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专题02 定义与命题、证明
【知识点01】定义、命题、基本事实与定理
1.定义：一般地，能清晰规定某一名称或术语含义的语句，称为该名称或术语的定义.
例："含有未知数的等式叫做方程"，即为"方程"的定义.
2.命题：一般地，判断一件事情的语句，称为命题.
构成要素：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．即
题设：已知事项（条件部分）
结论：由已知事项推出的事项（结果部分）
标准形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接题设，“那么”后接结论．
注意：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．
例："对顶角相等"可改写为"如果两个角是对顶角，那么这两个角相等"。
3.命题的分类与判断
类型 定义 举例 判定方法
真命题 题设成立时，结论一定成立的命题 对顶角相等 需通过逻辑推理证明结论成立
假命题 题设成立时，结论不一定成立的命题 相等的角是对顶角 举出反例（符合题设但不符合结论的实例）
【知识点02】公理与定理
1.公理（基本事实）：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短.
2.定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．
注意：满足以下两个条件的真命题称为定理：
（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.
（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.
【知识点03】证明
1.定义：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．
2.证明步骤：证明几何命题时，表述格式一般如下：
（1）画图：按题意画出图形（标注必要字母和符号）；
（2）写已知求证：分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
（3）写证明过程：从已知条件出发，逐步写出推理依据和结论.
注意：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线.
【知识点04】三角形的外角及其性质
1.三角形外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，称为三角形的外角.
2.性质：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角；
三角形的外角和为360°.
考点1命题的判断
【典例1】下列语句中，不是命题的是（ ）
A．延长线段 B．两点之间，线段最短
C．同位角相等 D．如果，那么
【典例2】下列描述属于定义的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．三角形的内角和等于
C．对顶角相等
D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
【变式1】下列语句中：（1）你去哪里？（2）2022年北京冬奥会；（3）对顶角相等；（4）3不是奇数．命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，判断命题的真假.
(1)如果是实数，则；
(2)相等的两个角是对顶角；
(3)今天有雨吗？
考点2命题的题设与结论
【典例1】将命题“互余的两个锐角之和为直角”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是( )
A．如果两个角是锐角，那么这两个角互余
B．如果两个角互余，那么这两个角是锐角
C．如果有两个锐角互余，那么这两个角的和为直角
D．如果有两个锐角的和为直角，那么这两个角互余
【变式1】把“同位角相等”写成“如果…那么…”的形式为： ．
【变式2】命题“邻补角互补”的题设是 ，结论是 ，它是一个 （填“真”或“假”）命题．
【变式3】把“对顶角相等”，改写成“如果……那么……”的形式
考点3命题真假的判断
【典例1】下列说法正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
【典例2】命题“是无理数”是 命题．（填“真”或“假”）
【变式1】下列语句中真命题的个数是（ ）
①三角形的三条高交于三角形内一点；
②不相交的两条直线是平行线；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④在同一平面内，如果，，则；
⑤若一个三角形的三个内角度数的比为：：，则这个三角形是直角三角形．
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式2】命题“如果，都是负数，那么”是 命题．（填“真”或“假”）
【变式3】下列语句是真命题的有 （填序号）．
①若，则；②同旁内角互补，两直线平行；③等角的余角相等；④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交与平行两种．
【变式4】有下列命题：①两直线平行，同位角相等；②垂线段最短；③同角的余角相等；④同旁内角互补；⑤两点确定一条直线．其中假命题是 （填序号）．
考点4举例说明命题真假
【典例1】对于命题“若，则”，下列能说明这个命题是假命题的反例是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】下列选项中，能说明命题“对于任何实数a，都有”是假命题的a的值是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是： ， ．
【变式1】下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若要举反例来说明命题“如果，那么”是假命题，则可取 （写出一种即可）．
【变式3】判断命题“对于任何实数，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中的值可以是 ．（填写一个符合条件的的值）．
【变式4】要说明命题“一个正数的算术平方根一定小于这个数”是假命题，可以按以下举反例说明：当 时， ，得 a，所以这是一个假命题．
考点5写出已知、求证与证明
【典例1】证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明．
【变式1】命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
(1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式；
(2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程）
考点6逻辑推理与论证
