于点，连接．则，
在中，由勾股定理得，
设的半径为，则，
在与中，
，．
，
∴
在中，由勾股定理得，即
解得，
的半径长为
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；切线的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）作的角平分线交于P，再以点P为圆心，的长画圆，则即为所求；
（2）设与相切于点，连接．则，利用勾股定理求出BC的长，设的半径为，可表示出AP的长，利用HL可证得Rt△PCB≌Rt△PDB，利用全等三角形的性质可求出BD的长，再利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值，可得到圆O的半径.
（1）解：如图所示，作的角平分线交于P，再以点P为圆心，的长画圆，则即为所求；
由角平分线的性质可得点P到的距离相等，由，可得点P到的距离都等于的半径，即与都相切；
（2）解：设与相切于点，连接．则，
在中，由勾股定理得，
设的半径为，则，
在与中，
，．
，
∴
在中，由勾股定理得，即
解得，
的半径长为．
18．（2025·坪山模拟）坪山区某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学，该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息：
信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人．此前校租用6辆大型客车，4辆中型客车花费4400元；校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元．
信息2 该校六年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车．
任务1 一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？
任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将六年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案比预算节省的费用．
【答案】任务一：解：设一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元．根据题意得：
解得
所以一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元．
任务二：解：设租用辆大型客车，租用辆中型客车．根据题意得：
解得
为正整数，所以可以为8或9．
方案一：租8辆大型客车，2辆中型客车
方案二：租9辆大型客车，1辆中型客车．
方案一的费用为：（元）
方案二的费用为：（元）
方案一的花费最少，比预算节省200元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组和不等式组的实际应用，并分析选择最优方案。
任务一，结合信息1中的条件，累出二元一次方程组，分别求出x和y的值即可；
任务二，结合任务一的计算结果和信心2，列出不等式组，求出m的取值范围后，即可得出m只有8和9两个整数可以取，因此分别分析并计算即可。
19．（2025·坪山模拟）综合与实践
深圳自然博物馆位于广东省深圳市坪山区燕子湖片区，共划分为陈列展览区、藏品保管保护区、公共服务区、科普教育区、综合业务与学术研究区以及地下车库和设备用房六大功能部分，是深圳市“新时代十大文化设施”之一，建成后将成为粤港澳大湾区首座大型综合类自然博物馆，填补了该区在综合类自然博物馆方面的空白．坪山区某中学数学兴趣小组对该项目设计图进行了研究：
把建筑俯视图的一部分抽象为以下图象：曲线、曲线、曲线和曲线，它们均可以看成某二次函数图象的一部分，后三者都可以看成由曲线平移得到，的长度为6．如图1，兴趣小组建立平面直角坐标系，已知曲线最高点点坐标为．
（1）求曲线所在抛物线的解析式（不需要写自变量的取值范围）．
（2）如图2，现在需要在建筑的顶部划出一片矩形区域来做绿化，下图所示，其中轴，求矩形花园周长的最大值．
（3）如图3，为了增强建筑物晚上的整体美观度，如果在建筑的曲线和曲线的外墙上安装具备灯光效果的垂直灯具，假设每个垂直灯具的水平间距为0.6，即，请问至少需要安装垂直灯具____________个．
【答案】（1）解：∵曲线最高点点坐标为∴设，
∵图象过原点，
∴，
解得：，
∴
（2）解：∵曲线由曲线平移得到，的长度为6，∴曲线的解析式为：，
设，
由题意，可知：，关于对称轴对称，
∴，
∴矩形花园周长为：
，
∴当时，矩形花园的周长最大，最大面积为20
（3）26
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（3）∵，
∴对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，
∵曲线、曲线和曲线，都可以看成由曲线平移得到，
∴，
∵每个垂直灯具的水平间距为0.6，
∴，
∴至少需要安装垂直灯具26个．
故答案为：26
【分析】（1）设出顶点式，根据图象过原点，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）平移求出曲线的解析式，设，根据周长公式，列出二次函数求最值即可；
（3）求出的长，进而求出的长，再除以间距即可．
（1）解：∵曲线最高点点坐标为
∴设，
∵图象过原点，
∴，
解得：，
∴；
（2）∵曲线由曲线平移得到，的长度为6，
∴曲线的解析式为：，
设，
由题意，可知：，关于对称轴对称，
∴，
∴矩形花园周长为：
，
∴当时，矩形花园的周长最大，为20；
（3）∵，
∴对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，
∵曲线、曲线和曲线，都可以看成由曲线平移得到，
∴，
∵每个垂直灯具的水平间距为0.6，
∴，
∴至少需要安装垂直灯具26个．
故答案为：26
20．（2025·坪山模拟）在菱形中，点为射线（不与点重合）上一动点，连接，点为中点，连接，将沿翻折得到，连接．
