(共35张PPT)
第十章 数的开方
10.1.2 立方根
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
从实际问题中抽象出立方根概念，理解其本质，提升学生从具体到抽象的思维能力。
01
通过探究立方根性质，培养学生归纳、类比和推理能力，能有条理地思考和表达。
02
运用立方根知识解决实际问题，建立数学模型，增强学生应用数学的意识和能力。
03
02
新知导入
想一想：什么是平方根？什么是算术平方根？
正数、0、负数的平方根有什么特点？
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
正数 a 的正的平方根，叫作 a 的算术平方根.
1. 正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.
2. 0的平方根还是0.
3. 负数没有平方根.
02
新知导入
思考：要做一只容积为 216cm3 的正方体纸盒，正方体的棱长是多少？
216cm3
03
新知探究
探究
立方根的定义
上面所提出的问题，实质上就是要求一个数，这个数的立方等于216.
这个实际问题，在数学上可以转化成一个怎样的计算问题？从中可以抽象出一个什么数学概念？
容易发现，63= 216，而且任何不等于6的数的立方都不等于216，
所以正方体的棱长是6cm.
03
新知探究
探究
立方根的定义
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.
例如：在前面的问题中，因为63=216，所以6是216的立方根.
216的立方根只有一个吗 还有没有别的数的立方也等于216
除了6以外，没有别的数的立方等于216.
1. 27 的立方根是什么
因为33=27，所以27的立方根是3.
你能得到什么结论？
2. -27 的立方根是什么
因为（-3）3=-27，所以-27的立方根是-3.
3. 0的立方根是什么
0的立方根是0.
知识要点
任何数的立方根如果存在的话，必定只有一个.
数a的立方根，记作 ，读作“三次根号a”.
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
被开方数
根指数
立方根符号“ ”中的数字3不可省略.
拓展提高
【想一想】 中，a的取值范围有什么不同
因为负数没有平方根，所以 中的a必须为非负数，即a≥0.
因为任意数都有立方根，所以 中的a可以为正数、负数和0.
03
新知探究
求一个数的立方根的运算，叫作开立方.
探究
什么是开立方？
例如：因为23= 8，所以 ，即对8进行开立方运算的结果是2.
开立方与立方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的立方根.
03
新知讲解
求下列各数的立方根：
（1） （2）-125 （3）-0.008
例4
（2） 因为（-5）3 =-125， 所以
可以借助立方运算求立方根，也可以用立方运算检验开立方是否正确.
03
新知讲解
求下列各数的立方根：
（1） （2）-125 （3）-0.008
例4
（3） 因为（-0.2）3 =-0.008， 所以
仿照前两道小题的解答过程，写出小题(3)的解答.
03
新知探究
【总结归纳】
求一个数的立方根，就是找到一个数，使得它的立方等于被开方数。可以通过回忆一些常见数的立方来求解，对于分数和小数的立方根，要注意将其转化为合适的形式进行计算。
拓展提高
【做一做】已知 x-1 的立方根是2，2x+y+5 的立方根是3，
求x2 +y2的平方根。
解 ：因为 x-1 的立方根是2，所以x-1=8，解得x=9，
因为 2x+y+5 的立方根是3，所以 2x+y+5=27，解得y=4，
将x=9，y=4代入x2 +y2， 可得x2 +y2=92+42=81+16=97.
根据平方根的定义，97的平方根为 。
03
新知探究
探究
用计算器求一个数的立方根
用计算器求一个数的立方根和求一个数的算术平方根的步骤相同，只是按的根指数键不同.
03
新知讲解
用计算器求下列各数的立方根：
(1)1331 ; (2)9.263(精确到0.01).
例5
显示结果为11，所以1331的立方根为
解 ：（1）本小题的按键顺序是
03
新知讲解
用计算器求下列各数的立方根：
(1)1331 ; (2)9.263(精确到0.01).
例5
显示结果为2.100 151161，要求精确到0.01，可得
解 ：（2）本小题的按键顺序是
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.64的立方根是( ).
A. 4
B. 8
C. ±4
D. ±8
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2. 若一个数的立方根为-5，则这个数是( ).
A.
