10.1.1 两角和与差的余弦 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角差的余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式,了解它们的内在联系.
3.掌握两角和与差的余弦公式的正用、逆用、变形用,并能进行求值、计算.
两角和与差的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差 的余弦 公式 C(α-β) cos(α-β)= =________________ α,β∈R
两角和 的余弦 公式 C(α+β) cos(α+β)=___________________ α,β∈R
|微|点|助|解|
两角和与差的余弦公式的结构特征
(1)公式中的α,β都是任意角,既可以是一个角,也可以是几个角的组合.
如cos中的,分别相当于公式中的角α,β.
(2)cos(α-β)=cos α-cos β一般不成立,但在特殊情况下也可能成立.
例如:当α=0°,β=60°时,cos(0°-60°)=cos 0°-cos 60°.
(3)要掌握公式的逆用,如cos(α+β)cos β+sin(α+β)·sin β=cos[(α+β)-β]=cos α.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)存在角α,β,使cos(α-β)=cos α+cos β. ( )
(2)对于任意角α,β,总有cos(α-β)=cos α-cos β. ( )
(3)对于任意角α,β,总有cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β. ( )
(4)存在角α,β,使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β. ( )
2.cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°= ( )
A.- B.
C.- D.
3.不满足sin αsin β=-cos αcos β的一组α,β值的是 ( )
A.α=,β= B.α=,β=
C.α=,β= D.α=,β=
4.化简cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α= .
题型(一) 给角求值
[例1] 求下列各式的值:
(1)cos 63°sin 57°+sin 117°sin 33°;
(2)sin 245°sin 125°+sin 155°sin 35°;
(3)cos 15°+sin 15°.
听课记录:
|思|维|建|模|
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分.
[针对训练]
1.若a=(cos 100°,sin 100°),b=(cos 10°,sin 10°),则a·b= ( )
A.cos 110° B.sin 110°
C.1 D.0
2.(1)cos 105°= ;
(2)coscos+cossin= .
题型(二) 给值(式)求值
[例2] 已知α,β为锐角,且cos α=,cos(α+β)=-,求cos β的值.
听课记录:
|思|维|建|模|
给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的,因此在解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换:①α=(α-β)+β;②α=+;③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β).
[针对训练]
3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)= ( )
A.-3m B.-
C. D.3m
4.已知cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,且<α<,0<β<,求cos(α+β)的值.
题型(三) 给值求角
[例3] 已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β的值.
听课记录:
[变式拓展]
将本例中条件“cos(α-β)=,且0<β<α<”换为“cos(α+β)=-,且α,β∈”,求β的值.
|思|维|建|模|
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
[针对训练]
5.已知0<α<β<,cos 2α+cos 2β+1=2cos(α-β)+cos(α+β),则 ( )
A.α+β= B.α+β=
C.β-α= D.β-α=
10.1.1 两角和与差的余弦
课前预知教材
cos αcos β+sin αsin β cos αcos β-sin αsin β
[基础落实训练]
1.(1)√ (2)× (3)× (4)√
2.选B cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°=cos(72°-12°)=cos 60°=.
3.选C 因为sin αsin β=-cos αcos β,所以cos(α-β)=.对于A,cos(α-β)=cos =,符合题意;对于B,cos(α-β)=
cos =,符合题意;对于C,cos(α-β)=cos =cos=×-×=,不符合题意;对于D,cos(α-β)=
cos(-)=,符合题意.
4.解析:cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=cos [(α+β)-α]=cos β.
答案:cos β
课堂题点研究
[例1] 解:(1)原式=cos 63°cos 33°+sin 63°·sin 33°=cos(63°-33°)=cos 30°=.
(2)原式=sin(270°-25°)sin(90°+35°)+sin(180°-25°)sin 35°=-cos 25°cos 35°+sin 25°sin 35°
=-cos(25°+35°)=-cos 60°=-.
(3)原式=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15°=cos(60°-15°)=cos 45°=.
[针对训练]
1.选D a·b=cos 100°cos 10°+sin 100°sin 10°=cos(100°-10°)=cos 90°=0.
2.解析:(1)原式=cos(60°+45°)=cos 60°cos 45°-sin 60°sin 45°=×-×=.
