第2课时 向量数量积的坐标表示 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角.
2.掌握向量垂直条件的坐标形式,并能灵活运用.
3.会利用数量积计算长度与角度.
1.向量数量积的坐标表示
若两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b= ,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
2.向量的模
(1)公式:设a=(x,y),则|a|= .
(2)两点间的距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB= .
3.向量的夹角公式
设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),它们的夹角为θ,则cos θ== .
4.两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b .
基础落实训练
1.已知a=(-3,4),b=(5,2),则a·b的值是 ( )
A.23 B.7
C.-23 D.-7
2.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c= ( )
A.12 B.0
C.-3 D.-11
3.已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余弦值为 .
题型(一) 平面向量数量积的坐标表示
[例1] (1)已知向量a=(0,-2),b=(1,t),若向量b在向量a上的投影向量为-a,则a·b= ( )
A.-2 B.-
C.2 D.
(2)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E在边CD上,且=2,则·的值是 .
听课记录:
|思|维|建|模|
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算律和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,建立平面直角坐标系,写出相应点的坐标即可求解.
[针对训练]
1.设a=(1,-2),b=(3,1),c=(-1,1),则(a+b)·(a-c)= ( )
A.11 B.5
C.-14 D.10
2.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,点F在AD上,且=2,则·= .
题型(二) 平面向量模的坐标表示
[例2] 设平面向量a=(1,1),b=(0,2).求a-2b的坐标和模的大小.
听课记录:
[变式拓展]
1.例题中的条件不变,若c=3a-(a·b)·b,试求|c|.
2.将例题中的“b=(0,2)”改为“b=(0,-2)”,其他条件不变,若ka-b的模等于,试求k值.
|思|维|建|模|
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.
(2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=.
[针对训练]
3.已知梯形ABCD中,∠ABC=∠BAD=,AB=BC=1,AD=2,P是CD的中点,则|+2|= ( )
A. B.2
C.4 D.5
4.已知向量a=(1,2),b=(-3,4),c=a+λb(λ∈R),则|c|取最小值时,λ的值为 .
题型(三) 平面向量夹角及垂直的坐标表示
[例3] (1)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于 ( )
A.- B.
C. D.
(2)(2022·新课标Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若
=,则t= ( )
A.-6 B.-5
C.5 D.6
(3)已知向量a=(3,4),b=(2,-1),如果向量a+xb与b垂直,则x= ( )
A. B.
C.2 D.-
听课记录:
|思|维|建|模|
利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积.
(2)利用|a|=计算出这两个向量的模.
(3)由公式cos θ=直接求出cos θ的值.
(4)在[0,π]内,由cos θ的值求角θ.
[针对训练]
5.(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则 ( )
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
6.已知a=(4,3),b=(-1,2).
(1)求a与b夹角的余弦值;
(2)若(a-λb)⊥(2a+b),求实数λ的值.
第2课时 向量数量积的坐标表示
课前预知教材
1.x1x2+y1y2 2.(1)
(2)
3. 4.x1x2+y1y2=0
[基础落实训练]
1.选D a·b=(-3,4)·(5,2)=-3×5+4×2=-7.
2.选C ∵a+2b=(-5,6),∴(a+2b)·c=(-5)×3+6×2=-3.
3.解析:因为a·b=3×5+4×12=63,|a|==5,|b|==13,所以a与b夹角的余弦值为==.
答案:
课堂题点研究
[例1] 解析:(1)由题意,设a与b的夹角为θ,则b在a上的投影向量为|b|cos θ·==(0,t).
又-a=(0,1),∴t=1,即b=(1,1),
∴a·b=0×1+(-2)×1=-2.
(2)以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
∵AB=,BC=2,
∴A(0,0),B(,0),C(,2),
D(0,2).∵点E在边CD上,
且=2,∴E,
∴=,=,∴·=-+4=.
答案:(1)A (2)
[针对训练]
1.选A 由题意,得a+b=(4,-1),a-c=(2,-3),所以(a+b)·(a-c)=4×2+(-1)×(-3)=11.
