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专题03 全等三角形
【知识点01】全等形的概念与特征
定义：形状、大小完全相同，且将它们放在一起时能够完全重合的两个图形叫做全等形.
示例：两个完全相同的正方形纸片、同一张底片冲洗出的两张尺寸相同的照片，均为全等形.
特征：①一个图形经过平移、翻折、旋转等几何变换后，其位置发生改变，但形状和大小保持不变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.
示例：将一个三角形向右平移 5cm，平移后的三角形与原三角形是全等形.
②若两个图形是全等形，则它们的周长相等、面积相等.
易错提示：周长和面积相等的图形不一定是全等形（如一个正方形和一个长方形可能周长或面积相等，但形状不同，不属于全等形）
【知识点02】全等三角形
定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
示例：若△ABC与△DEF全等，可表示为△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF.
注意书写规范：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.
对应元素的识别：
①对应顶点、对应边、对应角
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
示例：如图，△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
②对应元素的寻找方法
方法分类 具体规则 示例说明
基于角的对应关系 1.对应角所对的边是对应边；
2.两个对应角所夹的边是对应边 若∠A与∠D是对应角，∠B与∠E是对应角，则∠A与∠B所夹的边AB，与∠D与∠E所夹的边DE是对应边
基于边的对应关系 1.对应边所对的角是对应角；
2.两条对应边所夹的角是对应角 若AB与DE是对应边，AC与DF是对应边，则AB与AC所夹的角∠A，与DE与DF所夹的角∠D是对应角
基于图形特殊性 1.有公共边的，公共边是对应边；
2.有公共角的，公共角是对应角；
3.有对顶角的，对顶角是对应角 若两个三角形公共边为BC，则BC是两三角形的对应边；若两三角形的一组角为对顶角，则这组角是对应角
基于边 / 角的大小 1.最长边与最长边是对应边，最短边与最短边是对应边；
2.最大角与最大角是对应角，最小角与最小角是对应角 若△ABC中BC最长，△DEF中EF最长，则BC与EF是对应边；若∠C是△ABC中最大角，∠F是△DEF中最大角，则∠C与∠F是对应角
即：
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
【知识点03】全等三角形的性质与应用
（1）性质1：全等三角形的对应边相等.
示例：若△ABC≌△DEF，则AB=DE，BC=EF，AC=DF.
（2）性质2：全等三角形的对应角相等.
示例：若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.
（3）拓展性质：
①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等；
示例：若△ABC≌△DEF，AM是△ABC中BC边上的中线，DN是△DEF中EF边上的中线，则AM=DN.
②全等三角形的周长相等，面积相等；
示例：若△ABC≌△DEF，△ABC的周长为20cm，则△DEF的周长也为20cm；△ABC的面积为15cm ，则△DEF的面积也为15cm .
（4）关于全等三角形性质的注意事项
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．在几何证明中，若需证明两条线段相等，可尝试证明它们是全等三角形的对应边.
示例：对应边/角：针对两个三角形而言，是指全等三角形中相互重合的边或角（如△ABC的AB与△DEF的DE）.
对边/对角：针对单个三角形而言，对边是指某个角所对的边（如△ABC中，∠A的对边是BC）；对角是指某条边所对的角（如△ABC中，BC的对角是∠A）.
总述：【知识体系与学习要点】
1.逻辑关系：全等三角形是特殊的全等形，具备全等形的所有性质，同时因三角形的特殊性，衍生出对应元素识别等具体规则.
2.学习重点：
（1）理解“完全重合”是全等形和全等三角形的本质特征；
（2）熟练掌握对应边、对应角的识别方法；
（3）灵活运用全等三角形的性质解决线段和角的相等问题.
3.易错点提示：
（1）误认为“形状相同”或“大小相同”的图形就是全等形（需同时满足形状和大小相同）；
（2）忽略全等三角形表示时的顶点对应规则，导致对应边/角识别错误.