(2)原式=coscos+sinsin
=cos=cos=.
答案:(1) (2)
[例2] 解:∵0<α<,0<β<,
∴0<α+β<π.
由cos(α+β)=-,
得sin(α+β)=
==.
又∵cos α=,∴sin α=.
∴cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=×+×=.
[针对训练]
3.选A 法一 因为cos(α+β)=m,所以cos αcos β-sin αsin β=m,而tan αtan β=2,所以sin αsin β=2cos αcos β,
故cos αcos β-2cos αcos β=m,即cos αcos β=-m,从而sin αsin β=-2m,故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m,
故选A.
法二 设cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=t,
因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=m,
所以==-3=,故t=-3m.
4.解:因为<α<,0<β<,
所以<2α-β<π,-<α-2β<.
因为cos(2α-β)=-,所以sin(2α-β)=.
因为sin(α-2β)=,所以cos(α-2β)=.
所以cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]
=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)=-×+×=0.
[例3] 解:由cos α=,0<α<,
得sin α===.
由0<β<α<,得0<α-β<.
又∵cos(α-β)=,
∴sin(α-β)=
==.
由β=α-(α-β),
得cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+
sin αsin(α-β)=×+×=.
∵0<β<,∴β=.
[变式拓展]
解:∵α,β∈且cos α=,cos(α+β)=-,∴α+β∈,sin α==.
∴sin(α+β)==.
又∵β=(α+β)-α,
∴cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=×+×=.
又∵β∈,∴β=.
[针对训练]
5.选D 由2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),则cos[(α+β)+(α-β)]+cos[(α+β)-(α-β)]+1=2cos(α-β)+cos(α+β),
2cos(α+β)cos(α-β)-2cos(α-β)-cos(α+β)+1=0,[cos(α+β)-1][2cos(α-β)-1]=0,即cos(α+β)=1或cos(α-β)=.
又0<α<β<,所以0<α+β<π,-<α-β<0,所以cos(α+β)≠1,cos(α-β)=,则α-β=-,所以β-α=.显然α+β>,故选D.(共49张PPT)
10.1.1
两角和与差的余弦
(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角差的余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式,了解它们的内在联系.
3.掌握两角和与差的余弦公式的正用、逆用、变形用,并能进行求值、计算.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
两角和与差的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差 的余弦 公式 C(α-β) cos(α-β)=___________________ α,β∈R
两角和 的余弦 公式 C(α+β) cos(α+β)=___________________ α,β∈R
cos αcos β+sin αsin β
cos αcos β-sin αsin β
|微|点|助|解|
两角和与差的余弦公式的结构特征
(1)公式中的α,β都是任意角,既可以是一个角,也可以是几个角的组合.
如cos中的,分别相当于公式中的角α,β.
(2)cos(α-β)=cos α-cos β一般不成立,但在特殊情况下也可能成立.
例如:当α=0°,β=60°时,cos(0°-60°)=cos 0°-cos 60°.
(3)要掌握公式的逆用,如cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos[(α+β)-β]=cos α.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)存在角α,β,使cos(α-β)=cos α+cos β. ( )
(2)对于任意角α,β,总有cos(α-β)=cos α-cos β. ( )
(3)对于任意角α,β,总有cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β. ( )
(4)存在角α,β,使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β. ( )
√
×
×
√
2.cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°= ( )
A.- B.
C.- D.
解析:cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°=cos(72°-12°)=cos 60°=.
√
3.不满足sin αsin β=-cos αcos β的一组α,β值的是( )
A.α=,β= B.α=,β=
C.α=,β= D.α=,β=
解析:因为sin αsin β=-cos αcos β,所以cos(α-β)=.对于A,cos(α-β)=
cos =,符合题意;
对于B,cos(α-β)=cos =,符合题意;
对于C,cos(α-β)=cos =cos=×-×=,不符合题意;
对于D,cos(α-β)=cos(-)=,符合题意.
√
4.化简cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α= .
解析:cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=cos [(α+β)-α]=cos β.
cos β
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 给角求值
[例1] 求下列各式的值:
(1)cos 63°sin 57°+sin 117°sin 33°;
解:原式=cos 63°cos 33°+sin 63°sin 33°=cos(63°-33°)=
cos 30°=.
