浙江省宁波市江北区2025年中考数学二模试题
一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2025·江北模拟）下列各数中，最小的是（ ）．
A．2 B．1 C． D．
2．（2025·江北模拟）在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·江北模拟）2025年1月，中国人工智能企业深度求索宣布，其研发的智能助手的用户数量突破120000000，成为全球用户量最大的智能助手之一、数120000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·江北模拟） 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·江北模拟） 某班5个小组参加植树活动，平均每组植树10株，已知其中4个组植树数量分别为：8株，12株，8株，9株，则这5个组的植树数量中，中位数是（ ）
A．8株 B．9株 C．10株 D．11株
6．（2025·江北模拟）如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为36，则四边形的周长为（ ）
A．16 B．24 C．54 D．81
7．（2025·江北模拟）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺：将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·江北模拟）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·江北模拟）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．（2025·江北模拟）如图，在中，，，，，记，，当不变，改变的过程中，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025·江北模拟）二次根式中字母的取值范围是 .
12．（2025·江北模拟）在不透明的布袋中装有3个红球，4个白球，这些球只是颜色不同，如果布袋中再放进2个同样规格的红球，那么此时从布袋中，任意摸出一个球恰好为红球的概率是 。
13．（2025·江北模拟） 因式分解：a2b-5ab2= 。
14．（2025·江北模拟）如图，为的直角边上一点，以为半径的半圆与斜边相切于点，交于点．已知，，则的长为 ．（结果保留）
15．（2025·江北模拟）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，与，分别交于，两点，若．则长为 ．
16．（2025·江北模拟）如图，在平行四边形中，为对角线上一点，，将沿折叠，点的对应点刚好落在边上，则与平行四边形的面积之比为 ．
三、解答题（本大题有8小题，共72分）
17．（2025·江北模拟）计算：．
18．（2025·江北模拟）先化简，再求值：，其中．
19．（2025·江北模拟）如图，在中，，，是边上的中线，，，垂足为．
（1）求的值．
（2）求的长．
20．（2025·江北模拟）近年来，研学旅行作为一种寓教于乐的教学方式多次被写入国家级政策文件．某校学生会负责该校学生的一次研学活动，为设计出同学们最感兴趣的研学路线，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
调查问卷 1．你最感兴趣的研学类型是__________（单选） A．研学+历史 B．研学+科学 C．研学+艺术 D．研学+农业 E．研半+外文 F．研学+工业
（1）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中的百分比；
（2）“”与“”所在的扇形圆心角的度数和为_______°；
（3）若该校共有4500名学生，请你估计该校对“研学+历史”最感兴趣的学生人数．
21．（2025·江北模拟）如图，在矩形中，，为对角线．
（1）尺规作图：作菱形，使点，分别在边，上（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若，，求的长．
22．（2025·江北模拟）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知轿车出发2小时后追上大巴，此时两车与学校相距150千米，如图，、分别表示大巴、轿车离开学校的路程（千米）与大巴行驶的时间（小时）的函数图象．
（1）大巴的速度为___________千米／时．
（2）求所在直线的函数解析式．
（3）求轿车出发多长时间后，轿车与大巴首次相距5千米．
23．（2025·江北模拟）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的顶点为，且与轴交于点．
（1）求点的坐标（用含的代数式表示）．
（2）若点的纵坐标为，求的最小值．
（3）当，为锐角时，求的取值范围．
24．（2025·江北模拟）如图1，为锐角的中线，延长与的外接圆交于点，点在上，连结，，，，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）如图2，连结，若，求证：为等腰三角形；
（3）如图3，在（2）的条件下，连结，若平分，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：∵|-2|=2，|-1|=1，而2＞1，
∴-2＜-1，
∴-2＜-1＜1＜2，
∴最小的数是-2.
故答案为：D.