2.解析:如图所示,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则B(2,0),E(1,2),C(2,2),F,
∴=(-1,2),=,
∴·=2-=.
答案:
[例2] 解:∵a=(1,1),b=(0,2),∴a-2b=(1,1)-2(0,2)=(1,-3).∴|a-2b|==.
[变式拓展]
1.解:∵a·b=1×0+1×2=2,
∴c=3(1,1)-2(0,2)=(3,-1).
∴|c|==.
2.解:∵ka-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2),
∴=,
化简得k2+2k-3=0,解得k=1或k=-3.
即当k=1或k=-3时满足条件.
[针对训练]
3.选A 以B为坐标原点,分别以BC,BA所在的直线为x轴,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,1),C(1,0),D(2,1).∵P是CD的中点,
∴P.∴=,
=.
∴+2=+2=.
∴|+2|==.
4.解析:∵a=(1,2),b=(-3,4),
∴c=a+λb=(1-3λ,2+4λ),
∴|c|2=c2=(1-3λ)2+(2+4λ)2=25λ2+10λ+5=25+4.当λ=-时,|c|min=2.
答案:-
[例3] 解析:(1)∵2a+b=(3,3),a-b=(0,3),
∴cos<2a+b,a-b>===.故2a+b与a-b的夹角为.
(2)由题意,得c=a+tb=(3+t,4).∴a·c=3×(3+t)+4×4=25+3t,b·c=1×(3+t)+0×4=3+t.
∵=,∴cos=cos,即=,即=3+t,解得t=5,故选C.
(3)a+xb=(3,4)+(2x,-x)=(3+2x,4-x),若向量a+xb与b垂直,则(a+xb)·b=(3+2x,4-x)·(2,-1)=6+4x-4+x=5x+2=0,解得x=-.故选D.
答案:(1)C (2)C (3)D
[针对训练]
5.选D 因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).因为(a+λb)⊥(a+μb),
所以(a+λb)·(a+μb)=0,所以(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.故选D.
6.解:(1)因为a·b=4×(-1)+3×2=2,
|a|==5,|b|==,设a与b的夹角为θ,
所以cos θ===.
(2)因为a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8),
又(a-λb)⊥(2a+b),
所以7(4+λ)+8(3-2λ)=0,解得λ=.(共50张PPT)
向量数量积的坐标表示
(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
第2课时
课时目标
1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角.
2.掌握向量垂直条件的坐标形式,并能灵活运用. 3.会利用数量积计算长度与角度.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.向量数量积的坐标表示
若两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=__________,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
2.向量的模
(1)公式:设a=(x,y),则|a|=___________.
(2)两点间的距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=_______________________.
x1x2+y1y2
3.向量的夹角公式
设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),它们的夹角为θ,则cos θ==__________________________.
4.两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b ___________________.
x1x2+y1y2=0
基础落实训练
1.已知a=(-3,4),b=(5,2),则a·b的值是 ( )
A.23 B.7
C.-23 D.-7
解析:a·b=(-3,4)·(5,2)=-3×5+4×2=-7.
√
2.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c= ( )
A.12 B.0
C.-3 D.-11
解析:∵a+2b=(-5,6),∴(a+2b)·c=(-5)×3+6×2=-3.
√
3.已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余弦值为 .
解析:因为a·b=3×5+4×12=63,|a|==5,|b|==13,所以a与b夹角的余弦值为==.
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 平面向量数量积的坐标表示
[例1] (1)已知向量a=(0,-2),b=(1,t),若向量b在向量a上的投影向量为-a,则a·b=( )
A.-2 B.-
C.2 D.
√
解析:由题意,设a与b的夹角为θ,则b在a上的投影向量为|b|cos θ·==(0,t).
又-a=(0,1),∴t=1,即b=(1,1),
∴a·b=0×1+(-2)×1=-2.
(2)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E在边CD上,且=2,则·的值是 .