（1）如图1，连接，与的位置关系是_______________；与的位置关系是_____________；
（2）如图2，若，当点运动到中点时，求的值；
（3）已知，，若，则的长为_____________．
【答案】（1）；
（2）解：延长交于点，连接，
∵菱形，，
∴，
∴为等边三角形，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，，
设，则：，
∵为的中点，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）或
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）解：延长交于点，
∵翻折，
∴垂直平分，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）①当点在上时：由（1）可知：，，，，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
解得：或（舍去）；
∴，
∴；
②当点在得延长线上时：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，同①，
∴，
∴，
∴，
过点作，则：，
∴，
在中，，
∴；
综上：或．
【分析】（1）延长交于点，利用折叠的性质，可推出垂直平分，利用线段垂直平分线的性质可证得AH=BH，由此可证得三角形的中位线定理得到，即可得出结论；
（2）延长交于点，连接，菱形的性质推出为等边三角形，三线合一得到，根据含30度角的直角三角形的性质，推出，，设，则：，勾股定理求出的长，等角的余角相等，得到，进而得到，求出的长，三角形的中位线求出的长，即可得出结果；
（3）分情况讨论：①当点在上时：由（1）可知：，，，，同时可证得，利用菱形的性质可推出，，∠ABC=∠BFE，设，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似可证得，利用相似三角形的对应边成比例可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出CE的长；②当点在得延长线上时：设，可表示出AF、AE的长，易证，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AE的长；过点作，可求出BK、AK的长，然后利用勾股定理求出EK的，然后求出CE的长；综上所述，可得到CE的长.
（1）解：延长交于点，
∵翻折，
∴垂直平分，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）延长交于点，连接，
∵菱形，，
∴，
∴为等边三角形，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，，
设，则：，
∵为的中点，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）①当点在上时：由（1）可知：，，，，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
解得：或（舍去）；
∴，
∴；
②当点在得延长线上时：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，同①，
∴，
∴，
∴，
过点作，则：，
∴，
在中，，
∴；
综上：或．
1 / 1广东省深圳市坪山区2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（2025·坪山模拟）深圳地铁14号线及16号线开通后，极大方便了坪山人民的日常出行．下列地铁图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·坪山模拟）深圳坪山某车企第1000万辆新能源汽车下线，成为全球首家达成这一成就的车企，这既是坪山产业发展的高光时刻，也是深圳汽车工业发展史上新的里程碑．将1000万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·坪山模拟）下列运算中结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·坪山模拟）甲、乙、丙、丁四家配餐公司提供的卤鸡腿的质量平均数与方差如下表所示，若要选择鸡腿质量更大且出品更加稳定的配餐公司，则应选择的公司是（ ）
甲 乙 丙 丁
平均质量（克） 120 120 110 110
方差 18.2 4.9 20.1 12.7
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（2025·坪山模拟）随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·坪山模拟）“科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九年一贯制学校2025年的科技节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒．水火箭从地面竖直向上弹出，其初始速度为20米／秒．水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（ ）
A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒
7．（2025·坪山模拟）在“书香随行，快乐过年”的寒假阅读活动中，小明每天实际阅读的页数比原计划多了30页，因此实际阅读160页书所用的时间与计划阅读100页书所用的时间相同．设小明每天原计划读的页数为x页，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·坪山模拟）如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：（ ）
求的值
解：令，
则
故，
因此
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025·坪山模拟）因式分解：a3－a= .