B. 125
C. -125
D. ±125
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.下列说法中正确的是( )
A. 1的立方根是±1
B. -0.027的立方根是-0.3
C. 81的立方根是9
D. -6没有立方根
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.求下列各数的立方根.
（1）-0.216 （2） （3）0.027
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.一个正方体的体积是100，估计它的棱长的长度在( ).
A.3与4之间
B.4与5之间
C.5与6之间
D.6与7之间
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.如果一个数开立方的结果等于它本身，那么这个数是( ).
A. -1
B. 0
C. ±1
D. ±1或0
D
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.已知a+b-5的平方根是±3，a-b+4的立方根是2.
(1)求a和b的值；
解：因为a+b-5的平方根是±3，a-b+4的立方根是2,
解得a=9，b=5.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.已知a+b-5的平方根是±3，a-b+4的立方根是2.
(2)求5a +4b -1的立方根.
解：由(1)得，a = 9，b=5，所以 5a + 4b -1=64，
所以5a + 4b - 1的立方根是4.
05
课堂小结
本节课你学到了什么？
1.如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.
2.正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
3.求一个数的立方根的运算，叫作开立方.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列说法正确的是( ).
A. 正数的平方根和立方根都只有一个
B. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
C. 一个数的立方根比这个数的平方根小
D. 互为相反数
D
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2. 的算术平方根是（ ）.
A.
B.
C. 2
D. ±2
A
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3. 若m2 = (-5)2，n3 =(-5)3，则 m - n 的值为( ).
A. 0
B. ±10
C. 0或10
D. 0或-10
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4. 求下列各式中x的值.
(1)(x + 3)3 +125=0； (2)-3 (x - 1)3 -81=0.
解：因为(x +3)3+125=0,
所以(x +3)3=-125,
所以x+3=-5，所以x=-8.
解：因为-3(x-1)3 - 81=0,
所以(x-1)3 = -27，
所以x-1=-3，所以x =-2.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.已知3a-5的立方根是 -2，b+1的算术平方根是3.
(1) 求 b-a 的平方根，
解：由题意，得 3a - 5=(-2)3 = -8，b+1=32=9,
所以a =-1，b=8.
所以b-a=8-（-1）=9，9的平方根等于±3，
所以 b-a 的平方根为±3.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.已知3a-5的立方根是 -2，b+1的算术平方根是3.
(2) 若c < 解： ， ∴ c = 3,
∴ a - 4b +2c = -1 -4 × 8+ 2 × 3=-27，
∴ a - 4b + 2c的立方根为-3.
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第十章
课标要求 1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。 2.了解在实数范围内，任意一个正数有两个平方根， 它们互为相反数，0 的平方根是 0， 负数没有平方根，任意一个实数有且只有一个立方根， 正数的立方根是正数， 0的立方根是0，负数的立方根是负数。3.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。 4.了解无理数和实数的概念，了解实数与数轴上的点一一对应，能用有理数估计一个无理数的大致范围。