(2)sin 245°sin 125°+sin 155°sin 35°;
解:原式=sin(270°-25°)sin(90°+35°)+sin(180°-25°)sin 35°=
-cos 25°cos 35°+sin 25°sin 35°
=-cos(25°+35°)=-cos 60°=-.
(3)cos 15°+sin 15°.
解:原式=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15°=cos(60°-15°)=cos 45°
=.
|思|维|建|模|
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分.
针对训练
1.若a=(cos 100°,sin 100°),b=(cos 10°,sin 10°),则a·b= ( )
A.cos 110° B.sin 110°
C.1 D.0
解析:a·b=cos 100°cos 10°+sin 100°sin 10°=cos(100°-10°)=
cos 90°=0.
√
2.(1)cos 105°= ;
解析:原式=cos(60°+45°)=cos 60°cos 45°-sin 60°sin 45°=
×-×=.
(2)coscos+cossin= .
解析:原式=coscos+sin sin
=cos=cos=.
题型(二) 给值(式)求值
[例2] 已知α,β为锐角,且cos α=,cos(α+β)=-,求cos β的值.
解:∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π.
由cos(α+β)=-,
得sin(α+β)=
==.
又∵cos α=,∴sin α=.
∴cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=×+×=.
|思|维|建|模|
给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的,因此在解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换:①α=(α-β)+β;②α=+;③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β).
针对训练
3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)= ( )
A.-3m B.- C. D.3m
解析:法一 因为cos(α+β)=m,所以cos αcos β-sin αsin β=m,而tan α
tan β=2,所以sin αsin β=2cos αcos β,故cos αcos β-2cos αcos β=m,即cos αcos β=-m,从而sin αsin β=-2m,
故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m,故选A.
√
法二 设cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=t,
因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=m,
所以==-3=,故t=-3m.
4.已知cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,且<α<,0<β<,求cos(α+β)的值.
解:因为<α<,0<β<,
所以<2α-β<π,-<α-2β<.
因为cos(2α-β)=-,
所以sin(2α-β)=.
因为sin(α-2β)=,所以cos(α-2β)=.
所以cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]
=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)=-×+×=0.
题型(三) 给值求角
[例3] 已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β的值.
解:由cos α=,0<α<,
得sin α===.
由0<β<α<,得0<α-β<.
又∵cos(α-β)=,
∴sin(α-β)===.
由β=α-(α-β),
得cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+
sin αsin(α-β)=×+×=.
∵0<β<,∴β=.
变式拓展
将本例中条件“cos(α-β)=,且0<β<α<”换为“cos(α+β)=-,
且α,β∈”,求β的值.
解:∵α,β∈且cos α=,cos(α+β)=-,∴α+β∈,sin α=
=.
∴sin(α+β)==.
又∵β=(α+β)-α,
∴cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=×+×=.
又∵β∈,∴β=.
|思|维|建|模|
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
针对训练
5.已知0<α<β<,cos 2α+cos 2β+1=2cos(α-β)+cos(α+β),则( )
A.α+β= B.α+β=
C.β-α= D.β-α=
解析:由2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),则cos[(α+β)+(α-β)]+cos[(α+β)-
(α-β)]+1=2cos(α-β)+cos(α+β),2cos(α+β)cos(α-β)-2cos(α-β)-cos(α+β)+1=0,
[cos(α+β)-1][2cos(α-β)-1]=0,即cos(α+β)=1或cos(α-β)=.又0<α<β<,
所以0<α+β<π,-<α-β<0,所以cos(α+β)≠1,cos(α-β)=,则α-β=-,所以β-α=.
显然α+β>,故选D.
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课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.cos 20°=( )
A.cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10°
B.cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°
C.sin 30°cos 10°-sin 10°cos 30°
D.cos 30°cos 10°-sin 30°cos 10°
解析:cos 20°=cos(30°-10°)=cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°.
√
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2.cos 80°cos 35°+cos 10°cos 55°的值等于 ( )
A. B.- C. D.-
解析:cos 80°cos 35°+cos 10°cos 55°
=cos 80°cos 35°+cos(90°-80°)cos(90°-35°)
=cos 80°cos 35°+sin 80°sin 35°=cos(80°-35°)
=cos 45°=.