解析:以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
∵AB=,BC=2,
∴A(0,0),B(,0),C(,2),
D(0,2).∵点E在边CD上,
且=2,∴E,
∴=,=,∴·=-+4=.
|思|维|建|模|
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算律和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,建立平面直角坐标系,写出相应点的坐标即可求解.
针对训练
1.设a=(1,-2),b=(3,1),c=(-1,1),则(a+b)·(a-c)= ( )
A.11 B.5
C.-14 D.10
解析:由题意,得a+b=(4,-1),a-c=(2,-3),所以(a+b)·(a-c)=4×2+
(-1)×(-3)=11.
√
2.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,点F在AD上,且=2,则·= .
解析:如图所示,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则B(2,0),E(1,2),
C(2,2),F,∴=(-1,2),=,
∴·=2-=.
题型(二) 平面向量模的坐标表示
[例2] 设平面向量a=(1,1),b=(0,2).求a-2b的坐标和模的大小.
解:∵a=(1,1),b=(0,2),∴a-2b=(1,1)-2(0,2)=(1,-3).∴|a-2b|=
=.
变式拓展
1.例题中的条件不变,若c=3a-(a·b)·b,试求|c|.
解:∵a·b=1×0+1×2=2,
∴c=3(1,1)-2(0,2)=(3,-1).
∴|c|==.
2.将例题中的“b=(0,2)”改为“b=(0,-2)”,其他条件不变,若ka-b的模等于,试求k值.
解:∵ka-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2),
∴=,化简得k2+2k-3=0,解得k=1或k=-3.即当k=1或k=-3时满足条件.
|思|维|建|模|
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.
(2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=.
针对训练
3.已知梯形ABCD中,∠ABC=∠BAD=,AB=BC=1,AD=2,P是CD的中点,则|+2|=( )
A. B.2
C.4 D.5
√
解析:以B为坐标原点,分别以BC,BA所在的直线为x轴,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,1),C(1,0),D(2,1).∵P是CD的中点,
∴P.∴=,=.
∴+2=+2=.
∴|+2|==.
4.已知向量a=(1,2),b=(-3,4),c=a+λb(λ∈R),则|c|取最小值时,λ的值为 .
解析:∵a=(1,2),b=(-3,4),
∴c=a+λb=(1-3λ,2+4λ),
∴|c|2=c2=(1-3λ)2+(2+4λ)2=25λ2+10λ+5=25+4.当λ=-时,|c|min=2.
-
题型(三) 平面向量夹角及垂直的坐标表示
[例3] (1)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于 ( )
A.- B.
C. D.
解析:∵2a+b=(3,3),a-b=(0,3),
∴cos<2a+b,a-b>===.故2a+b与a-b的夹角为.
√
(2)(2022·新课标Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则t= ( )
A.-6 B.-5
C.5 D.6
解析:由题意,得c=a+tb=(3+t,4).∴a·c=3×(3+t)+4×4=25+3t,b·c=1×
(3+t)+0×4=3+t.∵=,∴cos=cos,即=,
即=3+t,解得t=5,故选C.
√
(3)已知向量a=(3,4),b=(2,-1),如果向量a+xb与b垂直,则x= ( )
A. B.
C.2 D.-
解析:a+xb=(3,4)+(2x,-x)=(3+2x,4-x),若向量a+xb与b垂直,
则(a+xb)·b=(3+2x,4-x)·(2,-1)=6+4x-4+x=5x+2=0,解得x=-.
故选D.
√
|思|维|建|模|
利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积.
(2)利用|a|=计算出这两个向量的模.
(3)由公式cos θ=直接求出cos θ的值.
(4)在[0,π]内,由cos θ的值求角θ.
针对训练
5.(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则 ( )
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
解析:因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).因为(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,所以(1+λ)(1+μ)+(1-λ)
(1-μ)=0,整理得λμ=-1.故选D.
√
6.已知a=(4,3),b=(-1,2).
(1)求a与b夹角的余弦值;
解:(1)因为a·b=4×(-1)+3×2=2,
|a|==5,|b|==,
设a与b的夹角为θ,
所以cos θ===.
