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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第十章
课标要求 1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。 2.了解在实数范围内，任意一个正数有两个平方根， 它们互为相反数，0 的平方根是 0， 负数没有平方根，任意一个实数有且只有一个立方根， 正数的立方根是正数， 0的立方根是0，负数的立方根是负数。3.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。 4.了解无理数和实数的概念，了解实数与数轴上的点一一对应，能用有理数估计一个无理数的大致范围。
内容分析 地位和作用：本章 “数的开方” 是在学生已经学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算的基础上进行的，是对有理数运算的进一步拓展。通过引入平方根、立方根等概念，将数的范围从有理数扩充到实数，为后续学习函数、方程等知识奠定基础。同时，开方运算在几何图形的边长、面积、体积计算以及物理等其他学科中也有广泛应用。 知识结构：本章内容主要包括平方根、算术平方根、立方根、无理数和实数的概念。首先，从实际问题出发引出平方根的概念，通过对平方根性质的研究，进一步得出算术平方根的概念。接着类比平方根学习立方根的相关知识。在学方根和立方根后，引入无理数的概念，最后将数的范围扩充到实数。
学情分析 八年级学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，他们对直观、具体的问题容易理解，但对于抽象的数学概念和理论，理解起来可能存在一定困难。在学习本章内容时，对于平方根、立方根等概念的理解，需要借助具体的实例和图形，帮助学生从直观感知上升到理性认识。同时，学生的自主探究能力和合作学习能力在不断发展，但在面对较为复杂的问题时，仍需要教师的引导和启发。
单元目标 （一）教学目标1.理解平方根、算术平方根、立方根的概念，掌握它们的表示方法，能熟练求出某些非负数的平方根、算术平方根以及任意数的立方根。 2.了解开方与乘方互为逆运算，能运用这种互逆关系解决相关问题。 3.认识无理数和实数，知道实数与数轴上的点一一对应，会对实数进行分类。4.通过从实际问题中抽象出平方根、立方根等数学概念的过程，培养学生的数学抽象能力。5.在解决实际问题的过程中，让学生经历运用数学知识分析问题、解决问题的过程，提高学生的数学应用意识和解决问题的能力。（二）教学重点、难点重点1.平方根、算术平方根、立方根的概念及求法；2.无理数和实数的概念。难点1.平方根与算术平方根概念的区别与联系；2.对无理数概念的理解；3.实数与数轴上点的一一对应关系
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数10.1 平方根认识平方根和算术平方根110.2立方根认识立方根和开立方110.3 实数知道实数的组成和会进行实数的运算1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务10.1.1 平方根1.理解平方根和算数平方根的概念，能准确说出它们的定义、表示方法及性质。2.了解开方运算与乘方运算的互逆关系，并能利用这种关系进行简单的数学运算。能够熟练运用开平方运算，求出给定数的平方根和算术平方根。任务一：讲解平方根和算数平方根的基本概念、原理、法则等知识，使学生形成初步认知。任务二：巩固练习。10.1.2立方根1.学生能够深入理解立方根的概念，熟练掌握立方根的表示方法，准确说出立方根的性质特点。2.对于给定的数，能迅速且正确地运用开立方运算求出其立方根。理解立方根与平方根在概念、性质、运算等方面的异同点，构建完整的数的开方知识体系。任务一：讲解立方根的基本概念、原理、法则，让学生形成初步认知。任务二：将立方根与平方根进行对比教学，从概念、性质、运算等多方面类比。10.2 实数1.学生能够清晰阐述实数的定义，准确说出实数的分类。2.深刻理解无理数在实数体系中的地位，熟练识别常见的无理数。1.掌握实数的概念与分类，让学生准确把握实数的范畴，清晰区分有理数和无理数。2.实数与数轴上的点一一对应的关系。任务一：讲解实数的定义、分类标准、数轴对应关系等基础知识，为学生构建知识框架。任务二：巩固练习。
《数的开方》单元教学设计
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第十章 数的开方
10.2 实数
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值。
01
了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。
02
能用有理数估计一个无理数的大致范围。
03
02
新知导入
想一想：什么是平方根？什么是算术平方根？
什么是立方根？
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
正数 a 的正的平方根，叫作 a 的算术平方根.
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根
02
新知导入
算一算：4的平方根是多少？16的算术平方根是多少？-8的立方根是多少？
4的平方根：
16的算术平方根：
-8的立方根：
03
新知探究
探究
无理数的概念
你能算出 等于多少吗？
利用平方运算验算上面问题中所得的结果.