【分析】根据正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小进行判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是从正面所看到的图形，该立体图形的主视图是：
故选：D．
【分析】根据从正面所看到的图形解答即可．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数120000000用科学记数法表示为．
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为所有整数位的个数减1．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a9÷a3=a6，故本选项错误；
B、a2+a2=2a2，故本选项错误；
C、(2a)2= 4a2，故本选项错误；
D、a2·a4=a6，故本选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的除法、同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的法则，合并同类项分别进行计算，即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：第5组植树 (株)，
这5个组的植树数量从小到大排列为：8株，8株，9株， 12株， 13株，
∴这5个组的植树数量中，中位数是9株，
故答案为：B .
【分析】根据算术平均数的定义，用植树总株数减去4个组植树数量可得第5组的植树数量，根据中位数的定义即可得.
6．【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形和四边形是位似图形，位似比为，
∴四边形四边形，，
∴，
∵四边形的周长为36，
∴四边形的周长为54．
故答案为：C．
【分析】根据相似多边周长之比等于相似比解答即可．
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得，
故选：A．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，列出关于x，y的二元一次方程组，即可得到答案.
8．【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据可得，再利用分式的减法计算方法求解即可。
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数，函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，
反比例函数的图象上有，两点，
当时，，都在第一象限，当时，即时，有，即，故A错误；
当时，，关于原点的对称点为，则，都在第一象限，若，则，即，故B错误；
当时，，此时，都在第一象限，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，故C正确；
当时，，在第三象限，取关于原点的对称点，此点在第一象限，也在第一象限，
∴，
∴，
∴，即，故D错误．
故答案为：C．
【分析】对于，函数位于一、三象限，根据的取值范围，结合反比例函数的增减性逐逐项判断解答．
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点和作的垂线，垂足分别为和，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∵不变，
∴设为定值，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
整理得，
∴为定值，
故答案为：C．
【分析】过点和作的垂线交BC于点和，设为定值，利用勾股定理得到，然后推理得到，即可得到，进而得到解答即可．
11．【答案】x≥4
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得
x-4≥0，
解得：x≥4.
故答案为：x≥4.
【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数，可得x-4≥0，求解即可.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得，
任意摸出一个球恰好为红球的概率，
故答案为：.
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出任意摸出一个球恰好为红球的概率.
13．【答案】ab(a-5b)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2b-5ab2=ab(a-5b)，
故答案为：ab(a-5b).
【分析】利用提公因式法分解因式即可.
14．【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵是的切线，切点为D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【分析】连接，根据切线的性质得到根据外角的定义得到，利用弧长公式计算解答即可．
15．【答案】
【知识点】正方形的性质；“赵爽弦图”模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，
，，
，
，即，
，
，
，
，，
，
，
，
设，则，
根据勾股定理可得，即，
解得（负值舍去），
，
，
故答案为：．
【分析】根军正方形的性质得到，即可得到，然后推理得到，根据勾股定理列方程即可解答．
16．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，
在平行四边形中，有，
∴，
由折叠，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
即
∴，则．
设的面积为，则，，
∴，即，
∴，，
∴，
∴
故答案为
【分析】根据折叠得到，然后证明，即可得到，设的面积为，表示出，进而得到，求比值即可．
17．【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算算术平方根，绝对值和负整数指数幂，然后加减解答即可．
18．【答案】解：
．