(2)若(a-λb)⊥(2a+b),求实数λ的值.
解:因为a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8),
又(a-λb)⊥(2a+b),
所以7(4+λ)+8(3-2λ)=0,解得λ=.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.(2022·全国乙卷)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:由题意知a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以|a-b|==5,故选D.
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2.若向量a=(1,1),b=(0,-1),则a与b的夹角等于 ( )
A.- B.
C. D.
解析:因为cos===-,又∈[0,π],所以=,
即a与b的夹角等于.故选D.
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3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
解析:因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以b2-4a·b=0,即4+x2-4x=0,解得x=2,故选D.
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4.已知向量a=(1,),b=(3,m).若向量a,b的夹角为,则实数m等于( )
A.2 B.
C.0 D.-
解析:因为a=(1,),b=(3,m),所以|a|=2,|b|=,a·b=3+m.
又a,b的夹角为,所以cos ===,
所以+m=,解得m=.
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5.(多选)已知向量a,b在平面直角坐标系中的位置如图所示,若网格中每个小正方形的边长均为1,则 ( )
A.a·b=4
B.向量b在向量a上的投影向量为a
C.(a+b)⊥(a-b)
D.若c=(-1,2),则c∥(a-b)
√
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解析:由题图可知a=(3,0),b=(2,2),则a·b=2×3+0×2=6,故A错误;
向量b在向量a上的投影向量为·=·=a,故B正确;
因为a+b=(5,2),a-b=(1,-2),则(a+b)·(a-b)=5×1+2×(-2)=1,所以a+b与a-b不垂直,故C错误;
因为c=(-1,2),a-b=(1,-2),则c=-(a-b),所以c与a-b平行,故D正确.故选BD.
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6.已知点A(1,0),B(-2,1),向量e=(0,1),则在e方向上的投影向量的模为 .
解析:由A(1,0),B(-2,1),可得=(-3,1),所以在e方向上的投影向量的模为==1.
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7.已知向量a=(-2,3),非零向量b满足a⊥b,则b= .
(写一个向量坐标即可)
解析:设b=(x,y),则由a⊥b得a·b=-2x+3y=0,取x=3,则y=2,b=(3,2).
(3,2)
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8.如图,在2×4的方格纸中,若向量a,b的起点和终点均在格点,则向量a+b,a-b夹角的余弦值是 .
-
解析:设每个小正方形的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,则a=(2,-1),b=(3,2),所以a+b=
(5,1),a-b=(-1,-3). 所以(a+b)·(a-b)=-5-3=-8,
|a-b|=,|a+b|=.所以向量a+b,a-b夹角的余弦值为=-.
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9.(10分)已知点A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),求证:△ABC是直角三角形.
证明:因为A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),
所以=(8,-4),=(2,4),=(-6,8).
所以||===4,
||===2,
||===10.
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,即△ABC是直角三角形.
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10.(10分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).
(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;
解:由题设知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4).所以|+|=2,|-|=4.故所求的两条对角线的长分别为2,4.
(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.
解:由题设知,=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t),由(-t)·=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以t=-.
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B级——重点培优
11.已知向量a=(-1,2),b=(3,4),c=2a-λb,若c⊥b,则实数λ=( )
A.- B.
C.- D.
解析:由题意得c=2a-λb=2(-1,2)-λ(3,4)=(-2-3λ,4-4λ),b=(3,4),且c⊥b,所以c·b=3(-2-3λ)+4(4-4λ)=0,解得λ=.
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12.在△ABC中,BC=6,AB=4,∠CBA=,设点D为AC的中点,E在BC上,且·=0,则·=( )
A.16 B.12
C.8 D.-4
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:由题意以B为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(4,0),B(0,0),C(0,6),D(2,3),
设E(0,b),则=(-4,b),
=(2,3),=(0,6).
由题意可知·=0,
即(-4,b)·(2,3)=0,即-8+3b=0,解得b=.所以E,
=,所以·=16.