10．（2025·坪山模拟）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
11．（2025·坪山模拟）为了方便学生在校午休，某学校购入了一批可调节椅背且配备可折叠脚踏板的桌椅．若午休时椅背与椅座间的倾斜角达到，脚踏板拉起后与椅座在一条直线上，测量得到，，，则使用该椅子午休时方向的占地长度为 ．
12．（2025·坪山模拟）如图，在反比例函数上有两点和，若在第二象限存在一点，使得四边形为平行四边形，且平行四边形的面积为8，则点的坐标为 ．
13．（2025·坪山模拟）如图，在中，，，，点在线段上且满足，与交于点，若，则 ．
三、解答题（本大题共7个小题，满分61分）
14．（2025·坪山模拟）（1）计算：；
（2）在解分式方程时，小亮的解法如下：
第一步：方程两边都乘，得．
第二步：解这个方程，得．
第三步：经检验，为原方程的解．
①在上述解方程过程中，从第______________步开始错误；
②错误的原因是____________________．
15．（2025·坪山模拟）先化简，再求值：，再从，0，1，2中，选个合适的值作为代入求值．
16．（2025·坪山模拟）坪山大剧院位于坪山文化聚落，是一个戏剧文化的综合空间、一个先锋戏剧的原创基地、一个品质引领的文化地标．为了加深对于戏剧文化的了解，小坪同学和小山同学准备组织一次到坪山大剧院的观剧活动．他们对同班同学发放了调查问卷，统计同学们最喜欢的戏剧种类，其调查结果如下：
（1）班级总人数为_______________人，__________________°；
（2）补全条形统计图；
（3）若小坪和小山所在的年级有800人，估计该年级喜欢舞剧的人数是多少？
（4）坪山大剧院周五，周六和周日将推出同一场音乐剧，假设小坪和小山分别打算去看这场音乐剧，且每一天去看音乐剧的可能性相同，那么在事先没有约好的情况下，小坪和小山选择同一日期看音乐剧的概率是多少？（请用画树状图或列表等方法说明理由）．
17．（2025·坪山模拟）如图，在中，，，．
（1）请用圆规和没有刻度的直尺作出，使圆心在边上，且与，两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，求的半径长．
18．（2025·坪山模拟）坪山区某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学，该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息：
信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人．此前校租用6辆大型客车，4辆中型客车花费4400元；校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元．
信息2 该校六年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车．
任务1 一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？
任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将六年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案比预算节省的费用．
19．（2025·坪山模拟）综合与实践
深圳自然博物馆位于广东省深圳市坪山区燕子湖片区，共划分为陈列展览区、藏品保管保护区、公共服务区、科普教育区、综合业务与学术研究区以及地下车库和设备用房六大功能部分，是深圳市“新时代十大文化设施”之一，建成后将成为粤港澳大湾区首座大型综合类自然博物馆，填补了该区在综合类自然博物馆方面的空白．坪山区某中学数学兴趣小组对该项目设计图进行了研究：
把建筑俯视图的一部分抽象为以下图象：曲线、曲线、曲线和曲线，它们均可以看成某二次函数图象的一部分，后三者都可以看成由曲线平移得到，的长度为6．如图1，兴趣小组建立平面直角坐标系，已知曲线最高点点坐标为．
（1）求曲线所在抛物线的解析式（不需要写自变量的取值范围）．
（2）如图2，现在需要在建筑的顶部划出一片矩形区域来做绿化，下图所示，其中轴，求矩形花园周长的最大值．
（3）如图3，为了增强建筑物晚上的整体美观度，如果在建筑的曲线和曲线的外墙上安装具备灯光效果的垂直灯具，假设每个垂直灯具的水平间距为0.6，即，请问至少需要安装垂直灯具____________个．
20．（2025·坪山模拟）在菱形中，点为射线（不与点重合）上一动点，连接，点为中点，连接，将沿翻折得到，连接．
（1）如图1，连接，与的位置关系是_______________；与的位置关系是_____________；
（2）如图2，若，当点运动到中点时，求的值；
（3）已知，，若，则的长为_____________．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选C.