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】把括号中两项通分，把除法化为乘法，分解因式后约分化简，再把x的值代入计算解答．
19．【答案】（1）解：∵，，，
在
∴．
∵是边上的中线，
∴，．
在中，，
∴
（2）解：∵，，
∴；
∵是的高线，
∴在中，．
∴
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）首先根据正切的定义求出BD长，然后根据勾股定理求出，再利用正弦的定义解答即可；
（2）首先根据余弦求出，然后根据线段的和差解答即可．
（1）解：∵，，，
在
∴．
∵是边上的中线，
∴，．
在中，，
∴；
（2）解：∵，，
∴；
∵是的高线，
∴在中，．
∴．
20．【答案】（1）解：依题意，（人），
（人），
∴，
∴
∴扇形统计图中的百分比分别是；
补全条形统计图，如图所示：
；
（2）
（3）解：依题意，（人）
∴该校共有4500名学生，请你估计该校对“研学+历史”最感兴趣的学生人数为人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：依题意，，，
∴，
∴“”与“”所在的扇形圆心角的度数和为，
故答案为：．
【分析】（1）运用“研学+历史”的人数除以占比求出考查总人数，再运用总人数减去其它研学类型的人数求出“研学+农业”的人数，补全条形统计图，再根据总人数分别乘以“研学+艺术”、“研学+农业”的占比求出的百分比解答即可；
（2）运用“”与“”的百分比与度相乘求和解答即可．
（3）利用4500乘以算“研学+历史”的占比解答即可．
（1）解：依题意，（人），
（人），
∴，
∴
∴扇形统计图中的百分比分别是；
补全条形统计图，如图所示：
；
（2）解：依题意，，，
∴，
∴“”与“”所在的扇形圆心角的度数和为，
故答案为：．
（3）解：依题意，（人）
∴该校共有4500名学生，请你估计该校对“研学+历史”最感兴趣的学生人数为人．
21．【答案】（1）解：如图，菱形即为所求．
（2）解：四边形是菱形，设，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
解得，
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线，交边，于点E、F，则即为所作；
（2）设，根据菱形的性质，利用勾股定理列方程，求出值解答即可．
（1）解：如图，菱形即为所求．
；
（2）解：四边形是菱形，设，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
解得，
．
22．【答案】（1）50
（2）解：由题意得，，
设所在直线的函数表达式为，把、代入得，
．解得，
所在直线的函数表达式为
（3）解：由（）得大巴的速度为50千米/时，
轿车的速度为（千米/时），
设轿车出发小时后，轿车与大巴首次相距5千米，
由题意得，，
解得，
答：轿车出发小时后，轿车与大巴首次相距5千米
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，大巴的速度为（千米／时），
故答案为：50；
【分析】（）运用路程÷时间=速度解答即可．
（）根据待定系数法求一次函数的解析式即可；
（3）分别求出大巴和轿车的速度，然后根据距离列方程解答即可．
（1）解：由题意可得，大巴的速度为（千米／时），
故答案为：50；
（2）解：由题意得，，
设所在直线的函数表达式为，把、代入得，
．解得，
所在直线的函数表达式为；
（3）解：由（）得大巴的速度为50千米/时，
轿车的速度为（千米/时），
设轿车出发小时后，轿车与大巴首次相距5千米，
由题意得，，
解得，
答：轿车出发小时后，轿车与大巴首次相距5千米．
23．【答案】（1）解：抛物线的顶点为，而，
∴顶点
（2）解：当时，
，
当时，的最小值为
（3）解：当时，顶点在第四象限，
又为锐角，
点在轴上方，
，
∴，
，
，
【知识点】二次函数的最值；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式，得到顶点坐标即可；
（2）由题意可得，配方得到顶点式即可得到顶点坐标；
（3）由题可得顶点在第四象限，点在轴上方，即可得到，解不等式即可得到b的取值范围．
（1）解：抛物线的顶点为，
而，
∴顶点；
（2）解：当时，
，
当时，的最小值为．
（3）解：当时，顶点在第四象限，
又为锐角，
点在轴上方，
，
∴，
，
，
．
24．【答案】（1）证明：点在的外接圆上，
，
为的中线，
，
，
，
，，
四边形为平行四边形
（2）证明：如图，连结，，
四边形为平行四边形，
．
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形
（3）解：如图，作，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
在平行四边形中，，
作，
设，
，
，
．
，，
．
【知识点】平行四边形的判定；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理，得到，即可得到，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到结论即可；
（2）连结，，根据等边对等角得到，进而得到，得到，证明结论；
（3）作，即可得到，即可得到，进而得到，然后推理得到，即可得到，设，求得CM长，计算∠CFE的正切，再根据等角的补角相等得到解答即可．
（1）证明：点在的外接圆上，
，
为的中线，
，
，
，
，，
四边形为平行四边形；
（2）证明：如图，连结，，
四边形为平行四边形，
．
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形；
（3）解：如图，作，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
在平行四边形中，，
作，
设，
，
，
．
，，
．
．
1 / 1浙江省宁波市江北区2025年中考数学二模试题
一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2025·江北模拟）下列各数中，最小的是（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：∵|-2|=2，|-1|=1，而2＞1，
∴-2＜-1，
∴-2＜-1＜1＜2，
∴最小的数是-2.
