10.2 二倍角的三角函数 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用.
二倍角公式
三角函数 公式 简记
正弦 sin 2α= S2α
余弦 cos 2α=cos2α-sin2α= = C2α
正切 tan 2α= T2α
|微|点|助|解|
(1)二倍角的“广义理解”:二倍角是相对的,如4α是2α的二倍角,α是的二倍角等,“倍”是描述两个数量之间关系的,这里蕴含着换元思想.
(2)由任意角的三角函数的定义可知,S2α,C2α中的角α是任意的,但要使T2α有意义,需要α≠+(k∈Z).
(3)一般情况下,sin 2α≠2sin α,cos 2α≠2cos α,tan 2α≠2tan α.
(4)二倍角的常用变形形式:
①1+cos 2α=2cos2α;②cos2α=;③1-cos 2α=2sin2α;④sin2α=.
基础落实训练
1.已知sin α=,cos α=,则sin 2α= .
2.已知cos α=,则cos 2α= .
3.cos245°-sin245°= .
4.已知tan α=,则tan 2α= .
题型(一) 给角求值
[例1] 求下列各式的值.
(1)sincos ;(2)1-2sin2750°;
(3);(4)-.
听课记录:
|思|维|建|模|
给角求值的解题策略
(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦.
[针对训练]
1.求下列各式的值.
(1);
(2)coscoscos;
(3)-.
题型(二) 给值求值
[例2] (1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)= ( )
A. B.
C.- D.-
(2)已知sin=,0听课记录:
|思|维|建|模|
1.条件求值问题常有两种解题途径
(1)对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢;
(2)对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.
2.注意几种公式的灵活应用
(1)sin 2x=cos=cos
=2cos2-1=1-2sin2.
(2)cos 2x=sin=sin
=2sincos.
[针对训练]
2.若sin=,则cos的值为 ( )
A.- B.-
C. D.
3.若tan α=2,则的值是 ( )
A. B.
C. D.-
题型(三) 利用二倍角公式化简与证明
[例3] (1)化简:;
(2)求证:=tan4A.
听课记录:
|思|维|建|模|
三角函数式的化简方法
三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,正确使用公式;二看函数名称之间的差异,确定使用的公式,常见的有“切化弦”“弦化切”;三看结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等.
[针对训练]
4.化简:(1);
(2).
10.2 二倍角的三角函数
课前预知教材
2sin αcos α 2cos2α-1 1-2sin2α
[基础落实训练]
1.解析:sin 2α=2sin αcos α=2××=.
答案:
2.解析:cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-.
答案:-
3.解析:cos245°-sin245°=cos 90°=0.
答案:0
4.解析:tan 2α==-.
答案:-
课堂题点研究
[例1] 解:(1)原式===.
(2)原式=cos(2×750°)=cos 1 500°
=cos(4×360°+60°)=cos 60°=.
(3)原式=tan(2×150°)=tan 300°=tan(360°-60°)=-tan 60°=-.
(4)原式=
=
=
==4.
[针对训练]
1.解:(1)原式=×
=×tan 45°=.
(2)coscoscos
=-coscoscos
=-
=-
=-=-=.
(3)-
=====2.
[例2] 解析:(1)因为
所以sin αcos β=.
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=+=.
所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)
=1-2×=,故选B.
(2)因为0又sin=,所以cos=.
又cos 2x=sin
=2sincos
=2××=,
cos=sin
=sin=,
所以原式==.
答案:(1)B (2)
[针对训练]
2.选B cos=-cos=-cos=-=2sin2-1=-.
3.选A 原式=
===.
[例3] 解:(1)
=
=·
=sin x·=tan x.
(2)证明:因为左边
=
===(tan2A)2
=tan4A=右边,
所以=tan4A.
[针对训练]
4.解:(1)原式
=
=
===cos 2x.
(2)
=
=·
=·=.(共46张PPT)
10.2
二倍角的三角函数
(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
二倍角公式
三角函数 公式 简记
正弦 sin 2α=____________ S2α
余弦 cos 2α=cos2α-sin2α=__________=__________ C2α
正切 tan 2α= T2α
2sin αcos α
2cos2α-1
1-2sin2α
|微|点|助|解|
(1)二倍角的“广义理解”:二倍角是相对的,如4α是2α的二倍角,α是的二倍角等,“倍”是描述两个数量之间关系的,这里蕴含着换元思想.