1
5
6
7
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9
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3
4
2
13.已知平面向量=(-1,k),=(2,1),若△ABC是直角三角形,则k的取值可能是 .
解析:因为=(-1,k),=(2,1),所以=-=(3,1-k).
若A=90° ·=0,∴-2+k=0 k=2;若B=90° ·=0,
∴-3+k(1-k)=0,无解;若C=90° ·=0,∴6+(1-k)=0 k=7.
2或7
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7
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3
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2
14.(10分)已知向量a=(-3,0),b=(μ+3,-1),c=(1,λ).
(1)若λ=8,μ=-6,求向量a-c与b的夹角;
解:当λ=8,μ=-6时,b=(-3,-1),c=(1,8),a-c=(-4,-8).设向量a-c与b的夹角为θ,则cos θ===.因为θ∈[0,π],所以向量a-c与b的夹角为.
1
5
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2
(2)若(a+b)⊥c,且a在c上的投影向量的模为1,求λ与μ的值.
解:由题意知,a+b=(μ,-1),c=(1,λ).因为(a+b)⊥c,所以(a+b)·c=μ-λ=0,得μ=λ.又因为a在c上的投影向量的模为1,则=1,所以=3,
解得λ=μ=2或λ=μ=-2.
1
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15.(12分)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,向量=(3,1),=(2,-1),
=(a,b),其中a>0,b>0.
(1)若与的夹角为45°,求的值;
解:由题意知向量=(2,-1),=(a,b),因为与的夹角为45°,
所以cos<,>===,解得=(负值舍去).
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(2)若⊥,求+的最小值.
解:因为=-=(-1,-2),=-=(a-3,b-1),又⊥,所以·=(-1)·(a-3)+(-2)·(b-1)=0,即得a+2b=5.又a>0,b>0,故+=(a+2b)·=≥,当且仅当=且a+2b=5,即a=,b=时取得等号,所以=.课时跟踪检测(十) 向量数量积的坐标表示
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.(2022·全国乙卷)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|= ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
2.若向量a=(1,1),b=(0,-1),则a与b的夹角等于 ( )
A.- B.
C. D.
3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
4.已知向量a=(1,),b=(3,m).若向量a,b的夹角为,则实数m等于 ( )
A.2 B.
C.0 D.-
5.(多选)已知向量a,b在平面直角坐标系中的位置如图所示,若网格中每个小正方形的边长均为1,则 ( )
A.a·b=4
B.向量b在向量a上的投影向量为a
C.(a+b)⊥(a-b)
D.若c=(-1,2),则c∥(a-b)
6.已知点A(1,0),B(-2,1),向量e=(0,1),则在e方向上的投影向量的模为 .
7.已知向量a=(-2,3),非零向量b满足a⊥b,则b= .(写一个向量坐标即可)
8.如图,在2×4的方格纸中,若向量a,b的起点和终点均在格点,则向量a+b,a-b夹角的余弦值是 .
9.(10分)已知点A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),求证:△ABC是直角三角形.
10.(10分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).
(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;
(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.
B级——重点培优
11.已知向量a=(-1,2),b=(3,4),c=2a-λb,若c⊥b,则实数λ= ( )
A.- B.
C.- D.
12.在△ABC中,BC=6,AB=4,∠CBA=,设点D为AC的中点,E在BC上,且·=0,则·= ( )
A.16 B.12
C.8 D.-4
13.已知平面向量=(-1,k),=(2,1),若△ABC是直角三角形,则k的取值可能是 .
14.(10分)已知向量a=(-3,0),b=(μ+3,-1),c=(1,λ).
(1)若λ=8,μ=-6,求向量a-c与b的夹角;
(2)若(a+b)⊥c,且a在c上的投影向量的模为1,求λ与μ的值.
15.(12分)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,向量=(3,1),=(2,-1),=(a,b),其中a>0,b>0.
(1)若与的夹角为45°,求的值;
(2)若⊥,求+的最小值.