考点1图形的全等及其判断
【典例1】下列各组图形中，是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查全等图形，能完全重合的两个平面图形是全等图形．据此进行判断即可．
【解析】观察发现：B，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形；
A选项中两个图形能完全重合，是全等形，
故选A．
【变式1】下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等图形的识别，能够完全重合的平面图形，即形状、大小相同的图形是全等图形，据此即可求解．
【解析】解：由全等图形的定义可知，B为全等图形，
故选B．
【变式2】找出下列各组图中的全等图形（ ）
A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦
【答案】C
【解析】解：∵图形②和图形⑥不能够完全重合，
故A选项不符合题意；
∵图形②和图形⑦不能够完全重合，
故B选项不符合题意；
∵图形③和图形④能够完全重合，
故C选项符合题意；
∵图形⑥和图形⑦不能够完全重合，
故D选项不符合题意；
【变式3】如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形画线即可．
【解析】如图所示：
．
【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．
考点2全等图形的概念与性质
【典例1】（2024春 龙岗区期中）下列说法正确的是
A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形
C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形
【答案】C
【分析】直接利用全等图形以及全等图形的性质判断得出答案．
【解析】、形状相同、大小相等的两个图形一定全等，故本选项不符合题意；
、长方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意；
、两个全等图形面积一定相等，故本选项符合题意；
、两个正方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意；
故选．
【点评】此题主要考查了全等图形和全等图形的性质，正确把握相关的定义或性质是解题关键．
【典例2】如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠B＝90°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠A′＝ °．
【答案】105．
【分析】根据全等图形的性质可得∠A＝∠A′，∠D＝∠D′，根据四边形的内角和可得∠A的度数，进一步可得∠A′的度数．
【解析】∵四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A′，∠D＝∠D′，
∵∠D′＝105°，
∴∠D＝105°，
∵∠B＝90°，∠C＝60°，
∴∠A＝105°，
∴∠A′＝105°，
故答案为：105．
【点评】本题考查了全等图形，四边形的内角和等，熟练掌握全等图形的性质是解题的关键．
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形
C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的概念，牢记概念，要从形状和大小两个方面来考虑两个三角形是否完全重合是解题的关键．
根据全等三角形的定义“能够完全重合的两个三角形”对各个选项进行判断即可．
【解析】解：A. 周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，原说法错误，故选项不符合题意；
B. 形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，原说法正确，故选项符合题意；
C. 面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，原说法错误，故选项不符合题意；
D. 所有的等边三角形形状相同，但是大小和边长有关，边长不相等，则不能够重合，原说法错误，故选项不符合题意；
故选：．
【变式2】如图，四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，则∠A的度数是 °．
【答案】95．
【分析】利用全等图形对应角相等即可求解．
【解析】∵四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，
∴∠D＝∠D′＝130°，
∴∠C′＝360°﹣130°﹣60°﹣75°＝95°
∴∠α＝∠C′＝95°，
故答案为：95．
【点评】本题考查了全等形的性质，解题的关键是知道全等形的对应边的比相等，对应角相等．
考点3由全等三角形的性质求角度大小
【典例1】（2024春 二道区期末）如图，已知，，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质得出，即可得出选项．
【解析】，，
，
，
．
故选．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
【典例2】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，根据全等三角形对应角相等可得，进而可求出的度数．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选C．
【变式1】如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠AFE＝_______°．
【答案】85
【解析】解：在△ABC中，∵∠B＝50°，∠ACB＝105°，
∴∠BAC＝25°，
∵∠CAD＝10°，∠B＝50°，
∴∠AFE＝∠BAD+∠B＝∠BAC+∠CAD+∠B＝25°+10°+50°＝85°，
故答案为：85．
【变式2】如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，进而得出答案．