【典例1】本学期，学生自主开展的羽毛球社团举办了一场羽毛球比赛，来鼓励支持大家的兴趣发展，在比赛中进一步提升综合能力．为参加这场比赛，甲、乙、丙三人进行赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判8局，乙、丙分别进行了12局、11局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了 局比赛，其中最后一局比赛的裁判是 ．
【变式1】某教室的储物柜密码由三个不同的数字组成，婷婷、乐乐、香香三人都开过，但都记不清了．婷婷记得：有个数字是2，但不是最后一个数字；乐乐记得：有两个数是5和8，并且它们的位置相邻；香香记得：中间的数字不是8．根据以上信息，可以确定密码是 ．
【变式2】电视剧《天才基本法》中出现基于巴什博奕的取子游戏，请你也来玩一玩这样的游戏：如果现在桌上放着2025个棋子，甲、乙两人轮流从中取走棋子，每次可取走1个或2个棋子，甲先取，谁先取到最后一个棋子谁获胜．问谁有获胜策略？他应该怎样操作？
考点7三角形的外角及性质
【典例1】如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变．若图中，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】将一副三角板按如图的方式摆放，已知，则的度数为
【变式1】一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【变式2】已知：如图，，若为平面内一点．当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，请写出与之间的数量关系 ．
1．下列语句是命题的是（ ）
A．画 B．三条直线两两相交，有几个交点呢？
C．今天真冷呀！ D．天水是中国历史文化名城．
2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．延长线段 B．两点之间，线段最短
C．同位角相等 D．如果，那么
3．（2024秋 临平区月考）下列命题中是假命题的是
A．相等的角是对顶角 B．同位角相等，两直线平行
C．若，则或 D．两点之间，线段最短
4．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．若，则与是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．如果，那么 D．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行
5．对命题“同位角相等”的描述正确的是（ ）
A．是真命题 B．题设：两个角是同位角
C．是定理 D．结论：是同位角
6．（2024秋 西湖区期末）下列选项中，能说明命题“对于任何实数，都有”是假命题的的值是
A． B． C． D．
7．（2024秋 瑞安市月考）下面四个值，能说明命题“对于任意偶数，都是4的倍数”是假命题的反例是
A． B． C． D．
8．（2024秋 义乌市月考）如图，，，则的度数是
A． B． C． D．
9．（2025春 柯桥区期末）如果甲同学的语文分数或英语分数至少有一门比乙同学高，则称甲同学不亚于乙同学．在班级45个学生中，如果某同学不亚于其他44人，就称他（她为“潜力之星”，那么某班45个学生中的“潜力之星”最多可能有
A．22人 B．23人 C．44人 D．45人
10．如图，是△中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则
A． B． C． D．
11．命题“如果，都是负数，那么”是 命题．（填“真”或“假”）
12．用“举反例”的方法说明命题“若有平方根，则是正数”是假命题，则反例是 ．
13．（2024秋 滨江区校级月考）把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 ，那么 ”．
14．（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列语句是真命题的有 （填序号）．
①若，则；②同旁内角互补，两直线平行；③等角的余角相等；④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交与平行两种．
15．四位同学参加比赛并包揽了前四名．其他同学向他们询问各自的名次．
A说：“是第一名，我是第三名”．
说：“我是第一名，是第四名”．
说：“是第二名，我是第三名？”
是他们中最诚实的一位，从不说谎，他听了其他三位的发言后说：“你们三个都说对了一半．”根据这些信息，请你推断出获得第一名的是 ．
16．（2025 浙江模拟）如图，，，，则 ．
17．黑板上写有3个命题：
①若，则；
②若是有理数，则；
③若与都是锐角，则这两个角的和是钝角．
(1)上述命题是真命题的是______（填序号），该命题的条件是______，结论是______；
(2)对于上述命题中的假命题，请各写出一个反例．
18．（2025春 阳东区期末）如图，有如下三个论断：①；②；③．
（1）以其中两个论断为题设，余下的一个论断为结论，组成一个真命题；
（2）证明上述命题．
19．如图，，，分别平分和．
(1)求证：；
(2)求证：．
20．（2024秋 萧山区期中）如图，点在上，点在上，，相交于点．
（1）若，，，求的度数；
（2）试猜想与之间的关系，并证明你的猜想．
21．（1）求证：三角形三个内角的和等于180°．
（2）阅读材料并回答问题：
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD．像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的“外角”，在每个顶点处取这个三角形的一个外角，它们的和叫做这个三角形的“外角和”．补全图形并求△ABC的“外角和”．中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 定义与命题、证明
【知识点01】定义、命题、基本事实与定理
1.定义：一般地，能清晰规定某一名称或术语含义的语句，称为该名称或术语的定义.
例："含有未知数的等式叫做方程"，即为"方程"的定义.
2.命题：一般地，判断一件事情的语句，称为命题.
构成要素：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．即
题设：已知事项（条件部分）
结论：由已知事项推出的事项（结果部分）
标准形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接题设，“那么”后接结论．
注意：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．
例："对顶角相等"可改写为"如果两个角是对顶角，那么这两个角相等"。
3.命题的分类与判断
类型 定义 举例 判定方法
真命题 题设成立时，结论一定成立的命题 对顶角相等 需通过逻辑推理证明结论成立
假命题 题设成立时，结论不一定成立的命题 相等的角是对顶角 举出反例（符合题设但不符合结论的实例）
【知识点02】公理与定理
1.公理（基本事实）：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短.
