10.1.3 两角和与差的正切(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.
3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.
两角和与差的正切公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和 的正切 公式 T(α+β) tan(α+β)= ________________ α,β,α+β≠kπ+(k∈Z) 且tan α·tan β≠1
两角差 的正切 公式 T(α-β) tan(α-β)=________________ α,β,α-β≠kπ+(k∈Z)且tan α·tan β≠-1
|微|点|助|解|
(1)结构特征:公式T(α±β)的右侧为分式形式,其中分子为tan α与tan β的和或差,分母为1与tan αtan β的差或和.
(2)符号规律:分子同,分母反.
(3)T(α±β)可变形为如下形式:
①tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β)或②1 tan αtan β=.当α±β为特殊角时,常考虑使用变形①,遇到1与切的乘积的和(或差)时常用变形②.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)两角和与差的正切公式对tan是适用的. ( )
(2)tan α+tan β=tan(α+β)(1+tan α·tan β). ( )
(3)1+tan α·tan β=. ( )
2.若tan α=3,tan β=,则tan(α-β)等于 ( )
A. B.- C.3 D.-3
3.已知tan α=2,则tan= .
4.= .
题型(一) 两角和与差正切公式的简单应用
[例1] (1)若tan=,则tan α= .
(2)已知α,β均为锐角,tan α=,tan β=,则α+β= .
听课记录:
|思|维|建|模|
利用正切的和差公式解题的两个题型及解题策略
(1)关于求值问题,利用角的代换,将所求角转化为已知角的和与差,再根据公式求解.
(2)关于求角问题,先确定该角的某个三角函数值,再根据角的取值范围确定该角的大小.
[针对训练]
1.(2024·全国甲卷)已知=,则tan= ( )
A.2+1 B.2-1
C. D.1-
2.已知tan α=2,tan β=-,其中0<α<,<β<π.求α+β的值.
题型(二) 两角和与差正切公式的逆用
[例2] 计算:= ( )
A.- B.
C.- D.
听课记录:
|思|维|建|模|
一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换.如tan=1,tan=,tan=等.要特别注意tan=,tan=.
[针对训练]
3.化简求值:.
题型(三) 两角和与差正切公式的变形用
[例3] (1)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°的值是 .
(2)= .
听课记录:
|思|维|建|模|
当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan αtan β”形式时,要把它们看成两个整体,这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关,通过公式能相互转换,二是这两个整体还与根与系数的关系相似,在应用时要注意隐含的条件,能缩小角的范围.
[针对训练]
4.tan 87°tan 33°-tan 87°-tan 33°= ( )
A. B.-
C. D.-
5.若1+tan α+tan β-tan αtan β=0,且α,β∈,则α+β= .
10.1.3 两角和与差的正切
课前预知教材
[基础落实训练]
1.(1)× (2)× (3)×
2.选A 原式===.
3.解析:tan===-3.
答案:-3
4.解析:原式=tan(75°-15°)=tan 60°=.
答案:
课堂题点研究
[例1] 解析:(1)法一 ∵tan===,
∴6tan α-6=1+tan α(tan α≠-1),
∴tan α=.
法二 tan α=tan
===.
(2)∵tan α=,tan β=,
∴tan(α+β)===1.
∵α,β均为锐角,∴α+β∈(0,π).∴α+β=.
答案:(1) (2)
[针对训练]
1.选B 根据题意有=,即1-tan α=,所以tan α=1-,所以tan===2-1,
故选B.
2.解:把tan α=2,tan β=-代入,
得tan(α+β)=
==1.
因为0<α<,<β<π.
所以<α+β<.所以α+β=.
[例2] 选A 原式====-=-=-.故选A.
[针对训练]
3.解:原式=
=tan(45°-15°)=tan 30°=.
[例3] 解析:(1)∵tan 60°=
=,
∴tan 23°+tan 37°=-tan 23°tan 37°.
∴tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=.
(2)∵tan 18°+tan 42°+tan 120°
=tan 60°(1-tan 18°tan 42°)+tan 120°
=-tan 60°tan 18°tan 42°,
∴原式=-1.