【解析】∵∠1和∠4所在的三角形全等，
∴∠1+∠4＝90°，
∵∠2和∠3所在的三角形全等，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3十∠4＝180°．
故答案为：180°．
【点评】此题主要考查了全等三角形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用．
考点4由全等三角形的性质求线段长短
【典例1】如图，，若，，则的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质“对应边相等”是关键．
根据全等三角形的性质得到，由即可求解．
【解析】解：，
∴，
∴，
故选D ．
【变式1】如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD的长为（ ）
A．12 B．7 C．2 D．14
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解析】如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，
∴BC＝EC＝5，CD＝AC＝7，
∴BD＝BC+CD＝12．
故选A．
【变式2】若，，，则的边上的高为 cm．
【答案】4
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．利用的面积求出边上的高，再根据全等三角形的对应高相等可得边上的高等于边上的高，从而得解．
【解析】解：设边上的高为 ，
则，即，
解得，
，与是对应边，
边上的高为．
故答案为：4．
考点5全等三角形性质的综合问题
【典例1】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）一个三角形的三条边长分别为6，5，x，另一个三角形的三条边长分别为y，6，4，若这两个三角形全等，则的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查全等三角形的性质，求代数式的算术平方根，根据全等三角形的对应边相等，可得x和y的值，代入计算即可得出答案．
【解析】解：边长分别为6，5，x的三角形和边长分别为y，6，4的三角形全等，
，，
，
故答案为：1．
【典例2】如图，已知，点在上，与相交于点．
(1)当，时，线段的长为________；
(2)已知，，求的度数．
【答案】(1)4(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角的性质；
（1）根据全等三角形的对应边相等，即可求解；
（2）根据全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和为，即可求解．
【解析】（1）解：，≌
，
，
故答案为：4；
（2）解：，
，
，
．
【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F．
(1)若，求线段的长；
(2)若，求的度数.
【答案】(1)6(2)
【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
（1）由全等三角形的性质可得，再由进行计算即可得到答案；
（2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可得，最后由进行计算即可．
【解析】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
．
【变式2】（2024春 长春期末）如图，，其中点、、、在一条直线上．
（1）若，，求的大小；
（2）若，，则的长为 ．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，结合图形得到，计算即可．
【解析】（1），
，
，
，
；
（2），
，
，即，
，，
，
，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
1．下列图标中，不是由全等形组合成的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全等图形的概念分析即可．
本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键．
【解析】解：A、该图像是由四个全等的图形构成，故该选项不符合题意；
B、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意；
C、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意；
D、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）下图是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”，它的座右铭是“独行快，众行远”，下列与该图片是全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形定义直接选择即可．
【解析】解：由题意得，与题中图片形状、大小都相同的全等图形的是D，
故选D．
3．（24-25八年级上·广东河源·期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．内错角相等 B．有理数和数轴上的点一一对应
C．三角形的一个外角大于任何一个内角 D．全等三角形对应边上的中线相等
【答案】D
【分析】利用平行线的性质、实数的性质、三角形的外角的性质及全等三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】解：A、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，故A选项不符合题意；
B、实数与数轴上的点一一对应，原命题是假命题，故B选项不符合题意；
C、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，原命题是假命题，故C选项不符合题意；
D、全等三角形对应边上的中线相等，原命题是真命题，故D选项符合题意；
故选D．
4．下图中全等的三角形是（ ）
A．①和② B．②和④ C．②和③ D．①和③