2.定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．
注意：满足以下两个条件的真命题称为定理：
（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.
（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.
【知识点03】证明
1.定义：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．
2.证明步骤：证明几何命题时，表述格式一般如下：
（1）画图：按题意画出图形（标注必要字母和符号）；
（2）写已知求证：分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
（3）写证明过程：从已知条件出发，逐步写出推理依据和结论.
注意：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线.
【知识点04】三角形的外角及其性质
1.三角形外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，称为三角形的外角.
2.性质：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角；
三角形的外角和为360°.
考点1命题的判断
【典例1】下列语句中，不是命题的是（ ）
A．延长线段 B．两点之间，线段最短
C．同位角相等 D．如果，那么
【答案】A
【分析】本题考查了命题的定义，根据命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题．分析各选项是否为陈述句且可判断真假即可．
【详解】解：A.“延长线段”是作法，而非陈述事实，无法判断真假，不是命题；
B.“两点之间，线段最短”是陈述句，符合几何公理，为真命题；
C.“同位角相等”是陈述句，在特定条件下可判断真假（如平行线中为真，否则为假），属于命题；
D.“如果，那么”是条件陈述句，结论虽假（x可为），但仍可判断真假，属于命题，
故选：A．
【典例2】下列描述属于定义的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．三角形的内角和等于
C．对顶角相等
D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
【答案】D
【分析】本题考查了定义的概念，熟记定义的概念是解题的关键．
根据定义的概念逐项判断即可．
【详解】解：A．两直线平行，内错角相等是平行线的性质，故该选项不符合题意；
B．三角形的内角和等于是三角形的内角和定理，故该选项不符合题意；
C．对顶角相等是定理，故该选项不符合题意；
D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形是定义，故该选项符合题意；
故选：D．
【变式1】下列语句中：（1）你去哪里？（2）2022年北京冬奥会；（3）对顶角相等；（4）3不是奇数．命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题，进行判断即可．
【详解】解：（1）你去哪里？是疑问句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；
（2）2022年北京冬奥会，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；
（3）对顶角相等，对问题作判出了判断，是命题，符合题意；
（4）3不是奇数，对问题作出了判断，是命题，符合题意；
命题共有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题的定义，难度不大．
【变式2】下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，判断命题的真假.
(1)如果是实数，则；
(2)相等的两个角是对顶角；
(3)今天有雨吗？
【答案】(1)是命题，且是真命题(2)是命题，是假命题(3)不是命题
【分析】（1）根据命题的定义，即可判断是否为命题，再根据结论判断是否为真命题，反之为假命题，要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
（2）根据命题的定义，即可判断是否为命题，再根据结论判断是否为真命题，反之为假命题，要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
（3）根据命题的定义即可判断是否为命题．
【详解】（1）解：是命题，且是真命题，理由如下：
是实数，
，
，
是命题，且是真命题．
（2）解：是命题，是假命题，理由如下，如图：
已知两直线平行，
．
和不是对顶角，
相等的两个角不一定是对顶角，
是命题，是假命题．
（3）解：是问题，不是命题，理由如下：
命题的要求是有条件和有结果，
是问题，不是命题．
【点睛】本题考查命题的定义，正确记忆命题的定义是解题关键．
考点2命题的题设与结论
【典例1】将命题“互余的两个锐角之和为直角”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是( )
A．如果两个角是锐角，那么这两个角互余
B．如果两个角互余，那么这两个角是锐角
C．如果有两个锐角互余，那么这两个角的和为直角
D．如果有两个锐角的和为直角，那么这两个角互余
【答案】C
【分析】根据命题“互余的两个锐角之和为直角”，可以得到题设是有两个锐角互余，结论是这两个角的和为直角，由此可得结论．
【详解】解：将命题“互余的两个锐角之和为直角”改写成“如果……那么……”的形式，
正确的是如果有两个锐角互余，那么这两个角的和为直角．
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是理解命题是由题设和结论两部分组成．
【变式1】把“同位角相等”写成“如果…那么…”的形式为： ．
【答案】如果两个角是同位角，那么这两个角相等
【分析】本题考查了命题与定理，根据把一个命题写成“如果…那么…”的形式，则如果后面是题设，那么后面是结论，即可得出答案．
【详解】解：把“同位角相等”写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等；
故答案为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等．
【变式2】命题“邻补角互补”的题设是 ，结论是 ，它是一个 （填“真”或“假”）命题．
【答案】两个角互为邻补角 这两个角互补 真
【分析】本题考查命题与定理、判断命题的真假，把命题改写成“如果…，那么…”的形式，然后根据如果的后面是题设，那么的后面是结论写出即可．把命题改写成“如果…，那么…”的形式是解题的关键．
【详解】解：命题“邻补角互补”可以改写为：如果两个角互为邻补角，那么这两个角互补；
则题设是：两个角互为邻补角，结论是：这两个角互补.这是一个真命题，
故答案为：两个角互为邻补角；这两个角互补；真.