内容分析 地位和作用：本章 “数的开方” 是在学生已经学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算的基础上进行的，是对有理数运算的进一步拓展。通过引入平方根、立方根等概念，将数的范围从有理数扩充到实数，为后续学习函数、方程等知识奠定基础。同时，开方运算在几何图形的边长、面积、体积计算以及物理等其他学科中也有广泛应用。 知识结构：本章内容主要包括平方根、算术平方根、立方根、无理数和实数的概念。首先，从实际问题出发引出平方根的概念，通过对平方根性质的研究，进一步得出算术平方根的概念。接着类比平方根学习立方根的相关知识。在学方根和立方根后，引入无理数的概念，最后将数的范围扩充到实数。
学情分析 八年级学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，他们对直观、具体的问题容易理解，但对于抽象的数学概念和理论，理解起来可能存在一定困难。在学习本章内容时，对于平方根、立方根等概念的理解，需要借助具体的实例和图形，帮助学生从直观感知上升到理性认识。同时，学生的自主探究能力和合作学习能力在不断发展，但在面对较为复杂的问题时，仍需要教师的引导和启发。
单元目标 （一）教学目标1.理解平方根、算术平方根、立方根的概念，掌握它们的表示方法，能熟练求出某些非负数的平方根、算术平方根以及任意数的立方根。 2.了解开方与乘方互为逆运算，能运用这种互逆关系解决相关问题。 3.认识无理数和实数，知道实数与数轴上的点一一对应，会对实数进行分类。4.通过从实际问题中抽象出平方根、立方根等数学概念的过程，培养学生的数学抽象能力。5.在解决实际问题的过程中，让学生经历运用数学知识分析问题、解决问题的过程，提高学生的数学应用意识和解决问题的能力。（二）教学重点、难点重点1.平方根、算术平方根、立方根的概念及求法；2.无理数和实数的概念。难点1.平方根与算术平方根概念的区别与联系；2.对无理数概念的理解；3.实数与数轴上点的一一对应关系
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数10.1 平方根认识平方根和算术平方根110.2立方根认识立方根和开立方110.3 实数知道实数的组成和会进行实数的运算1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务10.1.1 平方根1.理解平方根和算数平方根的概念，能准确说出它们的定义、表示方法及性质。2.了解开方运算与乘方运算的互逆关系，并能利用这种关系进行简单的数学运算。能够熟练运用开平方运算，求出给定数的平方根和算术平方根。任务一：讲解平方根和算数平方根的基本概念、原理、法则等知识，使学生形成初步认知。任务二：巩固练习。10.1.2立方根1.学生能够深入理解立方根的概念，熟练掌握立方根的表示方法，准确说出立方根的性质特点。2.对于给定的数，能迅速且正确地运用开立方运算求出其立方根。理解立方根与平方根在概念、性质、运算等方面的异同点，构建完整的数的开方知识体系。任务一：讲解立方根的基本概念、原理、法则，让学生形成初步认知。任务二：将立方根与平方根进行对比教学，从概念、性质、运算等多方面类比。10.2 实数1.学生能够清晰阐述实数的定义，准确说出实数的分类。2.深刻理解无理数在实数体系中的地位，熟练识别常见的无理数。1.掌握实数的概念与分类，让学生准确把握实数的范畴，清晰区分有理数和无理数。2.实数与数轴上的点一一对应的关系。任务一：讲解实数的定义、分类标准、数轴对应关系等基础知识，为学生构建知识框架。任务二：巩固练习。
《数的开方》单元教学设计
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10.1.2 立方根教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十章
课题 10.1.2 立方根 课时 1课时
课标要求 理解立方根的概念，会用根号表示数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求立方根。通过对立方根的学习，培养学生的运算能力、逻辑推理能力以及数学抽象素养，体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
教材分析 本节课是华师大版八年级上册数学第十章 “数的开方” 的重要内容。立方根是在学生学方根的基础上进行的深入拓展，它与平方根既有联系又有区别，共同构建了数的开方知识体系。通过对立方根的学习，不仅能让学生进一步完善对数的运算的认识，还为后续学习实数、方程以及函数等知识奠定坚实基础。教材从实际问题出发，引入立方根的概念，再通过具体例子探究立方根的性质和求法，符合学生的认知规律，有助于培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