【答案】D
【解析】A、①和②，SA，角的另一条邻边不相等，两个三角形不全等，不符合题意；
B、②和④，5cm分别是图②和图④的邻边和对边，两个三角形不全等，不符合题意；
C、②和③，SA，角的另一条邻边不相等，两个三角形不全等，不符合题意；
D、①和③，SAS，两个三角形全等，符合题意；
5．已知图中的两个三角形全等，则等于
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知数据找出对应角，根据全等得出，，根据三角形内角和定理求出即可．
【解析】
和全等，，，
，，，
，
故选．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质得出，是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
6．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，点，在线段上，，若，，则的长为（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，到局全等三角形的对应边相等得出，进而得出，结合已知条件可得出，求出，即可求解．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选B．
7．如图，△ABC≌△DEF，DF和AC，EF和BC为对应边，若∠A＝123°，∠F＝39°，则∠DEF等于（ ）
A．18° B．20° C．39° D．123°
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解；∵△ABC≌△DEF，∠A＝123°，
∴∠D＝∠A＝123°，
∵∠F＝39°，
∴∠DEF＝180°﹣123°﹣39°＝18°，
故选A．
8．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选B．
9．图中的小正方形边长都相等，若，则点可能是图中的
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质和已知图形得出即可．
【解析】，
点应是图中的点，如图，
故选．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
10．若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF的周长为奇数，则EF的值为（ ）
A．3 B．4 C．1或3 D．3或5
【答案】D
【分析】根据全等求出DE＝AB＝2，DF＝AC＝4，根据△DEF的周长为奇数求出EF的长为奇数，再根据EF长为奇数和三角形三边关系定理逐个判断即可．
【解析】∵△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，
∴DE＝AB＝2，DF＝AC＝4，
∵△DEF的周长为奇数，
∴EF的长为奇数，
D、当EF＝3或5时，符合EF的长为奇数和三角形的三边关系定理，故本选项正确；
A、当EF＝3时，由选项D知，此选项错误；
B、当EF＝4时，不符合EF为奇数，故本选项错误；
C、当EF＝1或3时，其中1无法构成三角形，故本选项错误；
故选D．
11．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，已知，下列结论中正确的个数是（ ）
；；；；；．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据全等三角形的性质判断即可．
【解析】解：，
，故正确；
，即，故正确；
，
，
，即，故正确；
，
，
，故正确；
，
，故正确；
与不一定相等，故错误；
故选C．
12．如图，，，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使与△BPQ全等，则点Q的运动速度为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的性质，设点Q的运动速度是，有两种情况：①；②，列出方程，然后求出方程的解即可．
【解析】解：设点Q的运动速度是，
∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，
又∵，
∴，
∵，
∴当与全等时，有两种情况：
①，
∴，
解得：；
②，
则：，
解得：；
∴当与全等时，点Q的运动速度为或．
故选D．
13．下列图形中全等图形是 （填标号）．
【答案】⑤和⑦
【分析】要认真观察图形，从①开始找寻，看后面的谁与之全等，然后是②，看后面的哪一个与它全等，如此找寻，可得答案．
【解析】由全等形的概念可知：共有1对图形全等，即⑤和⑦能够重合．
故答案为：⑤和⑦．
14．（24-25八年级上·广东惠州·期中）已知△ABC三边的长分别为，，，△DEF三边的长分别为，，，若这两个三角形全等，则 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查三角形全等的性质，能够通过全等得到对应边相等并列式是解题关键．利用全等的性质列式计算即可．
【解析】解：∵与全等，
∴或，
当时，，故不符合题意，
当时，，故符合题意，
故答案为：．
15．已知△ABC≌△DEF，∠A＝52°，∠B＝67°，BC＝15cm，则∠F＝ 度，EF＝ cm．
【答案】61，15
【分析】根据全等三角形的性质即可求出推出各个边和角的量，做题时要找准对应边、角．
【解析】∵△ABC≌△DEF，
∴EF＝BC＝15cm，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠E，
∠C＝∠F＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣52°﹣67°＝61°．
故填61，15．
16．如图，点B，C，D在同一直线上．若，且，则 ．
【答案】/48度
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
根据全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，最后根据等量代换即可解答．
【解析】解：∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴．