【分析】
根据轴对称图形的定义，进行判断即可．
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1000万=10000000=1×107
故答案为：D.
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方式。科学记数法的标准形式为a×10n，其中1≤a<10，n为整数。本题首先将1000万展开转换为数字形式，然后确定a=1，1后面有7个0，因此n=7，代入即可表示出来。
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】
依据同底数幂乘法计算，幂的乘方计算，单项式除以单项式和积的乘方进行计算即可．
4．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：比较平均质量，则甲=乙＞丙＝丁；比较方差，则丙＞甲＞丁＞乙，
其中平均质量最大的是甲和乙，方差最小的是乙。
因此乙公司提供的卤鸡腿质量更大且出品更加稳定。
故答案为：B.
【分析】本题首先从数据中对比平均质量，找出最大的平均质量对应的公司；然后找出方差最小的数据对应的公司，因为方差小的表明更加稳定，即可选出对应的公司。
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过E作，
∵，
∴，
∴，，
，
∴，
∵，，
∴．
故选：C．
【分析】
过E作，得到，推出，即可求出的度数．
6．【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：函数关系式 ，
当t=时，h为最大值20×2-5×22=20米。
故答案为：B.
【分析】本题主要考查抛物线函数的最值问题。函数关系式，因为a=-5＜0，因此该函数开口向下，所以在对称轴处，该函数取得最大值。因此可以直接利用公式x=进行计算，其中a=-5，b=20，代入计算即可。
7．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据条件，小明每天原计划读的页数为x页，则每天实际阅读（x+30）页，
因此列式
故答案为：B.
【分析】本题找到等量关系列出方程等式即可。首先根据条件，小明每天原计划读的页数为x页，而“ 小明每天实际阅读的页数比原计划多了30页 ”，则每天实际阅读（x+30）页，这样实际阅读需要天，计划阅读需要天，而“ 实际阅读160页书所用的时间与计划阅读100页书所用的时间相同 ”，此时即可列出方程等式。
8．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：根据题意，
设，
∴，
得：，
∴，
故选：A．
【分析】
设，则，用即可求解．
9．【答案】a（a－1）（a + 1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：a3-a，
=a（a2-1），
=a（a+1）（a-1）.
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
10．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 方程有两个相等的实数根 ，
∴，
解得c=.
故答案为：.
【分析】由方程根情况直接利用判别式求出c即可.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点作，交的延长线于H，
∵，
∴，
在中，
，，
则，
∴=，
故答案为：．
【分析】
过点作，交的延长线于H，根据余弦的定义求出，根据题意计算得到答案．
12．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，如图所示：
则四边形是直角梯形，
∵四边形是平行四边形，且面积为8，
∴，
∵点和都在反比例函数的图象上，
∴，
∴点，点，
∴线段的中点坐标为，
设点，
∴线段的中点坐标为，
∵四边形是平行四边形，
∴线段的中点与线段的中点重合，
∴，，
∴，，
∴点，
∵轴，轴，
∴，，，，
∴，
∴，，
又∵，
∵，
∴，
整理：，
∴，
∵反比例函数的图象在第一象限，
∴，
∴，
∴点C的坐标为．
故答案为：．
【分析】 连接，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，利用平行四边形的性质及已知条件可求出△OBC的面积，利用点B、A的坐标，可得到k=a=b，同时可求出线段OA的中点坐标；设点，可得到线段BC的中点坐标，由此可推出线段的中点与线段的中点重合，可以分别表示出m、n的值，同时可得到线段CE，OE，OD，BD，DE的长，利用三角形的面积公式可表示出△OCE、△OBD的面积及梯形BCED的面积，然后根据，可得到关于k的方程，解方程求出符合题意的k的值，由此可得到点C的坐标.