故答案为：D.
【分析】根据正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小进行判断得出答案.
2．（2025·江北模拟）在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是从正面所看到的图形，该立体图形的主视图是：
故选：D．
【分析】根据从正面所看到的图形解答即可．
3．（2025·江北模拟）2025年1月，中国人工智能企业深度求索宣布，其研发的智能助手的用户数量突破120000000，成为全球用户量最大的智能助手之一、数120000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数120000000用科学记数法表示为．
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为所有整数位的个数减1．
4．（2025·江北模拟） 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a9÷a3=a6，故本选项错误；
B、a2+a2=2a2，故本选项错误；
C、(2a)2= 4a2，故本选项错误；
D、a2·a4=a6，故本选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的除法、同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的法则，合并同类项分别进行计算，即可得出答案.
5．（2025·江北模拟） 某班5个小组参加植树活动，平均每组植树10株，已知其中4个组植树数量分别为：8株，12株，8株，9株，则这5个组的植树数量中，中位数是（ ）
A．8株 B．9株 C．10株 D．11株
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：第5组植树 (株)，
这5个组的植树数量从小到大排列为：8株，8株，9株， 12株， 13株，
∴这5个组的植树数量中，中位数是9株，
故答案为：B .
【分析】根据算术平均数的定义，用植树总株数减去4个组植树数量可得第5组的植树数量，根据中位数的定义即可得.
6．（2025·江北模拟）如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为36，则四边形的周长为（ ）
A．16 B．24 C．54 D．81
【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形和四边形是位似图形，位似比为，
∴四边形四边形，，
∴，
∵四边形的周长为36，
∴四边形的周长为54．
故答案为：C．
【分析】根据相似多边周长之比等于相似比解答即可．
7．（2025·江北模拟）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺：将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得，
故选：A．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，列出关于x，y的二元一次方程组，即可得到答案.
8．（2025·江北模拟）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据可得，再利用分式的减法计算方法求解即可。
9．（2025·江北模拟）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数，函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，
反比例函数的图象上有，两点，
当时，，都在第一象限，当时，即时，有，即，故A错误；
当时，，关于原点的对称点为，则，都在第一象限，若，则，即，故B错误；
当时，，此时，都在第一象限，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，故C正确；
当时，，在第三象限，取关于原点的对称点，此点在第一象限，也在第一象限，
∴，
∴，
∴，即，故D错误．
故答案为：C．
【分析】对于，函数位于一、三象限，根据的取值范围，结合反比例函数的增减性逐逐项判断解答．
10．（2025·江北模拟）如图，在中，，，，，记，，当不变，改变的过程中，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点和作的垂线，垂足分别为和，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∵不变，
∴设为定值，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
整理得，
∴为定值，
故答案为：C．
【分析】过点和作的垂线交BC于点和，设为定值，利用勾股定理得到，然后推理得到，即可得到，进而得到解答即可．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025·江北模拟）二次根式中字母的取值范围是 .
【答案】x≥4
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得
x-4≥0，
解得：x≥4.
故答案为：x≥4.
【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数，可得x-4≥0，求解即可.
12．（2025·江北模拟）在不透明的布袋中装有3个红球，4个白球，这些球只是颜色不同，如果布袋中再放进2个同样规格的红球，那么此时从布袋中，任意摸出一个球恰好为红球的概率是 。
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得，
任意摸出一个球恰好为红球的概率，
故答案为：.
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出任意摸出一个球恰好为红球的概率.
13．（2025·江北模拟） 因式分解：a2b-5ab2= 。
【答案】ab(a-5b)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2b-5ab2=ab(a-5b)，
故答案为：ab(a-5b).
【分析】利用提公因式法分解因式即可.