【变式3】把“对顶角相等”，改写成“如果……那么……”的形式
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【分析】本题考查了把一个命题写成“如果 那么 ”的形式，命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面即可．
【详解】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果 那么 ”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
考点3命题真假的判断
【典例1】下列说法正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
【答案】B
【分析】本题考查对顶角、垂线段性质、平行线判定，熟练掌握定义是解题关键.根据对顶角、垂线段性质、平行线判定及同位角性质逐一分析即可.
【详解】A. 相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角也相等，故A错误；
B. 直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短，此为垂线段最短性质，故B正确；
C. 同一平面内垂直于同一直线的两直线才平行，未限定同一平面，故C错误；
D.仅当两直线平行时，同位角才相等，故D错误.
故选:B.
【典例2】命题“是无理数”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【分析】本题考查了命题真假的判定，掌握无理数的概念及常见形式，命题真假的判定方法是关键．
根据无理数的概念“无限不循环小数”进行判定，是无理数是真命题即可．
【详解】解：“是无理数”是真命题，
故答案为：真．
【变式1】下列语句中真命题的个数是（ ）
①三角形的三条高交于三角形内一点；
②不相交的两条直线是平行线；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④在同一平面内，如果，，则；
⑤若一个三角形的三个内角度数的比为：：，则这个三角形是直角三角形．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】本题主要考查了判断命题真假，三角形的高线、平行线性质及判定、平行公理、三角形内角和定理等知识点，只有锐角三角形的三条高交于内部，据此可判断①；根据平行线的性质与判定定理可判断②③④；根据三角形内角和定理可判断⑤．
【详解】解：①只有锐角三角形的三条高交于内部，直角三角形的三条高交于直角顶点，钝角三角形的三条高交于三角形外部，原命题是假命题．
② 同一平面内，不相交的两条直线是平行线，原命题是假命题．
③ 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题．
④ 在同一平面内，若，，则，原命题是真命题．
⑤ 三角形内角比为时，计算得三个角分别为，均为锐角，故不是直角三角形，原命题是假命题．
综上，只有④正确，共1个真命题，
故选：A．
【变式2】命题“如果，都是负数，那么”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】本题考查了有理数的乘法法则、命题，根据有理数的乘法法则可知：，所以命题“如果，都是负数，那么”是假命题．
【详解】解：，都是负数，
，，
根据有理数的乘法法则可得：，
命题“如果，都是负数，那么”是假命题．
故答案为：假．
【变式3】下列语句是真命题的有 （填序号）．
①若，则；②同旁内角互补，两直线平行；③等角的余角相等；④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交与平行两种．
【答案】②③④
【分析】本题考查判断命题的真假，根据有理数的乘方，余角的性质，平行线的判定和平面内两直线的位置关系逐一判断解答即可．
【详解】解：①若，则，大小不确定，原说法是假命题；
②同旁内角互补，两直线平行，是真命题；
③等角的余角相等，是真命题；
④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交与平行两种，是真命题；
故答案为：②③④．
【变式4】有下列命题：①两直线平行，同位角相等；②垂线段最短；③同角的余角相等；④同旁内角互补；⑤两点确定一条直线．其中假命题是 （填序号）．
【答案】④
【分析】本题主要考查了命题与定理的运用，解题时注意：命题的“真”“假”是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
【详解】①两直线平行，同位角相等，原命题是真命题，不符合题意；
②直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，简称“垂线段最短”，原命题是真命题，不符合题意；
③同角的余角相等，原命题是真命题，不符合题意；
④两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，符合题意；
⑤两点确定一条直线，原命题是真命题，不符合题意．
故答案为：④
考点4举例说明命题真假
【典例1】对于命题“若，则”，下列能说明这个命题是假命题的反例是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立．说明命题为假命题，即、的值满足，但不成立，把四个选项中的、的值分别代入验证即可．
【详解】解：当，时，，而成立，故A选项不符合题意；
当，时，，而成立，故B选项不符合题意；
当，时，，但不成立，故C选项符合题意；
当，时，不成立，故D选项不符合题意；
故选：C．