(2)由任意角的三角函数的定义可知,S2α,C2α中的角α是任意的,但要使T2α有意义,需要α≠+(k∈Z).
(3)一般情况下,sin 2α≠2sin α,cos 2α≠2cos α,tan 2α≠2tan α.
(4)二倍角的常用变形形式:
①1+cos 2α=2cos2α;②cos2α=;③1-cos 2α=2sin2α;④sin2α=.
基础落实训练
1.已知sin α=,cos α=,则sin 2α= .
解析:sin 2α=2sin αcos α=2××=.
2.已知cos α=,则cos 2α= .
解析:cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-.
-
3.cos245°-sin245°= .
解析:cos245°-sin245°=cos 90°=0.
4.已知tan α=,则tan 2α= .
解析:tan 2α==-.
0
-
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 给角求值
[例1] 求下列各式的值.
(1)sincos;
解:原式===.
(2)1-2sin2750°;
解:原式=cos(2×750°)=cos 1 500°
=cos(4×360°+60°)=cos 60°=.
(3);
解:原式=tan(2×150°)=tan 300°=tan(360°-60°)=-tan 60°=-.
(4)-.
解:原式=
=
=
==4.
|思|维|建|模|
给角求值的解题策略
(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦.
针对训练
1.求下列各式的值.
(1);
解:原式=×=×tan 45°=.
(2)coscoscos;
解:coscoscos
=-coscoscos
=-
=-
=-=-=.
(3)-.
解:-=====2.
题型(二) 给值求值
[例2] (1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,
则cos(2α+2β)=( )
A. B.
C.- D.-
√
解析:因为
所以sin αcos β=.
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=+=.
所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)
=1-2×=,故选B.
(2)已知sin=,0解析:因为0又sin=,所以cos=.
又cos 2x=sin=2sincos
=2××=,
cos=sin
=sin=,所以原式==.
|思|维|建|模|
1.条件求值问题常有两种解题途径
(1)对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢;
(2)对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.
2.注意几种公式的灵活应用
(1)sin 2x=cos=cos
=2cos2-1=1-2sin2.
(2)cos 2x=sin=sin
=2sincos.
针对训练
2.若sin=,则cos的值为( )
A.- B.-
C. D.
解析:cos=-cos=-cos=
-=2sin2-1=-.
√
3.若tan α=2,则的值是( )
A. B.
C. D.-
解析:原式=
=
==.
√
题型(三) 利用二倍角公式化简与证明
[例3] (1)化简:;
解:
=
=·
=sin x·=tan x.
(2)求证:=tan4A.
证明:因为左边=
===(tan2A)2
=tan4A=右边,
所以=tan4A.
|思|维|建|模|
三角函数式的化简方法
三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,正确使用公式;二看函数名称之间的差异,确定使用的公式,常见的有“切化弦”“弦化切”;三看结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等.
针对训练
4.化简:(1);
解:原式=
==
==cos 2x.
(2).
解:
=
=·
=·=.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.(多选)下列各式的值为1的是( )
A.4sin 15°cos 15° B.cos215°-sin215°
C.+2sin215° D.sin22 020+cos22 020
解析:4sin 15°cos 15°=2sin 30°=1,A正确;
cos215°-sin215°=cos 30°=,B错误;
+2sin215°=+1-cos 30°=+1-=1,C正确;
sin22 020+cos22 020=1,D正确.故选ACD.
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2.已知tan α=,则=( )
A.5 B.-5 C. D.-
解析:====
=5,故选A.
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3.(2024·上海高考)下列函数中,最小正周期是2π的是 ( )
A.y=sin x+cos x B.y=sin xcos x
C.y=sin2x+cos2x D.y=sin2x-cos2x
解析:y=sin x+cos x=sin,其最小正周期为2π,A正确;
y=sin xcos x=sin 2x,其最小正周期为π,B错误;
y=sin2x+cos2x=1,不存在最小正周期,C错误;
y=sin2x-cos2x=-cos 2x,其最小正周期为π,D错误.故选A.
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4.sin xcos x+sin2x可化为 ( )
A.sin+ B.sin-
C.sin+ D.2sin+1
解析:原式=sin 2x+=sin 2x-cos 2x+=
+=sin+.故选A.