√
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3.已知cos α=-,α∈,sin β=-,β是第四象限角,则cos(β-α)的值是( )
A.- B.
C.- D.-
解析:由条件可得sin α=,cos β=,则cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α=
×+×=-.
√
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4.(多选)若α,β为两个锐角,则 ( )
A.cos(α+β)>cos α+cos β
B.cos(α+β)C.cos(α-β)>cos αcos β
D.cos(α-β)√
√
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解析:cos(α+β)-(cos α+cos β)
=cos αcos β-sin αsin β-cos α-cos β
=cos α(cos β-1)-sin αsin β-cos β.
因为α,β是锐角,所以cos β-1<0,cos α(cos β-1)<0,-sin αsin β<0,-cos β<0.
所以cos(α+β)因为cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,α,β均为锐角,所以cos αcos β>0,sin α
sin β>0.所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β>cos αcos β,同理cos(α-β)>
sin αsin β,故C正确,D错误.
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5.若cos(α-β)=,cos 2α=,其中α,β均为锐角,且α<β,则α+β=( )
A. B. C. D.
解析:由题意知sin(α-β)=-,sin 2α=(0<2α<π),
∴cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β)=×+
×=-.∵α+β∈(0,π),∴α+β=.
√
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6.若α∈[0,2π],sinsin+coscos=0,则α的值是 .
解析:因为α∈[0,2π],sinsin+coscos=cos α=0,所以α=或α=.
或
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7.= .
解析:===.
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8.在△ABC中,已知cos A=,sin B=,则cos C等于 .
解析:在△ABC中,因为cos A=,所以sin A=.因为sin B=,所以cos B=或
cos B=-.因为在△ABC中,sin A=>sin B=,所以A>B.所以角B为锐角.
所以cos B=.又A+B+C=π,所以cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=
-(cos Acos B-sin Asin B)=-=.
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9.(10分)已知cos α-cos β=,sin α-sin β=-,求cos(α-β).
解:由cos α-cos β=两边平方,得(cos α-cos β)2=cos2α+cos2β-2cos αcos β=.①
由sin α-sin β=-两边平方,得(sin α-sin β)2=sin2α+sin2β-2sin αsin β=.②
由①+②,得2-2(cos αcos β+sin αsin β)=.
∴cos αcos β+sin αsin β=,即cos(α-β)=.
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10.(10分)已知函数f(x)=2sin,x∈R.
(1)求f的值;
解:f=2sin=2sin =2×=.
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(2)设α,β∈,f=,f(3β+2π)=,求cos(α+β)的值.
解:因为f=,
所以2sin=,
所以sin α=,又因为f(3β+2π)=,
所以2sin=,所以cos β=,
因为α,β∈,所以cos α=,sin β=,
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=.
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B级——重点培优
11.(多选)已知cos(α+β)=-,cos 2α=-,其中α,β为锐角,则以下命题正确的是( )
A.sin 2α= B.cos=-
C.cos αcos β= D.tan αtan β=
√
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解析:因为 cos(α+β)=-,cos 2α=-(α,β为锐角),所以 sin(α+β)=,sin 2α=
=,故A正确.
cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=×+
×=, 故B错误.
由 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-,
得cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]==,sin αsin β=[cos(α-β)-cos(α+β)]==.所以tan αtan β=3.故C正确,D错误.故选AC.
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12.已知△ABC中,sin(A+B)=,cos B=-,则sin B= ,cos A= .
解析:在△ABC中,因为cos B=-<0,
所以B为钝角,则sin B=.所以A+B∈.
由sin(A+B)=,得cos(A+B)=-.
所以cos A=cos[(A+B)-B]=cos(A+B)cos B+sin(A+B)sin B=-×+
×=.
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13.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于x轴对称,若sin α=-,则cos(α-β)= .
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解析:因为sin α=-,所以α的终边在第三或第四象限.
当α的终边在第三象限时,β的终边在第二象限,
且cos α=-,sin β=,cos β=-,
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=.