故答案为：．
17．如图，在△ABC中，D、E分别是AC，AB上的点，若△ADE≌△BDE≌△BDC，则∠DBC的度数为 ．
【答案】30°
【分析】根据全等三角形的性质得出∠A＝∠DBE＝∠CBD，∠C＝∠AED＝∠BED，根据邻补角互补求出∠AED＝∠BED＝90°＝∠C，再根据三角形内角和定理求出即可．
【解析】∵△ADE≌△BDE≌△BDC，
∴∠A＝∠DBE＝∠CBD，∠C＝∠AED＝∠BED，
∵∠AED+∠BED＝180°，
∴∠AED＝∠BED＝90°＝∠C，
∵∠C+∠A+∠CBA＝180°，
∴3∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠A＝30°，
故答案为：30°．
18．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在△ABC中，于点，是上的一点．若，，，则△BDE的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解．
【解析】解：∵，
∴，，
∴△BDE的周长，
∵，，
∴△BDE的周长为．
故答案为：．
19．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：
①∠AOD＝90°；②CB＝CD；③DA＝DC．
其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②
【分析】直接利用全等三角形的性质结合线段垂直平分线的性质得出答案．
【解析】∵△ABO≌△ADO，
∴∠AOB＝∠AOD180°＝90°，
BO＝DO，
∴AC垂直平分BD，
∴BC＝DC，
无法得出AD＝DC，
故正确的有①②．
故答案为：①②．
20．如图，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形．
【分析】直接利用全等图形的定义进而分析得出答案．
【解析】如图所示：
．
21．如图，△ABC≌△DEF，△ABC的周长是40cm，AB＝10cm，BC＝16cm，求△DEF中，边DF的长度．
【分析】首先由，△ABC的周长是40cm，AB＝10cm，BC＝16cm，求出△ABC中边AC的长度，再根据△ABC≌△DEF，对应边相等求出边DF的长度．
【解析】已知，△ABC的周长是40cm，AB＝10cm，BC＝16cm，
∴AC＝△ABC的周长﹣AB﹣BC＝40﹣10﹣16＝14（cm），
∵△ABC≌△DEF，
∴DF＝AC＝14cm，
所以边DF的长度为14cm．
22．如图，已知△ABF≌△CDE．
（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；
（2）若BD＝10，EF＝2，求BF的长．
【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角的性质计算；
（2）根据全等三角形的对应边相等计算．
【解析】（1）∵△ABF≌△CDE，
∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠EFC＝∠DCF+∠D＝70°；
（2）∵△ABF≌△CDE，
∴BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，
∵BD＝10，EF＝2，
∴BE＝（10﹣2）÷2＝4，
∴BF＝BE+EF＝6．
23．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，，点，，，在一条直线上．
(1)求证：；
(2)连接．若，求的度数．
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，正确理解全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据得出,根据，问题得证；
（2）根据全等三角形的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解．
【解析】（1）解：，
，即，
；
（2），
，
，
，
平分，
，
设，则
在中，根据三角形内角和定理，得
，
24．如图，A、D、E三点在同一条直线上，且△ABD≌△CAE．
（1）若BD＝5，CE＝3，求DE；
（2）若BD∥CE，求∠BAC．
【分析】（1）由全等三角形的性质可得AD＝CE＝3，AE＝BD＝5，从而可求DE的长度；
（2）由平行线的性质可得∠BDE＝∠CEA，再由全等三角形的性质可得∠ADB＝∠CEA，∠ABD＝∠CAE，从而得∠ADB＝∠BDE，可求得∠ADB＝90°，从而可求解．
【解析】（1）∵△ABD≌△CAE，BD＝5，CE＝3，
∴AD＝CE＝3，AE＝BD＝5，
∴DE＝AE﹣AD＝2；
（2）∵BD∥CE，
∴∠BDE＝∠CEA，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠ADB＝∠CEA，∠ABD＝∠CAE，
∴∠ADB＝∠BDE，
∵∠ADB+∠BDE＝180°，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠BAD＝90°．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质并灵活运用．
25．如图所示，已知在四边形中，，过点作于点，连接，，且．
(1)求的度数；
(2)若，试判断与之间的关系，并说明理由．
【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形内角和等于，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）由平行线的性质得到，再根据三角形内角和等于，求得，最后根据全等三角形的对应角相等，即可求得答案；
（2）由可得，，再根据平行线的判定，即可得到答案．
【解析】（1），，
，
，
，
，
，
；
（2），且．
理由：，
，，
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专题03 全等三角形
【知识点01】全等形的概念与特征
定义：形状、大小完全相同，且将它们放在一起时能够完全重合的两个图形叫做全等形.