答案:(1) (2)-1
[针对训练]
4.选A tan 87°tan 33°-tan 87°-tan 33°=tan 87°tan 33°-tan(87°+33°)(1-tan 87°·tan 33°)=
tan 87°tan 33°+(1-tan 87°·tan 33°)=.故选A.
5.解析:因为1+tan α+tan β-tan αtan β=0,所以tan α+tan β=-(1-tan αtan β),所以tan(α+β)==-1.
又α,β∈,所以π<α+β<2π,故α+β=.
答案:(共48张PPT)
10.1.3
两角和与差的正切
(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.
3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
两角和与差的正切公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和 的正切 公式 T(α+β) tan(α+β)=_______________ α,β,α+β≠kπ+(k∈Z) 且tan α·tan β≠1
两角差 的正切 公式 T(α-β) tan(α-β)= α,β,α-β≠kπ+(k∈Z)且tan α·tan β≠-1
|微|点|助|解|
(1)结构特征:公式T(α±β)的右侧为分式形式,其中分子为tan α与tan β的和或差,分母为1与tan αtan β的差或和.
(2)符号规律:分子同,分母反.
(3)T(α±β)可变形为如下形式:
①tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β)或②1 tan αtan β=.当α±β为特殊角时,常考虑使用变形①,遇到1与切的乘积的和(或差)时常用变形②.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)两角和与差的正切公式对tan是适用的. ( )
(2)tan α+tan β=tan(α+β)(1+tan αtan β). ( )
(3)1+tan αtan β=. ( )
×
×
×
2.若tan α=3,tan β=,则tan(α-β)等于( )
A. B.-
C.3 D.-3
解析:原式===.
√
3.已知tan α=2,则tan= .
解析:tan===-3.
4.= .
解析:原式=tan(75°-15°)=tan 60°=.
-3
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 两角和与差正切公式的简单应用
[例1] (1)若tan=,则tan α= .
解析:法一 ∵tan===,
∴6tan α-6=1+tan α(tan α≠-1),∴tan α=.
法二 tan α=tan
===.
(2)已知α,β均为锐角,tan α=,tan β=,则α+β= .
解析:∵tan α=,tan β=,
∴tan(α+β)===1.
∵α,β均为锐角,∴α+β∈(0,π).∴α+β=.
|思|维|建|模|
利用正切的和差公式解题的两个题型及解题策略
(1)关于求值问题,利用角的代换,将所求角转化为已知角的和与差,再根据公式求解.
(2)关于求角问题,先确定该角的某个三角函数值,再根据角的取值范围确定该角的大小.
针对训练
1.(2024·全国甲卷)已知=,则tan=( )
A.2+1 B.2-1
C. D.1-
√
解析:根据题意有=,
即1-tan α=,所以tan α=1-,
所以tan===2-1,故选B.
2.已知tan α=2,tan β=-,其中0<α<,<β<π.求α+β的值.
解:把tan α=2,tan β=-代入,
得tan(α+β)===1.
因为0<α<,<β<π.
所以<α+β<.
所以α+β=.
题型(二) 两角和与差正切公式的逆用
[例2] 计算:=( )
A.- B.
C.- D.
√
解析:原式=
===-
=-=-.故选A.
|思|维|建|模|
一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换.如tan=1,
tan=,tan=等.要特别注意tan=,tan=.
针对训练
3.化简求值:.
解:原式==tan(45°-15°)
=tan 30°=.
题型(三) 两角和与差正切公式的变形用
[例3] (1)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°的值是 .
解析:∵tan 60°==,
∴tan 23°+tan 37°=-tan 23°tan 37°.
∴tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=.
(2)= .
解析:∵tan 18°+tan 42°+tan 120°=tan 60°(1-tan 18°tan 42°)+
tan 120°=-tan 60°tan 18°tan 42°,
∴原式=-1.
-1
|思|维|建|模|
当化简的式子中出现“tan α±tan β ”与“tan αtan β ”形式时,要把它们看成两个整体,这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关,通过公式能相互转换,二是这两个整体还与根与系数的关系相似,在应用时要注意隐含的条件,能缩小角的范围.