14．（2025·江北模拟）如图，为的直角边上一点，以为半径的半圆与斜边相切于点，交于点．已知，，则的长为 ．（结果保留）
【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵是的切线，切点为D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【分析】连接，根据切线的性质得到根据外角的定义得到，利用弧长公式计算解答即可．
15．（2025·江北模拟）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，与，分别交于，两点，若．则长为 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；“赵爽弦图”模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，
，，
，
，即，
，
，
，
，，
，
，
，
设，则，
根据勾股定理可得，即，
解得（负值舍去），
，
，
故答案为：．
【分析】根军正方形的性质得到，即可得到，然后推理得到，根据勾股定理列方程即可解答．
16．（2025·江北模拟）如图，在平行四边形中，为对角线上一点，，将沿折叠，点的对应点刚好落在边上，则与平行四边形的面积之比为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，
在平行四边形中，有，
∴，
由折叠，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
即
∴，则．
设的面积为，则，，
∴，即，
∴，，
∴，
∴
故答案为
【分析】根据折叠得到，然后证明，即可得到，设的面积为，表示出，进而得到，求比值即可．
三、解答题（本大题有8小题，共72分）
17．（2025·江北模拟）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算算术平方根，绝对值和负整数指数幂，然后加减解答即可．
18．（2025·江北模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
．
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】把括号中两项通分，把除法化为乘法，分解因式后约分化简，再把x的值代入计算解答．
19．（2025·江北模拟）如图，在中，，，是边上的中线，，，垂足为．
（1）求的值．
（2）求的长．
【答案】（1）解：∵，，，
在
∴．
∵是边上的中线，
∴，．
在中，，
∴
（2）解：∵，，
∴；
∵是的高线，
∴在中，．
∴
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）首先根据正切的定义求出BD长，然后根据勾股定理求出，再利用正弦的定义解答即可；
（2）首先根据余弦求出，然后根据线段的和差解答即可．
（1）解：∵，，，
在
∴．
∵是边上的中线，
∴，．
在中，，
∴；
（2）解：∵，，
∴；
∵是的高线，
∴在中，．
∴．
20．（2025·江北模拟）近年来，研学旅行作为一种寓教于乐的教学方式多次被写入国家级政策文件．某校学生会负责该校学生的一次研学活动，为设计出同学们最感兴趣的研学路线，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
调查问卷 1．你最感兴趣的研学类型是__________（单选） A．研学+历史 B．研学+科学 C．研学+艺术 D．研学+农业 E．研半+外文 F．研学+工业
（1）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中的百分比；
（2）“”与“”所在的扇形圆心角的度数和为_______°；
（3）若该校共有4500名学生，请你估计该校对“研学+历史”最感兴趣的学生人数．
【答案】（1）解：依题意，（人），
（人），
∴，
∴
∴扇形统计图中的百分比分别是；
补全条形统计图，如图所示：
；
（2）
（3）解：依题意，（人）
∴该校共有4500名学生，请你估计该校对“研学+历史”最感兴趣的学生人数为人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：依题意，，，
∴，
∴“”与“”所在的扇形圆心角的度数和为，
故答案为：．
【分析】（1）运用“研学+历史”的人数除以占比求出考查总人数，再运用总人数减去其它研学类型的人数求出“研学+农业”的人数，补全条形统计图，再根据总人数分别乘以“研学+艺术”、“研学+农业”的占比求出的百分比解答即可；
（2）运用“”与“”的百分比与度相乘求和解答即可．
（3）利用4500乘以算“研学+历史”的占比解答即可．
（1）解：依题意，（人），
（人），
∴，
∴
∴扇形统计图中的百分比分别是；
补全条形统计图，如图所示：
；
（2）解：依题意，，，
∴，
∴“”与“”所在的扇形圆心角的度数和为，
故答案为：．
（3）解：依题意，（人）
∴该校共有4500名学生，请你估计该校对“研学+历史”最感兴趣的学生人数为人．
21．（2025·江北模拟）如图，在矩形中，，为对角线．
（1）尺规作图：作菱形，使点，分别在边，上（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若，，求的长．