用计算器算一算吧！
用计算器求 ，显示结果为1.414213562.
再用计算器计算1.414213562的平方，结果是1.999999999，并不是2.
这是为什么呢？
03
新知讲解
这是因为计算器求得的只是 的近似值.
实际上 =1.4142135623730950488016887242096980785
696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557····
在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说， 不是有理数.
03
新知探究
想一想：什么是有理数？
有理数包括整数和分数.
任何一个分数写成小数的形式，只可能是有限小数或者无限循环小数.
例如：
03
新知讲解
那么 是一个怎样的数呢？
不是一个有理数，实际上，它是一个无限不循环小数.
类似地， 、圆周率π等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数.
知识要点
无限不循环小数叫做无理数.
常见的无理数的形式:
①开方开不尽的数，如 等;
②含π的数，如π、2π等;
③有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001...(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。
03
新知探究
探究
实数的概念
有理数和无理数统称为实数.
到目前为止，对所学过的数可以进行如下分类：
实数
整数
分数
有理数
无理数（无限不循环小数）
有限小数
无限循环小数
其中无理数有（ ）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
B
拓展提高
（1）对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，
然后根据最后结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数．
（2）π是无理数，化简后含π的数也是无理数．
03
新知探究
探究
实数与数轴的关系
试一试：你能在数轴上找到表示 的点吗
如图，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形.容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为 .
03
新知探究
探究
实数与数轴的关系
这就是说，边长为1的正方形的对角线长是 .
利用这个事实，我们容易在数轴上找到表示 的点，如图所示.
知识要点
在今后的学习中，可以进一步得出，数轴上的每一个点必定表示一个实数;
反过来，每一个实数(有理数或无理数)都可以用数轴上的一个点来表示.换句话说，实数与数轴上的点一一对应，这是数集从有理数集扩充到实数集的一大进步.
拓展提高
【想一想】能说“有理数和数轴上的点一一对应”吗 为什么
不能
因为“一一对应”包含着两层含义：
①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
②数轴上的每一个点都表示一个实数.
03
新知探究
在七年级上学期学过的有关有理数的相反数和绝对值等概念、大小比较法则、运算法则以及运算律，对于实数也适用.
探究
实数的运算
从有理数扩充到实数以后，正数总可以开平方、开立方.
在实数范围内，任意一个正数有两个平方根，它们互为相反数;
0的平方根是0；负数没有平方根.
任意一个实数有且只有一个立方根.
03
新知讲解
试比较 与π的大小.
例1
涉及无理数的大小比较和运算， 通常可以取它们的近似值来进行
解：用计算器求得
03
新知讲解
计算 .（精确到0.01）
例2
解： ≈ 0.167 -1.414 =-1.247，于是
03
新知讲解
实数的绝对值意义也与有理数一样：
设a表示一个实数，则
正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，
0的绝对值是0.
因此，例2也可以先将原式化简，再计算.
03
新知讲解
计算 .（精确到0.01）
例2
由此算式，可直接将数据输入计算器进行计算.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列实数中是无理数的是 （ ）
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2. 下列说法正确的是( )
A.正数、0、负数统称为有理数
B.带根号的数都是无理数
C.无限循环小数是无理数
D.实数包括有理数和无理数
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.和数轴上的点一一对应的是( )
A.整数
B.无理数
C.实数
D.有理数
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.如图，数轴上点A表示 ，点B与点A到原点的距离相等，则点B表示的数是________.
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴的原点上，
若AD=AE，则数轴上点E所表示的数为______.
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.在0，-2，π， 四个数中，最大的数是（ ）.
A. -2
B. 0
C. π
D.
C
（1）图中阴影正方形的面积是____，边长是_____.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.观察如图所示的图形，每个小正方形的边长都为1.
13
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.(2)已知x为阴影正方形边长的小数部分，y为 的整数部分.
求：(x + y)2的算术平方根.
05
课堂小结
本节课你学到了什么？
1.无限不循环小数叫做无理数.
2.有理数和无理数统称为实数.
3.实数的分类.
4.实数与数轴上的点一一对应.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列说法正确的是( ).
D
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2. 如图，A，B，C，D中表示π的点是_______.
D
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3. 计算：
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4. 若 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. a>c>b
B. c>a>b
C. b>a>c
D. c>b>a
A
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.已知2a-1的平方根是±3，3a+b-9的立方根是2，C是 的整数部分. 求a+2b+c的平方根.
解：因为2a-1的平方根是±3，所以2a-1=9，解得a=5.