针对训练
4.tan 87°tan 33°-tan 87°-tan 33°=( )
A. B.-
C. D.-
解析:tan 87°tan 33°-tan 87°-tan 33°=tan 87°tan 33°-tan(87°+33°)(1-tan 87°tan 33°)=tan 87°tan 33°+
(1-tan 87°tan 33°)=.故选A.
√
5.若1+tan α+tan β-tan αtan β=0,且α,β∈,则α+β= .
解析:因为1+tan α+tan β-tan αtan β=0,所以tan α+tan β=-(1-tan αtan β),所以tan(α+β)==-1.又α,β∈,所以π<α+β<2π,故α+β=.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.tan 255°等于( )
A.-2- B.-2+
C.2- D.2+
解析:tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=
tan(45°+30°)===2+.
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2.的值等于( )
A.tan 42° B.tan 3°
C.1 D.tan 24°
解析:∵tan 60°=,∴原式==tan(60°-18°)=tan 42°.
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3.已知2tan θ-tan=7,则tan θ=( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
解析:由已知得2tan θ-=7,解得tan θ=2.
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4.(多选)已知tan α=4,tan β=-,则( )
A.tan(-α)tan β=1 B.α为锐角
C.tan= D.tan 2α=tan 2β
解析:∵tan α=4,tan β=-,∴tan(-α)tan β=-tan αtan β=1,故A正确;
∵tan α=4>0,∴α为第一象限角或第三象限角,故B错误;
∵tan β=-,∴tan==,故C正确;
∵tan α=4,tan β=-,∴tan 2α===-,tan 2β==-,故D正确.
√
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5.时钟的分针从刻度12顺时针转到刻度6,相应的时针转过角度为α,则tan α的值为 ( )
A.-2+ B.-+1
C.- D.-
√
解析:时钟的分针从刻度12顺时针转到刻度6,用时小时,而时钟的时针顺时针旋转1小时,转过的角度为-,因此α=-,tan α=tan=
==-2+.
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解析:==
=tan(15°-45°)
=tan(-30°)=-.
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7.若tan 28°·tan 32°=m,则tan 28°+tan 32°= .
解析:∵28°+32°=60°,∴tan 60°=tan(28°+32°)=
=.∴tan 28°+tan 32°=(1-m).
(1-m)
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8.已知tan(α+β)=7,tan α=,且β∈(0,π),则β的值为 .
解析:由已知得tan β=tan[(α+β)-α]===1,
∵β∈(0,π),∴β=.
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9.(10分)已知tan=2,tan β=,
(1)求tan α的值;
解:∵tan=2,∴=2.
∴=2.解得tan α=.
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(2)求的值.
解:原式=
===tan(β-α)===.
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10.(10分)(1)已知α,β为锐角,cos α=,tan(α-β)=-,求cos β的值;
解:∵0<α<,cos α=,∴sin α==.∴tan α==.
∵tan(α-β)===-,解得tan β=.∴tan β==,
sin β=cos β.又sin2β+cos2β=1,代入得cos2β=.∵β为锐角,∴cos β=.
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(2)已知tan α=1,3sin β=sin(2α+β),求tan(α+β)的值.
解:∵sin(2α+β)=3sin β,∴sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α],即sin(α+β)cos α+
cos(α+β)sin α=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α,整理得2sin(α+β)cos α=
4cos(α+β)sin α,即=.
∵tan α=1,∴tan(α+β)=2tan α=2.
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B级——重点培优
11.已知tan 110°=a,求tan 50°的值(用a表示),王老师得到的结果是,叶老师得到的结果是,对此你的判断是( )
A.王老师对、叶老师错 B.两人都对
C.叶老师对、王老师错 D.两人都错
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解析:∵tan 50°=tan(110°-60°)=,所以王老师正确.∵tan 110°=
tan(90°+20°)==-=a,∴tan 50°===,所以叶老师正确.
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12.《九章算术》是我国古代著名数学经典,其对勾股定理的论述比西方早一千多年.其中有这样一个问题:“今有勾三步,股四步,间勾中容方几何 ”其意思为今有直角三角形ABC,勾AC(短直角边)长3步,股BC(长直角边)长为4步,问该直角三角形能
容纳的正方形CDEF(D,E,F分别在边CB,BA,AC上)边长为多少 在求得正方形CDEF的边长后,可进一步求得∠BAD的正切值为 .