当α的终边在第四象限时,β的终边在第一象限,
且cos α=,sin β=,cos β=,
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=.
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14.(10分)在一个圆形波浪实验水池中有三个振动器,在t时刻,它们引发水面波动,振幅分别用cos t,cos和cos表示.如果其中两个振动器同时启动,则水面波动由对应振幅之和表示.现在某一时刻这三个振动器同时开始工作,
则原来平静的水面会呈现怎样的状态,试说明理由.
解:由题意得cos t+cos+cos
=cos t+coscos t+sinsin t+coscos t-sinsin t=cos t-cos t-cos t=0,
即三个振动源产生的振动被相互抵消,所以原本平静的水面仍保持平静.
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15.(12分)已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(0<α<β<π).
(1)求证:a+b与a-b互相垂直;
解:证明:∵a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),
∴|a|2=cos2α+sin2α=1,|b|2=cos2β+sin2β=1.
∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0.
∴(a+b)⊥(a-b).
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(2)若ka+b与a-kb的模相等(其中k为非零实数),求β-α的值.
解:∵ka+b=(kcos α,ksin α)+(cos β,sin β)=(kcos α+cos β,ksin α+sin β),
∴|ka+b|2=(kcos α+cos β)2+(ksin α+sin β)2=k2cos2α+2kcos αcos β+cos2β+
k2sin2α+2ksin αsin β+sin2β=k2+2kcos(α-β)+1.
同理可求|a-kb|2=k2-2kcos(α-β)+1.
又∵|ka+b|=|a-kb|,∴|ka+b|2=|a-kb|2.
∴2kcos(α-β)=-2kcos(α-β).
∵k≠0,∴cos(α-β)=0.
∴cos(β-α)=0.
又∵0<α<β<π,∴0<β-α<π.∴β-α=.课时跟踪检测(十四) 两角和与差的余弦
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.cos 20°= ( )
A.cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10°
B.cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°
C.sin 30°cos 10°-sin 10°cos 30°
D.cos 30°cos 10°-sin 30°cos 10°
2.cos 80°cos 35°+cos 10°cos 55°的值等于 ( )
A. B.-
C. D.-
3.已知cos α=-,α∈,sin β=-,β是第四象限角,则cos(β-α)的值是 ( )
A.- B.
C.- D.-
4.(多选)若α,β为两个锐角,则 ( )
A.cos(α+β)>cos α+cos β
B.cos(α+β)C.cos(α-β)>cos αcos β
D.cos(α-β)5.若cos(α-β)=,cos 2α=,其中α,β均为锐角,且α<β,则α+β= ( )
A. B.
C. D.
6.若α∈[0,2π],sinsin+coscos=0,则α的值是 .
7.= .
8.在△ABC中,已知cos A=,sin B=,则cos C等于 .
9.(10分)已知cos α-cos β=,sin α-sin β=-,求cos(α-β).
10.(10分)已知函数f(x)=2sin,x∈R.
(1)求f的值;
(2)设α,β∈,f=,f(3β+2π)=,求cos(α+β)的值.
B级——重点培优
11.(多选)已知cos(α+β)=-,cos 2α=-,其中α,β为锐角,则以下命题正确的是 ( )
A.sin 2α= B.cos=-
C.cos αcos β= D.tan αtan β=
12.已知△ABC中,sin(A+B)=,cos B=-,则sin B= ,cos A= .
13.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于x轴对称,若sin α=-,
则cos(α-β)= .
14.(10分)在一个圆形波浪实验水池中有三个振动器,在t时刻,它们引发水面波动,振幅分别用cos t,
cos和cos表示.如果其中两个振动器同时启动,则水面波动由对应振幅之和表示.
现在某一时刻这三个振动器同时开始工作,则原来平静的水面会呈现怎样的状态,试说明理由.
15.(12分)已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(0<α<β<π).
(1)求证:a+b与a-b互相垂直;
(2)若ka+b与a-kb的模相等(其中k为非零实数),求β-α的值.
课时跟踪检测(十四)
1．选B cos 20°＝cos(30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°.
2．选A cos 80°cos 35°＋cos 10°cos 55°＝cos 80°cos 35°＋cos(90°－80°)cos(90°－35°)＝cos 80°cos 35°＋sin 80°sin 35°＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝.