【典例2】下列选项中，能说明命题“对于任何实数a，都有”是假命题的a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了命题的真假判断和实数的性质，把数值逐一代入给定的不等式中，让不等式不能成立的数就是需要的反例，熟知实数的性质，能正确举出反例是解本题的关键．
【详解】、当时，，此选项不符合题意；
、当时，，此选项不符合题意；
、当时，，此选项符合题意；
、当时，，此选项不符合题意；
故选：．
【典例3】能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是： ， ．
【答案】（答案不唯一） （答案不唯一）
【分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可．
【详解】解：证明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：，，
故答案为：，（答案不唯一）．
【变式1】下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了假命题，判断一个命题是假命题，只要举的反例满足：符合命题的条件，但不符合命题的结论，即可说明命题是假命题；根据四个选项中的k值进行判断即可．
【详解】解：A、不是偶数，不符合命题条件，故不是举反例；
B、是偶数，符合命题条件，但2不是4的倍数，不符合命题结论，故是反例；
选项C与D，k的值既符合命题条件，也符合命题结论，故不是反例；
故选：B．
【变式2】若要举反例来说明命题“如果，那么”是假命题，则可取 （写出一种即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了命题的定义，深刻理解命题的定义是解题的关键．必须牢记：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”的形式．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
找出一个满足，但不满足即可．
【详解】解：要说明“如果，那么”是假命题，可以举一个反例为，
因为时，，
故答案为：（答案不唯一）．
【变式3】判断命题“对于任何实数，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中的值可以是 ．（填写一个符合条件的的值）．
【答案】－2（答案不唯一）
【分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
根据绝对值的性质、有理数的大小比较法则解答即可．
【详解】解：当时，，
说明命题“对于任何实数，”是假命题，
故答案为：（答案不唯一）．
【变式4】要说明命题“一个正数的算术平方根一定小于这个数”是假命题，可以按以下举反例说明：当 时， ，得 a，所以这是一个假命题．
【答案】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解找到反例能判断命题是假命题，难度不大．
找到能使得题设成立，结论不成立的数即可．
【详解】解：当时，，
，
，
所以这是一个假命题，
故答案为：，，．
考点5写出已知、求证与证明
【典例1】证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和的证明，平行线的性质，利用平行线的性质，将三角形的三个内角集中到同一个顶点，再由平角为，证明即可．
【详解】解：已知：如图，，
求证：；
证明：过点作，如图，
∵，
，
，
，
三角形内角和．
【变式1】命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
(1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式；
(2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程）
【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行
(2)见解析
【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键．
（1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可；
（2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明．
【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．
（2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且．
求证：．
证明：．
．
又和是同位角，
∴．
考点6逻辑推理与论证
【典例1】本学期，学生自主开展的羽毛球社团举办了一场羽毛球比赛，来鼓励支持大家的兴趣发展，在比赛中进一步提升综合能力．为参加这场比赛，甲、乙、丙三人进行赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判8局，乙、丙分别进行了12局、11局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了 局比赛，其中最后一局比赛的裁判是 ．
【答案】15 甲
【分析】本题考查推理与论证，解题的关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法，并递推出相关的关系式，从而解决问题．
先确定了乙与丙打了8局，乙、甲之间打了4局，丙、甲之间打了3局，进而确定三人一共打的局数，
根据甲当了8局裁判员，甲当裁判的局次只能是1，3，5，…15，由此能求出结果．
【详解】甲当了裁判8局，
乙、丙之间打了8局，