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解析:设正方形的边长为x,则DE=EF=CD=x,BD=4-x.
由△BDE∽△BCA,可得=,即=,解得x=.因为tan∠BAC==,
tan∠DAC==,所以tan∠BAD
=tan(∠BAC-∠DAC)==.
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13.(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,
tan αtan β=+1,则sin(α+β)= .
解析:由题意得tan(α+β)===-2,因为α∈,
β∈,k,m∈Z,
则α+β∈((2m+2k)π+π,(2m+2k)π+2π),k,m∈Z,又因为tan(α+β)=-2<0,
则α+β∈,k,m∈Z,则sin(α+β)<0,
则=-2,
联立sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,
解得sin(α+β)=-.
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14.(10分)已知tan α=-2,tan(-β)=(tan αtan β-3),且α,β都是钝角,
求α+β的值.
解:因为tan(-β)=(tan αtan β-3),
所以-tan β=tan αtan β-3.
因为tan α=-2,所以-tan β=tan αtan β-+tan α,
即(1-tan αtan β)=tan α+tan β,
即=.
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因为tan(α+β)=,
所以tan(α+β)=.因为α,β都是钝角,
即α∈,β∈,所以α+β∈(π,2π),
则α+β=.
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15.(12分)是否存在锐角α,β,使得下列两个式子①tan(α+2β)=-,
②tantan β=2-同时成立 若存在,求出α,β的一个值;若不存在,
请说明理由.
解:存在,α=,β=.理由如下:
由①tan(α+2β)=-,
∵α,β为锐角,则0<α+2β<,
∴α+2β=.∴+β=.
∴tan==.
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将②代入上式得tan+tan β=3-.
因此tan,tan β是方程x2-(3-)x+2-=0的两根.由x2-(3-)x+2-=0,
即[x-(2-)](x-1)=0,
解得x1=1,x2=2-.当tan =1时,
∵0<α<,∴0<<,
此时α不存在.故tan=2-,tan β=1.
∴tan α==.
∵α,β均为锐角,∴α=,β=.课时跟踪检测(十七) 两角和与差的正切
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.tan 255°等于 ( )
A.-2- B.-2+
C.2- D.2+
2.的值等于 ( )
A.tan 42° B.tan 3°
C.1 D.tan 24°
3.已知2tan θ-tan=7,则tan θ= ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
4.(多选)已知tan α=4,tan β=-,则 ( )
A.tan(-α)tan β=1 B.α为锐角
C.tan= D.tan 2α=tan 2β
5.时钟的分针从刻度12顺时针转到刻度6,相应的时针转过角度为α,则tan α的值为 ( )
A.-2+ B.-+1
C.- D.-
6.= .
7.若tan 28°·tan 32°=m,则tan 28°+tan 32°= .
8.已知tan(α+β)=7,tan α=,且β∈(0,π),则β的值为 .
9.(10分)已知tan=2,tan β=,
(1)求tan α的值;
(2)求的值.
10.(10分)(1)已知α,β为锐角,cos α=,tan(α-β)=-,求cos β的值;
(2)已知tan α=1,3sin β=sin(2α+β),求tan(α+β)的值.
B级——重点培优
11.已知tan 110°=a,求tan 50°的值(用a表示),王老师得到的结果是,叶老师得到的结果是,对此你的判断是 ( )
A.王老师对、叶老师错 B.两人都对
C.叶老师对、王老师错 D.两人都错
12.《九章算术》是我国古代著名数学经典,其对勾股定理的论述比西方早一千多年.其中有这样一个问题:“今有勾三步,股四步,间勾中容方几何 ”其意思为今有直角三角形ABC,勾AC(短直角边)长3步,股BC(长直角边)长为4步,问该直角三角形能容纳的正方形CDEF(D,E,F分别在边CB,BA,AC上)边长为多少 在求得正方形CDEF的边长后,可进一步求得∠BAD的正切值为 .
13.(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,
则sin(α+β)= .