示例：两个完全相同的正方形纸片、同一张底片冲洗出的两张尺寸相同的照片，均为全等形.
特征：①一个图形经过平移、翻折、旋转等几何变换后，其位置发生改变，但形状和大小保持不变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.
示例：将一个三角形向右平移 5cm，平移后的三角形与原三角形是全等形.
②若两个图形是全等形，则它们的周长相等、面积相等.
易错提示：周长和面积相等的图形不一定是全等形（如一个正方形和一个长方形可能周长或面积相等，但形状不同，不属于全等形）
【知识点02】全等三角形
定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
示例：若△ABC与△DEF全等，可表示为△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF.
注意书写规范：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.
对应元素的识别：
①对应顶点、对应边、对应角
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
示例：如图，△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
②对应元素的寻找方法
方法分类 具体规则 示例说明
基于角的对应关系 1.对应角所对的边是对应边；
2.两个对应角所夹的边是对应边 若∠A与∠D是对应角，∠B与∠E是对应角，则∠A与∠B所夹的边AB，与∠D与∠E所夹的边DE是对应边
基于边的对应关系 1.对应边所对的角是对应角；
2.两条对应边所夹的角是对应角 若AB与DE是对应边，AC与DF是对应边，则AB与AC所夹的角∠A，与DE与DF所夹的角∠D是对应角
基于图形特殊性 1.有公共边的，公共边是对应边；
2.有公共角的，公共角是对应角；
3.有对顶角的，对顶角是对应角 若两个三角形公共边为BC，则BC是两三角形的对应边；若两三角形的一组角为对顶角，则这组角是对应角
基于边 / 角的大小 1.最长边与最长边是对应边，最短边与最短边是对应边；
2.最大角与最大角是对应角，最小角与最小角是对应角 若△ABC中BC最长，△DEF中EF最长，则BC与EF是对应边；若∠C是△ABC中最大角，∠F是△DEF中最大角，则∠C与∠F是对应角
即：
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
【知识点03】全等三角形的性质与应用
（1）性质1：全等三角形的对应边相等.
示例：若△ABC≌△DEF，则AB=DE，BC=EF，AC=DF.
（2）性质2：全等三角形的对应角相等.
示例：若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.
（3）拓展性质：
①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等；
示例：若△ABC≌△DEF，AM是△ABC中BC边上的中线，DN是△DEF中EF边上的中线，则AM=DN.
②全等三角形的周长相等，面积相等；
示例：若△ABC≌△DEF，△ABC的周长为20cm，则△DEF的周长也为20cm；△ABC的面积为15cm ，则△DEF的面积也为15cm .
（4）关于全等三角形性质的注意事项
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．在几何证明中，若需证明两条线段相等，可尝试证明它们是全等三角形的对应边.
示例：对应边/角：针对两个三角形而言，是指全等三角形中相互重合的边或角（如△ABC的AB与△DEF的DE）.
对边/对角：针对单个三角形而言，对边是指某个角所对的边（如△ABC中，∠A的对边是BC）；对角是指某条边所对的角（如△ABC中，BC的对角是∠A）.
总述：【知识体系与学习要点】
1.逻辑关系：全等三角形是特殊的全等形，具备全等形的所有性质，同时因三角形的特殊性，衍生出对应元素识别等具体规则.
2.学习重点：
（1）理解“完全重合”是全等形和全等三角形的本质特征；
（2）熟练掌握对应边、对应角的识别方法；
（3）灵活运用全等三角形的性质解决线段和角的相等问题.
3.易错点提示：
（1）误认为“形状相同”或“大小相同”的图形就是全等形（需同时满足形状和大小相同）；
（2）忽略全等三角形表示时的顶点对应规则，导致对应边/角识别错误.