又乙、丙分别进行了12局、11局比赛，
乙、甲之间打了4局，丙、甲之间打了3局，
甲、乙、丙三人共进行了局比赛，
又甲当了8局裁判，而从1到15共8个奇数，7个偶数，
甲当裁判的局为奇数局，
最后一局比赛的裁判是：甲，
故答案为：15；甲．
【变式1】某教室的储物柜密码由三个不同的数字组成，婷婷、乐乐、香香三人都开过，但都记不清了．婷婷记得：有个数字是2，但不是最后一个数字；乐乐记得：有两个数是5和8，并且它们的位置相邻；香香记得：中间的数字不是8．根据以上信息，可以确定密码是 ．
【答案】258
【分析】本题主要考查推理与论证；先列出所有可能的排列，再根据题意逐一排除即可求出结果．
【详解】解：根据题意，列出所有可能的排列：
密码由2、5、8组成，共有6种排列：
258，285，528，582，825，852
根据婷婷的条件：2不在末位；
排除末位为2的排列：
∴剩余候选：258，285，528，825，
应用乐乐的条件：5和8相邻，
∴剩余候选：258，285
应用香香的条件：中间位不是8，
最终剩余：258；
故答案为：258．
【变式2】电视剧《天才基本法》中出现基于巴什博奕的取子游戏，请你也来玩一玩这样的游戏：如果现在桌上放着2025个棋子，甲、乙两人轮流从中取走棋子，每次可取走1个或2个棋子，甲先取，谁先取到最后一个棋子谁获胜．问谁有获胜策略？他应该怎样操作？
【答案】乙有获胜策略，见解析
【分析】此题考查了推理与论证，因2025是3的倍数，当甲每次取走1个或2棋子后，余下棋子数必不是3的倍数，乙取棋子数恰等于甲余下棋子数除以3余数，这样下去最后剩下3个棋子必轮到甲取，当甲取走1个或2个后，余下2个或1个，乙可全部取走，从而乙获胜．
【详解】解：乙有获胜策略．当甲每次取走1个或2棋子后，乙取棋子数恰等于甲余下棋子数除以3的余数，即可获胜．
考点7三角形的外角及性质
【典例1】如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变．若图中，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键．
根据平行线的性质得出，再根据三角形外角的定义即可得出答案．
【详解】解：如图：
，，
，
，
，
故选D．
【典例2】将一副三角板按如图的方式摆放，已知，则的度数为
【答案】
【分析】本题考查了三角板的认识，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
由平行线的性质可得的度数，从而可得，根据三角形外角的性质，计算即可．
【详解】解：根据三角板各角的度数可知，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式1】一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，平行线的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解决问题是解本题的关键．由同角的余角相等可判断①，求解从而可判断②，证明可判断③，画好的示意图，证明可判断④，从而可得答案．
【详解】解：由题意可得：，
，故①符合题意；
如图，，，
，
，
与不平行，故②不符合题意；
，，
，
∴，故③符合题意；
如图，当时，
，
，
，
，
，故④符合题意；
故选：B．
【变式2】已知：如图，，若为平面内一点．当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，请写出与之间的数量关系 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的定义．
延长交延长线于M，延长交于E，根据平行线的性质和三角形的内角和定理得到，结合平角定义和角平分线的定义得到，根据三角形外交的性质求出，列等式计算即可．
【详解】解：如图，延长交延长线于M，延长交于E，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
∵，，
∴，
即
∴，
故答案为：．
1．下列语句是命题的是（ ）
A．画 B．三条直线两两相交，有几个交点呢？
C．今天真冷呀！ D．天水是中国历史文化名城．
【答案】D
【详解】此题考查了命题的定义，
根据命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题．需逐一分析各选项是否为陈述句且可判断真假．
【分析】A．“画”是祈使句，描述动作而非陈述事实，无法判断真假，故不是命题．
B．“三条直线两两相交，有几个交点呢？”是疑问句，未陈述事实，无法判断真假，故不是命题．
C．“今天真冷呀！”是感叹句，且“冷”是主观感受，无法客观判断真假，故不是命题．
D．“天水是中国历史文化名城”是陈述句，且天水确为中国历史文化名城（事实为真），可明确判断真假，因此是命题．
故选：D．
2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．延长线段 B．两点之间，线段最短
C．同位角相等 D．如果，那么
【答案】A
【分析】本题考查了命题的定义，根据命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题．分析各选项是否为陈述句且可判断真假即可．
【详解】解：A.“延长线段”是作法，而非陈述事实，无法判断真假，不是命题；
B.“两点之间，线段最短”是陈述句，符合几何公理，为真命题；
C.“同位角相等”是陈述句，在特定条件下可判断真假（如平行线中为真，否则为假），属于命题；
D.“如果，那么”是条件陈述句，结论虽假（x可为），但仍可判断真假，属于命题，
故选：A．
3．（2024秋 临平区月考）下列命题中是假命题的是
A．相等的角是对顶角 B．同位角相等，两直线平行
C．若，则或 D．两点之间，线段最短
【答案】A