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5.已知函数f(x)=1-2sin2,则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)是偶函数
B.函数f(x)的最小正周期为2π
C.函数f(x)的图象关于x=-对称
D.f(1)>f(2)
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解析:f(x)=1-2sin2=cos=-sin 2x,f(-x)=-sin(-2x)=
sin 2x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,A错误;
函数f(x)的最小正周期为=π,B错误;
f=-sin=1为函数的最大值,C正确;
f(1)=-sin 2<0,f(2)=-sin 4>0,所以f(1)1
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6.已知sin 2α=,则cos2= .
解析:cos2=
=(1-sin 2α)=.
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7.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°= .
解析:原式=sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
=
===.
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8.已知tan x=2,则tan= .
解析:∵tan x=2,∴tan 2x==-,tan=tan
===-=.
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9.(10分)已知角α在第一象限且cos α=,求的值.
解:∵cos α=且α在第一象限,∴sin α=.
∴cos 2α=cos2α-sin2α=-,
sin 2α=2sin αcos α=.
∴原式=
==.
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10.(10分)在△ABC中,求证:
(1)sin2A+sin2B-sin2C=2sin Asin Bcos C;
证明:(1)左边=sin2A+-=sin2A+(cos 2C-cos 2B)
=sin2(B+C)+sin(B+C)sin(B-C)
=sin(B+C)[sin(B+C)+sin(B-C)]
=sin(B+C)·2sin Bcos C=2sin Asin Bcos C=右边,
∴原等式成立.
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(2)sin A+sin B-sin C=4sinsincos.
证明:左边=sin(B+C)+2sincos
=2sincos+2sincos
=2cos
=4sinsincos=右边,
∴原等式成立.
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B级——重点培优
11.已知等腰三角形底角的余弦值为,则顶角的正弦值是( )
A. B. C.- D.-
解析:令底角为α,顶角为β,则β=π-2α.
∵cos α=,0<α<π,∴sin α=.
∴sin β=sin(π-2α)=sin 2α=2sin αcos α
=2××=.
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12.黄金分割比是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值约为0.618,这一比值也可以表示为a=2cos 72°,则=( )
A.2 B.1
C. D.
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解析:∵a=2cos 72°,∴a2=4cos272°.
∴4-a2=4-4cos272°=4sin272°.
∴=2sin 72°.
∴a=2cos 72°·2sin 72°=2sin 144°=2sin 36°.
∴===.
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13.设α为锐角,若cos=,则sin的值为 .
解析:∵α为锐角且cos=>0,
∴α+∈.∴sin=.
∴sin=sin
=sincos-cossin
=sincos-
=××-=-=.
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14.(10分)求值:.
解:∵sin 50°(1+tan 10°)
=sin 50°·
=sin 50°·===1,
cos 80°=sin 10°=sin210°,
∴==.
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15.(12分)已知f(x)=sin xcos x-3cos2x+.
(1)求f(x)的周期及对称轴;
解:f(x)=sin 2x-
=sin 2x-cos 2x=sin,
则f(x)的周期T==π.
由2x-=+kπ,k∈Z,得f(x)的对称轴为x=+,k∈Z.
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(2)若x∈,求f(x)的单调区间及最值.
解:当x∈时,-≤2x-≤.
由-≤2x-≤,得0≤x≤,所以f(x)的单调递增区间为;
由≤2x-≤,得≤x≤,所以f(x)的单调递减区间为.
当2x-=,即x=时,f(x)取最大值;
当2x-=-,即x=0时,f(x)取最小值-.课时跟踪检测(十八) 二倍角的三角函数
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.(多选)下列各式的值为1的是 ( )
A.4sin 15°cos 15° B.cos215°-sin215°
C.+2sin215° D.sin22 020+cos22 020
2.已知tan α=,则= ( )
A.5 B.-5
C. D.-
3.(2024·上海高考)下列函数中,最小正周期是2π的是 ( )
A.y=sin x+cos x B.y=sin xcos x
C.y=sin2x+cos2x D.y=sin2x-cos2x
4.sin xcos x+sin2x可化为 ( )
A.sin+ B.sin-
C.sin+ D.2sin+1
5.已知函数f(x)=1-2sin2,则下列结论正确的是 ( )
A.函数f(x)是偶函数
B.函数f(x)的最小正周期为2π
C.函数f(x)的图象关于x=-对称
D.f(1)>f(2)
6.已知sin 2α=,则cos2= .