3．选C 由条件可得sin α＝，cos β＝，则cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝×＋×＝－.
4．选BC cos(α＋β)－(cos α＋cos β)
＝cos αcos β－sin αsin β－cos α－cos β
＝cos α(cos β－1)－sin αsin β－cos β.
因为α，β是锐角，所以cos β－1<0，
cos α(cos β－1)<0，－sin αsin β<0，－cos β<0.
所以cos(α＋β)0，sin αsin β>0.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β>cos αcos β，同理cos(α－β)>sin αsin β，故C正确，D错误．
5．选C 由题意知sin(α－β)＝－，sin 2α＝(0<2α<π)，∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2α·cos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝×＋×＝－.∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
6．解析：因为α∈[0,2π]，sin sin ＋cos cos ＝cos α＝0，所以α＝或α＝.
答案：或
7．解析：
＝
＝＝.
答案：
8．解析：在△ABC中，因为cos A＝，所以sin A＝.因为sin B＝，所以cos B＝或cos B＝－.因为在△ABC中，sin A＝>sin B＝，所以A>B.所以角B为锐角．所以cos B＝.又A＋B＋C＝π，所以cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－(cos Acos B－sin Asin B)＝－＝.
答案：
9．解：由cos α－cos β＝两边平方，得(cos α－cos β)2＝cos2α＋cos2β－2cos αcos β＝.①
由sin α－sin β＝－两边平方，得(sin α－sin β)2＝sin2α＋sin2β－2sin αsin β＝.②
由①＋②，得2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝.∴cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos(α－β)＝.
10．解：(1)f＝2sin＝2sin ＝2×＝.
(2)因为f ＝，
所以2sin＝，
所以sin α＝，又因为f(3β＋2π)＝，
所以2sin＝，
所以cos β＝，因为α，β∈，所以cos α＝，sin β＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
11．选AC 因为 cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－(α，β为锐角)，所以 sin(α＋β)＝，sin 2α＝＝，故A正确．cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝×＋×＝， 故B错误．由 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－，得cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝＝，sin αsin β＝[cos(α－β)－cos(α＋β)]＝＝.
所以tan αtan β＝3.故C正确，D错误．故选AC.
12．解析：在△ABC中，因为cos B＝－<0，所以B为钝角，则sin B＝.所以A＋B∈.由sin(A＋B)＝，得cos(A＋B)＝－.所以cos A＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B＝－×＋×＝.
答案：
13．解析：因为sin α＝－，所以α的终边在第三或第四象限．当α的终边在第三象限时，β的终边在第二象限，且cos α＝－，sin β＝，cos β＝－，所以cos(α－β)＝
cos αcos β＋sin αsin β＝.当α的终边在第四象限时，β的终边在第一象限，且cos α＝，
sin β＝，cos β＝，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝.
答案：
14．解：由题意得cos t＋cos＋cos＝cos t＋cos cos t＋sin sin t＋cos cos t－sin sin t＝cos t－cos t－cos t＝0，即三个振动源产生的振动被相互抵消，所以原本平静的水面仍保持平静．
15．解：(1)证明：∵a＝(cos α，sin α)，
b＝(cos β，sin β)，
∴|a|2＝cos2α＋sin2α＝1，|b|2＝cos2β＋sin2β＝1.
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝0.
∴(a＋b)⊥(a－b)．
(2)∵ka＋b＝(kcos α，ksin α)＋(cos β，sin β)＝(kcos α＋cos β，ksin α＋sin β)，
∴|ka＋b|2＝(kcos α＋cos β)2＋(ksin α＋sin β)2＝k2cos2α＋2kcos αcos β＋cos2β＋k2sin2α＋2ksin αsin β＋sin2β＝k2＋2kcos(α－β)＋1.同理可求|a－kb|2＝k2－2kcos(α－β)＋1.又∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴|ka＋b|2＝|a－kb|2.
∴2kcos(α－β)＝－2kcos(α－β)．
∵k≠0，∴cos(α－β)＝0.
∴cos(β－α)＝0.又∵0<α<β<π，∴0<β－α<π.∴β－α＝.