【分析】根据对顶角的定义对进行判断；根据平行线的判定对进行判断；根据有理数的性质对进行判断；根据线段公理对进行判断．
【解答】解：、相等的角不一定为对顶角，所以选项为假命题；
、同位角相等，两直线平行，所以选项为真命题；
、若，则或，所以选项为真命题；
、两点之间，线段最短，所以选项为真命题．
故选：．
4．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．若，则与是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．如果，那么 D．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行
【答案】D
【分析】本题考查真命题的判断，涉及对顶角、内错角、平方根性质及平行线判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．逐一分析各选项是否符合相关定理即可．
【详解】解：A．若，则与不一定是对顶角．例如，两直线平行时的同位角也相等，但并非对顶角，故A是假命题．
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等的前提是两直线平行．若两直线不平行，内错角不相等，故B是假命题．
C．若，则或，故C是假命题．
D．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，符合平行线判定定理，故D是真命题．
故选：D．
5．对命题“同位角相等”的描述正确的是（ ）
A．是真命题 B．题设：两个角是同位角
C．是定理 D．结论：是同位角
【答案】B
【分析】本题考查命题的结构及真假判断，解题的关键是掌握原命题“同位角相等”需明确其题设与结论，并判断其正确性．
根据命题的结构以及平行线的性质定理逐项进行判断即可．
【详解】解：选项A：同位角相等仅在两条直线平行时成立，原命题缺少条件，故为假命题，该选项错误，不符合题意；
选项B：命题“同位角相等”可改写为“如果两个角是同位角，那么它们相等”，题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”， 该选项正确，符合题意；
选项C：定理需为真命题，但原命题未限定条件，不成立，该选项错误，不符合题意；
选项D：结论应为“两个角相等”，而非“是同位角”， 该选项错误，不符合题意；
故选：B．
6．（2024秋 西湖区期末）下列选项中，能说明命题“对于任何实数，都有”是假命题的的值是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据实数的平方、假命题的概念判断即可．
【解答】解：、时，，
不能说明命题“对于任何实数，都有”是假命题，不符合题意；
、时，，
不能说明命题“对于任何实数，都有”是假命题，不符合题意；
、时，，
能说明命题“对于任何实数，都有”是假命题，符合题意；
、时，，
不能说明命题“对于任何实数，都有”是假命题，不符合题意；
故选：．
7．（2024秋 瑞安市月考）下面四个值，能说明命题“对于任意偶数，都是4的倍数”是假命题的反例是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据四个选项中的值进行判断即可．
【解答】解：四个值，能说明命题“对于任意偶数，都是4的倍数”是假命题的反例判断如下：
、不是偶数，不符合命题条件，故不是举反例；
、是偶数，符合命题条件，但2不是4的倍数，不符合命题结论，故是反例；
选项与，的值既符合命题条件，也符合命题结论，故不是反例．
故选：．
8．（2024秋 义乌市月考）如图，，，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】观察图形，结合三角形外角的性质可知，则，进而可得出结论．
【解答】解：是△的外角，，，
．
故选：．
9．（2025春 柯桥区期末）如果甲同学的语文分数或英语分数至少有一门比乙同学高，则称甲同学不亚于乙同学．在班级45个学生中，如果某同学不亚于其他44人，就称他（她为“潜力之星”，那么某班45个学生中的“潜力之星”最多可能有
A．22人 B．23人 C．44人 D．45人
【答案】
【分析】根据极端特殊情况进行推理即可．
【解答】解：要使“潜力之星”最多，可将每名学生的长处与其他同学的短处相比较；
取45人一种特殊情况：他们中语文成绩与英语成绩都互不相等，并且语文成绩最高者英语成绩最低，语文成绩次高者英语成绩次低，
这样以来，语文成绩最好的学生（语文优于其他44人）自然是“潜力之星”，语文成绩第二的学生（优于其他43人）英语比较是倒数第二（优于1人），他也是“潜力之星”，
同理可说明45人可以都是“潜力之星”，
故选：．
10．如图，是△中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，即可求出结果．
【解答】解：是△中的平分线，是的外角的平分线，
又，，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
11．命题“如果，都是负数，那么”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】本题考查了有理数的乘法法则、命题，根据有理数的乘法法则可知：，所以命题“如果，都是负数，那么”是假命题．
【详解】解：，都是负数，
，，
根据有理数的乘法法则可得：，
命题“如果，都是负数，那么”是假命题．
故答案为：假．
12．用“举反例”的方法说明命题“若有平方根，则是正数”是假命题，则反例是 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是平方根的含义，举反例说明命题是假命题；先举例：当时，有平方根，但是不是正数，从而可得答案.