7.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°= .
8.已知tan x=2,则tan= .
9.(10分)已知角α在第一象限且cos α=,求
的值.
10.(10分)在△ABC中,求证:
(1)sin2A+sin2B-sin2C=2sin Asin Bcos C;
(2)sin A+sin B-sin C=4sinsincos.
B级——重点培优
11.已知等腰三角形底角的余弦值为,则顶角的正弦值是 ( )
A. B.
C.- D.-
12.黄金分割比是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值约为0.618,这一比值也可以表示为a=2cos 72°,则= ( )
A.2 B.1
C. D.
13.设α为锐角,若cos=,则sin的值为 .
14.(10分)求值:.
15.(12分)已知f(x)=sin xcos x-3cos2x+.
(1)求f(x)的周期及对称轴;
(2)若x∈,求f(x)的单调区间及最值.
课时跟踪检测(十八)
1．选ACD 4sin 15°cos 15°＝2sin 30°＝1，A正确；cos215°－sin215°＝cos 30°＝，B错误；＋2sin215°＝＋1－cos 30°＝＋1－＝1，C正确；sin22 020＋cos22 020＝1，D正确．故选ACD.
2．选A ＝
＝
＝＝＝5，故选A.
3．选A y＝sin x＋cos x＝sin，其最小正周期为2π，A正确；y＝sin xcos x＝sin 2x，其最小正周期为π，B错误；y＝sin2x＋cos2x＝1，不存在最小正周期，C错误；y＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，其最小正周期为π，D错误．故选A.
4．选A 原式＝sin 2x＋＝sin 2x－cos 2x＋＝＋＝sin＋.故选A.
5．选C f(x)＝1－2sin2＝cos＝－sin 2x，f(－x)＝－sin(－2x)＝sin 2x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，A错误；函数f(x)的最小正周期为＝π，B错误；f＝－sin＝1为函数的最大值，C正确；f(1)＝－sin 2<0，f(2)＝－sin 4>0，所以f(1)6．解析：cos2＝＝(1－sin 2α)＝.
答案：
7．解析：原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
＝
＝＝＝.
答案：
8．解析：∵tan x＝2，∴tan 2x＝＝－，tan＝tan＝＝＝－＝.
答案：
9．解：∵cos α＝且α在第一象限，∴sin α＝.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，
sin 2α＝2sin αcos α＝.
∴原式＝
＝＝.
10．证明：(1)左边＝sin2A＋－＝sin2A＋(cos 2C－cos 2B)
＝sin2(B＋C)＋sin(B＋C)sin(B－C)
＝sin(B＋C)[sin(B＋C)＋sin(B－C)]
＝sin(B＋C)·2sin Bcos C＝2sin Asin Bcos C＝右边，∴原等式成立．
(2)左边＝sin(B＋C)＋2sin cos
＝2sin cos ＋2sin cos
＝2cos
＝4sin sin cos ＝右边，
∴原等式成立．
11．选A 令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α.∵cos α＝，0<α<π，∴sin α＝.∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.
12．选C ∵a＝2cos 72°，∴a2＝4cos272°.∴4－a2＝4－4cos272°＝4sin272°.∴＝2sin 72°.∴a＝2cos 72°·2sin 72°＝2sin 144°＝2sin 36°.∴＝＝＝.
13．解析：∵α为锐角且cos＝>0，∴α＋∈.∴sin＝.∴sin＝sin＝sincos－cossin＝sincos－＝××－＝－＝.
答案：
14．解：∵sin 50°(1＋tan 10°)
＝sin 50°·
＝sin 50°·＝＝＝1，
cos 80°＝sin 10°＝sin210°，∴＝＝.
15．解：(1)f(x)＝sin 2x－
＝sin 2x－cos 2x＝sin，
则f(x)的周期T＝＝π.
由2x－＝＋kπ，k∈Z，得f(x)的对称轴为x＝＋，k∈Z.
(2)当x∈时，－≤2x－≤.
由－≤2x－≤，得0≤x≤，所以f(x)的单调递增区间为；
由≤2x－≤，得≤x≤，
所以f(x)的单调递减区间为.
当2x－＝，即x＝时，f(x)取最大值；
当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取最小值－.