13．【答案】
【知识点】圆周角定理；四点共圆模型；求正弦值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，即，
∴点A、B、C、F四点共圆，
连接，
∴，，
∴，
∴，
∴平分，
∴到、的距离相等，
∵，
∴，
设，则，
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴；
故答案为：．
【分析】由C可知点A、B、C、F四点共圆，进而利用圆周角定理导角可得，，所以，进而利用角平分线性质定理结合面积可得，据此设参，利用勾股定理求解即可．
14．【答案】（1）
；
（2）①一；②方程右边的这一项漏乘了
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解分式方程；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】（2）观察可知，上述解方程过程中，从第一步开始错误，错误原因是方程右边的这一项漏乘了．
故答案为：一；方程右边的这一项漏乘了．
【分析】（1）先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案；
（2）观察解题过程可知，第一步在去分母时，方程右边的这一项漏乘了，据此可得答案．
15．【答案】解：原式
，
∵，
∴，0，1，2中，只有符合题意，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将括号里的分式通分计算，同时将分式除法转化为乘法运算，约分化简；然后从，0，1，2中，选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
16．【答案】（1）50，144
（2）解：喜欢话剧的人数为（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：（人），
答：估计该年级喜欢舞剧的人数为128人
（4）解：列表如下：
小山 小坪 五 六 日
五 （五，五） （五，六） （五，日）
六 （六，五） （六，六） （六，日）
日 （日，五） （日，六） （日，日）
共有9种等可能的结果，其中小坪和小山选择同一日期看音乐剧的结果有（五，五），（六，六），（日，日）共3种，（没有列出情况不得分）
两人同一日期看音乐剧的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：班级总人数为（人），
喜欢音乐剧的人数所对应的圆心角的度数为，
故答案为：50，144；
分析】（1）利用喜欢戏曲的人数除以喜欢戏曲的人所占的比，可以求出总人数，再用乘以喜欢音乐剧的学生所占的比，可以求出圆心角度数；
（2）用总人数减去喜欢戏曲、音乐剧、舞蹈的人数可以求出喜欢话剧的人数，补全条形统计图即可；
（3）用800乘以喜欢舞剧的学生所占的比即可；
（4）利用列表法可得出所有等可能的结果数以及小坪和小山选择同一日期的情况数，再利用概率公式可得出答案．
（1）解：班级总人数为（人），
喜欢音乐剧的人数所对应的圆心角的度数为，
故答案为：50，144；
（2）解：喜欢话剧的人数为（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：（人），
答：估计该年级喜欢舞剧的人数为128人．
（4）解：列表如下：
小山 小坪 五 六 日
五 （五，五） （五，六） （五，日）
六 （六，五） （六，六） （六，日）
日 （日，五） （日，六） （日，日）
共有9种等可能的结果，其中小坪和小山选择同一日期看音乐剧的结果有（五，五），（六，六），（日，日）共3种，（没有列出情况不得分）
两人同一日期看音乐剧的概率为．
17．【答案】（1）解：如图所示，作的角平分线交于P，再以点P为圆心，的长画圆，则即为所求；
由角平分线的性质可得点P到的距离相等，由，可得点P到的距离都等于的半径，即与都相切；
（2）解：设与相切于点，连接．则，
在中，由勾股定理得，
设的半径为，则，
在与中，
，．
，
∴
在中，由勾股定理得，即
解得，
的半径长为
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；切线的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）作的角平分线交于P，再以点P为圆心，的长画圆，则即为所求；
（2）设与相切于点，连接．则，利用勾股定理求出BC的长，设的半径为，可表示出AP的长，利用HL可证得Rt△PCB≌Rt△PDB，利用全等三角形的性质可求出BD的长，再利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值，可得到圆O的半径.