因为3a+b-9的立方根是2，所以3a+b-9=8，
即15+b-9=8，解得b=2.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.已知2a-1的平方根是±3，3a+b-9的立方根是2，C是 的整数部分. 求a+2b+c的平方根.
Thanks!
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10.2 实数教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十章
课题 10.2 实数 课时 1课时
课标要求 1.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值。2.能用有理数估计一个无理数的大致范围。 3.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。
教材分析 “实数” 是华师大版八年级上册第 10 章 “数的开方” 的重要内容。在此之前，学生已经学习了有理数，对数字的认知有了一定基础。实数概念的引入，是数的范围的一次重要扩充，将数从有理数领域拓展到更广泛的范畴，为后续学习方程、函数、平面几何等知识奠定了基础。它不仅在数学学科体系中起着承上启下的作用，而且在实际生活和科学研究中也有着广泛的应用。
学情分析 学生在之前已经系统学习了有理数的相关知识，包括有理数的分类、运算、数轴表示等，这为学习实数提供了一定的知识储备和学习经验。然而，对于无理数这种全新的数的类型，学生可能会感到陌生和抽象，需要教师通过具体实例和直观演示帮助学生理解。八年级的学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，他们对具体、生动的实例感兴趣，具有一定的观察、分析和归纳能力，但在抽象概念的理解和逻辑推理方面还需要进一步培养和提高。
核心素养目标 数学抽象：通过对无理数的探究，让学生经历从具体实例中抽象出无理数概念的过程，进而形成实数的概念，培养学生的数学抽象能力。 逻辑推理：在探讨实数的性质、分类以及实数与数轴上点的对应关系等内容时，引导学生进行合理的推理和论证，发展学生的逻辑推理能力。 数学运算：使学生熟练掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算，提高学生的数学运算能力，并在运算过程中培养学生严谨认真的学习态度。
教学重点 实数的概念及分类，理解无理数的本质特征，能准确区分有理数和无理数。 实数与数轴上点的一一对应关系，会用数轴上的点表示实数。
教学难点 实数范围内相反数、倒数、绝对值的概念及运算，掌握实数的大小比较方法和四则运算规则。
教学准备 多媒体课件、计算器、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故知新思考：想一想：什么是平方根？什么是算术平方根？如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.正数 a 的正的平方根，叫作 a 的算术平方根.什么是立方根？如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根. 学生思考回答上节课学习的内容。 通过复习，回忆上节课学习的内容，为本节课学习的新知识做铺垫。
二、引新 创设情境，引入课题算一算：4的平方根是多少？16的算术平方根是多少？-8的立方根是多少？4的平方根：16的算术平方根：-8的立方根：思考：你能算出等于多少吗？ 观察教师展示的数值，思考并回答问题。 通过展示生活中常见的数的平方根或立方根，激发学生的好奇心和求知欲，为引入无理数和实数的概念做好铺垫。
三、探究 探究1：无理数的概念用计算器求，显示结果为1.414213562.利用平方运算验算上面问题中所得的结果.再用计算器计算1.414213562的平方，结果是1.999999999，并不是2.这是为什么呢？这是因为计算器求得的只是的近似值.实际上 =1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557····在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说，不是有理数. 想一想：什么是有理数？有理数包括整数和分数.任何一个分数写成小数的形式，只可能是有限小数或者无限循环小数.例如：那么 是一个怎样的数呢？不是一个有理数，实际上，它是一个无限不循环小数.类似地， 、圆周率π等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数.总结：无限不循环小数叫做无理数.常见的无理数的形式：①开方开不尽的数，如等；②含π的数，如π、2π等；③有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001...(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。探究2：实数的概念有理数和无理数统称为实数.到目前为止，对所学过的数可以进行如下分类：做一做：其中无理数有（ B ）A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个拓展提高：（1）对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数．（2）π是无理数，化简后含π的数也是无理数． 探究3：实数与数轴的关系试一试：你能在数轴上找到表示 的点吗？如图，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形.