学情分析 学生在之前已经学方根的相关知识，对开方运算有了初步的认识，掌握了一定的类比学习和探究学习的方法。但平方根与立方根在概念和性质上存在差异，学生在学习过程中可能会出现混淆，尤其是在理解负数的立方根以及立方根与平方根的区别时可能会遇到困难。八年级的学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，对直观、具体的问题比较感兴趣，但在抽象概括和逻辑推理方面还需要进一步加强培养。
核心素养目标 1.数学抽象：通过对实际问题的分析，抽象出立方根的概念，理解立方根的本质，提升学生从具体情境中抽象出数学概念的能力。2.逻辑推理：探究立方根的性质，通过类比平方根的学习过程，培养学生的类比推理能力和逻辑思维能力，能有条理地阐述自己的观点。3.数学运算：熟练掌握求一个数的立方根的运算，能准确运用立方根的概念进行计算，提高学生的运算能力和运算准确性。
教学重点 1.让学生清晰理解立方根的定义，明确一个数的立方根是满足其立方等于该数的数。2掌握正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0 这一性质，并能灵活运用。
教学难点 区分立方根与平方根的概念和性质。由于两者有相似之处，学生易混淆，需要通过对比分析，让学生深刻理解它们的差异。
教学准备 多媒体课件、计算器、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故知新思考：想一想：什么是平方根？什么是算术平方根？如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.正数 a 的正的平方根，叫作 a 的算术平方根.正数、0、负数的平方根有什么特点？1. 正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.2. 0的平方根还是0.3. 负数没有平方根. 学生思考回答上节课学习的内容。 通过复习，回忆上节课学习的内容，为本节课学习的新知识做铺垫。
二、引新 创设情境，引入课题思考：要做一只容积为 216cm3 的正方体纸盒，正方体的棱长是多少？ 积极思考问题，根据正方体体积公式 V = a3（V 表示体积，a 表示棱长），尝试计算出棱长。
从学生熟悉的正方体体积问题入手，激发学生的学习兴趣，引出本节课要学习的立方根的概念，让学生感受到数学与实际生活的紧密联系。
三、探究 合作探究，活动领悟探究1：立方根的定义思考： 这个实际问题，在数学上可以转化成一个怎样的计算问题？从中可以抽象出一个什么数学概念？上面所提出的问题，实质上就是要求一个数，这个数的立方等于216.容易发现，63= 216，而且任何不等于6的数的立方都不等于216，所以正方体的棱长是6cm.概括：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.例如：在前面的问题中，因为63=216，所以6是216的立方根.216的立方根只有一个吗？还有没有别的数的立方也等于216？除了6以外，没有别的数的立方等于216.试一试：1. 27 的立方根是什么？因为33=27，所以27的立方根是3.2. -27 的立方根是什么？因为（-3）3=-27，所以-27的立方根是-3.3. 0的立方根是什么？0的立方根是0.你能得到什么结论？任何数的立方根如果存在的话，必定只有一个.正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.数a的立方根，记作，读作“三次根号a”. 立方根符号“ ”中的数字3不可省略.拓展提高【想一想】中，a的取值范围有什么不同？ 因为负数没有平方根，所以中的a必须为非负数，即a≥0. 因为任意数都有立方根，所以中的a可以为正数、负数和0.探究2：什么是开立方？求一个数的立方根的运算，叫作开立方.例如：因为23= 8，所以，即对8进行开立方运算的结果是2.开立方与立方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的立方根.例4：求下列各数的立方根：（1） （2）-125 （3）-0.008 （2） 因为（-5）3 =-125， 所以（3） 因为（-0.2）3 =-0.008， 所以【总结归纳】求一个数的立方根，就是找到一个数，使得它的立方等于被开方数。可以通过回忆一些常见数的立方来求解，对于分数和小数的立方根，要注意将其转化为合适的形式进行计算。拓展提高【做一做】已知 x-1 的立方根是2，2x+y+5 的立方根是3，求x2 +y2的平方根。 解 ：因为 x-1 的立方根是2，所以x-1=8，解得x=9，因为 2x+y+5 的立方根是3，所以 2x+y+5=27，解得y=4，将x=9，y=4代入x2 +y2， 可得x2+y2=92+42=81+16=97.根据平方根的定义，97的平方根为 。探究3：用计算器求一个数的立方根用计算器求一个数的立方根和求一个数的算术平方根的步骤相同，只是按的根指数键不同. 例5：用计算器求下列各数的立方根：(1)1331 ; (2)9.263(精确到0.01). 解 ：（1）本小题的按键顺序是 显示结果为11，所以1331的立方根为（2）本小题的按键顺序是 显示结果为2.100 151161，要求精确到0.01，可得 认真思考教师给出的例子，参与归纳总结立方根的概念，理解立方根的符号表示。