课时跟踪检测(十)
1．选D 由题意知a－b＝(2,1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5，故选D.
2．选D 因为cos〈a，b〉＝＝＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，
所以〈a，b〉＝，即a与b的夹角等于.故选D.
3．选D 因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，解得x＝2，故选D.
4．选B 因为a＝(1，)，b＝(3，m)，所以|a|＝2，|b|＝，a·b＝3＋m.又a，b的夹角为，所以cos ＝＝＝，
所以＋m＝，解得m＝.
5．选BD 由题图可知a＝(3,0)，b＝(2,2)，则a·b＝2×3＋0×2＝6，故A错误；向量b在向量a上的投影向量为·＝·＝a，故B正确；因为a＋b＝(5,2)，a－b＝(1，－2)，则(a＋b)·(a－b)＝5×1＋2×(－2)＝1，所以a＋b与a－b不垂直，故C错误；因为c＝(－1,2)，a－b＝(1，－2)，则c＝－(a－b)，所以c与a－b平行，故D正确．故选BD.
6．解析：由A(1,0)，B(－2,1)，可得＝(－3，1)，所以在e方向上的投影向量的模为＝＝1.
答案：1
7．解析：设b＝(x，y)，则由a⊥b得a·b＝－2x＋3y＝0，取x＝3，则y＝2，b＝(3,2)．
答案：(3,2)
8．解析：
设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(2，－1)，b＝(3,2)，所以a＋b＝(5,1)，a－b＝(－1，－3). 所以(a＋b)·(a－b)＝－5－3＝－8，|a－b|＝，|a＋b|＝.所以向量a＋b，a－b夹角的余弦值为＝－.
答案：－
9．证明：因为A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，
所以＝(8，－4)，＝(2,4)，＝(－6,8)．
所以||＝＝＝4，
||＝＝＝2，
||＝＝＝10.
所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是直角三角形．
10．解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．所以|＋|＝2 ，|－|＝4.故所求的两条对角线的长分别为2 ，4.
(2)由题设知，＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)，由(－t)·＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.
11．选D 由题意得c＝2a－λb＝2(－1,2)－λ(3，4)＝(－2－3λ，4－4λ)，b＝(3,4)，且c⊥b，所以c·b＝3(－2－3λ)＋4(4－4λ)＝0，解得λ＝.
12．选A 由题意以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(4，0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)，设E(0，b)，则＝(－4，b)，＝(2,3)，＝(0,6)．
由题意可知·＝0，即(－4，b)·(2,3)＝0，即－8＋3b＝0，解得b＝.所以E，
＝，所以·＝16.
13．解析：因为＝(－1，k)，＝(2,1)，所以＝－＝(3,1－k)．
若A＝90° ·＝0，∴－2＋k＝0 k＝2；若B＝90° ·＝0，
∴－3＋k(1－k)＝0，无解；若C＝90° ·＝0，∴6＋(1－k)＝0 k＝7.
答案：2或7
14．解：(1)当λ＝8，μ＝－6时，b＝(－3，－1)，c＝(1,8)，a－c＝(－4，－8)．设向量a－c与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.因为θ∈[0，π]，所以向量a－c与b的夹角为.
(2)由题意知，a＋b＝(μ，－1)，c＝(1，λ)．因为(a＋b)⊥c，所以(a＋b)·c＝μ－λ＝0，得μ＝λ.又因为a在c上的投影向量的模为1，则＝1，所以＝3，解得λ＝μ＝2或λ＝μ＝－2.
15．解：(1)由题意知向量＝(2，－1)，＝(a，b)，因为与的夹角为45°，所以cos〈，〉＝＝＝，解得＝(负值舍去)．
(2)因为＝－＝(－1，－2)，＝－＝(a－3，b－1)，又⊥，所以·＝(－1)·(a－3)＋(－2)·(b－1)＝0，即得a＋2b＝5.又a>0，b>0，故＋＝(a＋2b)·＝≥，当且仅当＝且a＋2b＝5，即a＝，b＝时取得等号，所以min＝.