【答案】（1）解：如图，菱形即为所求．
（2）解：四边形是菱形，设，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
解得，
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线，交边，于点E、F，则即为所作；
（2）设，根据菱形的性质，利用勾股定理列方程，求出值解答即可．
（1）解：如图，菱形即为所求．
；
（2）解：四边形是菱形，设，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
解得，
．
22．（2025·江北模拟）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知轿车出发2小时后追上大巴，此时两车与学校相距150千米，如图，、分别表示大巴、轿车离开学校的路程（千米）与大巴行驶的时间（小时）的函数图象．
（1）大巴的速度为___________千米／时．
（2）求所在直线的函数解析式．
（3）求轿车出发多长时间后，轿车与大巴首次相距5千米．
【答案】（1）50
（2）解：由题意得，，
设所在直线的函数表达式为，把、代入得，
．解得，
所在直线的函数表达式为
（3）解：由（）得大巴的速度为50千米/时，
轿车的速度为（千米/时），
设轿车出发小时后，轿车与大巴首次相距5千米，
由题意得，，
解得，
答：轿车出发小时后，轿车与大巴首次相距5千米
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，大巴的速度为（千米／时），
故答案为：50；
【分析】（）运用路程÷时间=速度解答即可．
（）根据待定系数法求一次函数的解析式即可；
（3）分别求出大巴和轿车的速度，然后根据距离列方程解答即可．
（1）解：由题意可得，大巴的速度为（千米／时），
故答案为：50；
（2）解：由题意得，，
设所在直线的函数表达式为，把、代入得，
．解得，
所在直线的函数表达式为；
（3）解：由（）得大巴的速度为50千米/时，
轿车的速度为（千米/时），
设轿车出发小时后，轿车与大巴首次相距5千米，
由题意得，，
解得，
答：轿车出发小时后，轿车与大巴首次相距5千米．
23．（2025·江北模拟）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的顶点为，且与轴交于点．
（1）求点的坐标（用含的代数式表示）．
（2）若点的纵坐标为，求的最小值．
（3）当，为锐角时，求的取值范围．
【答案】（1）解：抛物线的顶点为，而，
∴顶点
（2）解：当时，
，
当时，的最小值为
（3）解：当时，顶点在第四象限，
又为锐角，
点在轴上方，
，
∴，
，
，
【知识点】二次函数的最值；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式，得到顶点坐标即可；
（2）由题意可得，配方得到顶点式即可得到顶点坐标；
（3）由题可得顶点在第四象限，点在轴上方，即可得到，解不等式即可得到b的取值范围．
（1）解：抛物线的顶点为，
而，
∴顶点；
（2）解：当时，
，
当时，的最小值为．
（3）解：当时，顶点在第四象限，
又为锐角，
点在轴上方，
，
∴，
，
，
．
24．（2025·江北模拟）如图1，为锐角的中线，延长与的外接圆交于点，点在上，连结，，，，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）如图2，连结，若，求证：为等腰三角形；
（3）如图3，在（2）的条件下，连结，若平分，求的值．
【答案】（1）证明：点在的外接圆上，
，
为的中线，
，
，
，
，，
四边形为平行四边形
（2）证明：如图，连结，，
四边形为平行四边形，
．
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形
（3）解：如图，作，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
在平行四边形中，，
作，
设，
，
，
．
，，
．
【知识点】平行四边形的判定；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理，得到，即可得到，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到结论即可；
（2）连结，，根据等边对等角得到，进而得到，得到，证明结论；
（3）作，即可得到，即可得到，进而得到，然后推理得到，即可得到，设，求得CM长，计算∠CFE的正切，再根据等角的补角相等得到解答即可．
（1）证明：点在的外接圆上，
，
为的中线，
，
，
，
，，
四边形为平行四边形；
（2）证明：如图，连结，，
四边形为平行四边形，
．
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形；
（3）解：如图，作，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
在平行四边形中，，
作，
设，
，
，
．
，，
．
．
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