14.(10分)已知tan α=-2,tan(-β)=(tan αtan β-3),且α,β都是钝角,求α+β的值.
15.(12分)是否存在锐角α,β,使得下列两个式子①tan(α+2β)=-,②tantan β=2-同时成立 若存在,求出α,β的一个值;若不存在,请说明理由.
课时跟踪检测(十七)
1．选D tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.
2．选A ∵tan 60°＝，∴原式＝＝tan(60°－18°)＝tan 42°.
3．选D 由已知得2tan θ－＝7，解得tan θ＝2.
4．选ACD ∵tan α＝4，tan β＝－，∴tan(－α)tan β＝－tan αtan β＝1，故A正确；∵tan α＝4>0，∴α为第一象限角或第三象限角，故B错误；∵tan β＝－，∴tan＝＝，故C正确；∵tan α＝4，tan β＝－，∴tan 2α＝＝＝－，tan 2β＝＝－，故D正确．
5．选A 时钟的分针从刻度12顺时针转到刻度6，用时小时，而时钟的时针顺时针旋转1小时，转过的角度为－，因此α＝－，tan α＝tan＝＝＝－2＋.
6．解析：＝＝
＝tan(15°－45°)
＝tan(－30°)＝－.
答案：－
7．解析：∵28°＋32°＝60°，∴tan 60°＝tan(28°＋32°)＝＝.∴tan 28°＋tan 32°＝(1－m)．
答案：(1－m)
8．解析：由已知得tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝1，∵β∈(0，π)，∴β＝.
答案：
9．解：(1)∵tan＝2，∴＝2.
∴＝2.解得tan α＝.
(2)原式＝
＝＝＝tan(β－α)＝＝＝.
10．解：(1)∵0＜α＜，cos α＝，∴sin α＝＝.∴tan α＝＝.
∵tan(α－β)＝＝＝－，解得tan β＝.∴tan β＝＝，sin β＝cos β.又sin2β＋cos2β＝1，代入得cos2β＝.∵β为锐角，∴cos β＝.
(2)∵sin(2α＋β)＝3sin β，∴sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)·sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，整理得2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α，即＝.
∵tan α＝1，∴tan(α＋β)＝2tan α＝2.
11．选B ∵tan 50°＝tan(110°－60°)＝，所以王老师正确．∵tan 110°＝tan(90°＋20°)＝＝－＝a，∴tan 50°＝＝＝，所以叶老师正确．
12．解析：设正方形的边长为x，则DE＝EF＝CD＝x，BD＝4－x.由△BDE∽△BCA，可得＝，即＝，解得x＝.因为tan∠BAC＝＝，tan∠DAC＝＝，所以tan∠BAD＝tan(∠BAC－∠DAC)＝＝.
答案：
13．解析：由题意得tan(α＋β)＝＝＝－2，因为α∈，β∈，k，m∈Z，则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，又因为tan(α＋β)＝－2＜0，则α＋β∈((2m＋2k)π＋，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，则sin(α＋β)＜0，则＝－2，联立sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，解得sin(α＋β)＝－.
答案：－
14．解：因为tan(－β)＝(tan αtan β－3)，
所以－tan β＝tan αtan β－3.
因为tan α＝－2，所以－tan β＝tan αtan β－＋tan α，即(1－tan αtan β)＝tan α＋tan β，即＝.
因为tan(α＋β)＝，
所以tan(α＋β)＝.因为α，β都是钝角，
即α∈，β∈，
所以α＋β∈(π，2π)，则α＋β＝.
15．解：存在，α＝，β＝.理由如下：
由①tan(α＋2β)＝－，
∵α，β为锐角，则0<α＋2β<，
∴α＋2β＝.∴＋β＝.
∴tan＝＝.
将②代入上式得tan ＋tan β＝3－.
因此tan ，tan β是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根．
由x2－(3－)x＋2－＝0，
即[x－(2－)](x－1)＝0，
解得x1＝1，x2＝2－.当tan ＝1时，
∵0<α<，∴0<<，
此时α不存在．故tan ＝2－，tan β＝1.
∴tan α＝＝.
∵α，β均为锐角，∴α＝，β＝.