容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为 .这就是说，边长为1的正方形的对角线长是 .利用这个事实，我们容易在数轴上找到表示 的点，如图所示.在今后的学习中，可以进一步得出，数轴上的每一个点必定表示一个实数；反过来，每一个实数(有理数或无理数)都可以用数轴上的一个点来表示.换句话说，实数与数轴上的点一一对应，这是数集从有理数集扩充到实数集的一大进步.拓展提高：【想一想】能说“有理数和数轴上的点一一对应”吗？为什么？不能 因为“一一对应”包含着两层含义：①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；②数轴上的每一个点都表示一个实数. 探究4：实数的运算在七年级上学期学过的有关有理数的相反数和绝对值等概念、大小比较法则、运算法则以及运算律，对于实数也适用.从有理数扩充到实数以后，正数总可以开平方、开立方.在实数范围内，任意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.任意一个实数有且只有一个立方根.例1：试比较 与π的大小.解：用计算器求得例2：计算 .（精确到0.01）解：≈ 0.167 -1.414 =-1.247，于是 注意：实数的绝对值意义也与有理数一样：正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.设a表示一个实数，则因此，例2也可以先将原式化简，再计算.由此算式，可直接将数据输入计算器进行计算. 观察计算器计算的结果，分析其特点，理解无理数的概念。跟随教师的引导，思考并举例说明无理数，与同桌交流讨论。理解实数的概念，参与实数分类的讨论，明确不同分类标准下实数的分类情况。认真倾听教师讲解如何在数轴上表示，理解构造直角三角形利用勾股定理确定无理数对应点的方法。 通过具体的计算和实例，让学生直观地感受无理数的特征，从而更好地理解无理数的概念。引导学生总结常见无理数的形式，有助于学生识别和判断无理数。在学生掌握无理数概念的基础上，引入实数的概念并进行分类，使学生对实数的整体框架有清晰的认识。通过直观的数轴演示，让学生亲身感受无理数也可以在数轴上表示出来，从而理解实数与数轴上点的一一对应关系。
四、尝试 尝试练习，巩固提高1.下列实数中是无理数的是 （ C )2. 下列说法正确的是( D )A.正数、0、负数统称为有理数 B.带根号的数都是无理数C.无限循环小数是无理数 D.实数包括有理数和无理数3.和数轴上的点一一对应的是( C )A.整数 B.无理数 C.实数 D.有理数4.如图，数轴上点A表示，点B与点A到原点的距离相等，则点B表示的数是____-____.选做题：5.如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴的原点上，若AD=AE，则数轴上点E所表示的数为__-__.6.在0，-2，π， -四个数中，最大的数是（ C ）.A. -2 B. 0 C. π D.- 【综合拓展类作业】7.观察如图所示的图形，每个小正方形的边长都为1.（1）图中阴影正方形的面积是__13__，边长是___.(2)已知x为阴影正方形边长的小数部分，y为 的整数部分.求：(x + y)2的算术平方根. 独立完成练习题，遇到问题可以举手向教师提问。 通过针对性的练习，巩固学生对无理数、实数概念及分类的理解，强化学生在数轴上表示实数的技能。在练习过程中，培养学生的分析问题和解决问题的能力，以及合作交流的意识。
五、提升 适时小结，兴趣延伸引导学生回顾本节课所学的主要内容，包括无理数、实数的概念，实数的分类，实数与数轴上点的对应关系等。强调本节课的重点和难点，以及在学习过程中需要注意的问题。 对学生在本节课中的表现进行评价，肯定学生的优点和进步，鼓励学生在今后的学习中继续努力。 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。
帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。
板书设计 10.2 实数1.无限不循环小数叫做无理数.2.有理数和无理数统称为实数.3.实数的分类.4.实数与数轴上的点一一对应. 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标：1.下列说法正确的是( D ).2. 如图，A，B，C，D中表示π的点是___D____.能力提升：3.计算：4. 若 ，则a，b，c的大小关系为（ A ）A. a>c>b B. c>a>b C. b>a>c D. c>b>a拓展迁移：5.已知2a-1的平方根是±3，3a+b-9的立方根是2，C是 的整数部分. 求a+2b+c的平方根.解：因为2a-1的平方根是±3，所以2a-1=9，解得a=5.因为3a+b-9的立方根是2，所以3a+b-9=8，即15+b-9=8，解得b=2.
教学反思 在本节课的教学过程中，通过创设问题情境，引导学生自主探究和合作交流，学生对无理数和实数的概念有了较为清晰的理解，能够进行实数的分类，并初步掌握了实数与数轴上点的对应关系。但在教学过程中也发现了一些不足之处，例如，在讲解无理数概念时，部分学生对无限不循环小数的理解还存在困难，需要进一步通过更多实例和直观演示帮助学生理解。在课堂练习环节，学生在判断一些复杂的数是否为无理数以及在数轴上准确表示无理数时，仍有一些错误，需要加强练习和指导。在今后的教学中，应更加关注学生的个体差异，及时调整教学方法和策略，满足不同学生的学习需求，提高教学效果。
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