（1）解：如图所示，作的角平分线交于P，再以点P为圆心，的长画圆，则即为所求；
由角平分线的性质可得点P到的距离相等，由，可得点P到的距离都等于的半径，即与都相切；
（2）解：设与相切于点，连接．则，
在中，由勾股定理得，
设的半径为，则，
在与中，
，．
，
∴
在中，由勾股定理得，即
解得，
的半径长为．
18．【答案】任务一：解：设一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元．根据题意得：
解得
所以一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元．
任务二：解：设租用辆大型客车，租用辆中型客车．根据题意得：
解得
为正整数，所以可以为8或9．
方案一：租8辆大型客车，2辆中型客车
方案二：租9辆大型客车，1辆中型客车．
方案一的费用为：（元）
方案二的费用为：（元）
方案一的花费最少，比预算节省200元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组和不等式组的实际应用，并分析选择最优方案。
任务一，结合信息1中的条件，累出二元一次方程组，分别求出x和y的值即可；
任务二，结合任务一的计算结果和信心2，列出不等式组，求出m的取值范围后，即可得出m只有8和9两个整数可以取，因此分别分析并计算即可。
19．【答案】（1）解：∵曲线最高点点坐标为∴设，
∵图象过原点，
∴，
解得：，
∴
（2）解：∵曲线由曲线平移得到，的长度为6，∴曲线的解析式为：，
设，
由题意，可知：，关于对称轴对称，
∴，
∴矩形花园周长为：
，
∴当时，矩形花园的周长最大，最大面积为20
（3）26
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（3）∵，
∴对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，
∵曲线、曲线和曲线，都可以看成由曲线平移得到，
∴，
∵每个垂直灯具的水平间距为0.6，
∴，
∴至少需要安装垂直灯具26个．
故答案为：26
【分析】（1）设出顶点式，根据图象过原点，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）平移求出曲线的解析式，设，根据周长公式，列出二次函数求最值即可；
（3）求出的长，进而求出的长，再除以间距即可．
（1）解：∵曲线最高点点坐标为
∴设，
∵图象过原点，
∴，
解得：，
∴；
（2）∵曲线由曲线平移得到，的长度为6，
∴曲线的解析式为：，
设，
由题意，可知：，关于对称轴对称，
∴，
∴矩形花园周长为：
，
∴当时，矩形花园的周长最大，为20；
（3）∵，
∴对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，
∵曲线、曲线和曲线，都可以看成由曲线平移得到，
∴，
∵每个垂直灯具的水平间距为0.6，
∴，
∴至少需要安装垂直灯具26个．
故答案为：26
20．【答案】（1）；
（2）解：延长交于点，连接，
∵菱形，，
∴，
∴为等边三角形，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，，
设，则：，
∵为的中点，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）或
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）解：延长交于点，
∵翻折，
∴垂直平分，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）①当点在上时：由（1）可知：，，，，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
解得：或（舍去）；
∴，
∴；
②当点在得延长线上时：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，同①，
∴，
∴，
∴，
过点作，则：，
∴，
在中，，
∴；
综上：或．
【分析】（1）延长交于点，利用折叠的性质，可推出垂直平分，利用线段垂直平分线的性质可证得AH=BH，由此可证得三角形的中位线定理得到，即可得出结论；
（2）延长交于点，连接，菱形的性质推出为等边三角形，三线合一得到，根据含30度角的直角三角形的性质，推出，，设，则：，勾股定理求出的长，等角的余角相等，得到，进而得到，求出的长，三角形的中位线求出的长，即可得出结果；
（3）分情况讨论：①当点在上时：由（1）可知：，，，，同时可证得，利用菱形的性质可推出，，∠ABC=∠BFE，设，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似可证得，利用相似三角形的对应边成比例可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出CE的长；②当点在得延长线上时：设，可表示出AF、AE的长，易证，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AE的长；过点作，可求出BK、AK的长，然后利用勾股定理求出EK的，然后求出CE的长；综上所述，可得到CE的长.
（1）解：延长交于点，
∵翻折，
∴垂直平分，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）延长交于点，连接，
∵菱形，，
∴，
∴为等边三角形，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，，
设，则：，
∵为的中点，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）①当点在上时：由（1）可知：，，，，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
解得：或（舍去）；
∴，
∴；
②当点在得延长线上时：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，同①，
∴，
∴，
∴，
过点作，则：，
∴，
在中，，
∴；
综上：或．
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