考点1图形的全等及其判断
【典例1】下列各组图形中，是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】找出下列各组图中的全等图形（ ）
A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦
【变式3】如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．
考点2全等图形的概念与性质
【典例1】（2024春 龙岗区期中）下列说法正确的是
A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形
C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形
【典例2】如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠B＝90°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠A′＝ °．
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形
C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形
【变式2】如图，四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，则∠A的度数是 °．
考点3由全等三角形的性质求角度大小
【典例1】（2024春 二道区期末）如图，已知，，，则的度数为
A． B． C． D．
【典例2】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠AFE＝_______°．
【变式2】如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
考点4由全等三角形的性质求线段长短
【典例1】如图，，若，，则的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式1】如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD的长为（ ）
A．12 B．7 C．2 D．14
【变式2】若，，，则的边上的高为 cm．
考点5全等三角形性质的综合问题
【典例1】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）一个三角形的三条边长分别为6，5，x，另一个三角形的三条边长分别为y，6，4，若这两个三角形全等，则的值为 ．
【典例2】如图，已知，点在上，与相交于点．
(1)当，时，线段的长为________；
(2)已知，，求的度数．
【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F．
(1)若，求线段的长；
(2)若，求的度数.
【变式2】（2024春 长春期末）如图，，其中点、、、在一条直线上．
（1）若，，求的大小；
（2）若，，则的长为 ．
1．下列图标中，不是由全等形组合成的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）下图是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”，它的座右铭是“独行快，众行远”，下列与该图片是全等的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·广东河源·期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．内错角相等 B．有理数和数轴上的点一一对应
C．三角形的一个外角大于任何一个内角 D．全等三角形对应边上的中线相等
4．下图中全等的三角形是（ ）
A．①和② B．②和④ C．②和③ D．①和③
5．已知图中的两个三角形全等，则等于
A． B． C． D．
6．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，点，在线段上，，若，，则的长为（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
7．如图，△ABC≌△DEF，DF和AC，EF和BC为对应边，若∠A＝123°，∠F＝39°，则∠DEF等于（ ）
A．18° B．20° C．39° D．123°
8．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
9．图中的小正方形边长都相等，若，则点可能是图中的
A．点 B．点 C．点 D．点
10．若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF的周长为奇数，则EF的值为（ ）
A．3 B．4 C．1或3 D．3或5
11．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，已知，下列结论中正确的个数是（ ）
；；；；；．
A．个 B．个 C．个 D．个
12．如图，，，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使与△BPQ全等，则点Q的运动速度为（ ）
A． B． C．或 D．或
13．下列图形中全等图形是 （填标号）．
14．（24-25八年级上·广东惠州·期中）已知△ABC三边的长分别为，，，△DEF三边的长分别为，，，若这两个三角形全等，则 ．
15．已知△ABC≌△DEF，∠A＝52°，∠B＝67°，BC＝15cm，则∠F＝ 度，EF＝ cm．
16．如图，点B，C，D在同一直线上．若，且，则 ．
17．如图，在△ABC中，D、E分别是AC，AB上的点，若△ADE≌△BDE≌△BDC，则∠DBC的度数为 ．
18．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在△ABC中，于点，是上的一点．若，，，则△BDE的周长为 ．
19．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：
①∠AOD＝90°；②CB＝CD；③DA＝DC．
其中正确结论的序号是 ．
20．如图，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形．
21．如图，△ABC≌△DEF，△ABC的周长是40cm，AB＝10cm，BC＝16cm，求△DEF中，边DF的长度．
22．如图，已知△ABF≌△CDE．
（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；
（2）若BD＝10，EF＝2，求BF的长．
23．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，，点，，，在一条直线上．
(1)求证：；
(2)连接．若，求的度数．
24．如图，A、D、E三点在同一条直线上，且△ABD≌△CAE．
（1）若BD＝5，CE＝3，求DE；
（2）若BD∥CE，求∠BAC．
25．如图所示，已知在四边形中，，过点作于点，连接，，且．
(1)求的度数；
(2)若，试判断与之间的关系，并说明理由．