计算给定数的立方根，小组内交流讨论，总结出正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0，任何数都有唯一的立方根。认真听讲，理解开立方的概念，通过教师的例子，掌握利用逆运算求立方根的方法。认真观看教师的例题讲解，理解解题思路和方法，跟随教师的引导思考解方程的过程。认真学习用计算器求立方根的方法，并在自己的计算器上尝试操作。 通过具体实例，让学生经历从特殊到一般的归纳过程，培养学生的归纳总结能力，加深对立方根概念的理解。通过学生自己计算和讨论，探究立方根的性质，培养学生的合作交流能力和自主探究能力，让学生在实践中发现规律。明确开立方的概念，让学生理解立方与开立方的关系，为求立方根提供理论依据，帮助学生掌握求立方根的方法。通过具体例题的讲解，让学生掌握求立方根的具体方法，提高学生的运算能力，同时通过解方程的例题，让学生体会立方根在方程求解中的应用。介绍用计算器求立方根，拓宽学生的解题方法，提高学生运用工具解决数学问题的能力。
四、尝试 尝试练习，巩固提高1.64的立方根是( D ).A. 4 B. 8 C. ±4 D. ±82. 若一个数的立方根为-5，则这个数是( C ).A.- B. 125 C. -125 D. ±1253.下列说法中正确的是( B )A. 1的立方根是±1B. -0.027的立方根是-0.3C. 81的立方根是9D. -6没有立方根4.求下列各数的立方根.（1）-0.216 （2） （3）0.027选做题：5.一个正方体的体积是100，估计它的棱长的长度在( B ).A.3与4之间 B.4与5之间C.5与6之间 D.6与7之间6.如果一个数开立方的结果等于它本身，那么这个数是( D ).A. -1 B. 0 C. ±1 D. ±1或0【综合拓展类作业】7.已知a+b-5的平方根是±3，a-b+4的立方根是2.(1)求a和b的值；解：因为a+b-5的平方根是±3，a-b+4的立方根是2,解得a=9，b=5.(2)求5a +4b -1的立方根.由(1)得，a = 9，b=5，所以 5a + 4b -1=64，所以5a + 4b - 1的立方根是4. 独立完成练习题，遇到问题可以举手向教师提问。 通过课堂练习，巩固学生所学的立方根的知识和求法，及时发现学生存在的问题并加以解决，提高学生的知识应用能力。
五、提升 适时小结，兴趣延伸以提问的方式引导学生回顾本节课的核心内容，如 “什么是立方根？它的符号怎么表示？”“立方根有哪些重要性质？”“开立方运算和立方运算有什么关系？”“立方根和平方根有哪些主要区别？” 在学生回答的基础上，进行补充和梳理，强调本节课的重点是立方根的概念、性质及求法，难点是区分立方根与平方根以及理解负数的立方根。同时，鼓励学生分享本节课的学习收获和遇到的问题，对积极发言的学生给予肯定。 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。
帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。
板书设计 10.1.2 立方根1.立方根的概念2.立方根的性质3.开立方4.用计算器求一个数的立方根 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标：1.下列说法正确的是( D ).A. 正数的平方根和立方根都只有一个B. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根C. 一个数的立方根比这个数的平方根小D. 互为相反数2. 的算术平方根是（ A ）.A. B.± C. 2 D. ±23. 若m2 = (-5)2，n3 =(-5)3，则 m - n 的值为( C ).A. 0 B. ±10 C. 0或10 D. 0或-10 能力提升：4. 求下列各式中x的值.(1)(x + 3)3 +125=0； (2)-3 (x - 1)3-81=0.解：(1)因为(x +3)3+125=0,所以(x +3)3=-125,所以x+3=-5，所以x=-8.(2)解：因为-3(x-1)3 - 81=0,所以(x-1)3 = -27，所以x-1=-3，所以x =-2.拓展迁移：5.已知3a-5的立方根是 -2，b+1的算术平方根是3.(1) 求 b-a 的平方根，解：由题意，得 3a - 5=(-2)3 = -8，b+1=32=9,所以a =-1，b=8.所以b-a=8-（-1）=9，9的平方根等于±3，所以 b-a 的平方根为±3.(2) 若c < 教学反思 本节课从学生熟悉的正方体体积问题导入，能有效激发学生的学习兴趣，使学生快速进入学习状态。在讲解立方根概念和性质时，通过多个实例让学生自主归纳总结，符合学生的认知规律，有助于学生加深对知识的理解。课堂上注重师生互动和小组讨论，充分调动了学生的积极性，让学生成为学习的主体。例题和练习的设计由易到难，梯度合理，能较好地巩固学生所学知识。
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