【详解】解：当时，有平方根，但是不是正数，
∴说明命题“若有平方根，则是正数”是假命题，则反例是：；
故答案为：
13．（2024秋 滨江区校级月考）把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 ，那么 ”．
【分析】根据命题的定义，写成如果，那么的形式即可．
【解答】解：命题：等角的余角相等，可以写作：如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等．
故答案为：两个角是等角的余角；这两个角相等．
14．（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列语句是真命题的有 （填序号）．
①若，则；②同旁内角互补，两直线平行；③等角的余角相等；④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交与平行两种．
【答案】②③④
【分析】本题考查判断命题的真假，根据有理数的乘方，余角的性质，平行线的判定和平面内两直线的位置关系逐一判断解答即可．
【详解】解：①若，则，大小不确定，原说法是假命题；
②同旁内角互补，两直线平行，是真命题；
③等角的余角相等，是真命题；
④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交与平行两种，是真命题；
故答案为：②③④．
15．四位同学参加比赛并包揽了前四名．其他同学向他们询问各自的名次．
A说：“是第一名，我是第三名”．
说：“我是第一名，是第四名”．
说：“是第二名，我是第三名？”
是他们中最诚实的一位，从不说谎，他听了其他三位的发言后说：“你们三个都说对了一半．”根据这些信息，请你推断出获得第一名的是 ．
【答案】
【分析】本题考查了逻辑推理，解题的关键是根据“你们三个都说对了一半”这一条件进行假设推理．
通过假设A说的话的前半部分或后半部分正确，结合其他条件进行推理，判断是否符合“
【详解】三人都说对了一半“的情况，从而得出第一名是谁，
解：假设A说的前半句是第一名是正确的，那么A是第三名是错误的，
那么说他是第一名是错误的，是第四名是正确的，
那么说的是第二名是错误的，而是第三名也是错误的，故假设不成立；
那么假设A说的A是第三名是正确的，C是第一名错误的，
那么说的他是第三名是错误的，是第二名是正确的，
那么说的是第四名是错误的，是第一名是正确的，
则第一名是．
故答案为：．
16．（2025 浙江模拟）如图，，，，则 ．
【答案】72．
【分析】连接并延长至点，利用，，得，即，代入，，即可求解．
【解答】解：如图，连接并延长至点，
有由意可得：
，
，
，，
，
故答案为：72．
17．黑板上写有3个命题：
①若，则；
②若是有理数，则；
③若与都是锐角，则这两个角的和是钝角．
(1)上述命题是真命题的是______（填序号），该命题的条件是______，结论是______；
(2)对于上述命题中的假命题，请各写出一个反例．
【答案】(1)①，，
(2)②当时，，
③当，时，与都是锐角，
【分析】本题主要考查了命题的判定，掌握相关知识的运算，命题真假的判定是关键．
（1）根据平方，绝对值的性质，锐角、钝角的数量关系判定即可；
（2）根据命题的特点分别举出反例即可．
【详解】（1）解：若，则，是真命题，命题的条件是：，结论是：；
若是有理数，则不一定成立，是假命题；
若与都是锐角，则这两个角的和不一定是钝角，是假命题；
故答案为：①，，；
（2）解：反例：
②当时，，；
③当，时，与都是锐角，．
18．（2025春 阳东区期末）如图，有如下三个论断：①；②；③．
（1）以其中两个论断为题设，余下的一个论断为结论，组成一个真命题；
（2）证明上述命题．
【答案】答案见解析．
【分析】（1）根据题意写出题设和结论；
（2）根据平行线的判定和性质证明．
【解答】解：（1）题设：①②，结论：③；
（2）证明：，
，
，
，
．
（1）题设：②③，结论：①．
（2）证明：，
，
，
，
．
（1）题设：①③，结论：②．
（2）证明：，
，
，
，
．
．
19．如图，，，分别平分和．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，角平分线定义，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键．
（1）根据角平分线定义得，进而即可得证；
（2）由，得，进而结合角平分线得，，再根据，即可求得，即可得证．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，，
∵分别平分和
∴，，
∵，
∴，
∴．
20．（2024秋 萧山区期中）如图，点在上，点在上，，相交于点．
（1）若，，，求的度数；
（2）试猜想与之间的关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）；（2），证明见解答过程．
【分析】（1）根据三角形的外角性质求出，根据三角形内角和定理求出的度数；
（2）根据三角形的外角性质证明即可．
【解答】解：（1），，
，
；
（2）猜想，
理由如下：，，
．
21．（1）求证：三角形三个内角的和等于180°．
（2）阅读材料并回答问题：
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD．像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的“外角”，在每个顶点处取这个三角形的一个外角，它们的和叫做这个三角形的“外角和”．补全图形并求△ABC的“外角和”．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）过A点作MN∥BC，根据平行线的性质及平角的定义解答.
（2）结合三角形的内角和与平角的定义求解即可.
【详解】（1）过A点作MN∥BC，
∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C (同位角相等)
∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°
∴∠B+∠BAC+∠C=180°
∴三角形的内角和为180°
（2）如图：
∵∠ACD+∠ACB=180°，∠EAF+∠BAC=180°，∠FBC+∠ABC=180°
∴∠ACD+∠ACB+∠EAF+∠BAC+∠FBC+∠ABC=540°
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°
∴∠ACD+∠EAF+∠FBC=360°
即三角形的外角和等于360°
【点睛】本题考查的是三角形的内角和及外角和的证明，熟练的掌握平行线的性质及平角的定义是关键.
